《2026初高衔接》[第十五讲]——对数与对数函数_2026版高中《罗老师初升高讲义》十五讲（数学）_《初高衔接2026版》教师版

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夏• 2026 初高衔接
晓书
选择胜于努力，笃行成就未来
15
对数与对数函数
对数与对数函数
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
对数的认识与计算
掌握指对互化与运算公式，熟练完
成对数化简求值
数学运算、数学抽象
对数函数的图象与性质
结合图象分析对数函数性质，求解
不等式、参数范围，了解函数变换
直观想象、逻辑推理
一对数的认识
生物学中，细菌依靠无性二分裂完成增殖：单个母细胞生长成熟后，会均等分裂为两个全新子细胞。我们
不妨设定细菌每1 分钟完成一轮分裂，初始仅有1 个细菌．
经过1 分钟，细菌总数为21 = 2 个；经过2 分钟，细菌总数为22 = 4 个；经过3 分钟，细菌总数为23 = 8
个；以此类推，若经过t 分钟，细菌总数量y 便满足指数关系式：
y = 2t
结合简单数值不难发现：想要得到8 个细菌，对应时长t = 3；想要得到32 个细菌，对应时长t = 5，这类
目标数量为2 的整数次幂时，我们能直接读出对应的时间．但实际微生物培养中，我们常常需要精准培育出
100、1000、10000 个细菌……观察这类数值可以发现，100、1000 都无法写成2 的整数次方，也就是说对应的
分裂时长t 不再是整数．已知指数式y = 2t 中细菌数量y，该怎样反向求解对应的时间t？专门用来解决这类
“已知底数和幂，求指数”问题的工具，就是对数．
对数的定义与指对互化
若ax= N a>0，且a≠1


，称数x 是以a 为底N 的对数，记作：x = logaN
其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．由此可得指对互化公式：
ax= N x = logaN
由指数的内容和指对互化可知：对数式x = logaN 中各字母的取值范围是：a > 0 且a ≠1，N > 0，x ∈
R．通常，我们将以10 为底的对数叫做常用对数，并把log10N 记为lgN．另外，在科技、经济以及社会生活中
经常使用以无理数e = 2.71828… 为底数的对数，以e 为底的对数称为自然对数，并把logeN 记为lnN.
对数的诞生逻辑，和初中
平方根的由来本质相通：
二者都是现有数字无法直
接书写、难以完整表达运
算等量关系，因此人们专
门创设全新符号，用以表
示这类特殊数值．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
150
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1
(★☆☆☆☆)把下列对数化为指数，指数化为对数．
(1) 5-2 = 1
25
(2) 8x= 30
(3) 3x= 1
(4) log 1
3 9 =-2
(1) - 2 = log5 1
25
(2)x = log830
(3)x = log31
(4) 1
3


-2
= 9
(5) 3 = lgx
(6)x = ln 1
3
(7) 23= 8
(8) e 3 = m
(5)103= x
(6)ex= 1
3
(7)log28 = 3
(8)lnm =
3
(9) 27
- 1
3 = 1
3
(10) log39 = 2
(11) lgn = 2.3
(12) log3 1
81 =-4
(9)log27 1
3 =- 1
3
(10)32= 9
(11)102.3 = n
(12)3-4 = 1
81
对数的计算
通过探究对数的定义可知，对数由指数衍生而来。借助指数的基本运算性质，可推导出形式多样的对数运
算恒等式．
1


由指对互化我们可以得到如下对数运算：
对数：loga1 =
0
logaa =
1
logaan=
n
指数：
a0 = 1
a1 = a
an= an
2


对数的性质：如果a > 0，且a ≠1，M > 0，N > 0，那么：
积的对数等于对数的和：loga(MN) = logaM + logaN，对应的是指数公式：am ∙an= am+n
商的对数等于对数的差：loga M
N = logaM - logaN，对应的是指数公式：am ÷ an= am-n
幂的对数等于指数与对数的积：logaM n= n ∙logaM (n ∈R)，对应的是指数公式：am


n= amn
3


换底公式：logaN = logmN
logma
对数的计算公式
2 (★★☆☆☆) 计算：1
2 lg25 + lg2 - lg 0.1 - log29 ⋅log32
原式= lg5 + lg2 + 1
2 - 2log23 ⋅log32
= 1 + 1
2 - 2
=- 1
2 ．
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2
(★☆☆☆☆)请完成下列计算：
(1)
2 1
4


