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专题20 平面向量基本定理与坐标表示及运算
№考向解读
考点精析
➊
真题精讲
➋
模拟精练
➌
专题训练
➍
备战2024 高考数学一轮复习
（新高
考）
1
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专题20 平面向量基本定理与坐标表示及运
算
命题解读
命题预测
复习建议
平面向量基本定理与坐标
表示及运算是高考的一个热
门考点，对于平面向量的考
察主要从这方面出题，尤其
是数量积的运算是考察的重
中之重，题目的难易度适
中，以选择或者填空为主，
出多项选择题的机率也是比
较大的，总体来说还是学生
比较好得分的。
预计2024 年的高考平面向量
基本定理与坐标表示及运算
还是以选择题或者填空题为
主，难易度以中等难度为
主，数量积的运算考察机率
大。
集合复习策略：
1.理解平面向量基本定理及
其意义；
2.掌握平面向量的正交分解
和坐标表示；
3.理解平面向量的数量积运
算；
4.掌握运用坐标进行平面向
量的加法、减法、数乘与数
量积的运算。
→➊考点精析←
一、 平面向量基本定理及坐标表示
1.平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a， 有
且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所
有向量的一组基底.
2.平面向量的坐标运算
(1)平面向量的坐标运算
a=（x1，y1） b=（x2，y2）
a+b=(x1+x2，y1+y2) a-b=(x1-x2，y1-y2) λa=(λx1，λy1)
(2)向量的坐标求法
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则⃗AB=(x2-x1，y2-y1)，
|⃗AB|=√( x2- x1)
2+( y2- y1)
2.
3.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b⇔a=λb(λ∈R)⇔ x1y2-x2y1=0.
二、 平面向量的数量积及坐标运算
1.平面向量的数量积
(1)概念
2
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已知两个非零向量a 和b,它们的夹角为θ,我们把数量|a||b|cos θ 叫作a 与b 的数量积(或内
积),记作a·b,即a·b=|a||b|cos θ,并规定零向量与任一向量的数量积为0,即0·a=0.
(2)几何意义
①向量的投影: a|cos θ(|b|cos θ)叫作向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影.
②向量的数量积:数量积a·b 等于a 的长度|a|与b 在a 方向上的投影|b|cos θ 的乘积.
(3)向量的夹角
已知两个非零向量a 和b,作⃗OA=a,⃗OB=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角.如
果向量a 与b 的夹角是90°,我们说a 与b 垂直,记作a⊥b.
2.平面向量数量积的运算律
已知向量a,b,c 和实数λ.
①
交换律: a·b=b·a;
②
数乘结合律:(λa)·b=λ(a·b)= a·(λb) (λ∈R);
③分配律:(a+b)·c= a·c+b·c.
3.平面向量数量积的性质
设a,b 为两个非零向量,e 是与b 同向的单位向量,θ 是a 与e 的夹角.
②
e·a=a·e=|a|cos θ.
③
a⊥b⇔ a·b=0.
④
当a 与b 同向时,a·b=|a||b|;当a 与b 反向时,a·b=-|a||b|.
特别地,a·a=|a|2或|a|=√a·a
⑤
cos θ= a·b
|a||b| .
⑤|a·b|≤|a||b|.
4.平面向量数量积的有关结论
已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ 为a 与b 的夹角.
|a|=√x1
2+ y1
2
a·b= x1x2+y1y2
a⊥b⇔ x1x2+y1y2=0
cos θ=
x1 x2+ y1 y2
√x1
2+ y1
2√x2
2+ y2
2
→➋真题精讲←
3
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1. （2023 全国理科甲卷3）已知向量
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得
，从
而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.
【详解】因为
，所以
，
则
，
，
所以
.
故选：B.
2. （2023 北京卷3）已知向量
满足
，则
（
）
A.
B.
C. 0
D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【详解】向量
满足
，
所以
.
故选：B
3. （2023 全国Ⅰ卷3）已知向量
，若
，则（
）
4
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A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算求出
，
，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为
，所以
，
，
由
可得，
，
即
，整理得：
．
故选：D．
4. （2023 天津卷14）在
中，
，
，点
为
的中点，点
为
的中点，若设
，则
可用
表示为_________；若
，
则
的最大值为_________．
【答案】 ①.
②.
【解析】
【分析】空1：根据向量的线性运算，结合
为
的中点进行求解；空2：用
表示
出
，结合上一空答案，于是
可由
表示，然后根据数量积的运算和基本不
等式求解.
