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专题17 解三角形中周长（边）面积综合问题
目录
一、三角形周长（边）问题............................................1
1 周长（边）定值问题..............................................1
2 周长（边）最值问题..............................................5
3 周长（边）范围问题.............................................10
二、三角形面积问题.................................................14
1 面积定值问题...................................................14
2 面积最值问题...................................................16
3 面积范围问题...................................................19
一、三角形周长（边）问题
1 周长（边）定值问题
1．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）在
中，角
、
、
的对边分别为
、
、，若
，且
，则当边取得最大值时，
的周长为 .
【答案】
/
【详解】因为
，由正弦定理可得
，
即
，
整理可得
，
因为
、
，所以，
，则
，故
，
由正弦定理可得
，
整理可得
，
1
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因为
，当
时，取最大值，且的最大值为
，
此时，
，
，所以，
，
因此，当边取得最大值时，
的周长为
.
故答案为：
.
2．（2023·四川·校联考模拟预测）在①
；②
这两个条件中任选一个作为已知条
件，补充在下面的横线上，并给出解答．
注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
已知
中，角
的对边分别为
，点D 为
边的中点，
，且________．
(1)求a 的值；
(2)若
的平分线交
于点E，求
的周长．
【答案】(1)2
(2)
【详解】（1）若选①：由
可得
,
又
,
故
,
而
，故
，
又
，所以
；
设
，则
，
在
中，由余弦定理得
,
即
，
2
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在
中，由余弦定理得
,
即
，和
联立解得
，
则
；
若选②：
，设
，则
，
在
中，由余弦定理得
，
在
中，由余弦定理得
，
因为
，所以
，
即
，解得
，
故
.
（2）由（1）可知，选①可得
；选②可得
，则
，
故由
，
可得
，
解得
，
故在
中，
，
即
,
故
的周长为
.
3．（2023·湖北·统考模拟预测）已知在
中，角
的对边分别是
，若
.
(1)求证：
为等腰三角形；
(2)若
，且
的面积为4，求
的周长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）根据已知条件有：
，
整理化简可得：
，
，
3
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，
或
（舍去），
故
为等腰三角形.
（2）由(1)得：
，
，且
的面积为
，解得
，
所以
，
解得
，
故
的周长为
.
4．（2023 春·湖北恩施·高二校考阶段练习）在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
．
(1)求角A 的大小；
(2)若
，
，点D 在边
上，
，求
的长．
【答案】(1)
；
(2)
.
【详解】（1）在
中，由正弦定理及
，得
，
整理得
，即
，而
，
于是
，所以
.
（2）在
中，由（1）知，
，依题意，
，
因此
，
即
，解得
，
所以
.
5．（2023 秋·河北张家口·高三统考开学考试）在
中，
4
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．
(1)求角B；
(2)若
，D 是
中点，且
，求b 的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由
得
，
由正弦定理可得：
，
即
，
∴
，
，
∴
．
（2）结合（1）中
，得
，∴
，
又D 是
中点，且
，得
，
∴
，
，
∴
，
由余弦定理得
，
∴
．
2 周长（边）最值问题
1．（2023 秋·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）已知a，b，c 为
的三个内角A，B，C 的对边，且
满足：
(1)求角
；
(2)若
的外接圆半径为
求
的周长的最大值.
5
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【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知可得：
，
由于
，则有
，
又
，则有
，所以有
.
（2）由正弦定理可知：
，则由
，
又有余弦定理可知：
，
由于
，则有
，即
，
又
，即
，
从而
（当
等号成立），
则
，故
的周长的最大值为.
2．（2023 秋·贵州贵阳·高三统考开学考试）在锐角
中，角
、
、
所对的边分别为
、
、．
①
；②
；③
．
在以上三个条件中选择一个，并作答．
(1)求角
；
(2)已知
的面积为
，
是
边上的中线，求
的最小值．
【答案】(1)条件选择见解析，
(2)
【详解】（1）解：若选①，因为
，即
，
则
，即
，所以，
，
因为
，故
；
若选②，原式等价于
，即
，
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即
，
因为
、
，则
，所以，
，则
，故
；
若选③，原式等价于
，
即
所以，
，即
，即
，
因为
，故
.
