专题2.13 函数与方程（举一反三复习讲义）
【全国通用】
考点要求
(1)理解函数的零点与方程的解的联系
(2)理解函数零点存在定理，并能简单应用
(3)了解用二分法求方程的近似解
高考真题
考点
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统计
函数与方程
新课标Ⅱ卷：第6 题，
5 分
全国甲卷（文数）：第
16 题，5 分
天津卷：第7 题，5 分
上海卷（秋考）：第
21 题，18 分
全国二卷：第13 题，5
分
北京卷：第15 题，5
分
命题规律
分析
1、函数与方程
函数的零点问题是高考常考的重点和热点内容，从近三年的高考情况来
看，一般以选择题与填空题的形式出现，此时主要考查零点所在的区间、函
数图象交点问题以及函数零点个数问题等，难度较易或中档；有时候也会在
解答题中考查，主要结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数
问题等，或者与导数结合考查，此时难度偏大，一般出现在压轴题位置。
知识点1
函数零点所在区间
1．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若
有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
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(2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)= g(x)
- h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.
知识点2
函数的零点个数和求参问题
1．函数零点个数的判断方法
函数零点个数的判定有下列几种方法：
(1)直接法：直接求零点，令f(x)=0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.
(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的
图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.
(3)图象法：画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同
的零点.
(4)性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，
则只需解决在一个周期内的零点的个数.
2．已知函数零点求参数的方法
(1)已知函数的零点求参数的一般方法
①直接法：直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；
②数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟
悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；
③分离参数法：分离参数，转化为求函数的最值问题来求解.
(2)已知函数零点个数求参数范围的方法
已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出
两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.
知识点3
嵌套函数的零点问题
1．嵌套函数的零点问题的解题策略
函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”,
设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.
【题型1
函数零点所在区间的判断】
【例1】（2026·山东泰安·一模）函数�(�) = (�−1)2�−26 的零点所在的大致区间为（
）
A．(1,2)
B．(2,3)
C．(3,4)
D．(4,5)
【答案】C
【解题思路】计算函数在各区间端点的函数值，利用零点存在定理，判断函数值异号的区间，从而确定零点
所在的大致区间.
【解答过程】�(1) = (1 −1)21 −26 =−26 < 0
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�(2) = (2 −1)22 −26 =−22 < 0
�(3) = (3 −1)23 −26 =−10 < 0
�(4) = (4 −1)24 −26 = 22 > 0
�(5) = (5 −1)25 −26 = 102 > 0
因为�(3) < 0, �(4) > 0，且函数�(�)是连续函数，所以零点在区间(3,4)内.
故选：C.
【变式1-1】（25-26 高二下·四川自贡·阶段检测）函数��= 2�+ ln�−3 的零点所在区间为（
）
A．2,3
B．0,
1
2
C．
1
2 , 1
D．1,2
【答案】D
【解题思路】先确定函数的定义域与单调性，再计算各区间端点的函数值，结合零点存在性定理判断零点所
在区间.
【解答过程】由函数��= 2�+ ln�−3 可知，函数��的定义域为0, + ∞，
又�= 2�与�= ln�在0, + ∞上单调递增，所以函数��在0, + ∞上单调递增，
因为�1 = 21 + ln1 −3 =−1 < 0, �2 = 22 + ln2 −3 = 1 + ln2 > 1 + ln1 > 0，
所以�1 �2 < 0，根据零点存在性定理可知，函数��的零点所在区间为1,2 .
故选：D.
【变式1-2】（25-26 高一上·陕西商洛·期末）函数��= 4�+ �−6 的零点所在的区间为（
）
A．
1
2 , 1
B．1,
3
2
C．
3
2 , 2
D．2,
5
2
【答案】B
【解题思路】根据函数的单调性，结合零点存在定理，分析计算，即可得答案.
【解答过程】因为函数�= 4�和�= �均为单调递增函数，
所以函数��= 4�+ �−6 为单调递增函数，
又�1 =−1 < 0，�
3
2 = 4
3
2 +
3
2 −6 =
7
2 > 0，
所以�1 ⋅�
3
2 < 0，
所以由零点存在定理可知函数��= 4�+ �−6 的零点所在的区间为1,
3
2 ．
故选：B.
【变式1-3】（25-26 高一上·江西抚州·期末）函数�(�) = �3 −(
1
2 )�的零点所在的区间是（
）
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A．(2,3)
B．(1,2)
C．(0,1)
D．( −1,0)
【答案】C
【解题思路】先判断函数单调性，再计算区间端点函数值，最后根据函数零点存在性定理解答即可.
【解答过程】因为�= �3 在R 上单调递增，
�=−
1
2
�
在R 上单调递增（因为
1
2
�
单调递减，取反后单调递增），
则两个增函数的和仍然是增函数，
因此�(�) = �3 −
1
2
�
在( −∞, + ∞) 上单调递增，
�(0) = 03 −
1
2
0
=−1 < 0，
�(1) = 13 −
1
2
1
=
1
2 > 0，
因为�(�) 单调递增，且�(0) ⋅�(1) < 0，所以在区间(0,1) 内存在唯一的零点.
故选：C.
【题型2
求函数的零点或零点个数】
【例2】（25-26 高一上·辽宁大连·期末）函数��= 2�+ �−6 的零点为（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】C
【解题思路】根据零点的概念，结合函数与方程的关系，利用指数函数与一次函数的单调性，可得答案.
【解答过程】由��= 0，即2�=−�+ 6，易知与方程组
�= 2�
�=−�+ 6 只有一组解，
由函数�= 2�为增函数，函数�=−�+ 6 为减函数，
则两函数有且仅有一个交点，即方程存在唯一解，
当�= 2 时，�2 = 22 + 2 −6 = 0，所以函数的零点为2.
故选：C.
【变式2-1】（25-26 高二上·内蒙古乌兰察布·期中）函数��= 1 −ln �的零点为（
）
A．e
B．−e
C．e 和−e
D．e, 0 或( −e, 0)
【答案】C
【解答过程】直接解方程��= 0 即得函数��的零点.
【解题思路】令��= 1 −ln �= 0，即ln �= 1，解得�=± e，
所以函数��的零点为e 和−e.
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故选：C.
【变式2-2】（2026·四川巴中·一模）已知函数�(�) =
ln�, �> 0
�2 + 2�+ 2, �≤0 ，则方程�(�(�) −2) = 2 实数根的
个数为（
）
A．6
B．7
C．10
D．11
【答案】D
【解题思路】先通过换元将方程等价转化为四个方程�(�) = e2 + 2，�(�) = e−2 + 2，�(�) = 2，�(�) = 0 的
根，再结合函数的图象分别求解这四个方程可得.
【解答过程】令�= �(�) −2，则�(�) = 2.当�> 0 时，则ln�= 2，得�= e2或�= e−2.
当�≤0 时，则�2 + 2�+ 2 = 2，得�= 0 或�=−2.
再由�= �(�) −2，即�(�) = �+ 2，所以原方程�(�(�) −2) = 2 等价于下面四个方程的根：
�(�) = e2 + 2——①，�(�) = e−2 + 2——②，�(�) = 2——③，�(�) = 0——④.
再由�(�) =
ln�, �> 0
�2 + 2�+ 2, �≤0 ，可知函数在(0,1)上单调递减，在[1, + ∞)上单调递增，
在( −∞, −1)上单调递减，在[ −1,0]上单调递增，图象如下：
对方程①�(�) = e2 + 2，因为�(�) = e2 + 2 > 2，
所以�> 0 时，ln�= e2 + 2，得ln�= e2 + 2 或−ln�= e2 + 2，解得�= ee2+2或�= e−e2−2；
当�< 0 时，�2 + 2�+ 2 = e2 + 2，得�=−1 −
e2 + 1或�=−1 +
e2 + 1（舍去）.
所以方程�(�) = e2 + 2 共有3 个根.
对方程�(�) = e−2 + 2——②，因为�(�) = e−2 + 2 > 2.
所以�> 0 时，ln�= e−2 + 2，得ln�= e−2 + 2 或−ln�= e−2 + 2，解得�= ee−2+2或�= e−e−2−2；
当�< 0 时，�2 + 2�+ 2 = e−2 + 2，得�=−1 −
e−2 + 1或�=−1 +
e−2 + 1（舍去）.
