《2026初高衔接》[第十五讲]——对数与对数函数_2026版高中《罗老师初升高讲义》十五讲（数学）_《初高衔接2026版》学生版

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选择胜于努力，笃行成就未来
夏• 2026 初高衔接
15
对数与对数函数
对数与对数函数
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
对数的认识与计算
掌握指对互化与运算公式，熟练完
成对数化简求值
数学运算、数学抽象
对数函数的图象与性质
结合图象分析对数函数性质，求解
不等式、参数范围，了解函数变换
直观想象、逻辑推理
一对数的认识
生物学中，细菌依靠无性二分裂完成增殖：单个母细胞生长成熟后，会均等分裂为两个全新子细胞。我们
不妨设定细菌每1 分钟完成一轮分裂，初始仅有1 个细菌．
经过1 分钟，细菌总数为21 = 2 个；经过2 分钟，细菌总数为22 = 4 个；经过3 分钟，细菌总数为23 = 8
个；以此类推，若经过t 分钟，细菌总数量y 便满足指数关系式：
y = 2t
结合简单数值不难发现：想要得到8 个细菌，对应时长t = 3；想要得到32 个细菌，对应时长t = 5，这类
目标数量为2 的整数次幂时，我们能直接读出对应的时间．但实际微生物培养中，我们常常需要精准培育出
100、1000、10000 个细菌……观察这类数值可以发现，100、1000 都无法写成2 的整数次方，也就是说对应的
分裂时长t 不再是整数．已知指数式y = 2t 中细菌数量y，该怎样反向求解对应的时间t？专门用来解决这类
“已知底数和幂，求指数”问题的工具，就是对数．
对数的定义与指对互化
若ax= N a>0，且a≠1


，称数x 是以a 为底N 的对数，记作：x = logaN
其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．由此可得指对互化公式：
ax= N x = logaN
由指数的内容和指对互化可知：对数式x = logaN 中各字母的取值范围是：a > 0 且a ≠1，N > 0，x ∈
R．通常，我们将以10 为底的对数叫做常用对数，并把log10N 记为lgN．另外，在科技、经济以及社会生活中
经常使用以无理数e = 2.71828… 为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并把logeN 记为lnN.
对数的诞生逻辑，和初中
平方根的由来本质相通：
二者都是现有数字无法直
接书写、难以完整表达运
算等量关系，因此人们专
门创设全新符号，用以表
示这类特殊数值．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
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1
(★☆☆☆☆)把下列对数化为指数，指数化为对数．
(1) 5-2 = 1
25
(2) 8x= 30
(3) 3x= 1
(4) log 1
3 9 =-2
(5) 3 = lgx
(6)x = ln 1
3
(7) 23= 8
(8) e 3 = m
(9) 27
- 1
3 = 1
3
(10) log39 = 2
(11) lgn = 2.3
(12) log3 1
81 =-4
对数的计算
通过探究对数的定义可知，对数由指数衍生而来。借助指数的基本运算性质，可推导出形式多样的对数运
算恒等式．
1


由指对互化我们可以得到如下对数运算：
对数：loga1 =
logaa =
logaan=
指数：
a0 = 1
a1 = a
an= an
2


对数的性质：如果a > 0，且a ≠1，M > 0，N > 0，那么：
积的对数等于对数的和：loga(MN) = logaM + logaN，对应的是指数公式：am ∙an= am+n
商的对数等于对数的差：loga M
N = logaM - logaN，对应的是指数公式：am ÷ an= am-n
幂的对数等于指数与对数的积：logaM n= n ∙logaM (n ∈R)，对应的是指数公式：am


n= amn
3


换底公式：logaN = logmN
logma
对数的计算公式
2 (★★☆☆☆) 计算：1
2 lg25 + lg2 - lg 0.1 - log29 ⋅log32
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2
(★☆☆☆☆)请完成下列计算：
(1)
2 1
4


1
2 - (-2)0 + log55
(2) log525 -
1
9


- 1
2
(3) log420 + lne + 27
2
3
(4) 3 × 20 - log28 + (27)
1
3
(5) log2 2•log39
(6)
27
8


1
3 + ln e
(7) log3 1
9 + 4
- 1
2
(8) 27
2
3 - lg0.01 + lne4
(9)
1
2


-2
+ 4log2 2 + log 24
(10) log3 27 + lg125 + lg8 + 7log72
(11)
1
2


log2
1
3 + (-27)
2
3 - log 39
(12) log327 + lg25 + lg4 - 7log72 - log32 ⋅log43
(13)
1
27


- 2
3 +
4
9 - (-5)0- lg 1
2 + lg50 + log23 ⋅log34
(14)log23 × log38 + (lg5)2+ lg5 × lg2 + 1
3 lg8 - 2log23
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二对数函数
对数函数
一般地，函数y = logax(a > 0，且a ≠1) 叫做对数函数．根据指对互化知：对数函数定义域是(0，+∞)
对数函数图象
例如：对于函数f(x) =
x
lg
的作图：
①确定函数定义域：x ∈0,+∞


