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专题 02 函数的概念与基本初等函数
题型一：已知奇偶性求参数
1．（2024·四川绵阳·一模）已知 ，若 为偶函数，则 ．
【答案】 /0.5
【解析】函数 有意义，则 ，，
解得 或 ，所以函数 定义域为 ，
因为 为偶函数，则有 ，解得 ，所以 ， ，
由 ，有 ，
则有 ，所以 .
故答案为：
2．（2024·四川遂宁·一模）已知函数 为偶函数，则实数 .
【答案】
【解析】函数 的定义域是 ，定义域 关于原点对称；
，
由于 为偶函数，
得到 恒成立；
即对于 恒成立，
所以 .
故答案是： .
3．（2024·四川成都·一模）函数 是偶函数，则 .
【答案】 /
【解析】因为 ，该函数的对称轴为直线 ，
因为函数 为偶函数，则 ，解得 .
故答案为： .4．（2024·内蒙古包头·一模（文））已知 是奇函数，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】由函数 是奇函数，可得 ，
解得 ，即函数 ，
又由函数 的定义域为 ，且 ，
所以函数 为奇函数，所以 符合题意.
故选：D.
5．（2024·内蒙古包头·一模（理））已知 是奇函数，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】因为 ，则函数 的定义域为 ，
即 是定义在 上的奇函数，则 ，
则 ，所以 .
经检验，当 时， 为奇函数，满足题意.
故选：D.
题型二：函数图像的识别
6．（2024·四川南充·一模（文））已知函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A：函数 的定义域为 ，显然不符合题意，故A错误；
对于B：函数 的定义域为 ，显然不符合题意，故B错误；
对于C：函数 的定义域为 ，又 为奇函数，又 在 上函数是下凸递增，故不符合题
意，故C错误；
对于D： 定义域为 ，又 为奇函数，
且 在 上函数是上凸递增，故D正确.
故选：D
7．（2024·四川南充·一模（理））如图1是函数 的部分图象，经过适当的平移和伸缩变换
后，得到图2中 的部分图象，则（ ）
A． B． 的解集为 ，C． D．方程 有4个不相等的实数解
【答案】B
【解析】由图知， 的图象可看作将 的图象先向右平移一个单位，再把所有点的横坐
标缩短为原来的 倍，纵坐标不变得到的，
，
对于A， ，故A错误；
对于B，要使 ，则 ，
解得 ，故B正确；
对于C， 的最小正周期为 ，
，故C错误；
对于D， 在 单调递减，且 的图象过点 和 ，
函数 与函数 的图象有 个交点，如图所示，
方程 有 个不相等的实数解，故D错误.
故选：B.
8．（2024·四川自贡·一模）函数 的图象可能为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 ，解得 ,
所以函数 的定义域为 ,
所以 ,
所以 为偶函数，函数的图象关于 轴对称，排除选项B，
而 ，排除选项C，
，排除选项A，
故选：D.
9．（2024·四川乐山·一模）函数 的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由函数 ，可得函数 的定义域为 ，
且 ，
所以函数 为奇函数，图象关于原点对称，排除A项，
又由 ，排除B项，
当 时， ，排除C项，所以选项D符合题意.
故选：D.
10．（2024·陕西西安·一模（理））已知函数 为偶函数，满足 ，且 时，
，若关于 的方程 至少有两解，则 的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知 ，则 ，则 ，可知函数 为周期函数，最小正周期 ，
又当 时， ，
可知函数 的图象如图所示，且 的值域为 ，
关于 的方程 至少有两解，
可得函数 与函数 的图象至少有两个交点，
如图所示，
可知当 时， ，解得 ，即 ，
当 时， ，解得 ，即 ，
综上所述 ，
故选：C.
11．（2024·陕西·一模（文））已知函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可能为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据函数 的图象， 知 ， 而对A选项 排除A；
对B选项 ，因为 ，则 ，
则 ，但图象中函数值可以大于 1 ， 排除B；
根据C选项的解析式， ， 而根据函数 的图象， 知 ， 排除 C.
故选：D.