（2）解：因为
，所以，
，
因为
为
的中点，
则
，
所以，
，
则
，则
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立.
因此，
长的最小值为
.
3．（2023 秋·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）记
的内角
的对边分别为
，面积为，
已知
.
(1)求
的值；
(2)若
边上的中线
，求
周长的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵
面积为，
，且
，
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得
，
，
由正弦定理得：
，
，
，
，
，
.
（2）
边上中线
，
，
，
得
，
，
，
，
且
，即
，
，当且仅当
时，“=”成立.
又
，由余弦定理得
，
，
，
设
，
，
设
，
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，
在
单调递减，
又
，
，
，
在
单调递减，
则
最小值为
，
所以当
时，
的最小值为
，
故
周长最小值为
.
4．（2023 春·安徽六安·高一六安二中校考期末）从条件①
；②
中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.在
中：内角
的对边分
别为
，______.
(1)求角
的大小；
(2)设
为边
的中点，求
的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若选条件①：由正弦定理得：
，
，
，
，
，
即
，
，
又
，
，
，解得：
；
若选条件②：
，
，
，
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，
，
，解得：
.
（2）
，
，
即
，
（当且仅当
时取等号），
的最大值为
.
3 周长（边）范围问题
1．（2023·全国·模拟预测）已知
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，满足
，且
，
，则
的取值范围是 .
【答案】
【详解】因为
，由正弦定理可得
，
即
，即
，
所以
，又
，所以
，
因为
，所以
，
由
，所以
，
，
所以
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，
因为
，所以
，所以
，所以
，所以
，
则
，即
的取值范围为
.
故答案为：
2．（2023·河南周口·统考模拟预测）设锐角三角形
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
，则
的取值范围是 .
【答案】
【详解】由
,得
,
由余弦定理得
,
由正弦定理得
,即
,
又
，所以
,
即
,所以
，
因为
为
的内角,所以
(舍去)或
,所以
.
由正弦定理得
因为
,
又
，所以
,
由于
得
，由
，得
，则
，所以
，
当
时，
取最大值
，
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当
时，
等于
，
当
时，
等于
，
而
，
所以
取值范围是
，
故答案为：
3．（2023·云南·校联考模拟预测）
的内角
的对边分别为
，且
.
(1)求角
；
(2)若
，求
周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，可得
，
所以由正弦定理可得
，
又
为三角形内角，
，
所以
，
因为
，
所以
，可得
，所以
.
（2）由（1）知
，又
，
由正弦定理得
，
则
，
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，
4．（2023·河南郑州·统考模拟预测）在锐角
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
．
(1)求角B 的大小；
(2)求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由
及余弦定理，得
，
由锐角
，知
，
所以
．
（2）由（1）知
，得
，故
，
由正弦定理
，得
，
由
为锐角三角形得
解得
，
∴
，
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∴
．
故
的取值范围为
.
5．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）在
中，
分别是角
的对边，且满足
.
(1)求角
的大小；
(2)若
是锐角三角形，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由
得：
，
，则
，
又
，
.
（2）
是锐角三角形，
，
，解得：
；
由正弦定理得：
（其中
，
）；
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
的取值范围为
.
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二、三角形面积问题
1 面积定值问题
1．（2023·河南开封·统考三模）在
中，设A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且满足
．
(1)求角B；
(2)若
，
的内切圆半径
，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，
由余弦定理得
，
即
，
所以
．
又
，
所以
（2）由余弦定理得：
，则
，
由三角形面积公式，
，即
，
则
，
所以
，解得
，
所以
.
2．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）记
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
.
(1)证明：
；
(2)若
，
，求
的面积.
【答案】(1)证明见解析
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(2)
或
【详解】（1）因为
，及
，
所以
，
由
得
，得证.
（2）由（1）及
知
，又
，
由余弦定理
可得
，即
，
解得
或
，因为
，所以
，
当
时，
，
当
时，
.
