文档文本内容
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2.4 指数与指数函数
思维导图
知识点总结
知识点一 无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α 为无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质
同样适用于无理数指数幂．
知识点二 实数指数幂的运算性质
1．aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．
2．(ar)s＝a rs (a>0，r，s∈R)．
3．(ab)r＝a r b r (a>0，b>0，r∈R)．
知识点三 分数指数幂的意义
分数指数幂
正分数指数幂
规定：
＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
1
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负分数指数幂
规定：
＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0 的分数指数幂
0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂无意义
知识点四 有理数指数幂的运算性质
整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
知识点四 指数函数的定义
一般地，函数y ＝
a x (a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R.
思考 为什么底数应满足a>0 且a≠1?
答案 ①当a≤0 时，ax可能无意义；②当a>0 时，x 可以取任何实数；③当a＝1 时，ax＝1
(x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.
知识点五 两类指数模型
1．y＝kax(k>0)，当a >1
时为指数增长型函数模型．
2．y＝kax(k>0)，当0<
a <1
时为指数衰减型函数模型．
知识点六 指数函数的图象和性质
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域
(0
，＋
∞
)
性质
过定点
过定点(0,1)，即x＝0 时，y＝1
函数值的变化
当x>0 时，y >1
；
当x<0 时，0<
y <1
当x>0 时，0<
y <1
；
当x<0 时，y >1
单调性
在R 上是增函数
在R 上是减函数
典型例题分析
考向一 运用指数幂运算公式化简求值
2
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例1 计算下列各式(式中字母都是正数)：
(1)
(2)
(3)
解 (1)
＝()2＋－＝0.09＋－＝0.09.
(2)原式＝
＝
(3)原式＝
＋1＝1＋1＝2.
反思感悟 一般地，进行指数幂运算时，可将系数、同类字母归在一起，分别计算；化负
指数为正指数，化小数为分数进行运算，便于进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁
为简的目的．
考向二 分数指数幂运算的综合应用
例2 (1)已知am＝4，an＝3，求的值；
(2)已知
＝3，求下列各式的值．
①a＋a－1；②a2＋a－2；③
3
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解 (1)＝
＝.
(2)①∵
∴
即a＋2＋a－1＝9，∴a＋a－1＝7.
②∵a＋a－1＝7，
∴(a＋a－1)2＝49，即a2＋2＋a－2＝49.
∴a2＋a－2＝47.
③
＝3×(7－1)＝18.
反思感悟 条件求值问题的解法
(1)求解此类问题应注意分析已知条件，通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解
等)，寻找已知式和待求式的关系，可考虑使用整体代换法．
(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．
考向三 指数函数的图象及应用
例1 (1)函数y＝ax－(a>0，且a≠1)的图象可能是( )
答案 D
(2)函数f(x)＝1＋ax－2(a>0，且a≠1)恒过定点________．
答案 (2,2)
(3)已知函数y＝3x的图象，怎样变换得到y＝x＋1＋2 的图象？并画出相应图象．
解 y＝x＋1＋2＝3－(x＋1)＋2.
4
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作函数y＝3x关于y 轴的对称图象得函数y＝3－x的图象，再向左平移1 个单位长度就得到函
数y＝3－(x＋1)的图象，最后再向上平移2 个单位长度就得到函数y＝3－(x＋1)＋2＝x＋1＋2 的图
象，如图所示．
反思感悟 处理函数图象问题的策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指
数为0，求出对应的y 的值，即可得函数图象所过的定点．
(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．
(3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．
考向四 比较大小
例4 (1)比较下列各题中两个值的大小．
①1.7－2.5,1.7－3；②1.70.3,1.50.3；③1.70.3,0.83.1.
考点 指数幂的大小比较
题点 比较指数幂大小
解 (1)①∵1.7>1，
∴y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．
∵－2.5>－3，∴1.7－2.5>1.7－3.
②方法一 ∵1.70.3>0,1.50.3>0，且＝0.3，
又>1,0.3>0，∴0.3>1，∴1.70.3>1.50.3.
方法二 幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，
又1.7>1.5，∴1.70.3>1.50.3.
③∵1.70.3>1.70＝1,0.83.1<0.80＝1，
∴1.70.3>0.83.1.
(2)设
则a，b，c 的大小关系为________．(用“>”连接)
答案 c>a>b
解析 构造幂函数
(x∈(0，＋∞))，由该函数在定义域内单调递增，知a>b；构造指
数函数y＝x，由该函数在定义域内单调递减，知a<c，故c>a>b.