12．（2024·四川成都·一模）已知函数 的大致图象如图所示，则 的解析式可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A，当 时， ， 无意义，故A错误；
对于B， ， ，则 是奇函数，
当 时， ，则 ；对于C，当 时， ，则 ，故C错误；
对于D， ，则 ，
则 是偶函数，故D错误，
综上，B正确.
故选：B.
13．（2024·四川·一模）函数 的图象大致是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由函数 ，可得其定义域为 ，关于原点对称，
且 ，
可知 为偶函数，其函数 的图象关于 轴对称，可排除C，D；
当 时，可得 ，
若 时， ，则 ；
若 时，可得 ，则 ，此时B不符题意.
故选：A
题型三：函数的实际应用14．（2024·内蒙古呼和浩特·一模（理））如图，边长为1的正方形 ，其中边 在 轴上，点 与
坐标原点重合，若正方形沿 轴正向滚动，先以 为中心顺时针旋转，当 落在 轴上时，再以 为中心
顺时针旋转，如此继续，当正方形 的某个顶点落在 轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶
点 滚动时形成的曲线为 ，则 （ ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】A
【解析】由题意可知， 是周期为 的函数，
所以 .
由题意可得，当 时，点 恰好在 轴上，所以 ，
所以 .
故选：A.
15．（2024·内蒙古赤峰·一模（文））在下列四个图形中，点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的
图形运动一周，O、P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（
）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】对于A，点 在第一条边上时， ，
但点 在第二条边上运动时， 是随 的增大先减小（减到最小时 即为三角形的第二条边上的高的长
度），然后再增大，
对比图象可知，A错误；
对于B，y与x的函数图形一定不是对称的，B错误；
对于C，一开始 与 的关系不是线性的，C错误；
对于D，因为函数图象对称，所以D选项应为正方形，不妨设边长为 ，
点 在第一条边上时（即 时）， ，
点 在第二条边上运动时（即 时）， ，依然单调递增，
点 在第三条边上运动时（即 时）， ，单调递减，
点 在第四条边上运动时（即 时）， ，单调递减，
且已知 与 的图象关于 （其中 ）对称，D正确.
故选：D.
16．（2024·四川乐山·一模）地处长江上游的四川省乐山市，多年来始终树立上游意识，落实上游责任，
不断提升水环境治理体系和治理能力现代化水平，为守护好这一江清水作出乐山贡献（摘自：人民网四川
频道）.为了解过滤净化原理，某中学科创实践小组的学生自制多层式分级过滤器，用于将含有沙石的大渡
河河水进行净化.假设经过每一层过滤可以过滤掉五分之一的沙石杂质，若要使净化后河水中沙石杂质含量
不超过最初的三分之一，则最少要经过多少层的过滤？（ ）（参考数据： ， ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【解析】由题知，设最少要经过 层的过滤，
沙石杂质含量最初为 ，则 ，即 ，
所以
，
故最少要经过 层的过滤.
故选：C
17．（2024·四川德阳·一模）小明同学过生日时，他和好朋友小天一起分享一个质地均匀但形状不规则的
蛋糕，他们商量决定用刀把蛋糕平均分成两份（蛋糕厚度不计），你认为下面的判断中正确的是（ ）
A．无论从哪个位置（某个点）切一刀都可以平均分成两份
B．只能从某个位置（某个点）切一刀才可以平均分成两份
C．无论从哪个位置（某个点）切一刀都不可以平均分成两份
D．至少要切两刀才可以平均分成两份
【答案】A
【解析】
如图，在形状不规则的蛋糕上任取一点 ，则这一刀可转化为，
点的任意一条直线，过 点的直线 将图像分为两部分，
其面积为 ，
将直线 以以 为旋转中心，以 轴正方向的夹角记为 ， ，
得连续函数 ，作辅助函数 ，则
为连续函数，设 ，
则 ，
根据零点定理，存在一点 ，使得 ，
即 ，
即过点 作直线，使之以 轴正方向的夹角为 ，改直线即为所求；
即无论从哪个位置（某个点）切一刀都可以平均分成两份.