1
2 - (-2)0 + log55
(2) log525 -
1
9


- 1
2
(3) log420 + lne + 27
2
3
(1)原式= 3
2 - 1 + 1 = 3
2
(2)原式= log552-
1
9


- 1
2 = 2 - 9
1
2 = 2 - 3 =-1．
(3)原式= log41 + 1 + (33)
2
3 = 0 + 1 + 32= 10
(4) 3 × 20 - log28 + (27)
1
3
(5) log2 2•log39
(6)
27
8


1
3 + ln e
(4)原式= 3 × 1 - log223 + (33)
1
3 = 3 × 1 - 3 + 3 = 3
(5)原式= log22
1
2 •log332= 1
2 × 2 = 1
(6)原式=
3
2


3




1
3 + lne
1
2 = 3
2 + 1
2 = 2
(7) log3 1
9 + 4
- 1
2
(8) 27
2
3 - lg0.01 + lne4
(7)原式=-2 + 1
2 =- 3
2
(8)原式= [(3)3]
2
3 - (-2) + 4 = 32+ 2 + 4 = 15 = 1
(9)
1
2


-2
+ 4log2 2 + log 24
(10) log3 27 + lg125 + lg8 + 7log72
(9) 原式= 4 + 2log22 + log216 = 4 + 2 + 4 = 10．
(10) 原式= log33
3
2 + lg(125 × 8) + 2 = 3
2 + 3 + 2 = 13
2
(11)
1
2


log2
1
3 + (-27)
2
3 - log 39
(12) log327 + lg25 + lg4 - 7log72 - log32 ⋅log43
(11) 原式= 2
-log2
1
3 + 9 - log 3( 3)4 = 3 + 9 - 4 = 8．
(12) 原式= 3 + lg(25 × 4) - 2 - (log32)⋅
1
2 log23






= 3 + 2 - 2 - 1
2 = 5
2 ．
(13)
1
27


- 2
3 +
4
9 - (-5)0- lg 1
2 + lg50 + log23 ⋅log34
(14)log23 × log38 + (lg5)2+ lg5 × lg2 + 1
3 lg8 - 2log23
(13) 原式=
1
3


3× - 2
3


+ 2
3 - 1 - (-lg2) + (lg5 + 1) + lg3
lg2 ⋅lg4
lg3
= 9 + 2
3 - 1 + lg2 + lg5 + 1 + 2 = 9 + 2
3 - 1 + 1 + 1 + 2 = 12 + 2
3 = 38
3 ；
(14) 原式= log23 × 3log32 + lg5(lg5 + lg2) + 1
3 × 3lg2 - 3 = 3 + lg5 + lg2 - 3 = 1．
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二对数函数
对数函数
一般地，函数y = logax(a > 0，且a ≠1) 叫做对数函数．根据指对互化知：对数函数定义域是(0，+∞)
对数函数图象
例如：对于函数f(x) =
x
lg
的作图：
①确定函数定义域：x ∈0,+∞


；
②判定函数奇偶性：定义域部关于原点对称，∴函数f(x) 不具备奇偶性．
③当x →0 时，
x
lg
→-∞(以x =
1
100 ,
1
1000 ,
1
1000 ∙∙∙作解释说明)
∴y 轴是函数f(x) 的渐近线。
④列表取点，光滑曲线连点成图。
x
1
100
1
10
1
10
100
f(x)
-2
-1
0
1
2
因为y =
1
10x
log
=-
10x
log
=-
x
lg ，点(x，y) 与点(x，- y) 关于x 轴对称，所以函数y =
x
lg
图象上任意一
点P(x，y) 关于x 轴的对称点P1(x，- y) 都在函数y =
1
10x
log
的图象上，反之亦然，由此可知，底数互为倒数
的两个对数函数的图象关于x 轴对称。根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象.
对数函数的图象与性质
函数名称
对数函数
定义
形如y = logax(a > 0 且a ≠1) 的函数叫做对数函数
图象
a > 1
0 < a < 1
1
O
x
y
1
O
x
y
定义域
(0, +∞)
值域
R
过定点
图象过定点(1,0)，即当x = 1 时，y = 0．
渐近线
y 轴即：x = 0
单调性
在R 上是增函数
在R 上是减函数
a 变化对
图象影响
a 越大，开口越靠近x 轴
a 越小，开口越靠近x 轴
1
y=
x
lg
O
x
y
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3
(★☆☆☆☆)函数y = lnx 的单调递增区间是
( B )
A. [e，+∞)
B. (0，+∞)
C. (-∞，+∞)
D. [1，+∞)
函数y = lnx 的定义域为(0，+∞)．函数y = lnx 的单调递增区间是(0，+∞)．故选：B．
4 (★☆☆☆☆)函数f(x) = loga(x + 2) - 1(a > 0 且a ≠1) 的图象经过定点
( A )
A. (-1，-1)
B. (-1，0)
C. (-2，2)
D. (-2，0)
令x + 2 = 1，即x =-1 时，故f(-1) =-1，
故该图象经过定点(-1，-1)，A．
5
(★☆☆☆☆)设a = 20.7，b =
1
2