反思感悟 比较幂值大小的3 种类型及处理方法
5
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基础题型训练
一、单选题
1．化简
的结果为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用平方差公式结合指数运算性质即可
【详解】因为
，
，
，
，
，
所以原式=
故选：B
6
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2．函数
，则方程
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】令
，则
，当
时，
，转化为
图
象的交点问题；当
时，
成立，进一步求出
的范围，即可求出答案.
【详解】由函数
，令
，则
，
当
时，
，
令
，其图象如图所示
．
时，
无解，
当
时，
成立，
由
，得当
时，有
，解得
；
当
时，有
，解得
，
综上，
的取值范围是
．
故选：B.
3．已知函数g（x）=3x+t 的图象不经过第二象限，则t 的取值范围为
A．t≤–1
B．t<–1
7
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C．t≤–3
D．t≥–3
【答案】A
【分析】由指数函数的性质，可得函数
恒过点坐标为
，且函数
是增函数，
图象不经过第二象限，得到关于的不等式，即可求解.
【详解】由指数函数的性质，可得函数g（x）=3x+t 恒过点坐标为（0，1+t），函数g（x）
是增函数，图象不经过第二象限，∴1+t≤0，解得t≤–1．故选A．
【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用，其中熟记指数函数的图象与性质，
特别是指数函数的图象恒过定点是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基
础题.
4．已知
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用中间值法，将这三个数与、比较大小，从而得出这三个数的大小关系.
【详解】由于对数函数
在其定义域上是增函数，则
，
指数函数
在
上为增函数，则
，即
，
对数函数
在其定义域上是减函数，则
，即
.
因此，
，故选C.
【点睛】本题考查利用中间值法比较指数式、对数式的大小，常用的中间值为和，在实
际问题中，中间值取多少要由具体问题来选择，同时在比较大小时，要充分利用指数函数
与对数函数的单调性来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
5．已知函数
，则使得
成立的
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
8
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【答案】A
【详解】试题分析：原函数
满足
，函数是偶函数，当
时
是增函数，当
时是减函数，结合函数图像可知不等式
转化为
，两边平方解不等式得解集为
考点：利用函数的奇偶性单调性解不等式
6．设函数
，若存在
，使得
成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将条件转化为值域有交集，然后分类讨论求出的范围．
【详解】∵
，使得
成立，
即
和
的值域有交集．
．
∵
，
当
时，
，满足题意；
当
时，
在区间
上单调递增，
．
∵
和
的值域有交集，
∴
，即
；
9
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③
时，
在区间
上单调递减，
．
∵
和
的值域有交集，
∴
，即
；
综上：
；
故选D．
【点睛】本题考查函数值域的求法及集合关系的讨论，注意根据等式关系转化为集合之间
的关系，此类问题属于中档题.
二、多选题
7．已知函数
，则下列叙述正确的是（ ）
A．当
时，函数在区间
上是增函数
B．当
时，函数在区间
上是减函数
C．若函数
有最大值2，则
D．若函数
在区间
上是增函数，则
的取值范围是
【答案】BCD
【分析】利用复合函数的单调性逐一判断各选项即可.
【详解】对于AB 选项：当
时，
，
因为
在
上单调递减，
在
上单调递增，
10
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由复合函数的性质可得，函数
在
上单调递减，故A 错误，B 正确；
对于C 选项：若
有最大值2，显然
不成立，
则函数
有最小值
，
所以
，解得
，故C 正确；
对于D 选项：若函数
在
上是增函数，则
在
是减函数，
当
时，显然成立，
当
时，由二次函数的性质可得
，解得
，
所以
的取值范围为
，故D 正确；
故选：BCD
8．已知函数
，则（ ）
A．
为偶函数
B．
是增函数
C．
不是周期函数
D．
的最小值为
【答案】AD
【分析】根据奇偶性、单调性、周期性分别判断ABC，分类讨论确定函数的最小值判断
D．
【详解】选项A，由
得
，函数定义域是
，关于原点对称，
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，所以函数为偶函数，正确；
选项B，定义域是
，
，即
是奇函数，易知
是R 上的增函数，函数值域为R，
，所以存在
，值得
，从而
，于是
，
，但
，所以
不是增函数，B 错；
选项C，
定义域是R，
，因此
是函数的
一个周期，C 错；
选项D，由上推理知
是奇函数，
时，
，
时，
，易知函数为增函数，所以
，综上函数最小值是1，D 正确．
故选：AD．
三、填空题
9．若
为方程
的两个实数解，则
___________．
【答案】
【分析】利用指数幂的运算法则将已知方程的两边写成同底数的幂的形式，根据指数函数
的性质得到指数相等，转化为关于x 的二次方程，由根与系数的关系得到答案.
