专题4.6 三角恒等变换（举一反三专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分题型专练
【题型1
两角和与差的三角函数公式】...................................................................................................................1
【题型2
二倍角公式】............................................................................................................................................... 3
【题型3
三角函数式的化简】...................................................................................................................................4
【题型4
给角求值型问题】.......................................................................................................................................6
【题型5
给值求值型问题】.......................................................................................................................................7
【题型6
给值求角型问题】.......................................................................................................................................9
【题型7
辅助角公式及其应用】............................................................................................................................. 11
【题型8
三角恒等变换与三角函数、解三角形综合】.........................................................................................13
第二部分分层突破
A 组
基础跟踪练
B 组
培优提升练
C 组
真题·实战演练
【题型1
两角和与差的三角函数公式】
1．（2026·四川资阳·一模）已知cos�=−
3
5，�∈(0,π)，则tan �+
π
4 =（
）
A．−7
B．−
1
7
C．
1
7
D．7
【答案】B
【解题思路】先根据同角三角函数的基本关系求得tan�=−
4
3，再根据两角和的正切公式求解即可.
【解答过程】由cos�=−
3
5，�∈(0,π)，则sin�=
1 −cos2�=
4
5，
所以tan�=
sin�
cos�=−
4
3，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
则tan �+
π
4 =
tan�+tanπ
4
1−tan�tanπ
4
=
−4
3+1
1+4
3
=−
1
7.
故选：B.
2．（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）sin15∘cos45∘−cos165∘sin45∘=（
）
A．−
1
2
B．−
3
2
C．
1
2
D．
3
2
【答案】D
【解题思路】根据诱导公式和两角和的正弦公式即可得到答案.
【解答过程】sin15∘cos45∘−cos165∘sin45∘= sin15∘cos45∘−cos 180∘−15∘sin45∘
= sin15∘cos45∘+ cos15∘sin45∘= sin 15∘+ 45∘=
3
2 .
故选：D.
3．（2026·广东·模拟预测）已知�∈0,
π
2 ,tan�=
4
3，则sin �+
π
4 =（
）
A．
2
10
B．
2
5
C．
3 2
10
D．
7 2
10
【答案】D
【解题思路】由tan�=
4
3，结合同角三角函数平方关系求出sin�, cos�，再由两角和的正弦公式即可求解.
【解答过程】由tan�=
sin�
cos�=
4
3 ⇒sin�=
4
3 cos�，又sin2�+ cos2�= 1，所以cos2�=
9
25，
又�∈0,
π
2 ，所以cos�=
3
5，所以sin�=
4
3 cos�=
4
5，
所以sin �+
π
4 = sin�cos
π
4 + cos�sin
π
4 =
4
5 ×
2
2 +
3
5 ×
2
2 =
7 2
10 ，
故选：D.
4．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知�, �∈0,
π
2 ,sin�sin�=
2 2
5 ,cos �−�=
7 2
10 ，则tan �+ �=（
）
A．7
B．
1
7
C．−
1
7
D．−7
【答案】D
【解题思路】利用余弦的两角和差公式，先求出cos �+�=−
2
10，再用同角公式即可求解.
【解答过程】由cos �−�= cos�cos�+ sin�sin�=
7 2
10 ，
因为sin�sin�=
2 2
5 ，所以cos�cos�=
7 2
10 −
2 2
5 =
3 2
10 ，
则cos �+�= cos�cos�−sin�sin�=
3 2
10 −
2 2
5 =−
2
10，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
又因为�, �∈0,
π
2 ,可得�+�∈0,π ,由cos �+�=−
2
10 < 0，
可知�+�∈
π
2 ,π ,即sin �+�= 1 −cos2 �+�=
1 −
2
100 =
7 2
10 ，
所以tan �+ �=
sin �+�
cos �+�=
7 2
10
−2
10
=−7.
故选:D.
【题型2
二倍角公式】
5．（2026·海南·一模）已知�∈0,
π
2 , sin�=
3 10
10 ，则tan2�=（
）
A．−2
B．−
1
2
C．−
4
3
D．−
3
4
【答案】D
【解题思路】根据同角三角函数的基本关系求出tan�= 3，再根据二倍角公式求得答案.
【解答过程】因为�∈0,
π
2 , sin�=
3 10
10 ，
所以cos�=
1 −sin2�=
10
10 , tan�=
sin�
cos�= 3，
故tan2�=
2tan�
1−tan2�=−
3
4，
故选：D.
6．（2026·湖北·模拟预测）若cos95∘= �，则sin100∘的值为（
）
A．1 −�2
B．1 −2�2
C．2�2 −1
D．�2 −1
【答案】B
【解题思路】先由诱导公式求得sin5°，再用诱导公式和二倍角公式求解sin100°.
【解答过程】由cos95∘= cos 90∘+ 5∘=−sin5∘= �知：sin5∘=−�，
因此sin100∘= sin 90∘+ 10∘= cos10∘= 1 −2sin25∘= 1 −2�2.
故选：B.
7．（2026·吉林长春·模拟预测）已知tan�=
2，则cos2�−2sin2�=（
）
A．−
5
3
B．−
1
3
C．
1
3
D．
5
3
【答案】A
【解题思路】利用同角三角函数之间的关系及二倍角公式化简求值即可.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【解答过程】因为tan�=
sin�
cos�=
2，所以cos�≠0，又sin2�+ cos2�= 1，
所以cos2�−2sin2�= cos2�−sin2�−2sin2�=
cos2�−3sin2�
sin2�+cos2�
=
cos2�−3sin2�
cos2�
sin2�+cos2�
cos2�
=
1−3tan2�
tan2�+1 =
1−3×
2
2
2
2+1 =−
5
3.
故选：A.
8．（2026·四川·模拟预测）已知
sin�+cos�
sin�−cos�= 2 +
3，则sin2�=（
）
A．
3
2
B．
3
3
C．
3−1
2
D．
3−1
4
【答案】A
【解题思路】根据给定条件，利用齐次式法求出tan�，再利用二倍角公式及齐次法求解.
