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专题19 平面向量的概念与运算及几何性质
№考向解读
考点精析
➊
真题精讲
➋
模拟精练
➌
专题训练
➍
备战2024 高考数学一轮复习
（新高
考）
1
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专题19 平面向量的概念与运算及几何性质
命题解读
命题预测
复习建议
平面向量的概念与运算这一
部分，高考的考察比较少，
主要集中在向量的运算以及
它的几何性质部分，对于平
面向量的运算，要注意运算
的法则，注意向量是矢量这
一知识点。
预计2024 年的高考对于平面
向量的概念及运算部分考察
还是以小题为主，如果出题
可能以选择题的形式出现。
集合复习策略：
1.理解平面向量的概念，几
何表示；
2.掌握平面向量的运算及几
何意义。
→➊考点精析←
一、 平面向量的概念
1．平面向量的有关概念
名称
定义
表示
向量
在平面中,既有大小又有方向的量
用a,b,c,…或⃗AB,⃗BC,…
表示
向量的模
向量a 的大小,也就是表示向量a 的有向线段⃗AB的
长度 (或称模)
|a|或|⃗AB|
零向量
长度为0 的向量
用0 表示
单位向量
长度等于1 个单位的向量
用e 表示,|e|=1
平行向量
方向相同或相反的非零向量(或称共线向量)
a∥b
相等向量
长度相等且方向相同的向量
a=b
相反向量
长度相等,方向相反的向量
向量a 的相反向量是-a
2. 说明:零向量的方向是不确定的、任意的.
规定:零向量与任一向量平行.
二、 平面向量的线性运算
1. 向量的线性运算
向量
运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运
算
三角形法则
平行四边形法则
(1)加法交换律:a+b= b+a;
(2)加法结合律:(a+b)+c= a+
(b+c)
2
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减法
减去一个向量相当
于加上这个向量的
相反向量
三角形法则
a-b= a+(-b)
数乘
实数λ 与向量a 的
积是一个向量,这种
运算叫作向量的数
乘, 记作λa
(1)|λa|=|λ||a|.
(2)当λ>0 时,λa 与a 的方向相
同;当λ<0 时,λa 与a 的方向相
反;当λ=0 时,λa=0
(1) 对向量加法的分配
律:λ(a+b)= λa+λb;
(2) 对实数加法的分配律:
(λ1+λ2)a=λ1a+λ2a
2.常用三角公式
向量的共线定理
向量a(a≠0)与b 共线,当且仅当有唯一的实数λ,使b=λa.
→➋真题精讲←
1. （2023 全国甲卷4）已知向量
满足
，且
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
2. （2023 全国文科乙卷6）正方形
的边长是2，
是
的中点，则
（
）
A.
B. 3
C.
D. 5
3.（2023 全国理科乙卷12） 已知
的半径为1，直线PA 与
相切于点A，直线PB 与
交于B，C 两点，D 为BC 的中点，若
，则
的最大值为（ ）
A.
B.
C
D.
4. （2023 天津卷14）在
中，
，
，点
为
的中点，点
为
3
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的中点，若设
，则
可用
表示为_________；若
，
则
的最大值为_________．
5. （2023 全国Ⅰ卷16）已知双曲线
的左、右焦点分别为
．
点
在
上，点
在
轴上，
，则
的离心率为________．
→➌模拟精练←
1．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考二模）在如图的平面图形中，已知
,
则
的值为
A．
B．
C．
D．0
2.（2023·江苏常州·校考二模）如图所示，边长为2 的正
，以BC 的中点O 为圆心，
BC 为直径在点A 的另一侧作半圆弧
，点P 在圆弧上运动，则
的取值范围为
（ ）
4
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A．
B．
C．
D．
3．（2023·江苏南通·二模）在平行四边形
中，
，
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知边长为1 的正五边形
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023·广东·高三校联考阶段练习）八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特
色的花纹.八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上
面绘并列的八角星形的单独纹样.八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有
向四面八方扩张的感觉.八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚
的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹.图2 是图1 抽象出来的图形，
在图2 中，圆中各个三角形（如
）为等腰直角三角形，点
为四心，中间部分是正
方形且边长为2，定点
，
所在位置如图所示，则
的值为（ ）
5
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A．10
B．12
C．14
D．16
6．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）平行四边形
中，点
在边
上，
，记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2023·安徽铜陵·统考三模）在平行四边形
中，
是
边上中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
→➍专题训练←
1．（2023·江苏·二模）在
所在平面内，
是
延长线上一点且
，
是
的中点，设
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·河北唐山·统考三模）正方形
边长为
，
为
中点，点
在
上，
，则
（ ）
A．
B．
C．5
D．10
6
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3．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）单位圆
上有两定点
，
及两动点
，且
.则
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
4. 如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5. 在平行四边形
中，
，
，
，
交
于F 且
，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2023·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）“圆幂定理”是平面几何中关于圆
的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点
分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O 的半径为2，点P 是圆O 内的定点，且
，弦AC，BD 均过点P，则下列说法正确的是（ ）
7
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A．
为定值
B．
的取值范围是
C．当
时，
为定值
D．
时，
的最大值为12
7．（2023 春·广东韶关·高三校联考开学考试）已知
，
，
是单位圆上的三点，满足
，
，且
，其中
为非零常数，则下列结论一定正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．
D．
8.给出下列四个命题：
①方向相反的两个向量是相反向量；
②若
，
满足
且
，
同向，则
；
③不相等的两个空间向量的模必不相等；
④对于任意向量
，
，必有
.
其中正确命题的序号为________.
9．（2023·广东肇庆·统考二模）设
是平面直角坐标系中关于
轴对称的两点，且
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.若存在
，使得
与
垂直，且
，则
的最小值为__________.
10．（2023 秋·广东潮州·高三统考期末）设
是圆
上不同的两点.且
.则
______.
11．（2023·广东广州·统考二模）在等腰梯形
中，已知
，
，
，
，动点E 和F 分别在线段
和
上，且
，
，当
__________时，则
有最小值为__________．
12．（多选）（2023·浙江·校联考三模）在平面直角坐标系中，已知点
，则（ ）
A．
B．
是直角三角形
C．
在
方向上的投影向量的坐标为
D．与
垂直的单位向量的坐标为
或
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