12
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【详解】
，
∴
,
∴
,
∴
,
故答案为：
.
10．若指数函数
在
上是增函数，则实数
的取值范围是__________．
【答案】
【详解】若指数函数
在
上是增函数，
则
，解得
故实数
的取值范围是
11．已知函数
，
，
的图象如下图所示，则
，
，的大小关系为
__________．（用“
”号连接）
【答案】
【详解】函数y=ax，y=xb，y=logcx 的图象如图所示，
13
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由指数函数y=ax，x=2 时，y∈（2，3）对数函数y=logcx，x=2，y∈（0，1）；幂函数y=xb，
x=2，y∈（1，2）；
可得a∈（1，2），b∈（0，1），c∈（2，+∞）．
可得b＜a＜c
故答案为b＜a＜c．
12．化简
的结果是________.
【答案】
【分析】将分式化为分式指数幂，然后利用指数幂的运算律即可得出结果.
【详解】由题意得
=
=
=1.
【点睛】本题考查指数幂的计算，同时也考查了根式与分数指数幂的互化，考查计算能力，
属于基础题.
四、解答题
13．计算：
(1)
；
(2) 已知
，求
.
【答案】(1)
； (2)11.
【分析】（1）利用指数幂运算法则代入计算求值；
（2）对等式两边平方可得答案.
14
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【详解】（1）原式
.
（2）因为
，
所以
.
【点睛】本题考查指数幂运算法则，考查基本运算求解能力，属于基础题.
14．计算：(1)
；
(2)
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】（1）利用分数指数幂计算即可.
（2）利用对数的运算性质计算即可.
【详解】（1）原式
.
（2）原式
.
【点睛】本题考查分数指数幂的计算和对数的计算，属于基础题.
15．已知二次函数
在区间[2，3]上有最大值4，最小值1，
(1)求函数
的解析式；
(2)设
．若
在
时恒成立，求
的取值范围．
【答案】(1)
；
15
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(2)
.
【分析】（1）将函数配方，进而判断出函数在[2,3]上的单调性，然后根据
求出参
数，最后得到答案.
（2）先进行参变分离，进而转化为求函数的最值，最后求得答案.
(1)
，∴函数
的图象的对称轴方程为
，
在区间
上递增．
依题意得
，即
，解得
，
.
(2)
，
在
时恒成立，即
在
时恒成立，
在
时恒成立，只需
，
令
，由
得
，设
，
，当
时，函数取得最小值0，
，
的取值范围为
.
16．已知函数
的表达式为
，其中
、
为实数.
(1)若不等式
的解集是
，求
的值；
(2)若方程
有一个根为
，且
、
为正数，求
的最小值；
16
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(3)若函数
在区间
上是严格减函数，试确定实数
的取值范围，并证明你
的结论.
【答案】(1)
(2)
(3)
，证明见解析
【分析】（1）分析可知关于
的方程
的两根分别为
、，根据韦达定
理可求得
、
的值，即可求得
的值；
（2）由
可得出
，将
与
相乘，展开后利用基本不等式可求得
的最小值；
（3）令
，任取
、
且
，作差
，由函数单调
性的定义可得出
，可得出
，求出
的取值范围，即可求
得实数
的取值范围.
【详解】（1）解：因为不等式
的解集是
，
所以，关于
的方程
的两根分别为
、，
所以，
，解得
，
，因此，
.
（2）解：由题意可得
，
，
又因为
、
均为正数，则
，
17
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当且仅当
时，等号成立，故
的最小值为
.
（3）解：因为
，
令
，其中
，由题意可知，函数
在
上为减函数，
任取
、
且
，则
，且
，
所以，
，
所以，
，可得
，
而
，则
，
.
因此，当函数函数
在区间
上是严格减函数，
.
提升题型训练
一、单选题
1．函数
是指数函数，则有
A．
或
B．
C．
D．
或
【答案】C
【分析】根据指数函数定义，构造方程解
.
【详解】因为函数
是指数函数，
18
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所以
，解得
或
，
当
时，
不是指数函数，舍去，
所以
，
故选：C.