【解答过程】由
sin�+cos�
sin�−cos�= 2 +
3，得
tan�+1
tan�−1 = 2 +
3，解得tan�=
3，
所以sin2�= 2sin�cos�=
2sin�cos�
sin2�+cos2�=
2tan�
tan2�+1 =
2 3
( 3)2+1 =
3
2 .
故选：A.
【题型3
三角函数式的化简】
9．（25-26 高三上·黑龙江·阶段检测）化简sin 170∘−�cos 70∘+ �−cos 10∘+ �sin 70∘+ �=（
）
A．1
B．
2
2
C．−
3
2
D．−
1
2
【答案】C
【解题思路】利用诱导公式结合两角差的正弦公式化简所求代数式，可得结果.
【解答过程】sin 170∘−�cos 70∘+ �−cos 10∘+ �sin 70∘+ �
= sin 180∘−10∘+ �cos 70∘+ �−cos 10∘+ �sin 70∘+ �
= sin 10∘+ �cos 70∘+ �−cos 10∘+ �sin 70∘+ �
= sin 10∘+ �−70∘+ �
= sin −60∘=−sin60∘=−
3
2 .
故选：C.
10．（25-26 高一下·四川巴中·期末）化简计算
1
2 tan40° −2cos50°的值为（
）
A．3
B．−
3
2
C．
3
3
D．−
3
【答案】B
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【解题思路】由三角恒等变换求解即可.
【解答过程】
1
2 tan40° −2cos50° =
sin40°
2cos40° −
4cos40°sin40°
2cos40°
= sin40° −2sin80°
2cos40°
= sin40° −2cos10°
2cos40°
= sin40° −2cos 40° −30°
2cos40°
=
sin40° −2
3
2 cos40° + 1
2 sin40°
2cos40°
=
−3cos40°
2cos40° =−
3
2 .
故选：B.
11．（25-26 高一下·河南商丘·期中）化简
3
4tan20° −
1+cos40°
2
所得的结果是（
）
A．
3
4
B．
1
4
C．
3
2
D．
1
2
【答案】B
【解题思路】利用二倍角公式及和（差）角公式计算可得.
【解答过程】
3
4tan20° −
1+cos40°
2
=
3
4tan20° −
1+2cos220°−1
2
=
3
4tan20° −cos20°
=
3cos20°
4sin20° −cos20° =
3cos20°−4sin20°cos20°
4sin20°
=
3cos20°−2sin40°
4sin20°
=
3cos20°−2sin 60°−20°
4sin20°
=
3cos20°−2 sin60°cos20°−cos60°sin20°
4sin20°
=
3cos20°−3cos20°+sin20°
4sin20°
=
sin20°
4sin20° =
1
4．
故选：B．
12．（25-26 高二上·吉林白城·阶段检测）化简cos 2π −�cos2�−sin�sin π + 2�所得的结果是（
）
A．cos�
B．−cos�
C．cos3�
D．−cos3�
【答案】A
【解题思路】利用诱导公式以及两角差的余弦公式化简计算即可得出结果.
【解答过程】易知cos 2π −�cos2�−sin�sin π + 2�= cos −�cos2�−sin�−sin2�
= cos�cos2�+
sin�sin2�= cos �−2�= cos�.
故选：A.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【题型4
给角求值型问题】
13．（25-26 高三上·河北石家庄·期末）sin240∘+ sin220∘+ cos50∘cos70∘=（
）
A．1
B．2
C．
1
4
D．
3
4
【答案】D
【解题思路】利用诱导公式和两角差的正弦公式化简计算即得.
【解答过程】因为cos50∘= cos 90∘−40∘= sin40∘，同理可得cos70∘= sin20∘，
sin240∘+ sin220∘+ cos50∘cos70∘= sin240∘+ sin220∘+ sin40∘sin20∘
= sin2 60∘−20∘+ sin220∘+ sin 60∘−20∘sin20∘
=
3
2 cos20∘−1
2 sin20∘
2
+ sin220∘+
3
2 cos20∘−1
2 sin20∘sin20∘
= 3
4 cos220∘+ 1
4 sin220∘−
3
2 sin20∘cos20∘+ sin220∘+
3
2 sin20∘cos20∘−1
2 sin220∘
=
3
4 cos220∘+ sin220∘=
3
4.
故选：D.
14．（25-26 高一下·江苏宿迁·阶段检测）sin40∘1 −
3
3 tan10∘
=（
）
A．
1
3
B．
2
3
C．
3
3
D．
6
3
【答案】C
【解题思路】利用切化弦、辅助角公式、二倍角公式以及诱导公式化简可得所求代数式的值.
【解答过程】sin40∘1 −
3
3 tan10∘
= sin40∘1 −
3sin10∘
3cos10∘
=−
sin40∘
3sin10∘−3cos10∘
3cos10∘
=−2 3sin40∘sin 10∘−60∘
3cos10∘
= 2 3sin40∘sin50∘
3cos 90∘−80∘
= 2 3sin40∘sin 90∘−40∘
3sin80∘
=
2 3sin40∘cos40∘
3sin80∘
=
3sin80∘
3sin80∘=
3
3 .
故选：C.
15．（25-26 高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）若�+ �=−
�
4，则1 −tan�
1 −tan�=（
）
A．2
B．3
C．−2
D．−3
【答案】A
【解题思路】利用两角和的正切公式，可以得到tan�+ tan�和tan�⋅tan�的关系，再将所求表达式展开并代
入该关系进行计算，即可求解.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【解答过程】根据题意，由�+ �=−
�
4，可得tan �+ �=−1，即
tan�+tan�
1−tan�⋅tan�=−1，
化简整理得tan�+ tan�= tan�⋅tan�−1，
又1 −tan�
1 −tan�= 1 −tan�−tan�+ tan�⋅tan�
= 1 −tan�+ tan�+ tan�⋅tan�，
将tan�+ tan�= tan�⋅tan�−1 代入，
得1 −tan�
1 −tan�= 1 −tan�⋅tan�−1 + tan�⋅tan�
= 1 −tan�⋅tan�+ 1 + tan�⋅tan�= 2.
故选：A.