3．（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）设
的内角
所对边分别为
，
若
．
(1)求
的值;
(2)若
且三个内角中最大角是最小角的两倍，当
周长取最小值时，求
的面积．
【答案】(1)2
(2)
【详解】（1）因为
，所以
，因为
，
所以
，
所以
，由正弦定理
，得
，即
．
（2）由
可得：
，故
，于是
，
由正弦定理
及余弦定理
可得：
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，
解得：
(舍)或者
，故
，
因为
，所以当
时，周长最小，此时
，
所以
，所以
的面积为
．
2 面积最值问题
1．（2023·河北唐山·迁西县第一中学校考二模）在锐角
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b．c．
已知
．
(1)求A；
(2)若
，求
面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理得
，
因为
，所以
，
故
．
因为
，所以
，
，
函数
在
上单调递减，则
，
解得
；
（2）由余弦定理
，
得
，
即
，当且仅当
时取等号，
故
面积的最大值为
．
2．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在
中，角
的对边分别是
，且
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.
(1)求角
；
(2)若
的中线
长为
，求
面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在
中，由正弦定理得：
，
而
，
所以
，
化简得
，
因为
，所以
，
，
即
，所以
，
又因为
，所以
，即
.
（2）由
是
的中线，
，
所以
，
即
，所以
，所以
，
当且仅当
时，等号成立，
所以三角形面积
，
即
的面积的最大值为
.
3．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）在
中，角
，
，
的对边分别是
，
，，满足
.
(1)求角
；
(2)若点D 在AB 上，CD＝2，∠BCD＝90°，求△ABC 面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
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【详解】（1）由
可得：
，
由余弦定理知，
，
又
，因此
.-
（2）∵
，即
，
∴
≥
∴ab≥
，当且仅当b=2a，即a=
，b=
取等号
∴
=
≥
∴△ABC 面积的最小值为
4．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
，边BC 上有一动点D.
(1)求角A 的大小；
(2)当D 为边BC 中点时，
，求
面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，
所以
，即
.
由正弦定理，得
.
因为
，所以
.
因为
，所以
.
又因为
，所以
，则
.
（2）因为D 为边BC 中点，所以
，则
.
19
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又
，
，所以
，即
，仅当
时取等号，
所以
，故
面积的最大值为
.
3 面积范围问题
1．（2023·福建漳州·统考模拟预测）在平面四边形
中，
，
，
，
.
(1)求
；
(2)若
为锐角三角形，求
的面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在
中，
由正弦定理可得
，
所以
，
又
，
所以
.
（2）解法一：由（1）可知，
，
因为
为锐角，
所以
，
所以
，
在
中，由正弦定理得
，
20
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所以
，
，
因为
，
且
为锐角三角形，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
即
，
所以
的面积的取值范围为
.
解法二：由（1）可知，
，
因为
为锐角，所以
，
，
21
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如图，作
于
，作
于
，交
于
，
所以
，
，
所以
，
又
，
所以
.
由图可知，
仅当
在线段
上（不含端点）时，
为锐角三角形，
所以
，即
.
所以
面积的取值范围为
.
2．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）如图，
是边长为2 的正三角形
所在平面上一点
（点
、
、
、
逆时针排列），且满足
，记
.
(1)若
，求
的长；
(2)用
表示
的面积，并求的取值范围.
【答案】(1)
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(2)
【详解】（1）由
，且
是边长为2 的正三角形，
则
，且
，
所以在
中，由余弦定理得
，
所以
；
（2）由
，则
，则
，
在
中，由正弦定理有
，得
，
所以
，
又
，且
，则
，所以
，
所以
，则
，
故的取值范围为
.
3．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知
、
、分别为
的三个内角
、
、
的对
边长，
，且
．
(1)求角
的值；
(2)求
面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由条件，可得
，
由正弦定理，得
，所以
，
所以
，因为
，所以
．
（2）由正弦定理，可知
，
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，
∵
，∴
，∴
.
4．（2023·重庆·统考模拟预测）在锐角
中，角A、B、C 的对边分别为a、b，c，其面积为S，且
．
(1)求角A 的大小；
(2)若
，求S 的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
.
【详解】（1）在锐角
中，
，由余弦定理
，
得
，即
，又
，
，
因此
，有
，而
，解得
，
所以
.
（2）由（1）知，
，
，
由正弦定理得：
，即
，
则
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，
又
是锐角三角形，则有
，即
，亦即
，
于是
，
，
所以S 的取值范围是
.
25