2．已知函数
，且对于任意的
，都有
，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意可知，函数
在
上是增函数，则在每一段都是增函数且
，由
，即可解出实数
的取值范围．
【详解】依题可知函数
在
上是增函数，
∴
，解得
．
故选：B．
3．定义在
上的函数
满足
时，
，则
的值为
A．-2
B．0
C．2
D．8
【答案】A
【详解】试题分析： 由已知可得
的周期
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，故选A.
考点：函数的周期性.
4．已知函数
可以表示成一个偶函数
和一个奇函数
之差，若
对
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题干条件构造方程组解出函数
和
的解析式，再用分离参数法将
对
恒成立转化为
对
恒成立，进而求得
实数
的取值范围.
【详解】由
，
有
，
解得
，
，
可化为
，有
，
有
，得
，
又由
，有
.
故选：C
【点睛】本题考查函数奇偶性、求函数解析式等知识点以及对恒成立问题的处理，属于中
档题.
5．已知函数
（
，且
），则
是（ ）
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A．偶函数，值域为
B．非奇非偶函数，值域为
C．奇函数，值域为
D．奇函数，值域为
【答案】C
【分析】利用定义判断函数的奇偶性，利用指数函数的性质及不等式的性质求函数的值域
即可得解.
【详解】由题可知
，且函数的定义域为R，关于原点对称
，所以
是奇函数.
由指数函数的性质知
，
，
，
，即函数的值域为
故选：C
【点睛】方法点睛：本题主要考查函数的奇偶性，指数函数的性质，不等式的性质，判断
函数的奇偶性，先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判断
与
的关系，考
查学生的运算求解能力，属于基础题.
6．已知a、b、c 是正实数，且
，则a、b、c 的大小关系不可能为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据指数函数的性质结合条件逐项分析即得.
【详解】因为
，a、b、c 是正实数，
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所以
，
，
对于A，若
，则
，满足题意；
对于B，若
，则
，满足题意；
对于C，若
，则
，满足题意；
对于D，若
，则
，不满足题意.
故选：D.
二、多选题
7．下列函数在区间
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】由二次函数的性质可判断A；由反比例函数单调性以及函数图象的平移可判断B；
去绝对值由一次函数的性质可判断C；由指数函数以及复合函数的单调性可判断D，进而可
得正确选项.
【详解】对于A：
为开口向上的抛物线，对称轴为
，所以
在区间
上单调递减，故选项A 不正确；
对于B：
的定义域为
，将
的图象向右平移一个单位可得
，因为
在
上单调递增，向右平移一个单位可得
在
上单调递增，所以
在区间
上单调递增，故选项B 正确；
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对于C：
，所以
在区间
上单调递增，故选项C 正
确；
对于D：
是由
和
复合而成，因为
单调递减，
在区间
上单调递增，所以
在区间
上单调递减，
故选项D 不正确；
故选：BC.
8．若函数
同时满足：
对于定义域上的任意x，恒有
；
对于
定义域上的任意
，当
时，恒有
，则称函数
为“理想函
数” 下列四个函数中：能被称为“理想函数”的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】确定“理想函数”具有的两个性质，再逐一分析各个选项，判断作答.
【详解】由①知，“理想函数”是其定义域上的奇函数，由②知，“理想函数”是其定义
域上的减函数，
对于A，函数
定义域为
，而
在
上不单调，
A 不是；
对于B，函数
定义域为R，
在R 上单调递增，B 不是；
对于C，函数
定义域为R，当
时，
，
，
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当
时，
，
，而
，即
，
，
是R 上奇函数，
在
上单调递减，在
上单调递减，且
图象连续，
即
是R 上减函数，C 是；
对于D，函数
定义域是R，
，
是R 上的奇函
数，
在R 上单调递减，D 是.
故选：CD
三、填空题
9．函数
的定义域为_________.
【答案】
【分析】根据解析式，列出使解析式有意义条件，解出x 的取值范围.
【详解】由题意可得
，解得：
，所以函数的定义域为
.
故答案为：
.
10．已知函数
的值域为R，则实数a 的取值范围是___________.
【答案】
【分析】首先分别求分段函数两段的值域，再根据值域为
，列式求实数a 的取值范围.
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【详解】当
时，
，当
时，
，
因为函数的值域为
，所以
，解得：
.