16．（25-26 高一下·安徽芜湖·开学考试）
1+tan190°
1−tan370° −
2cos70°
sin40° =（
）
A．tan20°
B．tan70°
C．−tan20°
D．−tan70°
【答案】A
【解题思路】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角公式及齐次式法求值化简即得.
【解答过程】
1+tan190°
1−tan370° −
2cos70°
sin40° =
1+tan10°
1−tan10° −
2sin20°
2sin20°cos20° =
1+tan10°
1−tan10° −
1
cos20°
= 1 + tan10°
1 −tan10° −cos210° + sin210°
cos210° −sin210° = 1 + tan10°
1 −tan10° −1 + tan210°
1 −tan210°
=
(1+tan10°)2
1−tan210° −
1+tan210°
1−tan210° =
2tan10°
1−tan210° = tan20°.
故选：A.
【题型5
给值求值型问题】
17．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知�, �∈0,
π
2 ，sin�= cos�，tan�= 3tan�，则sin �−�=（
）
A．−
1
2
B．
1
2
C．
2
2
D．
3
2
【答案】B
【解题思路】由�, �∈0,
π
2 及sin�= cos�，得�+ �=
π
2，再将正切变成正弦和余弦，化简并结合同角三角
函数的基本关系可求解出cos2�，再利用二倍角关系求解即可.
【解答过程】由�, �∈0,
π
2 及sin�= cos�，得�+ �=
π
2.
又由tan�= 3tan�，得
sin�
cos�=
3sin�
cos�，得sin2�= 3cos2�，
所以cos2�=
1
4，而sin �−�=−cos2�= 1 −2cos2�=
1
2，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
故选：B.
18．（2026·山西吕梁·模拟预测）已知cos �−
π
6 −
1
2 = sin�，则cos 2�+
π
3 =（
）
A．
1
2
B．−
1
2
C．
3
4
D．−
3
4
【答案】B
【解题思路】利用两角差的余弦公式展开已知条件中的cos �−
π
6 ，通过移项化简得到cos �+
π
6 的值，再
利用余弦的二倍角公式即可求解.
【解答过程】由题知cos �−
π
6 −
1
2 = cos�cos
π
6 + sin�sin
π
6 −
1
2 =
3
2 cos�+
1
2 sin�−
1
2 = sin�，
所以
3
2 cos�−
1
2 sin�=
1
2，即cos �+
π
6 =
1
2，
所以cos 2�+
π
3 = cos2 �+
π
6 = 2cos2 �+
π
6 −1 = 2 ×
1
2
2
−1 =−
1
2.
故选：B.
19．（2026·安徽蚌埠·三模）已知cos �+
π
12 =
4
5 , �∈0,
π
2 ，则sin
25π
6 −�=（
）
A．−
7 2
10
B．
7 2
10
C．−
2
10
D．
2
10
【答案】D
【解题思路】利用三角函数的诱导公式对sin
25π
6 −�进行化简，结合已知条件求解.
【解答过程】因为�∈0,
π
2 ，所以�+
π
12 ∈
π
12 ,
7π
12 ，
因为cos �+
π
12 =
4
5，所以sin �+
π
12 =
1 −cos2 �+
π
12 =
1 −
4
5
2
=
3
5，
所以sin
25π
6 −�= sin 4π +
π
6 −�= sin
π
6 −�
= cos
π
2 −
π
6 −�
= cos �+
π
3 = cos
�+
π
12 +
π
4
= cos �+
π
12 cos
π
4 −sin �+
π
12 sin
π
4
=
4
5 ×
2
2 −
3
5 ×
2
2 =
2
10.
故选：D.
20．（2026·河北沧州·一模）已知cos�+ cos�
cos�−cos�=−
1
12 ,sin �−�=
1
4，则
tan�
tan�=（
）
A．−7
B．−6
C．6
D．7
【答案】D
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【解题思路】根据二倍角余弦公式结合和差角余弦公式化简cos�+ cos�
cos�−cos�=−
1
12，可得sin �+
�sin �−�=
1
12，结合条件求得sin �+ �=
1
3，再利用和差角的正弦公式求得
sin�cos�=
7
24 ,cos�sin�=
1
24，进而求得答案.
【解答过程】因为cos�+ cos�
cos�−cos�= cos2�−cos2�=
1+cos2�
2
−
1+cos2�
2
=
1
2 cos2�−cos2�=
1
2 cos �+ �+ �−�
−
1
2 cos �+ �−�−�
= 1
2 cos �+ �cos �−�−sin �+ �sin �−�
−1
2 cos �+ �cos �−�+ sin �+ �sin �−�
=−sin �+ �sin �−�=−
1
12，
所以sin �+ �sin �−�=
1
12，又sin �−�=
1
4，所以sin �+ �=
1
3，
又sin �−�= sin�cos�−cos�sin�=
1
4 ,sin �+ �= sin�cos�+ cos�sin�=
1
3，
解得sin�cos�=
7
24 ,cos�sin�=
1
24，所以
tan�
tan�=
sin�cos�
cos�sin�= 7.
故选：D.
【题型6
给值求角型问题】
21．（25-26 高一下·江苏南通·阶段检测）已知�, �∈0,π ，且tan�=
1
7 ,cos�=
4
5，则�+ �=（
）
A．
π
4
B．
3π
4
C．
π
6
D．
2π
3
【答案】A
【解题思路】由已知得出�, �∈0,
π
2 ，sin�=
2
10 , cos�=
7 2
10 , sin�=
3
5，再根据两角和的余弦公式求得cos �+
�=
2
2 ，结合�+ �∈0,π 即可求解．
【解答过程】因为�, �∈0,π ，且tan�=
1
7 ,cos�=
4
5，
所以�, �∈0,
π
2
所以sin�=
2
10 , cos�=
7 2
10 , sin�=
3
5，
所以cos �+ �= cos�cos�−sin�sin�=
7 2
10 ×
4
5 −
2
10 ×
3
5 =
2
2 ，
因为�+ �∈0,π ，所以�+ �=
π
4，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
故选：A．
22．（25-26 高一下·四川绵阳·期中）若cos2�=−
2 5
5 ，sin �−�=
10
10 ，且�∈[
π
4 ,
π
2 ]，�∈[π,
3
2 π]，则�+ �=
（
）
A．
11π
6
B．
7π
4
C．
5π
3
D．
4π
3
【答案】B
【解题思路】先根据角的范围和题设条件求出sin2�与cos(�−�)的值，再由和角的余弦公式求出cos(�+ �)，
即可求得�+ �.