0.7
，c = log40.7，则
( C )
A. a < b < c
B. c < a < b
C. c < b < a
D. a < c < b
∵20.7 > 2-0.7 =
1
2


0.7
> 0，log40.7 < log41 = 0，∴c < b < a．C．
6
(★☆☆☆☆)已知f(x) = log3x，f(a) > f(2)，那么a 的取值范围是
( A )
A. {a|a > 2}
B. {a|1 < a < 2}
C. {a a> 1
2


D.
a 1
2 <a<1



由题意，f(x) = log3x，函数单调递增，
∵f(a) > f(2)，∴a > 2，故选：A．
7
(多选•★☆☆☆☆)函数f(x) = loga(x + 2) (0 < a < 1) 的图象过
( BCD )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
由于函数f(x) = loga(x + 2) (0 < a < 1) 的定义域为(-2，+∞)，
它的图象经过定点(-1，0)，故它的图象过第二、第三、第四象限．BCD．
8
(★★☆☆☆)设a > 1，函数f(x) = logax 在区间[a，2a] 上的最大值是最小值的3 倍，则a =
( A )
A.
2
B. 2
C. 2 2
D. 4
当a > 1 时，函数f(x) = logax 在区间[a，2a] 上为增函数，
fmin(x) = f(a) = 1，fmax(x) = f(2a) = 1 + loga2；
故1 + loga2 = 3；解得a =
2；故选：A．
9
(★★☆☆☆)函数f(x) = loga(2 - ax) 在[0，4] 上为增函数，则a 的取值范围是
( A )
A.
0，1
2


B. (0，1)
C.
1
2 ，1


D. [4，+∞)
由函数在f(x) = loga(2 - ax) 在[0，4] 上是x 的增函数，
0 < a < 1，且2 - 4a > 0，∴1
2 > a > 0，故选：A．
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10 (★★☆☆☆)函数y = lg|x + 1| 图像大致是
( A )
A.
x
y
-1
-2
B.
x
y
-1
C.
x
y
-1
D.
x
y
1
2
∵定义域{x|x ≠-1}，∴排除B，C，D，故选：A．
11 (★★★☆☆)若2a+ log2a = 4b+ 2log4b，则
( D )
A. a > b2
B. a < b2
C. a > 2b
D. a < 2b
∵2a+ log2a = 4b+ 2log4b，∴2a+ log2a = 22b+ log2b，
令f(x) = 2x+ log2x，则f(x) 在(0，+∞) 上是增函数，
又∵22b+ log2b < 22b+ log22b，∴2a+ log2a < 22b+ log22b，故a < 2b，
12 (多选•★★★★☆)函数f(x) = loga(1 - x) (a > 0，a ≠1)，关于f(x) 的说法正确的是
( ABC )
A. 定义域是(-∞，1)
B. 值域是R
C. 图象恒过定点
D. 当a > 1 时，在定义域上是增函数
f(x) = loga(1 - x)，∵1 - x > 0，∴x < 1，∴f(x) 定义域是(-∞，1)，故A 正确，函数
f(x) 的值域为R，故选项B 正确，令1 - x = 1 得x = 0，此时y = loga1 = 0，∴函数f(x) 的图象过定点(0，
0)，故选项C 正确，令t = 1 - x，则t > 0，当a > 1 时，函数y = logat 在(0，+∞) 上单调递增，而y = 1 - x
在(-∞，1) 上单调递减，由复合函数的单调性可知，函数f(x) = loga(1 - x) 在(-∞，1) 上单调递减，故D 错
误，故选：ABC．
13 (多选•★★★★☆)已知函数f(x) = |lnx|，若m > n > 0，且f(m) = f(n)，则
( BCD )
A. m + n = 2
B. mn = 1
C. 2
m + 1
n ≥2 2
D. 1
m + 2
n > 3
因为f(x) = |lnx|，若f(m) = f(n) (m > 1 > n > 0)，
则lnm =-lnn，即lnm + lnn = 0，所以mn = 1，B 对，
m + n ≥2 mn = 2(当且仅当m = n = 1 时取等号)，但m > n，即等号不成立，A 错，
2
m + 1
n ≥2
2
mn = 2 2，当且仅当m = 2n =
2 时等号成立，C 对，
1
m + 2
n ≥2
2
mn = 2 2，当且仅当n = 2m =
2 时等号成立，此时m =
2
2 ，不符合题意，
由1
m + 2
n = 2m + 1
m 在m > 1 为增函数，可得1
m + 2m > 3，故D 正确．
14 (★★★★☆)设x1满足x + lnx = 3，x2满足ln(2 - x) - x = 1，则x1+ x2=
( B )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
由题意知，ln(2 - x) - x = 1 可化为(2 - x) + ln(2 - x) = 3，
∵2 - x2满足x + lnx = 3，x1满足x + lnx = 3，
∴2 - x2和x1是方程x + lnx = 3 的根，∵y = x + lnx 在(0，+∞) 上单调递增，
∴2 - x2= x1，即x1+ x2= 2．
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15 (原创•★★★☆☆)解下列对数方程与不等式
(1) lnx ≥0
(2) log3(x - 1) < 1
(3) lg(x - 2) ≤0
(1) ∵y =
t
ln 在定义域上单调递增，lnx ≥0 = ln1
∴x>0
x≥1