所以方程�(�) = e−2 + 2 共有3 个根.
对于方程�(�) = 2——③，
所以�> 0 时，ln�= 2，得ln�= 2 或−ln�= 2，解得�= e2或�= e−2；
当�< 0 时，�2 + 2�+ 2 = 2，得�= 0 或�=−2.
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所以方程�(�) = 2 共有4 个根.
对于�(�) = 0——④，由函数的图象可知方程有唯一的根�= 1.
综上所述，方程的根共有3 + 3 + 4 + 1 = 11 个根.
故选：D.
【变式2-3】（2026·北京·模拟预测）已知函数�(�) =
2�, 0 < �≤1
1
2 �(�−1), �> 1 ，则函数�(�) = �(�) −
2
�的零点个数
为（
）
A．2
B．0
C．3
D．无穷
【答案】A
【解题思路】根据函数表达式确定函数�(�)在(�−1, �]（�∈N*）上是增函数且�(�) =
1
2�−2，零点个数转化
为函数�(�)与ℎ(�) =
2
�的图象交点个数，作出它们的大致图象后，观察可得交点个数，从而得结论．
【解答过程】由�(�) =
2�, 0 < �≤1
1
2 �(�−1), �> 1 ，得�(�)在区间(�, �+ 1]上的函数值都是区间(�−1, �]上相应函数
值的一半，�∈N*，
又0 < �≤1 时，�(�) = 2�是增函数，即�(�) ≤�(1) = 2，
所以�(�) =
1
2�−2，因此�∈(�−1, �]时，�(�) ≤�(�) =
1
2�−2，
令ℎ(�) =
2
�，它在(0, + ∞)上是减函数，ℎ(�) =
2
�，ℎ(1) = 2 = �(1)，ℎ(2) = 1 = �(2)，
当�≥3 时，ℎ(�) =
2
�>
1
2�−2，
作出�= �(�)和ℎ(�) =
2
�在(0, + ∞)上图象，如图，由图可知：
在�> 2 时，�(�)的图象与ℎ(�)的图象没有交点，所以在(0, + ∞)上，它们只有两个交点，
所以�(�)的零点个数为2.
故选：A．
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【题型3
根据函数零点的个数求参数】
【例3】（2026·内蒙古赤峰·三模）已知函数��=
�2 + 4�+ 3, �≤0
1 + log1
3�, �> 0 ，若函数��= ��−�恰有3 个零
点，则�的取值范围为（
）
A．−1,3
B．0,3
C．−1,0
D．3, + ∞∪−1
【答案】A
【解题思路】转化为函数�= ��与�= �的图象有3 个交点，结合��的图象可得答案.
【解答过程】若函数��= ��−�恰有3 个零点，
即函数�= ��与�= �的图象有3 个交点，
��= �2 + 4�+ 3 = �+ 2 2 −1 �≤0 ，
当�= 0 时，��= 3，当�=−2 时，��=−1，
函数�= ��的图象如下，
结合图象可得−1 < �≤3.
故选：A.
【变式3-1】（2026·河北沧州·一模）已知函数��=
log2�+ 1, �> 0
−2�2 + ��, �≤0 ,若函数�= ���
至少有7 个零点，
则实数�的取值范围为（
）
A．−2, + ∞
B．−∞, 2
C．−2, 0
D．−∞, −2
【答案】D
【解题思路】利用分类讨论�≥0, �< 0，再通过数形结合来研究函数零点个数，即可得参数范围.
【解答过程】当�≥0, �≤0 时，��=−2�2 + ��，对称轴为�=
�
4 ≥0，所以��在−∞, 0 上单调递增，
函数图象如下：
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令��= �, �= ���
= ��= 0，解得�= 0 或�=
1
2，
即��= �= 0 或��= �=
1
2，根据图象��= �= 0 有2 个解，
��= �=
1
2有1 个解，所以此时�= ���
有3 个零点，不符合题意；
当�< 0，�≤0 时，��=−2�2 + ��，对称轴为�=
�
4 < 0，
所以��在−∞,
�
4 上单调递增，在
�
4 , 0 上单调递减，函数图象如下：
令��= �, �= ���
= ��= 0，解得�=
�
2或�= 0 或�=
1
2，
根据图象��= �=
�
2 < 0 有2 个解，��= �= 0 有3 个解，
又�= ���
至少有7 个零点，所以��= �=
1
2至少有2 个解，
即
�< 0
�
�
4 =
�2
8 ≥
1
2
，解得�≤−2．
故选:D．
【变式3-2】（2026·北京顺义·一模）已知函数�(�) =
�3, �≥0
−�, �< 0 ，若方程�(�) = �2 −��有4 个不同的实数
解，则�的取值范围是（
）
A．( −∞, 0)
B．(0,
1
4 )
C．( −∞, 0) ∪(0,
1
4 )
D．(
1
4 , + ∞)
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【答案】B
【解题思路】根据给定条件，按�< 0, �≥0 分段，结合一元二次方程实根分布列式求解.
【解答过程】方程�(�) = �2 −��⇔�(�) −�2 + ��= 0，
当�< 0 时，方程为−�−�2 + ��= 0，则�+ 1 −�= 0，即�= �+ 1，当�< 1 时，方程有且只有一个实根；
当�≥0 时，方程为�3 −�2 + ��= 0，显然�= 0 是此方程的一个实根，
当�> 0 时，方程化为�2 −�+ �= 0，要使方程�(�) = �2 −��有4 个不同的实数解，
当且仅当方程�2 −�+ �= 0 有两个不同的正根，则
Δ = 1 −4�> 0
1
2 > 0
�> 0
，解得0 < �<
1
4，
所以�的取值范围是(0,
1
4 ).
故选：B.
【变式3-3】（2026·辽宁·模拟预测）已知函数��=
�3, �≥0
−�, �< 0 ，若函数��= ��−��2 −3��∈�
恰有4 个零点，则�的取值范围为（
）
A．−∞, −
1
3 ∪2 3, + ∞
B．−∞, −
1
3 ∪0,2 3
C．−∞, 0 ∪0,2 3
D．−∞, 0 ∪2 3, + ∞
【答案】D
【解题思路】由�(0) = 0，结合已知，将问题转化为�= ��−3 与ℎ(�) =
�(�)
|�| 有3 个不同交点，分�= 0, �<
0, �> 0 三种情况，数形结合讨论即可得到答案.
【解答过程】注意到�(0) = 0，所以要使�(�)恰有4 个零点，
只需方程|��−3| =
�(�)
|�| 恰有3 个实根即可，
令ℎ(�) =
�(�)
|�| ，即�= |��−3|与ℎ(�) =
�(�)
|�| 的图象有3 个不同交点.
而ℎ(�) =
�(�)
�= �2,
�> 0
1,
�< 0 ，�= |��−3|恒过0,3 ，
当�= 0 时，此时�= 3，如图1，�= 3 与ℎ(�) =
�(�)
|�| 有1 个不同交点，不满足题意；
当�< 0 时，如图2，此时�= |��−3|与ℎ(�) =
�(�)
|�| 恒有3 个不同交点，满足题意；
当�> 0 时，如图3，当�= ��−3 与�= �2相切时，联立方程得�2 −��+ 3 = 0，
令Δ = 0 得�2 −12 = 0，解得�= 2 3（负值舍去），所以�> 2 3.
综上，�的取值范围为−∞, 0 ∪2 3, + ∞.
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故选：D.
【题型4
根据零点的范围求参数】
【例4】（2026·陕西西安·模拟预测）若函数��= lg�+ �在1,10 上有零点，则�的取值范围为（
）
A．−10,0
B．−
1
10 , 0
C．0,1
D．−1,0
【答案】D
【解题思路】根据函数单调性结合零点存在性定理列式计算即可.
【解答过程】因为��在1,10 上单调递增，
所以�1 �10 < 0，即�1 + �< 0，
解得−1 < �< 0．
故选：D.