故选：A
18．（2024·四川宜宾·一模）某种病毒的繁殖速度快、存活时间长，a个这种病毒在t天后将繁殖到 个．
已知经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍．且再过m天后病毒的数量将达到原来的16倍，则
（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【解析】由题可知，，所以 ，
经过 天，数量变为原来的16倍，即 ，
则有 ，解得 ，
故选:C.
题型四：基本初等函数的性质：单调性、奇偶性
19．（2024·内蒙古呼和浩特·一模（理））已知定义在 上的函数 ，满足不等
式 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】易知函数 在 上为单调性递增，
即可得 是 上的增函数，令 ，则 是 上的增函数，
易知 ，可得 ,
即 的图象关于点 成中心对称，
由 可得 ，
即 ，由 可得 ；
所以 ，利用 是 上的增函数可得 ，
解得 .
即 的取值范围是 .
故答案为：
20．（2024·四川达州·一模）已知函数 ，则 的值为 .
【答案】
【解析】因为函数 ，
则
.
故答案为：
21．（2024·四川达州·一模）函数 ，且 ，则 的值为 .
【答案】0
【解析】令 ，
定义域为 或 且 ，关于原点对称，
则 ，故 为奇函数，
又 ，故 ，
解得 .
故答案为：0
22．（2024·四川雅安·一模）写出一个同时具有下列性质①②③的函数： ．
①偶函数；②最大值为2；③最小正周期是 ．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】例如 ，可知其定义域为 ，
则 ，即 为偶函数；
显然 的最大值为2；
且 的最小正周期为 ；
所以 符合题意.
故答案为： （答案不唯一）.
23．（2024·陕西·一模）已知定义在 上的函数 ，满足 ，且
．若 ，则满足 的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为定义在 上的函数 ，满足 ，
所以 在 上单调递减，
因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，
由 ，得 ，
所以 ．
因为 在 上单调递减，
所以 ，得 ，
故选：A．
24．（2024·西藏拉萨·一模）已知函数 ，当 时，恒有
，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】依题意可得 在区间 上单调递减，则 在区间 上恒成立.
因为 ，所以 在区间 上恒成立，
而 在区间 上单调递减，
∴ ， 的取值范围是 .
故选：B
25．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知 是定义在R上的偶函数，且周期 .若当 时，
，则 （ ）
A．4 B．16 C． D．
【答案】B【解析】因为 .
故选：B.
26．（2024·四川·一模）已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则满足
的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意 是奇函数，所以 ，即 ，
则 ， ，
当 时，令 ，解得 或 ，
根据对称性，当 时， ，
故满足 的 的取值范围是 ．
故选：C．
27．（2024·四川德阳·一模）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D【解析】由函数 ，
当 时， ，可得 ，
要使得 在 为单调递增函数，则 恒成立，
即 在 恒成立，即 在 恒成立，可得 ；
当 时， ，可得 ，
要使得 在 为单调递增函数，则 恒成立，
即 在 恒成立，即 在 恒成立，可得 ，
综上可得，实数 的取值范围 .
故选：D.
题型五：分段函数问题
28．（2024·四川南充·一模）已知函数 为 上的奇函数，且 ，则
．
【答案】
【解析】由题意，
在 中， ，
∵ 为 上的奇函数，
∴ ，
故答案为： .29．（2024·四川甘孜·一模）设函数 ，则 .
【答案】3
【解析】 ， ，所以 .
故答案为：3
30．（2024·四川宜宾·一模）设函数 ，则 （ ）
A．8 B．9 C．22 D．26
【答案】C
【解析】 ,
因为 ，所以 ,
所以 .
故选： .
31．（2024·四川绵阳·一模）若 ，满足对任意 ，都有 成
立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，满足对任意 ，都有 成立，所以 在 上单调递减，则 ，解得 ，
即 的取值范围是 .
故选：C
32．（2024·四川成都·一模）已知函数 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】由于函数 ，
所以 ，
则 .
故选：B.
题型六：函数的定义域、值域、最值问题
33．（2024·四川成都·一模）与 有相同定义域的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于函数 ，有 ，即函数 的定义域为 ，对于A选项，函数 的定义域为 ，A不满足；
对于B选项，函数 的定义域为 ，B不满足；
对于C选项，对任意的 ， ，即函数 的定义域为 ，C不满足；
对于D选项，函数 的定义域为 ，D满足.