【解答过程】由�∈[
π
4 ,
π
2 ]可得2�∈[
π
2 ,π]，
因cos2�=−
2 5
5 ，则sin2�=
1 −cos22�=
5
5 ，
又�∈[π,
3
2 π]，则(�−�) ∈[
π
2 ,
5π
4 ]，
因sin �−�=
10
10 ，
则cos(�−�) =−
1 −sin2 �−�=−
3
10
10，
故cos(�+ �) = cos[2�+ (�−�)]
= cos2�cos(�−�) −sin2�sin(�−�)
=−
2 5
5 × ( −
3 10
10 ) −
5
5 ×
10
10 =
2
2 ，
因
5π
4 ≤�+ �≤2π，故�+ �=
7π
4 .
故选：B.
23．（25-26 高一下·内蒙古呼和浩特·期中）已知�，�均为锐角，且tan�= 7，cos�=
2 5
5 ，则�+ 2�的值
是____________．
【答案】
3π
4
【解题思路】根据同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、两角差的正切公式求得正确答案.
【解答过程】∵β为锐角，且cos�=
2 5
5 ，∴sin�=
5
5 ，tan�=
1
2，
故tan2�=
2tan�
1−tan2�=
2×1
2
1−1
2
2 =
4
3 > 0，
∴0 < 2�<
π
2，0 < �+ 2�< π，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
又tan �＋2�＝
tan�+tan2�
1−tan�tan�=
7+4
3
1−7×4
3
=−1，
∴�＋2�＝
3π
4 .
故答案为：
3π
4 .
24．（25-26 高一下·江苏扬州·期中）已知0 < �<
π
2，
3
2 π < �< 2π，tan�=
1
3，sin�=−
2 5
5 ，则�+ �的值
为____________.
【答案】
7
4 π
【解题思路】由条件可得tan�，从而得到tan �+ �的值，再由�+ �的范围，即可得到结果.
【解答过程】因为
3
2 π < �< 2π，sin�=−
2 5
5 ，则cos�=
1 −−
2 5
5
2
=
5
5 ，
所以tan�=
sin�
cos�=−2，
则tan �+ �=
tan�+tan�
1−tan�⋅tan�=
1
3−2
1−1
3× −2 =−1，
且0 < �<
π
2，
3
2 π < �< 2π，
3
2 π < �+ �<
5
2 π，
则�+ �=
7
4 π.
故答案为：
7
4 π.
【题型7
辅助角公式及其应用】
25．（2026·吉林·模拟预测）函数��= 2sin2 �−
�
4 +
3cos2�的最小正周期为（
）
A．2π
B．
4π
3
C．π
D．
2
3 π
【答案】C
【解题思路】由余弦二倍角公式及辅助角公式化简，再由周期公式即可求解.
【解答过程】��= 2sin2 �−
π
4 +
3cos2�= 1 −cos 2�−
π
2 +
3cos2�= 1 −sin2�+
3cos2�
= 2
3
2 cos2�−
1
2 sin2�+ 1 = 2sin 2�+
2�
3
+ 1，
∴�= 2，∴�= π，
故选：C．
26．（2026·湖北·模拟预测）已知函数�(�) = 2cos2��+ 2sin��⋅cos���> 0 在区间0,2π 上有且仅有3
个零点，则�的取值范围是（
）
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
A．
7
8 ,
5
4
B．
7
8 ,
5
4
C．
3
4 ,
7
8
D．
3
4 ,
7
8
【答案】D
【解题思路】将2��+
π
4看成一个整体，找出其范围，再根据sin 2��+
π
4 =−
2
2 有且仅有3 个零点列出不
等式求解.
【解答过程】�(�) = 2cos2��+ 2sin��⋅cos��=
2sin 2��+
π
4 + 1，
令�(�) = 0，得sin 2��+
π
4 =−
2
2 ∵�∈[0,2�]，.2��+
π
4 ∈
π
4 , 4π�+
π
4
由sin 2��+
π
4 =−
2
2 有且仅有3 个零点得：
3�+
π
4 ≤4��+
π
4 < 4π −
π
4，化简得
3
4 ≤�<
7
8.
故选：D.
27．（2026·陕西榆林·模拟预测）函数��=
3sin2�+ cos2�−1 在区间0, �上有且仅有2 个极值点，则
�的取值范围是___________．
【答案】(
2π
3 ,
7π
6 ]
【解题思路】利用辅助角公式化简，将问题转化为�= 2sin�−1，�= sin�在
π
6 , 2�+
π
6 上有且仅有2 个极值
点，结合正弦函数图象可求.
【解答过程】��=
3sin2�+ cos2�−1 = 2sin 2�+
π
6 −1，
因�∈0, �，则2�+
π
6 ∈
π
6 , 2�+
π
6 ，
因��在区间0, �上有且仅有2 个极值点，
则�= 2sin�−1，�= sin�在
π
6 , 2�+
π
6 上有且仅有2 个极值点，
结合正弦函数图象可知，
3π
2 < 2�+
π
6 ≤
5π
2 ，得
2π
3 < �≤
7π
6 ，
故�的取值范围是(
2π
3 ,
7π
6 ].
故答案为：(
2π
3 ,
7π
6 ].
28．（2026·甘肃甘南·模拟预测）函数�(�) = 2cos2��+ 2 3sin��cos��−1(0 < �< 1)图象的一条对称轴
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
为直线�=
π
3，且�= �(��)(�> 0)在[0,π]上有且仅有三个零点，则实数�的取值范围是___________．
【答案】
17
6 ,
23
6
【解题思路】由三角恒等变换化简函数表达式，由函数对称轴可求得参数�的值，从而可得
��+
π
6 ∈
π
6 , �π +
π
6 ，由�= �(��)(�> 0)在[0,π]上有且仅有三个零点即可列关于�的不等式组求解.