【变式4-1】（2026·辽宁抚顺·模拟预测）函数��= ��−4 + �log2�在区间1,4 内有零点，则实数�的取值
范围为（
）
A．−4,1
B．−4,1
C．−1,4
D．−1,4
【答案】D
【解题思路】令��= �+ log2�−
4
�，分析可知函数��= �+ log2�−
4
�在1,4 上为增函数，且该函数在区
间1,4 内有零点，可得出�1 ≤0
�4 > 0 ，即可解得实数�的取值范围.
【解答过程】当�∈1,4 时，由��= ��−4 + �log2�= 0 可得�+ log2�−
4
�= 0，
令��= �+ log2�−
4
�，
因为函数�= log2�、�= �−
4
�在1,4 上均为增函数，
故函数��= �+ log2�−
4
�在1,4 上为增函数，
因为函数��在区间1,4 内有零点，则函数��在区间1,4 内有零点，
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所以，�1 = �−4 ≤0
�4 = �+ 1 > 0 ，解得−1 < �≤4，
因此，实数�的取值范围是−1,4 .
故选：D.
【变式4-2】（25-26 高一上·河南信阳·期末）函数�(�) = 2�−
2�
�的一个零点在区间(1,2)内，则实数�的取值
范围是（
）
A．(1,3)
B．(1,4)
C．(0,3)
D．(1,2)
【答案】B
【解题思路】先根据零点分析得�> 0，然后利用指数函数单调性和反比例函数的单调性可知，函数�(�) =
2�−
2�
�在(1,2)单调递增，进而利用零点存在性定理列不等式求解即可.
【解答过程】当�≤0 时，�(�) = 2�−
2�
�> 0 在�∈(1,2)上恒成立，此时�(�)在区间(1,2)内无零点；
要使函数�(�) = 2�−
2�
�的一个零点在区间(1,2)内，则�> 0，
因为函数�= 2�和�=−
2�
�在(1,2)单调递增，所以函数�(�) = 2�−
2�
�在(1,2)单调递增，
由零点存在性定理可知�(1) = 2 −2�< 0, �(2) = 4 −�> 0，解得1 < �< 4．
故选：B.
【变式4-3】（25-26 高一上·重庆·阶段检测）函数��= ��−4 + �log2�在区间[4,8)内有零点，则实数�的
取值范围为（
）
A．−2, −1
B．( −2, −1]
C．−
5
2 , −1
D．−
5
2 , −1
【答案】D
【解题思路】函数��= ��−4 + �log2�在区间[4,8)内有零点，即方程��−4 + �log2�= 0 在区间[4,8)内有
解，即方程�=
4
�−log2�在区间[4,8)内有解，构造函数��=
4
�−log2�, �∈[4,8)，分析单调性求得��的
值域，即可得实数�的取值范围.
【解答过程】函数��= ��−4 + �log2�在区间[4,8)内有零点，即方程��−4 + �log2�= 0 在区间[4,8)内有
解，即方程�=
4
�−log2�在区间[4,8)内有解.
令函数��=
4
�−log2�, �∈[4,8)，则直线�= �与函数�= ��的图象有交点.
因为函数�=
4
�在[4,8)上单调递减，函数�=−log2�在[4,8)上单调递减，所以函数��=
4
�−log2�, �∈[4,8)
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是减函数.
因为�4 =
4
4 −log24 = 1 −2 =−1,
4
8 −log28 =
1
2 −3 =−
5
2.
所以函数��的值域为( −
5
2 , −1]，所以实数�的取值范围为( −
5
2 , −1].
故选：D.
【题型5
嵌套函数的零点问题】
【例5】（2026·山西临汾·二模）已知函数��=
2�−1 , �≤2,
3
�−1 , �> 2,
若方程��
2 −�+ 5 ��+ 5�= 0 有三
个不同的实数根，则�的取值范围为（
）
A．0,1
B．0,2
C．0,3
D．1,3
【答案】A
【解题思路】解方程��
2 −�+ 5 ��+ 5�= 0 得��= �或��= 5，数形结合得方程��= 5 无解，
进而得到直线�= �与曲线�= ��有3 个交点，结合图象可得出实数�的取值范围.
【解答过程】由��
2 −�+ 5 ��+ 5�= 0 可得��= �或��= 5，
当�≤0 时，��= 2�−1 = 1 −2�∈0,1 ；
当0 < �≤2 时，��= 2�−1 = 2�−1 ∈(0,3]；
当�> 2 时，��=
3
�−1 ∈0,3 .
作出函数��、�= 5、�= �的图象如下图所示：
由图可知，直线�= 5 与曲线�= ��有0 个交点，即方程��= 5 无解，
所以由题方程��= �有3 个不同的解，即直线�= �与曲线�= ��有3 个交点，则0 < �< 1.
故选：A.
【变式5-1】（25-26 高三上·吉林四平·阶段检测）已知函数��=
4 −�2, �≤0
ln�+ 2, �> 0 ，若函数��= ���
−�
恰有5 个零点，则实数�的取值范围为（
）
A．2, e2
B．ln2 + 2,4
C．ln2 + 2,2ln2 + 2
D．2,4
【答案】C
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【解题思路】画出函数的图象，利用换元法、数形结合思想、分类讨论进行求解即可.
【解答过程】由��= ���
−�恰有5 个零点，
则关于�的方程���
= �恰有5 个相异实根，
令��= �，问题转化为满足��= �
��= �的�恰有5 个不同的解.
作出函数��的图象，如图所示，
由图易得：当�< 2 时，关于�的方程��= �仅有一个实根�0，且�0 < 0，
此时��= �0仅有1 个实根，不合题意；
当�= 2 时，��= �仅有两个相异实根−
2, 1，
而��=−
2, ��= 1 各仅有1 个实根，不合题意；
当2 < �≤4 时，��= �仅有3 个实根�1, �2, �3，
且�1 ≤0 < �2 < 1 < �3 ≤e2, ��= ���= 1,2 各仅有1 个实根，
且两实根均小于−
3，则��= �3有三个实根，必有2 < �3 ≤4，
所以ln2 + 2 = �2 < �≤�4 = 2ln2 + 2.
又2 < �≤4，所以ln2 + 2 < �≤2ln2 + 2，此时的5 个实根互不相等，
即��恰有5 个零点；
当�> 4 时，��= �仅有2 个相异实根�4, �5，且0 < �4 <
1
e2 , �5 > e2，
此时��= �4仅有1 个实根，��= �5有2 个实根，不合题意.
所以实数�的取值范围为ln2 + 2,2ln2 + 2 .
故选：C.
【变式5-2】（2026·陕西宝鸡·二模）已知函数��=
�2 −2�+ 1, �≥0
1 −ln −�, �< 0 ，若关于�的方程���
2 −2�+
1 ��+ 2 = 0 有7 个不相等的实数根，则实数�的取值范围为（
）
A．0,1
B．0,1
C．0,1
D．1, + ∞
【答案】D
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【解题思路】将所求方程因式分解后可知当�≠0 时，��= 2 或��=
1
�；作出��图象，根据交点个数可
确定0 <
1
�≤1，当�= 0 时可知不合题意，进而求得�的范围.
【解答过程】由���
2 −2�+ 1 ��+ 2 = 0 得：���−1 ��−2 = 0，
当�≠0 时，��= 2 或��=
1
�；
作出��图象如下图所示，
则��= 2 有三个不等实根，∴��与�=
1
�有四个不同交点，
∴0 <
1
�≤1，解得：�≥1；
当�= 0 时，��= 2，此时方程有���
2 −2�+ 1 ��+ 2 = 0 三个不等实根，不合题意；
综上所述：实数�的取值范围为1, + ∞.
故选：D.
【变式5-3】（2026·河南鹤壁·一模）已知函数��= −2−�+ 1，�≤0，
��−1 ，�> 0，
若关于�的方程2 ��
2 + 3 −
3���+ 2�= 0 在区间( −∞, 2025]内有2027 个不同的实数根，则实数�的取值范围是（
）
A．
1
10 ，
1
5
B．0，
1
5
C．0，
1
5
D．−∞，
1
5
【答案】B
【解题思路】先作出��上的图象，令��= �，再将问题转化为方程2�2 + 3 −3��+ 2�= 0 有一个根在( −
1,0]内，另一个根在( −∞, −1]内.令��= 2�2 + 3 −3��+ 2�，利用实根分布即可求解.