；
②判定函数奇偶性：定义域部关于原点对称，∴函数f(x) 不具备奇偶性．
③当x →0 时，
x
lg
→-∞(以x =
1
100 ,
1
1000 ,
1
1000 ∙∙∙作解释说明)
∴y 轴是函数f(x) 的渐近线。
④列表取点，光滑曲线连点成图。
x
1
100
1
10
1
10
100
f(x)
-2
-1
0
1
2
因为y =
1
10x
log
=-
10x
log
=-
x
lg ，点(x，y) 与点(x，- y) 关于x 轴对称，所以函数y =
x
lg
图象上任意一
点P(x，y) 关于x 轴的对称点P1(x，- y) 都在函数y =
1
10x
log
的图象上，反之亦然，由此可知，底数互为倒数
的两个对数函数的图象关于x 轴对称。根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象.
对数函数的图象与性质
函数名称
对数函数
定义
形如y = logax(a > 0 且a ≠1) 的函数叫做对数函数
图象
a > 1
0 < a < 1
1
O
x
y
1
O
x
y
定义域
(0, +∞)
值域
R
过定点
图象过定点(1,0)，即当x = 1 时，y = 0．
渐近线
y 轴即：x = 0
单调性
在R 上是增函数
在R 上是减函数
a 变化对
图象影响
a 越大，开口越靠近x 轴
a 越小，开口越靠近x 轴
1
y=
x
lg
O
x
y
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3
(★☆☆☆☆)函数y = lnx 的单调递增区间是
(
)
A. [e，+∞)
B. (0，+∞)
C. (-∞，+∞)
D. [1，+∞)
4 (★☆☆☆☆)函数f(x) = loga(x + 2) - 1(a > 0 且a ≠1) 的图象经过定点
(
)
A. (-1，-1)
B. (-1，0)
C. (-2，2)
D. (-2，0)
5
(★☆☆☆☆)设a = 20.7，b =
1
2


0.7
，c = log40.7，则
(
)
A. a < b < c
B. c < a < b
C. c < b < a
D. a < c < b
6
(★☆☆☆☆)已知f(x) = log3x，f(a) > f(2)，那么a 的取值范围是
(
)
A. {a|a > 2}
B. {a|1 < a < 2}
C. {a a> 1
2


D.
a 1
2 <a<1



7
(多选•★☆☆☆☆)函数f(x) = loga(x + 2) (0 < a < 1) 的图象过
(
)
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
8
(★★☆☆☆)设a > 1，函数f(x) = logax 在区间[a，2a] 上的最大值是最小值的3 倍，则a =
(
)
A.
2
B. 2
C. 2 2
D. 4
9
(★★☆☆☆)函数f(x) = loga(2 - ax) 在[0，4] 上为增函数，则a 的取值范围是
(
)
A.
0，1
2


B. (0，1)
C.
1
2 ，1


D. [4，+∞)
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10 (★★☆☆☆)函数y = lg|x + 1| 图像大致是
(
)
A.
x
y
-1
-2
B.
x
y
-1
C.
x
y
-1
D.
x
y
1
2
11 (★★★☆☆)若2a+ log2a = 4b+ 2log4b，则
(
)
A. a > b2
B. a < b2
C. a > 2b
D. a < 2b
12 (多选•★★★★☆)函数f(x) = loga(1 - x) (a > 0，a ≠1)，关于f(x) 的说法正确的是
(
)
A. 定义域是(-∞，1)
B. 值域是R
C. 图象恒过定点
D. 当a > 1 时，在定义域上是增函数
13 (多选•★★★★☆)已知函数f(x) = |lnx|，若m > n > 0，且f(m) = f(n)，则
(
)
A. m + n = 2
B. mn = 1
C. 2
m + 1
n ≥2 2
D. 1
m + 2
n > 3
14 (★★★★☆)设x1满足x + lnx = 3，x2满足ln(2 - x) - x = 1，则x1+ x2=
(
)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
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15 (原创•★★★☆☆)解下列对数方程与不等式
(1) lnx ≥0
(2) log3(x - 1) < 1
(3) lg(x - 2) ≤0
(4) log3(x + 2) = 3
(5) log5(2x + 1) = log5(x2- 2)
(6) loga 1
3 < 1
16 (★★★☆☆)已知函数f(x) = loga(1 + 2x) - loga(1 - 2x) (a > 0，a ≠1)．
(1) 求f(x) 的定义域；
(2) 判断f(x) 的奇偶性并给予证明；
(3) 求关于x 的不等式f(x) < 0 的解集．
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1 (★☆☆☆☆)下列函数中，既是单调函数又是奇函数的是
(
)
A. y = log3x
B. y = 3|x|
C. y = x
1
2
D. y = x|x|
2 (多选•★☆☆☆☆)下列关于函数y = log 1
2 x 的结论中，正确的是
(
)
A. 定义域为(0，1) ∪(1，+∞)
B. 值域为R
C. 在定义域内是减函数
D. 既不是奇函数，也不是偶函数
3 (★★☆☆☆)“log2a > log2b”是“ 1
a < 1
b ”的
(
)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 不充分也不必要条件
4 (★★☆☆☆)已知ln2 = a，ln3 = b，则ln18 =
(
)
A. 2a - b
B. a - 2b
C. a + 2b
D. a + 3b
5 (★★☆☆☆)对数函数f(x) = logax(a > 0，且a ≠1) 在区间[2，4] 上的最大值与最小值之积为2，
则a =
(
)
A. 1
2
B. 1
2 或2
C. 2 2
D. 2
6 (多选•★★☆☆☆)已知函数f(x) = |lgx|，则
(
)
A. f(x) 是偶函数
B. f(x) 值域为[0，+∞)
C. f(x) 在(0，+∞) 上递增
D. f(x) 有一个零点
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7 (★☆☆☆☆)请完成下列计算：
(1) 1
2 lg4 - (π + 1)0 + 3log37 + lg50
(2)lg4 + 2lg5 + log25 × log58 + lg10
8 (★★★☆☆)已知函数f(x) = loga(x - 1) + 2(a > 0 且a ≠1) 的图象过点(3，3)．
(1) 求实数a 的值；
(2) 解关于x 的不等式f(2x- 3) < f(21 - 2x+1)；
(3) 求函数g(x) = f(x) - 1
x - 2 的零点个数．