故答案为：
11．已知集合
，且下列三个关系：
有且只有一个正确，则
函数
的值域是_______．
【答案】
【分析】根据集合相等的条件，列出a、b、c 所有的取值情况，再判断是否符合条件，求
出a，b，c 的值，从而可求出分段函数的值域.
【详解】由{a，b，c}={2，3，4}，可得a、b、c 的取值有以下情况：
当a=2 时，b=3、c=4 时，a≠3，b=3，c≠4 都正确，不满足条件．
当a=2 时，b=4、c=3 时，a≠3 成立，c≠4 成立，此时不满足题意；
当a=3 时，b=2、c=4 时，都不正确，此时不满足题意；
当a=3 时，b=4、c=2 时，c≠4 成立，此时满足题意；
当a=4 时，b=2，c=3 时，a≠3，c≠4 成立，此时不满足题意；
当a=4 时，b=3、c=2 时，a≠3，b=3 成立，此时不满足题意；
综上得，a=3、b=4、c=2，
则函数
当x＞4 时，
当x≤4 时，
，
综上：
，即函数的值域为
，
故答案为：
．
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12．已知函数
，若不等式
对
恒成立，则实
数a 的取值范围是_______．
【答案】
【分析】判断函数
的单调性，利用其解析式推出
，则可将
不等式
对
恒成立，转化为
，即
对
恒成立，即可求得答案.
【详解】由题意知
单调递增，故
在R 上单调递增，
又
，
故不等式
对
恒成立，
即
对
恒成立，
所以
，即
对
恒成立，
当
时，
，
故
，即实数a 的取值范围是
，
故答案为：
【点睛】本题考查了函数不等式恒成立求解参数范围问题，解答时要注意判断函数的单调
性以及函数满足的性质，因而解答的关键是利用函数满足的性质脱去函数符号“f”,将问题
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转化为
，即
对
恒成立，即可解决.
四、解答题
13．计算：
．
【答案】99
【分析】根据指数运算公式化简求值.
【详解】
14．已知函数
，
，若对任意
，都有
，求实
数
的取值范围
【答案】
【分析】转化为
，构造函数
，利用函数的单调性求出最
值即可得解.
【详解】对任意的
，都有
，即
，转化为
，
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令
，且
在
上为减函数，故
，
故
.
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
①若
在
上恒成立，则
；
②若
在
上恒成立，则
；
③若
在
上有解，则
；
④若
在
上有解，则
.
15．一片森林原来面积为2014 万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，
当砍伐的面积的一半时，所用时间是10 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积
的
，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的
．
（1）求每年砍伐面积的百分比；
（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
（3）今后最多还能砍伐多少年？
【答案】（1）
；（2）5；（3）15．
【分析】（1）设每年砍伐面积的百分比为
，由指数函数的性质列式求解；
（2）由
求解可得；
（3）由
求解可得．
【详解】（1）设每年砍伐面积的百分比为
，则
，解得
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；
（2）设到今年为止，该森林已砍伐了
年，则
，
，
，
；
（3）设今后最多还能砍伐
年，
则
，
，
，
．
答：（1）每年砍伐面积的百分比为
；（2）到今年为止，该森林已砍伐了5 年；
（3）今后最多还能砍伐15 年．
【点睛】思路点睛：本题考查指数函数的应用，解题关键是根据每年砍伐的百分比相同，
设百分比为
，那么
年后，剩余量为
．抓住这个模型，通过解指数方程、
指数不等式可得．
16．已知f(x)是定义在R 上的偶函数，f（-1）=0，且满足在区间（-∞，0]单调递增．
(1)判断f(x)在（0，+∞）的单调性，并加以证明；
(2)函数
．若
对x∈（0，1]恒成立，求实数m 的取
值范围．
【答案】(1)单调递减，证明见详解
(2)
【分析】（1）根据题意，结合偶函数的性质以及定义法判断单调性，即可证明；
（2）根据题意，结合函数
的单调性，可将
转化为
，令
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，则
，
故可将
转化为关于的一元二次不等式在某个区间上恒成立问题，进而可求解.
(1)
函数
在区间
上单调递减.
证明：设
，
，且
，则
，
因为函数
在区间
上单调递增，所以
，
又因为函数
为
上的偶函数，所以
，
又因
，所以函数
在区间
上单调递减.
(2)
由题意，可知
，
因为
，所以结合（1）易得
，即
.
令
，由
，易得
，
因为
，所以
，故
，
即
对于
恒成立，故
.
因为
，所以
，
又因为
，等且仅当
时，等号成立，
所以
.
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