【解答过程】先作出��在( −∞, 0]上的图象，再扩展到整个定义域，画出大致图象如下．
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当�∈( −1,0]时，方程��= �在( −∞, 2025]内有2026 个实根；
当�∈( −∞, −1]时，方程��= �在( −∞, 2025]内有1 个实根，
令��= �，因为方程2 ��
2 + 3 −3���+ 2�= 0 在区间( −∞, 2025]内有2027 个不同的实数根，
所以方程2�2 + 3 −3��+ 2�= 0 有一个根为−1，另一个一个根在( −1,0]内，此时�=
1
5,符合题意；
或者有一个根在( −1,0]内，另一个根在( −∞, −1)内，
令��= 2�2 + 3 −3��+ 2�，则
Δ > 0
−
3−3�
4
≤−
1
2
�−1 < 0
�0 ≥0
，
即
3 −3�2 −16�> 0
�≤
1
3
2 × −1 2 + 3 −3�× −1 + 2�< 0
2�≥0
，
解得0 ≤�<
1
5，综上可得0 ≤�≤
1
5．
故选：B.
【题型6
用二分法求方程的近似解】
【例6】（2026·广东汕头·模拟预测）用二分法求函数��= ln�+ 2�−6 在2,3 内的零点近似值，若精确度
要求为0.1，则需重复相同步骤的次数至少为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【解题思路】二分法每次取区间中点，区间长度变为原来的一半，由题可得区间初始长度为1，则第一次使
用二分法后区间长度变为0.5，第二次使用二分法后区间长度变为0.25，第三次使用二分法后区间长度变为
0.125，以此类推，当区间长度小于精确度时即可停止.
【解答过程】解：原始区间长度为3 −2 = 1，
第一次，区间长度减半，为0.5 > 0.1，
第二次，区间长度减半，为0.25 > 0.1，
第三次，区间长度减半，为0.125 > 0.1，
第四次，区间长度减半，为0.0625 < 0.1，
故至少需要重复四次.
故选：B.
【变式6-1】（25-26 高一上·陕西西安·期末）用二分法求方程ln 2�+ 6 + 2 = 3�根的近似解时，令��=
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ln 2�+ 6 + 2 −3�，并用计算器得到如下表数据：则由表中的数据，可得方程ln 2�+ 6 + 2 = 3�的一个
近似解为（精确度为0.1）（
）
�
1.00
1.25
1.375
1.50
��
1.0794
0.1918
−0.3604
−0.9989
A．1.125
B．1.3125
C．1.4375
D．1.46875
【答案】B
【解题思路】利用二分法判断即可得出结果.
【解答过程】设函数��的零点为�0，
因为�1 > 0，�1.5 < 0，则�1 ⋅�1.5 < 0，所以�0 ∈1,1.5 ，区间长度为0.5，
取区间1,1.5 中点，�1.25 > 0，则�1.25 ⋅�1.5 < 0，
所以�0 ∈1.25,1.5 ，区间长度为0.25，
取区间1.25,1.5 的中点1.375，�1.375 < 0，则�1.25 ⋅�1.375 < 0，
所以�0 ∈1.25,1.375 ，区间长度为0.125，
取区间1.25,1.375 的中点1.3125，则�0 ∈1.25,1.3125 或�0 ∈1.3125,1.375 ，
此时区间长度为0.0625 < 0.1，故方程ln 2�+ 6 + 2 = 3�的一个近似解为1.3125，
故选：B.
【变式6-2】（25-26 高一上·河南新乡·期末）用二分法求方程2�+ �−8 = 0 在1,5 上的近似解时，经过两次
二分后，可确定近似解所在区间为（
）
A．1,1.5
B．2,3
C．1,2
D．3,5
【答案】B
【解题思路】构造��= 2�+ �−8，代入端点值以及中点处的函数值，结合二分法的定义求解.
【解答过程】记��= 2�+ �−8，由于�= 2�, �= �−8 均为1,5 上的单调递增函数，故��= 2�+ �−8
为1,5 上的单调递增函数，
因为�1 = 2 + 1 −8 =−5 < 0, �5 = 32 + 5 −8 = 29 > 0, �3 = 8 + 3 −8 = 3 > 0，
且�1 ⋅�3 < 0，所以函数��的零点落在区间1,3 内，
又因为�2 = 4 + 2 −8 =−2 < 0，
所以�2 ⋅�3 < 0，
所以函数��的零点落在区间2,3 内，
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即经过两次二分后，可确定近似解所在区间为2,3 .
故选：B.
【变式6-3】（25-26 高一上·全国·阶段检测）若函数��= �3 + �2 −2�−2 的一个正数零点附近的函数值用
二分法逐次计算，参考数据如表：
�
1
1.5
1.25
1.375
1.4375
1.40625
��
−2
0.625
−0.984
−0.260
0.162
−0.054
那么当精确度达到0.04 时，可作为方程�3 + �2 −2�−2 = 0 的一个近似根的是（
）
A．1.5
B．1.25
C．1.375
D．1.4375
【答案】D
【解题思路】根据零点存在定理和二分法可判断零点在区间1.40625,1.4375 内，结合精确度要求即可判断.
【解答过程】由表格中的数据知，�1.40625 =−0.054 < 0, �1.4375 = 0.162 > 0，
所以函数��的一个正数零点在区间1.40625,1.4375 内，
且区间的长度为1.4375 −1.40625 = 0.03125 < 0.04，
此时，区间(1.40625,1.4375)内的任一值均可作为方程的近似根，
选项D 中的1.4375 是该区间的端点，符合题意
故选：D.
【题型7
多零点的大小与范围问题】
【例7】（2026·河南新乡·三模）已知函数�(�) = 3�+ 3�, �(�) = log3�+ 3�, ℎ(�) = �3 + 3�的零点分别
为�, �, �，则�, �, �的大小顺序为（
）
A．�> �> �
B．�> �> �
C．�> �> �
D．�> �> �
【答案】A
【解题思路】分别求解三个函数的零点满足的关系式,再数形结合利用函数图象的交点比较大小即可.
【解答过程】��= 3�+ 3�的零点即为方程3�=−3�的解，即为�= 3�的图像与�=−3�图像的交点横坐标，
��= log3�+ 3�的零点即为方程log3�=−3�的解，即为�= log3�的图像与�=−3�图像的交点横坐标，
ℎ�= �3 + 3�的零点即为方程�3 =−3�的解，即为�= �3的图像与�=−3�图像的交点横坐标，
∵函数��, ��, ℎ�的零点分别为�, �, �,
作出函数�=−3�, �= �3, �= log3�, �= 3�的图象如图，
由图可知：�> �> �，
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故选：A.
【变式7-1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数��= �⋅10�−1, ��= �⋅lg�−1, ℎ�= �
4
3 −1 的零
点分别为�, �, �，则�, �, �的大小顺序为（
）
A．�< �< �
B．�< �< �
C．�< �< �
D．�< �< �
【答案】B
【解题思路】先利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点问题，再利用数形结合即可求出结果.
【解答过程】由�0 =−1 ≠0 及��= �⋅10�−1 = 0 得10�=
1
�，
由�> 0 及��= �⋅lg�−1 = 0 得lg�=
1
�，
由ℎ0 ≠0 及ℎ�= �
4
3 −1 = 0 得�
1
3 =
1
�，
由函数��= �⋅10�−1, ��= �⋅lg�−1, ℎ�= �
4
3 −1 的零点分别为�, �, �，
可得函数�= 10�，�= lg�，�= �
1
3与�=
1
�图象交点的横坐标分别为�, �, �，
在同一坐标系中分别作出函数�= 10�，�= lg�，�= �
1
3，�=
1
�的图象如图，
由图知�< �< �，
故选：B.
【变式7-2】（2026·海南·模拟预测）已知函数�(�) =
−
1
4 �2 −�+ 1, �≤0
|log2�|, �> 0
，若存在不相等的实数�1 < �2 <
�3 < �4，满足��1 = ��2
= ��3 = ��4 ，则�1 + �2 + �3 + �4的取值范围为（
）
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A．−2,
1
4
B．−2,
1
4
C．−
3
2 ,
1
4
D．−
3
2 ,
1
4
【答案】C
【解题思路】根据给定条件，结合二次函数的对称性可得�1 + �2 =−4，利用对数运算可得�3�4 = 1，再利
用函数图象及性质求出�3的取值范围即可.