【解答过程】�(�) = 2cos2��+ 2 3sin��cos��−1 =
3sin2��+ cos2��= 2sin 2��+
π
6 .
∵函数�(�)图象的一条对称轴为直线�=
π
3 , ∴sin 2�⋅
π
3 +
π
6 =± 1, ∴2�⋅
π
3 +
π
6 = �π +
π
2 , �∈�，
解得�=
3
2 �+
1
2 , �∈�. ∵0 < �< 1, ∴�=
1
2 , ∴�(�) = 2sin �+
π
6 , ∴�(��) = 2sin ��+
π
6 , �> 0．
当�∈[0,π]时，��+
π
6 ∈
π
6 , �π +
π
6 ，
∵�= �(��)(�> 0)在[0,π]上有且仅有三个零点，∴3π ≤�π +
π
6 < 4π，
解得
17
6 ≤�<
23
6 ，即实数�的取值范围是
17
6 ,
23
6 ．
故答案为：
17
6 ,
23
6 .
【题型8
三角恒等变换与三角函数、解三角形综合】
29．（2026·重庆·模拟预测）在△���中，角�，�，�所对的边分别为�，�，�，且满足：2�cos�= �−�．
(1)证明：�= 2�；
(2)若2 =
3 −1
2cos2 �
2 + cos�，且�= 4，求△���的面积�．
【答案】(1)证明见解析
(2)2 3
【解题思路】（1）利用正弦定理结合三角恒等变形化简得sin�= sin �−�，进而可得�= 2�；
（2）利用二倍角公式化简得cos�=
3
2 ，进而得到�=
π
6，�=
π
3，�=
π
2，再求�, �，求出面积即可．
【解答过程】（1）证明：2�cos�= �−�，
由正弦定理可得2sin�cos�= sin�−sin�= sin �+ �−sin�
= sin�cos�+ cos�sin�−sin�，
即sin�= sin�cos�−cos�sin�= sin �−�
∵�, �, �∈0,π ，
∴�−�∈−π,π ，�+ �−�= �∈0,π ，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
∴�= �−�即�= 2�；
（2）
3 −1
2cos2 �
2 + cos�=
3 −1
2cos�+ 1 = 2
解得cos�=
3
2 ，又�∈0,π ，所以�=
π
6，
∴�= 2�=
π
3，�=
π
2，
又�= 4，所以�= �sin�= 2, �= �cos�= 2 3，
∴�△���=
1
2 ��=
1
2 × 2 3 × 2 = 2 3．
30．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数��= cos4�+ 2 3sin�cos�−sin4�.
(1)求��的最小正周期及对称轴方程；
(2)若函数��= ��+ �的最大值为1，求使��> 0 成立的�的取值范围.
【答案】(1)�= π，�=
π
6 +
�π
2 , �∈�
(2)�∈(�π,
π
3 + �π), �∈�
【解题思路】（1）利用平方差公式、二倍角公式化简三角函数为正弦型形式，再由正弦型函数性质计算即
可求得结果；
（2）借助正弦函数最值求解参数�，再求解三角不等式即可.
【解答过程】（1）因为��= cos4�+ 2 3sin�cos�−sin4�= (cos2�−sin2�)(cos2�+ sin2�) +
3sin2�
= cos2�+
3sin2�= 2(
1
2 cos2�+
3
2 sin2�) = 2sin(2�+
π
6 )，
所以�= π，
令2�+
π
6 =
π
2 + �π, �∈Z，所以�=
π
6 +
�π
2 , �∈Z，
所以��的对称轴方程为�=
π
6 +
�π
2 , �∈Z.
（2）由题意知，��= ��+ �= 2sin(2�+
π
6 ) + �，
因为�(�)的最大值为1，即2 + �= 1，所以�=−1，
由��= 2sin(2�+
π
6 ) −1 > 0，
即sin 2�+
π
6 >
1
2，所以
π
6 + 2�π < 2�+
π
6 <
5π
6 + 2�π,�∈Z，
所以�π < �<
π
3 + �π, �∈Z，即�∈(�π,
π
3 + �π), �∈Z.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
31．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数��= sin�⋅sin �+
π
6
(1)讨论��在区间0,π 上的单调性；
(2)在锐角△���中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若��=
3
2 ，�=
3，求△���周长的最大值．
【答案】(1)递增区间0,
5π
12 ，
11π
12 , π ，递减区间
5π
12 ,
11π
12
(2)3 3
【解题思路】（1）先化简��，再利用正弦函数的单调性即可求出；
（2）先求出�=
π
3，再利用余弦定理和基本不等式即可求出.
【解答过程】（1）由题意得��= sin�⋅sin�cos
π
6 + sin
π
6 cos�=
3
2 sin2�+
1
2 sin�cos�=
1
4 sin2�−
3
4 cos2�+
3
4 =
1
2 sin 2�−
π
3 +
3
4 ，
令2�−
π
3 = �，当�∈0,π 时，�∈−
π
3 ,
5π
3 ，
当�∈−
π
3 ,
π
2 ，即�∈0,
5π
12 时，sin�单调递增，��单调递增；
当�∈
π
2 ,
3π
2 ，即�∈
5π
12 ,
11π
12 时，sin�单调递减，��单调递减；
当�∈
3π
2 ,
5π
3 ，即�∈
11π
12 ,π 时，sin�单调递增，��单调递增.
（2）∵��=
3
2 ，∴
1
2 sin 2�−
π
3 +
3
4 =
3
2 ，∴sin 2�−
π
3 =
3
2 ，
∵�∈0,
π
2 ，∴2�−
π
3 ∈−
π
3 ,
2π
3 ，∴2�−
π
3 =
π
3，即�=
π
3，
∵�=
3，∴3 = �2 + �2 −��= �+ �2 −3��，
由基本不等式得3 ≥�+ �2 −3
�+�
2
2
=
�+�2
4
，解得�+ �≤2 3，
当且仅当�= �=
3时等号成立，
此时△���为等边三角形，满足锐角三角形，周长的最大值为3 3.
32．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）在△���中，角�、�、�所对的边长分别为�、�、�，�= �+ 2.