【详解】空1：因为
为
的中点，则
，可得
，
5
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两式相加，可得到
，
即
，则
；
空2：因为
，则
，可得
，
得到
，
即
，即
.
于是
.
记
，
则
，
中，根据余弦定理：
，
于是
，
由
和基本不等式，
，
故
，当且仅当
取得等号，
则
时，
有最大值
.
故答案为：
；
.
6
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→➌模拟精练←
1．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知平面向量，
满足
，
则
的最小值为（ ）
A．-1
B．0
C．
D．
【答案】A
【分析】根据数量积的运算性质及均值不等式化简可得
，即可得解。
【详解】由
可得
，
即
，
而
，当且
且，
反向时等号成立，
所以
，即
，等号成立条件为
.
故选：A
2．（2023·广东佛山·统考一模）已知单位向量
，
满足
，若向量
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由单位向量
，则
，即
，
7
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，
.
故选：B.
3．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）已知平面向量
满足
，
，
且
与
的夹角为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为平面向量
满足
，
，且
与
的夹角为
，
则
，则
，即
解得
，
所以
.
故选：D
4．（2023·山东日照·三模）已知向量
，
，
，若
，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．5
【答案】B
【分析】先求出
的坐标，再利用
列方程求
.
【详解】由已知得
，
，且
，
，
8
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解得
.
故选：B.
5．（2023·江苏·统考二模）已知向量，的夹角为60°，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】对
两边同时平方可得
，由模长的计算公式代入可判断A，B；由向
量夹角计算公式可判断C，D.
【详解】由
可得：
，
可得：
，
，
对于A，
，故A 不正确；
对于B，
，故B 不正确；
对于C，
，
，
,
故
，故C 正确；
对于D，
，
,
，故D 不正确.
故选：C.
6．（2023·广东深圳·统考一模）已知
，
为单位向量，且
，则
与
的夹
9
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角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
为单位向量，
由
，
所以
，
即
，
设
与
夹角为
，
则
，
又
，所以
，
故选：C.
7．（2023·山东德州·三模）已知
，
：向量
与
共线，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先由向量共线求得
或
，进而可判断充分性和必要性.
【详解】若向量
与
共线，则
，解得
或
，
所以
是
的充分不必要条件.
故选：A.
10
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8．（2023·广东广州·统考二模）已知向量
，
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若
，则
，即
，
当
，即
时，满足
，而
无意义，
所以“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A
9．（2023·重庆·统考三模）已知
是单位向量，向量
满足
与
成角
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设
，如图所示：
则由
，又
与
的夹角为
，
.
又由
，由正弦定理
，得
，
，
，
11
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，
故选：C
10．（2023·山东潍坊·三模）已知平面向量
与
的夹角是
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用模的公式可得到
，然后利用数量积的运算律即可得到答案
【详解】由
可得
，
因为平面向量
与
的夹角是
，且
所以
故选：C
11．（2023 春·广东揭阳·高三校考阶段练习）已知向量
、
满足
，
，则
（ ）
A．－2
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
故选：D.
12．（2023 春·广东·高三校联考阶段练习）已知边长为1 的正五边形
，则
（ ）
12
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图，设
的中点为
，连接
，
由正五边形的性质可得：
，
所以
，
因为
，
所以
，
故选：
.
→➍专题训练←
1．（2023·江苏·二模）在
所在平面内，
是
延长线上一点且
，
是
的中点，设
，
，则
（ ）
A．
B．
13
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C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，借助向量的线性运算用
、
表示
即可判断作答.
【详解】在
所在平面内，
在
延长线上，且
，则
，又
是
的中点，
所以
.
故选：C
2．（2023 秋·广东揭阳·高三统考期末）已知
，
为单位向量，向量
满足
.若
与
的夹角为60°，则
（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】B
【解析】由
，得
，
所以
，所以
.
故选：B.
3．（2023 秋·广东·高三统考期末）已知平面向量
满足
，
则向量
与向量
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
，
14
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向量
与向量
的夹角为
.
故选：D.
4．（2023·山西晋中·统考三模）设向量
与向量
的夹角为
，定义
与
的向量积：
是一个向量，它的模
．若
，
，则
（ ）
A．-1
B．1
C．
D．
【答案】D
【详解】∵
，
∴
，又
，∴
，
∴
．
故选：D.