【解答过程】函数�=−
1
4 �2 −�+ 1 的图象对称轴�=−2，�max = 2，
函数�(�)在( −∞, −2]上单调递增，函数值集合为( −∞, 2]，在[ −2,0]上单调递减，函数值集合为[1,2]，
在(0,1]单调递减，函数值集合为[0, + ∞)，在[1, + ∞)上单调递增，函数值集合为[0, + ∞)，
令�(�1) = �(�2) = �(�3) = �(�4) = �，则函数�= �(�)的图象与直线�= �有4 个交点，
在同一坐标系内作出函数�= �(�)的图象与直线�= �，
观察图象，得1 ≤�< 2，�1 + �2 =−4，由1 ≤−log2�3 < 2，得
1
4 < �3 ≤
1
2，
由|log2�3| = |log2�4|，得�3�4 = 1，则�1 + �2 + �3 + �4 =−4 + �3 +
1
�3，
函数�= �3 +
1
�3在(
1
4 ,
1
2 ]上单调递减，
5
2 ≤�3 +
1
�3 <
17
4 ，因此−
3
2 ≤�1 + �2 + �3 + �4 <
1
4，
所以�1 + �2 + �3 + �4的取值范围为[ −
3
2 ,
1
4 ).
故选：C.
【变式7-3】（2026·陕西延安·一模）设函数��= �2 −4�+ 3 −��> 0 ,若��有四个不同的零点
�1, �2, �3, �4，且满足�1 < �2 < �3 < �4，则
�2+�4
�1+�3的取值范围是（
）
A．1,
9+4 2
7
B．1,2
C．2,3
D．3,4
【答案】A
【解题思路】作出函数�(�) = �2 −4�+ 3 的图象，结合直线�= �与函数�(�)图象的交点个数可得出�的取
值范围，再利用对称轴将所求式子消元处理，再整体换元令�= �2 −�1，转化为求�(�) =
4+�
4−�, 0 < �<
2
的值域可得.
【解答过程】令��= �2 −4�+ 3 ，
由��= �2 −4�+ 3 −��> 0 = 0 有四个不同的零点，
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则�(�) = �2 −4�+ 3 与�= �有四个不同的交点，
�(�) =
�2 −4�+ 3,
�2 −4�+ 3 ≥0
−(�2 −4�+ 3),
�2 −4�+ 3 < 0
令�2 −4�+ 3 = 0，解得�= 1 或3，
故当�≤1 或�≥3 时，�(�) = �2 −4�+ 3；当1 ≤�≤3 时，�(�) =−�2 + 4�−3；
且当�= 2，��= �2 −4�+ 3 = 1；
解方程�2 −4�+ 3 = 1，得�= 2 ±
2；
作函数�(�)的图象，对称轴为�= 2.
要使��与�= �有四个不同的交点，如图可得0 < �< 1.
又�1, �2, �3, �4满足�1 < �2 < �3 < �4，
则2 −
2 < �1 < 1 < �2 < 2 < �3 < 3 < �4 < 2 +
2，可得0 < �2 −�1 <
2.
因为�(�)图象关于�= 2 对称，所以�1 + �4 = �2 + �3 = 4，
则�3 = 4 −�2, �4 = 4 −�1，
则
�2+�4
�1+�3 =
4−�1+�2
4+�1−�2，令�= �2 −�1，则0 < �<
2，
构造函数ℎ(�) =
4+�
4−�，0 < �<
2，
由ℎ(�) =
4+�
4−�=−1 −
8
�−4，函数�(�)在0,
2 单调递增，
则0 < ℎ(�) <
9+4 2
7
，即
�2+�4
�1+�3 ∈0,
9+4 2
7
.
故选：A.
一、单选题
1．（2026·陕西西安·模拟预测）函数��= 0.3�−
�的零点所在区间是（
）
A．0,0.5
B．0.5,0.7
C．0.7,1
D．1,2
【答案】A
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【解题思路】先判断函数在定义域上的单调性，再根据零点存在定理判断即可.
【解答过程】由题意可知函数的定义域为[0, + ∞)，
又因为�= 0.3�与�=−
�在[0, + ∞)均单调递减，
所以��= 0.3�−
�在[0, + ∞)均单调递减且连续，
因为�0 = 0.30 −
0 = 1 > 0，�0.5 = 0.3
1
2 −
1
2 =
3
10 −
1
2 < 0，
所以函数的唯一零点所在区间为0,0.5 .
故选：A.
2．（25-26 高一上·山东菏泽·阶段检测）已知函数�(�) = ln�+ 4�−9，利用二分法求函数�(�)在(2,3)内的
零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（
）
A．(2,
9
4 )
B．(
9
4 ,
5
2 )
C．(
5
2 ,
11
4 )
D．(
11
4 , 3)
【答案】A
【解题思路】根据给定条件，利用二分法求函数在区间内零点的方法逐一判断即可.
【解答过程】函数�(�) = ln�+ 4�−9，�(2) = ln2 + 4 × 2 −9 = ln2 −1 < 0，
�(3) = ln3 + 4 × 3 −9 = ln3 + 3 > 0，函数�(�)的零点在(2,3)内；
�(
5
2 ) = ln
5
2 + 4 ×
5
2 −9 = ln
5
2 + 1 > 0，函数�(�)的零点在(2,
5
2 )内；
�(
9
4 ) = ln
9
4 + 4 ×
9
4 −9 = ln
9
4 > 0，函数�(�)的零点在(2,
9
4 )内.
故选：A.
3．（2026·天津·二模）函数��= log2�−
1
3 �的一个零点所在区间为（
）
A．7,8
B．8,9
C．9,10
D．10,11
【答案】C
【解题思路】求定义域，求导，得到函数单调性，结合零点存在性定理可得结论
【解答过程】��= log2�−
1
3 �定义域为0, + ∞，�′ �=
1
�ln2 −
1
3 =
3−�ln2
3�ln2 ，
令�′ �> 0 得0 < �<
3
ln2，令�′ �< 0 得�>
3
ln2，
所以��= log2�−
1
3 �在0,
3
ln2 上单调递增，在
3
ln2 , + ∞上单调递减，
�9 = log29 −3 = log29 −log28 > 0，�10 = log210 −
10
3 = log210 −log22
10
3 ，
其中103 = 1000, 210 = 1024，故103 < 210，10 < 2
10
3 ，�10 = log210 −log22
10
3 < 0，
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由零点存在性定理可得函数��= log2�−
1
3 �的一个零点所在区间为9,10 ，
选项C 正确，其他选项均错误.
故选：C.
4．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数��= �2 −2�−1, �≤0
e�−1, �> 0
，若方程��= �只有一个实数解，
则�的取值范围为（
）
A．−1,0
B．−1,0
C．−1,0
D．−1,0
【答案】A
【解题思路】根据题意，确定分段函数每一段的单调性，再结合图像求解即可．
【解答过程】解：�= �2 −2�−1 在−∞, 0 上单调递减，
�= e�−1 在0, + ∞单调递增，
则��= �2 −2�−1, �≤0
e�−1, �> 0
的图像如下：
方程��= �只有一个实数解，则�的取值范围为−1,0 ．
故选：A.
5．（2026·贵州遵义·模拟预测）若函数��=
�+ ln�, �> 0
�2 + 2�−�, �≤0 在定义域上恰有三个零点，则实数�的取
值范围是（
）
A．−1,0
B．−1,0
C．−1,0
D．−1,0
【答案】D
【解题思路】对分段函数分段考虑各段上的零点情况，将问题转化为��= �2 + 2�−�在( −∞, 0]上必须有
2 个零点的情况，结合数形结合思想列出不等式求解即得.