(1)若�sin
�+�
2 = �sin�，求角�；
(2)在（1）的条件下，若sin�−sin�=
5 3
14 ，求△���的面积.
【答案】(1)�=
π
3
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
(2)
3 3
2
【解题思路】（1）利用正弦定理、二倍角的正弦公式化简得出sin
�
2的值，结合
�
2 ∈0,
π
2 可求得角�的值；
（2）由（1）可知�+ �=
2π
3 ，利用三角恒等变换化简得出sin �−
π
3 =−
5 3
14 ，利用同角三角函数的基本关
系可得出cos �−
π
3 的值，再利用两角和的正弦公式可得出sin�的值，即可得出sin�，利用正弦定理结合
已知条件可得出�、�的值，再利用三角形的面积公式求解即可.
【解答过程】（1）在△���中，sin
�+�
2
= sin
π−�
2
= cos
�
2，
由�sin
�+�
2
= �sin�结合正弦定理可得sin�cos
�
2 = sin�sin�，
又因为�、�∈0,π ，则sin�> 0，所以sin�= cos
�
2，即2sin
�
2 cos
�
2 = cos
�
2，
因为�∈0,π ，则
�
2 ∈0,
π
2 ，所以cos
�
2 > 0，可得sin
�
2 =
1
2，所以
�
2 =
π
6，故�=
π
3.
（2）由（1）可知�+ �=
2π
3 ，
故sin�−sin�= sin �+ �−sin�=
1
2 sin�+
3
2 cos�−sin�=−
1
2 sin�+
3
2 cos�
=−sin �−
π
3 =
5 3
14 ，即sin �−
π
3 =−
5 3
14 ，
因为�∈0,
2π
3 ，故�−
π
3 ∈−
π
3 ,
π
3 ，所以cos �−
π
3 =
1 −sin2 �−
π
3 =
1 −−
5 3
14
2
=
11
14，
故sin�= sin
�−
π
3 +
π
3 =
1
2 sin �−
π
3 +
3
2 cos �−
π
3
=
1
2 × −
5 3
14
+
3
2 ×
11
14 =
3 3
14 ，
所以sin�= sin�+
5 3
14 =
3 3
14 +
5 3
14 =
4 3
7 ，
由正弦定理可得
�
sin�=
�
sin�，即
�+2
3
2
=
�
3 3
14
，整理可得3 �+ 2 = 7�，
解得�=
3
2，故�= �+ 2 =
3
2 + 2 =
7
2，
因此�△���=
1
2 ��sin�=
1
2 ×
3
2 ×
7
2 ×
4 3
7 =
3 3
2 .
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
一、单选题
1．（2026·陕西·模拟预测）若cos �−
π
4 =
4
5，则sin�cos�=（
）
A．
7
50
B．−
7
50
C．
7
25
D．−
7
25
【答案】A
【解题思路】由正余弦二倍角公式，sin�cos�=
1
2 sin2�，结合sin2�= cos
π
2 −2�= cos 2
π
4 −�
=
2cos2
π
4 −�−1 即可求解．
【解答过程】因为sin�cos�=
1
2 sin2�，
则sin2�= cos
π
2 −2�= 2cos2
π
4 −�−1 = 2cos2 �−
π
4 − 1 =
7
25，
所以sin�cos�=
7
50．
故选：A．
2．（2026·广东佛山·一模）已知0 < �< �，cos
�
2 =
5
5 ，则tan �−
�
4 =（
）
A．
7
2
B．
2
7
C．
1
7
D．7
【答案】D
【解题思路】结合角�的范围，根据二倍角公式计算出角�的正、余弦值及正切值，再利用正切的差角公式计
算.
【解答过程】∵�∈(0,π)，∴
�
2 ∈(0,
π
2 ).
又∵cos
�
2 =
5
5 ，sin2 �
2 + cos2 �
2 = 1，
∴sin �
2 = 2 5
5 .
∴sin�= 2sin
�
2 cos
�
2 =
4
5，cos�= 2cos2 �
2 −1 =−
3
5，tan�=
sin�
cos�=−
4
3.
∴tan(�−
�
4 ) =
tan�−1
1+tan�=
−7
3
−1
3
= 7.
故选：D.
3．（2026·广东·三模）函数��= sin�⋅cos�−
3cos2�+
3
2 的一条对称轴为（
）
A．�=
7
12 π
B．�=
5
12 π
C．�=
1
4 π
D．�=
1
12 π
【答案】B
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【解题思路】由正弦、余弦二倍角公式，和辅助角公式得到��= sin 2�−
π
3 ，再通过整体代换即可求解.
【解答过程】��= sin�⋅cos�−
3cos2�+
3
2 =
1
2 sin2�−
3
2 cos2�
= sin2�cos
π
3 −cos2�sin
π
3 = sin 2�−
π
3 ，
令2�−
π
3 =
π
2 + �π，�∈Z，
可得�=
5π
12 +
�π
2 ，�∈Z
即函数��的对称轴为�=
5π
12 +
�π
2 ，�∈Z
当�= 0 时，�=
5
12 π，
当�= 1 时，�=
11
12 π，
当�=−1 时，�=−
1
12 π，
结合选项只有B 符合，
故选：B.
4．（2026·江西景德镇·模拟预测）若sin �−
π
12 =
4
5,则cos 2�+
5π
6
=（
）
A．−
7
25
B．
7
25
C．−
12
25
D．
12
25
【答案】B
【解题思路】根据二倍角公式、诱导公式等求解即可.
【解答过程】cos(2�+
5π
6 ) = cos 2(�+
5π
12 ) = 2cos2(�+
5π
12 ) −1,
∵sin(�−
π
12 ) =
4
5,∴cos(�+
5π
12 ) = cos(�−
π
12 +
�
2 ) =−sin(�−
π
12 ) =−
4
5,
cos(2�+
5π
6 ) = 2 × ( −
4
5 )2 −1 =
7
25.
故选：B.