故选：D.
34．（2024·四川德阳·一模） 是神经网络中重要的激活函数，又称Sigmoid函数.则下列对该
函数图象和情质的描述中正确的是（ ）
A． 的值域是
B． 的图象不是中心对称图形
C． 在 上不单调
D． （其中 是 的导函数
【答案】D
【解析】由函数 ，定义域为 ，
， ，则 ，A错误；
因为 ，
所以 ，所以Sigmoid雨数的图象的对称中心为 ，B错误；
求导得： ，
， ，则Sigmoid函数是单调增函数，C错误；，D正确.
故选：D
题型七：函数性质（对称性、周期性、奇偶性）的综合运用
35．（2024·四川德阳·一模）已知函数 的定义域为 且 ，
，那么（ ）
A． 为偶函数 B．
C． 是函数的极大值点 D． 的最小值为
【答案】D
【解析】令 ，得
，
即 ，①
令 ，结合 ，
则 ，②
结合①②可得，
用 代替 得，
，③
对于 中，取 得，把 变为 ，结合 ，
得 ，④
联立③④，
可得 ,
对于A， ，故A错误；
对于B， ,故B错误；
对于C, ，故C错误；
对于D,易得最小值为 ，故D正确，
故选：D.
36．（2024·四川泸州·一模）已知 ， 都是定义在 上的函数，对任意 ， 满足
，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若 ，则
C．函数 的图像关于直线 对称 D．
【答案】D
【解析】对于A，令 ，可得 ，得 ，
令 ， ，代入已知等式得 ，
可得 ，结合 得 ，
所以 ，故A错误；
对于D，因为 ，令 ，代入已知等式得 ，
将 ， 代入上式，得 ，所以函数 为奇函数.令 ， ，代入已知等式，得 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，故D正确；
对于B，分别令 和 ，代入已知等式，得以下两个等式：
， ，
两式相加易得 ，所以有 ，
即 ，
有 ，
即 ，所以 为周期函数，且周期为 ，
因为 ，所以 ，所以 ， ，
所以 ，
所以
，故B错误；
对于C，取 ， ，满足 及 ，
所以 ，又 ，
所以函数 的图像不关于直线 对称，故C错误；
故选：D.
37．（2024·四川乐山·一模）已知函数 定义域为R，且满足 ， ，，给出以下四个命题：
① ；
② ；
③ ；
④函数 的图象关于直线 对称.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】对于 ，令 ，则 ，
即 ，①错误；
令 ，则 ，即 ，
而对于 ，令 ，则 ，矛盾，
故②错误；
由题意知 ， ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
故 ，③错误；
又 可得 ，
设 ，则 ，
即 ，即函数 的图象关于直线 对称即函数 的图象关于直线 对称，④正确，
故选：B
38．（2024·四川乐山·一模）已知函数 与其导函数为 定义域均为 ，且 满足 ，
， ，给出以下四个命题：
① ②
③函数 的图象关于直线 对称 ④
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】对 两边同时求导： ，令 ，即 ，故①正确；
令 ，则有 ，即 ，不满足 ，故②错误；
由 得 ，
令 ，则有 ，
若 ，则 ，所以 关于直线 对称，故③正确；
令 ，则 ，对方程两边同时求导可得：
，即 ，
因为 ，所以 ，
从而得 .
当 时， ，
当 时， ， ，即 ，当 时， 是以 为首项，公差为4的等差数列，
所以， ；
当 时， ，则 ，又 ，
所以 ，
即 ，进而
得 ；
综上所述， ，故④正确.
故选：D.
39．（2024·四川自贡·一模）定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时，
，则函数 在 上所有零点的和为（ ）
A．16 B．32 C．36 D．48
【答案】A
【解析】依题意， 是定义在 上的奇函数，图象关于原点对称，
由于 ，所以 的图象关于 对称，
，
所以 是周期为 的周期函数.
令 ，得 ，
函数 的图象关于 对称， 的图象也关于点 对称，画出函数 和 的图象如下图所示，
由图可知，两个函数图象有 个交点，且交点关于 对称，
所以 所有零点和为 .