【解答过程】①当�> 0 时，��= �+ ln�，则�′ �= 1 +
1
�> 0，所以��在0, + ∞上单调递增，
因为�
1
e
=
1
e + ln
1
e =
1
e −1 < 0，而�1 = 1 + ln1 = 1 > 0，
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由零点存在定理得，函数��在
1
�, 1 上有且只有一个零点；
②�≤0 时，��= �2 + 2�−�，该二次函数的图象开口向上，对称轴为�=−
2
2×1 =−1，
要使原分段函数在定义域上恰有三个零点，则需使��= �2 + 2�−�在( −∞, 0]上要有2 个零点，
即需使�2 + 2�−�= 0 在( −∞, 0]上有两个不相等的实数根，
即
�= 22 −4 × 1 × −�= 4 + 4�> 0
�0 = 02 + 2 × 0 −�=−�≥0
�−1 = −1 2 + 2 × −1 −�=−1 −�< 0
，解得
�>−1
�≤0
�>−1
，
综上可得−1 < �≤0.
故选：D.
6．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数��=
3�−1 + 1, �≤1
ln �−1 , (�> 1) ，若��= �2 �−2���+
4
3的零点
个数为4，则实数�取值范围为（
）
A．(
6
3 ,
5
6 ] ∪(
4
3 , + ∞)
B．(
6
3 ,
5
6 ] ∪(2, + ∞)
C．
5
6 , 2
D．
4
3 , + ∞
【答案】D
【解题思路】画出�(�)的图象，结合函数的图象可得方程�2 −2��+
4
3 = 0 的解�1、�2满足
�1 ≠�2
0 < �1 ≤1
�2 > 2
，根据
根分布可求实数�取值范围．
【解答过程】根据解析式知�(�)的图象如图所示：
由题意，�2(�) −2��(�) +
4
3 = 0 有4 个不相等的实数根，
设��= �，结合图象可知�2 −2��+
4
3 = 0 有两个不等实根，
设此关于�方程的解为�1、�2，其中�1, �2均不为零且�1�2 =
4
3．
由题设可得关于�的方程��= �1和��= �2共有4 个不同的解，�1�2 =
4
3，
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故�1, �2不能都大于2，不能都小于等于1，
故
�1 ≠�2
0 < �1 ≤1
0 < �2 ≤1
（舍）或
�1 ≠�2
0 < �1 ≤1
�2 > 2
或
�1 ≠�2
�1 > 2
�2 > 2
（舍）．
令��= �2 −2��+
4
3，其开口向上，
需满足
�0 > 0
�1 ≤0
�2 < 0
，即
0 −2�× 0 +
4
3 > 0
1 −2�+
4
3 ≤0
4 −4�+
4
3 < 0
，解得�>
4
3.
故选：D.
7．（2026·河南濮阳·模拟预测）已知函数��=
1
3 �3 −�+ e，��= ln�+ �−e 与ℎ�= e�+ �−e 的零
点分别为�1，�2，�3，则（
）
A．�1 < �2 < �3
B．�1 < �3 < �2
C．�2 < �3 < �1
D．�3 < �2 < �1
【答案】B
【解题思路】利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理判断三个零点所在区间�1 ∈−3, −2 ，
�2 ∈1,e ，�3 ∈0,1 即可求解.
【解答过程】因为ℎ′ �= e�+ 1 > 0，所以ℎ�在�上单调递增，
因为ℎ0 = 1 −e < 0，ℎ1 = 1 > 0，
由零点存在定理，ℎ�的零点�3 ∈0,1 ，
因为�′ �=
1
�+ 1 > 0，所以��
在0, + ∞上单调递增，
因为�(1) = 1 −e < 0，�(e) = 1 > 0，
由零点存在定理，��的零点�2 ∈1,e ，
因为�′ �= �−1
�+ 1 ，令�′ �= �−1
�+ 1 = 0，得�=± 1，
当�<−1 时，�′ �> 0，函数��在−∞, −1 内单调递增，
当−1 < �< 1 时，�′ �< 0，函数��在−1,1 内单调递减，
当�> 1 时，�′ �> 0，函数��在1, + ∞
内单调递增，
因为�1 = e −
2
3 > 0，�−1 = e +
2
3 > 0，
因此，�>−1 时，函数��没有零点，
又因为�−3 =−6 + e<0, �−2 =−
2
3 + e>0，
由零点存在定理，��的零点�1 ∈−3, −2 ，
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因为�1 ∈−3, −2 , �2 ∈1,e , �3 ∈0,1 ，
所以�1 < �3 < �2.
故选：B.
8．（2026·湖南邵阳·三模）已知函数��= −�2 −2�+ 2, �≤0
ln�, �> 0
，若函数��= ��
2 −���+ 5 有8
个不同的零点，则实数�的取值范围是（
）
A．2 5,
9
2
B．2 5,
9
2
C．
9
2 ,
14
3
D．
9
2 ,
14
3
【答案】A
【解题思路】先分析函数��，作出函数大致图象，分析函数��，把零点问题转化为关于�的方程�2 −��+
5 = 0 有2 个不同的根�1和�2，且关于�的方程��= �1, ��= �2分别有4 个不同的根，进而结合判别式和
韦达定理构造方程组，并分情况讨论求出实数�的取值范围．
【解答过程】当�≤0 时，��=−�2 −2�+ 2，开口向下，对称轴为�=−1，
�−1 = 3, �0 = 2；
当�> 0 时，��= ln�，�1 = 0，函数在0,1 单调递减，在1, + ∞单调递增；
作出�= ��的大致图象如下，
设��= �，则关于�的方程�2 −��+ 5 = 0 有2 个不同的根�1和�2，
且关于�的方程��= �1, ��= �2分别有4 个不同的根．
不妨设�1 < �2，则关于�的方程�2 −��+ 5 = 0 需满足：
Δ = �2 −20 > 0
�1 + �2 = �
�1�2 = 5
，
①若�1, �2 ∈2,3 ，则�1 + �2 = �> 0，故�> 2 5，
且
�1 −2
�2 −2 > 0
�1 −3
�2 −3 > 0 ，即5 −2�+ 4 > 0
5 −3�+ 9 > 0 ，
解得2 5 < �<
9
2；
②若�1 = 2，则�2 =
5
2，此时�=
9
2，符合题意，故2 5 < �≤
9
2．
故选：A.
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二、多选题
9．（25-26 高一上·四川成都·阶段检测）已知函数�= �(�)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值
表：
�
1
2
3
4
5
6
�(�)
16.88
8.66
−2.01
8.88
−1.24
−10.064
在下列区间中，函数�(�)必有零点的区间为（
）
A．(1,2)
B．(2,3)
C．(3,4)
D．(5,6)
【答案】BC
【解题思路】利用零点存在性定理直接判断即可.
【解答过程】因函数�= �(�)的图象是一条连续不断的曲线，
且由表格数据可知�2 �3 < 0，即函数�(�)在区间2,3 内存在零点；
同理�3 �4 < 0,�4 �5 < 0,因此函数�(�)在区间3,4 , 4,5 内均存在零点.
故选：BC.
10．（2026·四川眉山·模拟预测）已知函数��=
2�−2 , �≤3,
2�−5, �> 3, 函数��= ��
2 −2���+ �2 −1，
则下列结论正确的是（
）
A．若关于�的方程��= �恰有1 个实数根，则�的取值范围是6, + ∞
B．若关于�的方程��= �恰有2 个不同的实数根，则�的取值范围是0,1 ∪2,6
C．若��有5 个零点，则�的取值范围是(2,3)
D．��可能有6 个零点
【答案】BC
【解题思路】作出��的大致图象，对于A 和B，只需通过平移直线观察它与的图象的交点情况即可得解；
对于CD，首先若��= ��
2 −2���+ �2 −1 = 0，则有��= �−1 或��= �+ 1，数形结合即
可建立�的不等式组并求解，即可判断.
【解答过程】如图，作出��的大致图象，
由图可知，
若关于�的方程��= �恰有1 个实数根，则�的取值范围是6, + ∞∪0 ，故A 错误；
若关于�的方程��= �恰有2 个不同的实数根，则�的取值范围是0,1 ∪2,6 ，故B 正确.
令��= ��
2 −2���+ �2 −1 = 0，得��−�+ 1
��−�−1
= 0，解得��= �−1 或
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��= �+ 1.