5．（2026·广东肇庆·一模）已知
cos�+sin�
cos�−sin�= tan75°，则sin�=（
）
A．±
3
2
B．
1
2
C．±
1
2
D．
2+ 6
4
【答案】C
【解题思路】根据同角三角函数商数的关系化简，结合两角和的正切公式得�= 30° + 180° ⋅�，利用诱导公
式即可求解.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【解答过程】∵
cos�+sin�
cos�−sin�= tan75°，∴
1+tan�
1−tan�= tan75°，∴
tan45°+tan�
1−tan45°⋅tan�= tan75°，
∴tan 45° + �
= tan75°，∴�= 30° + 180° ⋅�（�∈�），∴sin�=±
1
2.
故选：C.
6．（2026·安徽·二模）已知函数��= sin2�+ �cos2�的一个零点是
π
6，为了得到�= 2cos2�的图象，需要
将函数�= ��的图象（
）
A．向左平移
5π
12个单位长度
B．向左平移
5π
6 个单位长度
C．向右平移
π
12个单位长度
D．向右平移
π
6个单位长度
【答案】A
【解题思路】根据零点，代入可得�=−
3，再利用辅助角公式化简得��= 2sin 2�−
π
3 ，再根据平移变
换求解即可．
【解答过程】依题意，得�
π
6 = sin
π
3 + �cos
π
3 =
1
2 �+
3
2 = 0，得�=−
3，
所以��= sin2�−
3cos2�= 2sin 2�−
π
3 ，
�= 2cos2�= 2sin 2�+
π
2 = 2sin 2 �+
5π
12 −
π
3 ，
了得到�= 2cos2�的图象，需要将函数�= ��的图象,
需要将函数�= ��的图象向左平移
5π
12个单位长度．
故选：A．
7．（2026·辽宁葫芦岛·二模）已知�, �满足sin �+ �=
84
85 , tan�cos�=
2
5 sin�，则sin�cos�=（
）
A．
15
17
B．
5
17
C．
6
17
D．
12
17
【答案】D
【解题思路】先由tan�cos�=
2
5 sin�得到sin�cos�=
2
5 sin�cos�，再利用正弦两角和公式展开得到sin�cos�+
cos�sin�=
84
85，联立方程得到sin�cos�=
12
17.
【解答过程】因为tan�cos�=
2
5 sin�，所以
sin�
cos�cos�=
2
5 sin�，即sin�cos�=
2
5 sin�cos�
设�= sin�cos�, �= sin�cos�，则�=
2
5 �；
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
由sin �+ �=
84
85得到sin�cos�+ cos�sin�=
84
85，即�+ �=
84
85，
即�+
2
5 �=
84
85，解得�=
12
17 ，所以sin�cos�=
12
17；
故选：D.
8．（2026·河南·模拟预测）在△���中，内角�、�满足tan�tan�= 3，则△���为（
）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
【答案】A
【解题思路】分析可知�、�都为锐角，再利用两角和的正切公式推导出tan�> 0，由此可得出结论.
【解答过程】在△���中，内角�、�满足tan�tan�= 3，
由于△���中至少有两个锐角，则�、�中至少有一个锐角，
不妨设�为锐角，则tan�> 0，从而tan�> 0，故�为锐角，
tan�= tan π −�+ �
=−tan �+ �=−
tan�+tan�
1−tan�tan�=
tan�+tan�
2
> 0，
故角�为锐角，从而可知△���为锐角三角形，
故选：A.
二、填空题
9．（2026·云南昭通·模拟预测）已知sin�=
2
3，则sin 2�+
π
2 =____________．
【答案】
1
9
【解题思路】根据诱导公式和二倍角公式即可求解.
【解答过程】sin 2�+
π
2 = cos2�= 1 −2sin2�= 1 −
8
9 =
1
9．
故答案为：
1
9.
10．（2026·陕西榆林·模拟预测）若tan�=
2，则
1−sin2�
sin�cos�−cos2�=____________.
【答案】2 −1
【解题思路】利用平方关系和二倍角公式对式子进行化简即可求出答案.
【解答过程】
1−sin2�
sin�cos�−cos2�=
sin2�+cos2�−2sin�cos�
cos�sin�−cos�
=
sin�−cos�2
cos�sin�−cos�=
sin�−cos�
cos�
= tan�−1 =
2 −1.
故答案为：2 −1.
11．（2026·陕西西安·模拟预测）已知�∈
π
2 ,π ，�∈0,
π
2 ，sin�=
4
5，cos �−�=−
5
13，则cos�的值为
____________．
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【答案】
63
65
【解题思路】由同角三角函数的基本关系，求出cos�，sin �−�，再由角的变换及两角差的余弦公式得解.
【解答过程】因为�∈
π
2 ,π ，sin�=
4
5，所以cos�=−
3
5，
因为�∈
π
2 ,π ，−�∈−
π
2 , 0 ，所以0 < �−�< π，
所以由cos �−�=−
5
13可得sin �−�=
12
13，
所以cos�= cos �−�−�
= cos�cos �−�+ sin�sin �−�
=−
3
5 × −
5
13 +
4
5 ×
12
13 =
63
65，
故答案为：
63
65.
12．（2026·湖南长沙·二模）若函数�(�) = 5sin(�+ �) + 12cos(�+ �)为奇函数，则tan�=____________．
【答案】−
12
5
【解题思路】根据辅助角公式得出�(�) = 13sin(�+ �+ �)，再根据奇函数的性质求出�的值，得出答案.
【解答过程】由辅助角公式，得�(�) = 13sin(�+ �+ �)，其中tan�=
12
5 ，
又因�(�)为奇函数，则有�(0) = 0，即sin(�+ �) = 0，故�+ �= ��（�∈Z），
于是�=−�+ ��，故tan�= tan( −�+ ��) =−tan�=−
12
5 ．
故答案为：−
12
5 .