故选：A
40．（2024·四川宜宾·一模）已知函数 的定义域为 的图像关于 对称，且
为奇函数， ，则下列说法正确的个数为（ ）
① ；② ；③ ；④ .
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】因为 为奇函数，所以 ，则 ，
所以 对称中心为 ，
又因为 的图像关于 对称，则 ，
所以 ，则 ，
所以 的周期 ，
① ，所以①正确；
②因为 ， ， 对称中心为 ，所以 ，所以 ，所以②正确；
③因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
则 ，所以 ，所以③错误；
④因为 且 周期 ，
所以 ，则 的周期为 ，
因为 ， ， ， ，
所以 ，
所以 ，所以④正确.
故选：C.
41．（2024·陕西西安·一模（理））已知函数 及其导函数 的定义域均为R，记 ，若
为偶函数， ，且 ，则 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【解析】因为 为偶函数，所以 ，
两边同时求导得 ，即 ，
所以 ，令 ，得 ，
令 ，得 ，又因为 ，所以 ，由 ，所以 ，所以 的周期为6，则 ，
而 ，所以 ，所以 ．
故选：B
42．（2024·陕西西安·一模（文））已知定义在 上的奇函数 满足 ，则以下说法错误的
是（ ）
A．
B． 是周期函数，且2是其一个周期
C．
D．
【答案】C
【解析】选项A，因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，即 ，所以选项A
正确，
选项B，由 ，知 是周期函数，且2是其一个周期，所以选项B正确，
选项C，因为 ，又 ， ，得到 ，
所以选项C错误，
选项D， ，所以选项D正确，
故选：C.
43．（2024·内蒙古赤峰·一模（理））定义在 上的函数 满足：对任意 都有
，且当 时， 恒成立.下列结论中可能成立的有 .① 为奇函数；
②对定义域内任意 ，都有 ；
③对 ，都有 ；
④ .
【答案】①③④
【解析】对于①中，由对任意 都有 ，
令 ，可得 ，所以 ，
任取 ，可得 ，可得 ，
所以 ，所以函数 是 上的奇函数，所以①正确；
对于②中，设 ，可得 ，则
则有 ，
因为当 时， 恒成立，且函数为 为奇函数，
所以当 时， 恒成立，可得 ，
即 ，即 ， 在 为减函数，
又因为 为奇函数，所以函数 在 为减函数，
且当 时， ；当 时， ，
又由 ，因为 ，不妨设 ，可得 ， ，
所以 ，即 ，
所以②不正确；
对于③中，对于 ，可得 ，则 ，
可得 ，且 ，
因为 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，所以 ，
即 ，所以③正确；
对于④中，因为函数 为奇函数，
可得 ，
所以 ，因为 ，
所以 ，
所以 ，所以④正确.
故答案为：①③④.
44．（2024·陕西西安·一模）函数 是定义在 上的函数，且 为偶函数， 是奇函数，
当 时， ，则 .
【答案】【解析】因为 为偶函数，则有 ，故 的图像关于 对称，则有
①，
是奇函数，则 ②，
联立①②可得： ，变形为 ，所以
，则 是周期为 的周期函数，
所以 ，
又当 时， ，所以 .
故答案为： .
45．（2024·陕西咸阳·一模）函数 为偶函数，且图象关于直线 对称， ，则
．
【答案】4
【解析】由于函数 图象关于直线 对称， ，
故 ，又 为偶函数，故 ，
则 ，
故答案为：4
46．（2024·宁夏银川·一模）已知定义在R上的偶函数 满足 ，当 时，
.函数 ，则 与 的图象所有交点的横坐标之和为 .
【答案】4
【解析】函数 是偶函数，图象对称轴为 ，则函数 的图象有对称轴 ，
所以函数 的图象有对称轴 ，， 时 ，在 上单调递减且 ，
定义在R上的偶函数 满足 ，
则函数 有对称轴 ，又当 时， ，
在同一坐标系在 内作出 与 的图象，
由图象可得， 与 的图象有4个交点，
又 与 的图象均有对称轴 ，
则两函数所有交点的横坐标之和为4.
故选：B