若��有5 个零点，则0 < �−1 ≤1,
1 < �+ 1 < 2 或1 < �−1 < 2,
2 ≤�+ 1 ≤6, 解得2 < �< 3，故C 正确.
若��有6 个零点，则1 < �−1 < 2,
1 < �+ 1 < 2, 解得�∈∅，则��最多有5 个零点，故D 错误.
故选：BC.
11．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数��=
log3 −�, �< 0
2 −�, �≥0
，若函数�= ��−��∈�有三个互
不相等的零点�1, �2, �3，且�1 < �2 < �3，则下列结论正确的是（
）
A．实数�的取值范围是0,2
B．��的单调递减区间为−∞, −1 ，0, + ∞
C．�1�2�3 ∈0,2
D．函数�= ���
有4 个零点
【答案】BCD
【解题思路】作出函数��的图象，结合图象逐一判断即可．
【解答过程】作出函数��=
log3 −�, �< 0
2 −�, �≥0
的大致图象，如图．
对于A，因为函数�= ��−�有三个互不相等的零点，则函数�= ��与�= �的图象有三个不同的交点．
结合图象可得0 < �≤2，故A 不正确．
对于B，由函数��的图象可知其单调递减区间为−∞, −1 ，0, + ∞
，故B 正确．
对于C，由函数��的图象可知0 ≤�3 < 2，且−log3( −�1) = log3( −�2)，所以
1
−�1 =−�2，
即�1�2 = 1，所以�1�2�3 ∈0,2 ，故C 正确．
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对于D，设�= ��，则�= ��．
令�= 0，由函数��的图象，得�=−1 或�= 2．
当�=−1，即��=−1 时，则2 −�=−1，解得�= 3；
当�= 2，即��= 2 时，所以2 −�= 2 或log3 −�
= 2，解得�= 0 或�=−9 或�=−
1
9，
所以函数�= ���
有4 个零点，故D 正确．
故选：BCD.
三、填空题
12．（2026 高一上·全国·专题练习）用二分法求函数��= ln�+ 2�−6 在区间2,3 内的零点近似值，至少
经过__________次二分后精确度达到0.1.
【答案】4
【解题思路】利用二分法定义判断零点所在区间，并确定精确度.
【解答过程】�2 = ln2 −2 < 0，�3 = ln3 > 0，�2 ⋅�3 < 0，所以∃�0 ∈2,3 ，满足��0 = 0，
开区间2,3 的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n 此操作后，区间长度变为
1
2�，
故有
1
2�≤0.1，即2�≥10，则�≥4，
所以至少需要操作4 次.
故答案为：4.
13．（2026·山东济宁·一模）已知函数��=
�+ 2, �≤0
ln �+ 1 , �> 0 若关于�的方程���
= �恰有三个不相等
的实数根，则实数�的取值范围是__________.
【答案】0, ln3
【解题思路】分类讨论，求得函数�= ���
的解析式，利用数形结合求得实数�的取值范围.
【解答过程】函数��=
�+ 2, �≤0
ln �+ 1 , �> 0 在−∞, 0 上单调递增，��≤2，在0, + ∞上单调递增，��> 0，
当�+ 2 ≤0，即�≤−2 时，���
= �+ 2 + 2 = �+ 4，且���
≤2，
当−2 < �≤0，即0 < ��≤2，���
= ln �+ 2 + 1 = ln �+ 3 ，且���
≤ln3，
当�> 0，即��> 0 时，���
= ln ln �+ 1 + 1 ，且���
> 0，
因此���
=
�+ 4, �≤−2
ln �+ 3 , −2 < �≤0
ln ln �+ 1 + 1 , �> 0
，
在坐标系内作出函数�= ���
和�= �的图像，如图所示
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关于�的方程���
= �恰有三个不相等的实数根，则0 < �≤ln3.
所以实数�的取值范围是0, ln3 .
故答案为：0, ln3 .
14．（2026·天津红桥·二模）设函数��=
e �+1 2, �≤0
�+
4
�−3, �> 0 ，若�= ��−�有四个不同的零点，从小到大
依次为�1, �2, �3, �4，则�1�2 + �3 + �4的取值范围为__________．
【答案】5,3 + e
【解题思路】先将函数�= ��−�有四个不同的零点，转化为函数�= ��和�= �有四个不同的交点，利
用数形结合得到�的范围，再根据�1, �2为方程e �+1 2 = �的两根，�3, �4为方程�+
4
�−3 = �的两根，利用
韦达定理建立�1�2 + �3 + �4的函数，再利用函数的单调性求解．
【解答过程】当�≤0 时，��= e �+1 2，�′ �= 2 �+ 1 ⋅e �+1 2，
�<−1 时，�′ �< 0，��单调递减，−1 < �< 0 时，�′ �> 0，��单调递增，
所以��在−∞, −1 上单调递减，在−1,0 上单调递增，
当�> 0 时，��= �+
4
�−3，�′ �= 1 −
4
�2 =
�+2
�−2
�2
，
0 < �< 2 时，�′ �< 0，��单调递减，�> 2 时，�′ �> 0，��单调递增，
所以��在0,2 上单调递减，在2, + ∞上单调递增，
又�−1 = �2 = 1，�0 = e，
又因为函数�= ��−�有四个不同的零点，
所以函数�= ��和�= �有四个不同的交点，
如图所示：
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由图知，1 < �≤e，
设�1, �2为方程e �+1 2 = �的两根，即�2 + 2�+ 1 −ln�= 0 的两根，
所以�1�2 = 1 −ln�，
设�3, �4为方程�+
4
�−3 = �的两根，即�2 −3 + ��+ 4 = 0 的两根，
所以�3 + �4 = 3 + �，
所以�1�2 + �3 + �4 = 1 −ln�+ 3 + �= 4 + �−ln�，
令��= 4 + �−ln�, �∈1,e ，�′ �= 1 −
1
�=
�−1
�> 0，
所以��在1,e 上单调递增，
因为�1 = 4 + 1 −ln1 = 5 ，�e = 4 + e −lne=3 + e ，
所以��= 4 + �−ln�, �∈1,e 的值域为5,3 + e ，
即�1�2 + �3 + �4的取值范围为5,3 + e ．
故答案为：5,3 + e ．
四、解答题
15．（2026·陕西西安·模拟预测）已知��= e2�−��+ 2，�∈�，e 是自然对数的底数．
(1)求函数�= ��的单调区间；
(2)若关于�的方程��−2 = 0 有两个不等实根，求�的取值范围．
【答案】(1)当�≤0 时，函数��的单调递增区间为−∞, + ∞，无单调递减区间；当�> 0 时，函数��
的单调递减区间为−∞,
1
2 ln
�
2 ，单调递增区间为
1
2 ln
�
2 , + ∞；
(2) 2�, + ∞．
【解题思路】（1）求出导函数，分�≤0 和�> 0，分类讨论计算函数的单调性；
（2）把方程��−2 = 0 有两个不等实根转化为�= �与��=
e2�
�有2 个交点，结合导函数得出函数的单调
性及最值，计算求出参数范围.
【解答过程】（1）函数��= e2�−��+ 2 的定义域为�，求导得�' �= 2e2�−�，
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当�≤0 时，恒有�′ �> 0，则函数��在�上单调递增；
当�> 0 时，由�′ �< 0，得�<
1
2 ln
�
2，由�′ �> 0，得�>
1
2 ln
�
2，
即函数��在−∞,
1
2 ln
�
2 上单调递减，在
1
2 ln
�
2 , + ∞上单调递增；
所以当�≤0 时，函数��的单调递增区间为−∞, + ∞，无单调递减区间；
当�> 0 时，函数��的单调递减区间为−∞,
1
2 ln
�
2 ，单调递增区间为
1
2 ln
�
2 , + ∞；
（2）方程��−2 = 0，即e2�−��= 0，当�= 0 时，方程不成立，则�=
e2�
�；
令��=
e2�
�，依题意，方程��−2 = 0 有两个不等实根，即直线�= �与�= ��的图象有两个交点，
求导得�' �=
2�−1 e2�
�2
，当�< 0 或0 < �<
1
2时，�′ �< 0，当�>
1
2时，�′ �> 0，
所以函数��在−∞, 0 ，0,
1
2 上单调递减，在
1
2 , + ∞上单调递增，
而当�< 0 时，��< 0，当�> 0 时，��> 0，且当�=
1
2时，��取得极小值�
1
2 = 2e，
作出函数，�= ��的大致图象，如图，
观察图象，当�> 2e 时，直线�= �与函数�= ��的图象有两个交点，
所以�的取值范围为2e, + ∞．
16．（2026 高三·全国·专题练习）已知关于x 的方程��2 −2 �+ 1 �+ �−1 = 0，求实数�为何值时？
(1)方程有唯一实数根或两相等实数根；
(2)方程一根大于1，一根小于1．
【答案】(1)�= 0 或−
1
3
(2)�> 0
【解题思路】（1）令��= ��2 −2 �+ 1 �+ �−1，根据�的情况分类讨论即可求解；
（2）根据题意画出草图，根据图像得
�> 0
�1 < 0 或
�< 0
�1 > 0 ，解出即可.