即x ≥1，∴不等式解集为[1，+∞)
(2) ∵y = log3t 在定义域上单调递增，log3(x - 1) < log33
∴x-1>0
x-1≤3

即1 < x ≤4，∴不等式解集为1,4


(3) ∵y = lgt 在定义域上单调递增，lg(x - 2) ≤lg1
∴x-2>0
x-2≤1

即2 < x ≤3，∴不等式解集为2,3


(4) log3(x + 2) = 3
(5) log5(2x + 1) = log5(x2- 2)
(6) loga 1
3 < 1
(4) ∵log3(x + 2) = log333，∵y = lgt 在定义域上单调递增∴x + 2 = 27 ∴x = 25，
(5) ∵log5(2x + 1) = log5(x2- 2) ∴
2x+1=x2-2
2x+1>0
x2-2>0





解得x = 3．
(6) loga 1
3 < 1，则log
1
3a < loga
a，
∴
0<a<1
1
3 >a

或
a>1
1
3 <a

，∴0 < a < 1
3 或a > 1
16 (★★★☆☆)已知函数f(x) = loga(1 + 2x) - loga(1 - 2x) (a > 0，a ≠1)．
(1) 求f(x) 的定义域；
(2) 判断f(x) 的奇偶性并给予证明；
(3) 求关于x 的不等式f(x) < 0 的解集．
(1) 由f(x) = loga(1 + 2x) - loga(1 - 2x) 知，1+2x>0
1-2x>0

，解得- 1
2 < x < 1
2 ，
即函数f(x) 的定义域为- 1
2 ，1
2


；
(2)f(x) 为奇函数，证明如下：函数f(x) 的定义域为- 1
2 ，1
2


，关于原点对称，
且f(-x) = loga(1 - 2x) - loga(1 + 2x) =-f(x)，所以f(x) 为奇函数；
(3)f(x) < 0，即loga(1 + 2x) < loga(1 - 2x)，(a > 0，a ≠1)，
当a > 1 时，f(x) 在- 1
2 ，1
2