5．（2023·湖北·校联考三模）正
的边长为2，
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设
，如图所示：
因为
所以
，
故选：C．
6．（2023·山东青岛·统考三模）已知向量
，
，满足：
，
，
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，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．2
D．1
【答案】A
【分析】建立平面坐标系，用坐标表示
，
，，利用数量积的坐标运算计算即可.
【详解】由题意不妨设
，则
，且
，
解之得
或
，
由
，
即的终点C 在以
为圆心，1 为半径的圆上，故
，
由圆的对称性，不妨令
，即
，连接AD 交圆于E，由点与圆的位置关系
可知
.
故选：A
16
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7．（2023·山西运城·统考三模）已知向量
满足
，且
，则
实数
（ ）
A．1 或
B．-1 或
C．1 或
D．-1 或
【答案】D
【详解】
所以
，
因为
，
所以
，
解得
或
，
故选：D.
8．（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，
；
故选：A.
9．（2023 春·广东韶关·高三校联考开学考试）已知
，
，
是单位圆上的三点，满足
，
，且
，其中
为非零常数，则下列结论一定正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．
D．
【答案】AB
【解析】依题意，
是单位向量，由
得：
17
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，
，
而
，因此
，
对于A，当
时，
，由
知，
，则
，
即
，A 正确；
对于B，当
时，
，而
，则
，即
，B
正确；
由
得：
，
即
，则
，
而
，有
，
，
因此
或
，即
或
，
对于C，由
或
得：
或
，C 错误；
对于D，由已知得：
，
，
，
若
，则
，
若
，
，D 错误.
故选：AB
10．（2023 春·广东揭阳·高三校考开学考试）已知O 为坐标原点，点
，
，
，则（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】对于A，因为
，
，
，
所以
，
，
故
是正三角形，则
，故A 正确；
对于B，因为
是正三角形，
是
的外心，
所以
是
的重心，故
，即
，故B 正确；
对于C，
，故C 正确；
对于D，因为
，则
，
所以
，故D 错误.
故选：ABC．
19
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11．（2023·辽宁·校联考三模）已知向量
，
，且
，则
______.
【答案】
【详解】已知向量
，
，
，
∵
，∴
，解得
，∴
，
.
故答案为：
12．（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）已知平面向量
，
若
，则
__________.
【答案】
【详解】
，
因为
，所以
，解得
.
故答案为：
13．（2023·广东惠州·统考模拟预测）已知平面向量
，
，若
与
垂直，
则实数
__________．
【答案】2
【解析】因为
与
垂直，所以
，即
，解得
．
故答案为：2
14．（2023·广东肇庆·统考二模）设
是平面直角坐标系中关于
轴对称的两点，且
.若存在
，使得
与
垂直，且
，则
的最小值为__________.
【答案】
【解析】如图示，
是平面直角坐标系中关于
轴对称的两点，且
，
20
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由题意得：
，
令
，则
三点共线
，则
三点共线
故有
共线，
由题意
与
垂直,
,
知
,且
为定值，
在
中，
，当且仅当
时，
取最大值2，
此时
面积最大，则O 到
的距离最远，而
，
故当且仅当
即
关于y 轴对称时，
最小，
此时O 到
的距离为
，
所以
,故
，即
的最小值为
，
故答案为：
15．（2023·黑龙江牡丹江·牡丹江市第三高级中学校考三模）如果平面向量
，
，则向量
在
上的投影向量为_____ .
21
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【答案】
【详解】由已知可得，
，
，
所以，
，
所以，向量
在
上的投影向量为
.
故答案为：
.
16．（2023 春·广东汕头·高三统考开学考试）已知向量
，若
在
方向上
的投影向量为
，则
的值为__________.
【答案】
【解析】因为
在
上的投影向量为
，
所以
，则
，
因为
，
，
所以
，
从而
，
解得
.
故答案为：.
17．（2023 春·广东江门·高三校联考开学考试）已知向量
，且
，
则m=______.
【答案】2
【解析】因为
，
，
由
，得
.
故答案为：2.
22
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18．（2023 春·广东惠州·高三校考阶段练习）已知向量
，
，若
，则
_____．
【答案】
【解析】由题意，则
，即
，解得
，
.
故答案为：
.
19．（2023 春·广东广州·高三统考阶段练习）已知
，
，则
在
上的投影
向量为________．
【答案】
【解析】由题意，
在
上的投影向量为
.
故答案为：
23