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【解答过程】（1）令��= ��2 −2 �+ 1 �+ �−1，
当�= 0 时，方程变为−2�−1 = 0，即�=−
1
2，符合题意；
当�≠0 时，Δ = 4(�+ 1)2 −4��−1 = 0，∴�=−
1
3，
所以当�= 0 或−
1
3时，方程有唯一实根或两相等实数根；
（2）�(1) = �−2(�+ 1) + �−1 =−3 < 0
因为方程有一根大于1，一根小于1，则��大致图象如图⑤，⑥，
所以
�< 0,
�1 > 0 （舍）或
�> 0,
�1 < 0 ，解得�> 0，
所以当�> 0 时，方程有一根大于1，一根小于1．
17．（2026 高一·全国·专题练习）已知函数��=
��−�+ 4, �≤1,
�2 −�+ 2 �+ �+ 5, �> 1, 其中�∈�，且�= ��在
−1,5 上有三个零点�1，�2，�3．
(1)求实数�的取值范围；
(2)求�1
2 + �2
2 + �3
2的取值范围．
【答案】(1)4 < �< 5
(2)�1
2 + �2
2 + �3
2 ∈18,
726
25 ．
【解题思路】（1）由题意，�= ��在�∈−1,1 内有1 个零点，且在1，5 内有两个不同的零点，根据函
数解析式，即可求实数�的取值范围；
（2）设�1 =
�−4
�，�2 + �3 = �+ 2，�2�3 = �+ 5，则�1
2 + �2
2 + �3
2可表示为�的函数，令�= �−
4
�,通过换元转
化为二次函数并求值域，即可求出�1
2 + �2
2 + �3
2的取值范围．
【解答过程】（1）因为�1 = 4 ≠0，
所以由��=
��−�+ 4, �≤1,
�2 −�+ 2 �+ �+ 5, �> 1, 在−1,5 上有三个零点�1，�2，�3得
�= ��在�∈−1,1 内有1 个零点，且在1，5 内有两个不同的零点，
若�= ��在�∈−1,1 内有1 个零点，则
�> 0
−1 <
�−4
�≤1 ，得�> 2，
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若�= ��在1，5 内有两个不同的零点，则
Δ = �+ 2 2 −4 �+ 5 > 0
1 <
�+2
2 < 5
12 −(�+ 2) × 1 + �+ 5 > 0
�5 > 0
，
即
Δ = �2 −16 > 0
0 < �< 8
25 −5 �+ 2 + �+ 5 > 0
,得4 < �< 5．
综上所述，4 < �< 5．
（2）不妨设�1 =
�−4
�，�2 + �3 = �+ 2，�2�3 = �+ 5，
则�1
2 + �2
2 + �3
2 = �1
2 + �2 + �3
2 −2�2�3 =
�−4
�
2
+ �+ 2 2 −2 �+ 5
= �−
4
�
2
+ 2 �−
4
�+ 3，
令�= �−
4
�,则�1
2 + �2
2 + �3
2 = �2 + 2�+ 3 = �+ 1 2 + 2.
由（1）知�∈4,5 ，∴�= �−
4
�∈3,
21
5 ，
所以�1
2 + �2
2 + �3
2 ∈18,
726
25 ．
18．（2026·海南儋州·模拟预测）已知函数�(�)为定义在R 上的偶函数，且�≥0，�(�) = �2 −��+ 1.
(1)若�= 1，求函数�(�)解析式；
(2)求函数�(�)在[1,3]的最小值；
(3)若函数�= �(�)在(0,4)有两个不同的零点，求m 的取值范围.
【答案】(1)��= �2 −�+ 1, �≥0
�2 + �+ 1, �< 0
(2)��min =
−�+ 2, �< 2
−
�2
4 + 1,2 ≤�≤6
−3�+ 10, �> 6
(3) 2,
17
4
【解题思路】（1）根据偶函数的性质即可求出解析式.
（2）根据二次函数的单调性及对称轴，分情况求出最小值.
（3）根据已知条件，结合二次函数的性质、根的判别式、对称轴、端点值列出不等式组，求解即可.
【解答过程】（1）当�= 1 时，�≥0，�(�) = �2 −�+ 1.
因为函数�(�)在R 上为偶函数，所以�−�= ��
当�< 0 时，−�> 0，则�(�) = �( −�) = −�2 −−�+ 1 = �2 + �+ 1.
因此函数�(�)解析式为：
��= �2 −�+ 1, �≥0
�2 + �+ 1, �< 0 .
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（2）当�∈[1,3]时，�(�) = �2 −��+ 1，这是开口向上的二次函数，对称轴为�=
�
2.
当
�
2 < 1，即�< 2 时，��min = �1 = 12 −�× 1 + 1 =−�+ 2；
当1 ≤
�
2 ≤3，即2 ≤�≤6 时，��min = �
�
2
=
�
2
2
−�×
�
2 + 1 =−
�2
4 + 1；
当
�
2 > 3，即�> 6 时，��min = �3 = 32 −�× 3 + 1 =−3�+ 10；
综上，函数�(�)在[1,3]的最小值为：
��min =
−�+ 2, �< 2
−
�2
4 + 1,2 ≤�≤6
−3�+ 10, �> 6
.
（3）因为函数�= �(�)在(0,4)有两个不同的零点，
所以
Δ = �2 −4 > 0
0 <
�
2 < 4
�0 = 1 > 0
�4 = 16 −4�+ 1 > 0
�
�
2
=−
�2
4 + 1 < 0
，解得2 < �<
17
4 .
所以m 的取值范围为2,
17
4 .
19．（25-26 高一上·北京西城·期中）已知函数��= �2 + ��+ �，�0 = 4 且满足∀�∈R，��≥�1 ．
(1)求�，�的值；
(2)已知函数��= ��−�−2 �有两个不同的正数零点�1，�2．
（i）求�的取值范围；
（ii）若�1 −�2 = 2，求�的值：
【答案】(1)�=−2，�= 4
(2)（i）4, + ∞；（ii）2 5
【解题思路】（1）根据函数��满足∀�∈R，��≥�1 得二次函数对称轴�=−
�
2 = 1，求出�，再根据�0 =
4 求出�；
（2）将��化为��= �2 −��+ 4，根据题意结合韦达定理列出不等式组，解不等式组即可求出�的取值
范围；根据�1 −�2 =
�1 + �2
2 −4�1�2即可求出�的值.
【解答过程】（1）函数��= �2 + ��+ �为二次函数，图象开口向上，对称轴为�=−
�
2，
又函数��满足∀�∈R，��≥�1 ，则−
�
2 = 1，解得�=−2，
又�0 = �= 4，所以�=−2，�= 4.
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（2）由（1）知��= �2 −2�+ 4，
所以��= ��−�−2 �= �2 −��+ 4.
（i）因为函数g �有两个不同的正数零点�1，�2，
所以
Δ = �2 −16 > 0
�1 + �2 = �> 0
�1�2 = 4 > 0
，解得�> 4，
所以�的取值范围为4, + ∞.
（ii）因为�1 −�2 =
�1 + �2
2 −4�1�2 =
�2 −16 = 2，
所以�2 = 20，又�> 4，所以�= 2 5.
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