上单调递增，则
1+2x>0
1-2x>0
1+2x<1-2x





，解得- 1
2 < x < 0；
当0 < a < 1 时，f(x) 在- 1
2 ，1
2


上单调递减，则
1+2x>0
1-2x>0
1+2x>1-2x





，解得0 < x < 1
2 ；
所以当a > 1 时，关于x 的不等式f(x) < 0 的解集为- 1
2 ，0


；
当0 < a < 1 时，关于x 的不等式f(x) < 0 的解集为0，1
2


．
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1 (★☆☆☆☆)下列函数中，既是单调函数又是奇函数的是
( D )
A. y = log3x
B. y = 3|x|
C. y = x
1
2
D. y = x|x|
y = log3x 为(0，+∞) 的增函数，不为奇函数；y = 3|x|为偶函数，在R 上不单调；
y = x
1
2 在[0，+∞) 递增，不为奇函数；y = x|x| 为奇函数，且x ≥0 时，f(x) = x2 递增；x < 0，f(x) =
-x2递增，且f(0) = 0，可得原函数递增．
2 (多选•★☆☆☆☆)下列关于函数y = log 1
2 x 的结论中，正确的是
( BCD )
A. 定义域为(0，1) ∪(1，+∞)
B. 值域为R
C. 在定义域内是减函数
D. 既不是奇函数，也不是偶函数
由对数函数的性质可知，函数y = log 1
2 x 的定义域为(0，+∞)，值域为R，在定义域内单调
递减，因为定义域不关于原点对称，所以既不是奇函数，也不是偶函数．故选：BCD．
3 (★★☆☆☆)“log2a > log2b”是“ 1
a < 1
b ”的
( A )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 不充分也不必要条件
loga
2 > logb
2 等价于a > b > 0，能推出1
a < 1
b ；但反之则不成立，∴“loga
2 > logb
2”是“ 1
a
< 1
b “的充分不必要条件．故选：A．
4 (★★☆☆☆)已知ln2 = a，ln3 = b，则ln18 =
( C )
A. 2a - b
B. a - 2b
C. a + 2b
D. a + 3b
∵ln2 = a，ln3 = b，
∴ln18 = ln(2 × 32) = ln2 + 2ln3 = a + 2b．故选：C．
5 (★★☆☆☆)对数函数f(x) = logax(a > 0，且a ≠1) 在区间[2，4] 上的最大值与最小值之积为2，
则a =
( B )
A. 1
2
B. 1
2 或2
C. 2 2
D. 2
∵对数函数f(x) = logax(a > 0，且a ≠1) 在区间[2，4] 上的最大值与最小值之积为2，
∴①当0 < a < 1 时，loga2•loga4 = 2(loga2)2 = 2，∴loga2 =±1，当loga2 = 1 时，a = 2，(舍)；当loga2
=-1 时，a = 1
2 ．②当a > 1 时，loga2•loga4 = 2(loga2)2= 2，∴loga2 =±1，
当loga2 = 1 时，a = 2；当loga2 =-1 时，a = 1
2 ．(舍)
6 (多选•★★☆☆☆)已知函数f(x) = |lgx|，则
(
BD
)
A. f(x) 是偶函数
B. f(x) 值域为[0，+∞)
C. f(x) 在(0，+∞) 上递增
D. f(x) 有一个零点
f(x) = |lgx| 是y=
x
lg
的变换f(x) 值域为[0，+∞) 当x = 1 时，图象与x 轴只有一个交点，
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夏• 2026 初高衔接
晓书
选择胜于努力，笃行成就未来
即f(x) 有一个零点．
7 (★☆☆☆☆)请完成下列计算：
(1) 1
2 lg4 - (π + 1)0 + 3log37 + lg50
原式= lg2 - 1 + 7 + lg5 + lg10
= lg(2 × 5) - 1 + 7 + 1
= 8
(2)lg4 + 2lg5 + log25 × log58 + lg10
原式= lg4 + lg52 + lg5
lg2 × lg8
lg5 + 1
= 2 + log28 + 1
= 3 + log223 = 6．
8 (★★★☆☆)已知函数f(x) = loga(x - 1) + 2(a > 0 且a ≠1) 的图象过点(3，3)．
(1) 求实数a 的值；
(2) 解关于x 的不等式f(2x- 3) < f(21 - 2x+1)；
(3) 求函数g(x) = f(x) - 1
x - 2 的零点个数．
(1) 由题设条件可知，f(3) = loga(3 - 1) + 2 = 3，
即loga2 = 1，可得a = 2，∴f(x) = log2(x - 1) + 2，
(2) ∵f(x) = log2(x - 1) + 2 的定义域为{x|x > 1}，并在其定义域内单调递增，
∴f(2x- 3) < f(21 - 2x+1) ⇔1 < 2x- 3 < 21 - 2x+1，
不等式的解集为{x|2 < x < 3}；
(3) 函数g(x) = f(x) - 1
x - 2 = log2(x - 1) - 1
x ，
故函数g(x) = f(x) - 1
x - 2 的零点个数，即y = log2(x - 1) 与y = 1
x 两个函数的交点个数，
x
y
结合图象可得，交点个数只有1 个，即函数g(x) = f(x) - 1
x - 2 的零点个数为1．