一、单选题
1．
（2026·湖南永州·模拟预测）已知�∈0,
π
4 , �∈0,
π
2 ,sin 2�+ �=
3
5 ,
1
tan�−tan�=
1
tan�，则sin 2�−�=
（
）
A．−
1
5
B．
1
5
C．
2
5
D．−
2
5
【答案】B
【解题思路】由条件
1
tan�−tan�=
1
tan�利用同角关系化简可得sin2�cos�= 2cos2�sin�，由条件sin 2�+ �=
3
5，结合两角和正弦公式可得sin2�cos�+ cos2�sin�=
3
5，再根据两角差的正弦公式求出结果即可.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【解答过程】由题意得
cos�
sin�−
sin�
cos�=
cos�
sin�，即
cos2�−sin2�
sin�cos�
=
cos�
sin�，即
2cos2�
sin2�=
cos�
sin�，
得sin2�cos�= 2cos2�sin�，又因为sin 2�+ �= sin2�cos�+ cos2�sin�=
3
5，
所以sin2�cos�=
2
5 ,cos2�sin�=
1
5，
因此sin 2�−�= sin2�cos�−cos2�sin�=
1
5.
故选：B.
2．
（25-26 高三上·湖北武汉·阶段检测）已知△���内角A，B，C 满足sin�=−6cos�cos�，cos�= 3sin�sin�，
则tan�=（
）
A．2
B．4
C．8
D．9
【答案】B
【解题思路】根据三角形内角和为π，把sin�转化为sin�= sin �+ �，把cos�转化为cos�=−cos �+ �，
利用两角和的正余弦公式展开整理，再进行弦切互化，结合两角和的正切公式求解即可.
【解答过程】在△���中，�+ �+ �= π,
故有sin�= sin π −�+ �
= sin �+ �= sin�cos�+ cos�sin�，
cos�= cos π −�+ �
=−cos �+ �=−cos�cos�+ sin�sin�，
又∵sin�=−6cos�cos�，
∴−6cos�cos�= sin�cos�+ cos�sin�，两边同除以cos�cos�，
可得tan�+ tan�=−6;
∵cos�= 3sin�sin�,
∴3sin�sin�=−cos�cos�+ sin�sin�，
可得tan�tan�=−
1
2
根据两角和的正切公式可得
tan �+ �= tan�+ tan�
1 −tan�tan�= −6
1 + 1
2
=−4
因为在△���中，�+ �+ �= π，
故�= π −�+ �，
则tan�= tan π −�+ �
=−tan �+ �= 4，
故选：B.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
3．（2026·湖北黄冈·一模）若−
π
2 < �−�<
π
2 ,cos�−2sin�= 1,sin�+ 2cos�=−
2，则cos �+
π
3 =（
）
A．
3
3
B．
6
3
C．
3
6
D．
6
6
【答案】A
【解题思路】根据条件，利用平方关系得到sin �−�=−
1
2，进而得�= �−
π
6，再代入cos�−2sin�= 1，
利用和差角的余弦公式，计算即得.
【解答过程】由cos�−2sin�= 1 两边取平方，可得cos2�−4cos�sin�+ 4sin2�= 1①，
由sin�+ 2cos�=−
2，两边取平方，可得sin2�+ 4sin�cos�+ 4cos2�= 2②，
由①+②得到1 + 4 sin�cos�−cos�sin�+ 4 = 3，整理得到sin �−�=−
1
2，
又−
π
2 < �−�<
π
2，解得�−�=−
π
6，即�= �−
π
6，
将其代入cos�−2sin�= 1，可得cos �−
π
6 −2sin�= 1，即
3
2 cos�+
1
2 sin�−2sin�= 1，
即
3
2 cos�−
3
2 sin�= 1，所以3
1
2 cos�−
3
2 sin�=
3cos �+
π
3 = 1，
故得cos �+
π
3 =
3
3 .
故选：A.
4．（2026·天津河西·一模）已知函数��= sin��cos��−
3sin2��+
3
2 ，�> 0 ，若将函数�= ��的
图象平移后能与函数�= sin2�的图象完全重合，则下列说法正确的是（
）
A．��的最小正周期为
π
2
B．将�= ��的图象向右平移
π
6个单位长度后，得到的函数图象关于�轴对称
C．当�∈−
π
4 ,
π
4 时，��的值域为−
1
2 , 1
D．当��取得最值时，�=
π
12 + �π �∈�
【答案】C
【解题思路】根据和差公式、二倍角公式对原函数进行化简，再结合三角函数的性质逐项分析即可.
【解答过程】��= sin��cos��−
3sin2��+
3
2 =
1
2 sin2��+
3
2 cos2��= sin 2��+
π
3 .
∵将函数�= ��的图象平移后能与函数�= sin2�的图象完全重合，�> 0，
∴2�= 2，解得�= 1. ∴��= sin 2�+
π
3 .
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
选项A：��的最小正周期为�=
2π
2 = π，故A 错误；
选项B：将�= ��的图象向右平移
π
6个单位长度后得到�= sin 2 �−
π
6 +
π
3 = sin2�，
∴函数图象不关于�轴对称，故B 错误；
选项C：当�∈−
π
4 ,
π
4 时，2�+
π
3 ∈−
π
6 ,
5π
6 ，∴sin 2�+
π
3 ∈−
1
2 , 1 ，
因此当�∈−
π
4 ,
π
4 时，��的值域为−
1
2 , 1 ，故C 正确；
选项D：2�+
π
3 =
π
2 + �π，�∈Z，则�=
π
12 +
�π
2 ，�∈Z，
因此当��取得最值时，�=
π
12 +
�π
2 ，�∈Z，故D 错误.
故选：C.
二、解答题
5．（2026·天津武清·模拟预测）已知△���的内角�，�，�的对边分别为�，�，�，�cos�+ �cos�=
2 3
3 �cos�．
(1)求角�的大小；
(2)若�= 12，�为��的中点，且��= 3，求�的值．
【答案】(1)
π
6
(2)3 7
【解题思路】（1）由题设结合正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可；
（2）先在△���中利用余弦定理求得�= 3 3，再在△���中，由余弦定理求解即可.
【解答过程】（1）由�cos�+ �cos�=
2 3
3 �cos�，
根据正弦定理得，sin�cos�+ sin�cos�=
2 3
3 sin�cos�，
则sin �+ �= sin�=
2 3
3 sin�cos�，
在△���中，sin�> 0，则cos�=
3
2 ，
又�∈0,π ，则�=
π
6.
（2）由�= 12，�为��的中点，则��= ��= 6，
在△���中，由余弦定理得cos�=
��2+��2−��2
2��⋅��
，
则
3
2 =
�2+62−32
2�⋅6
，解得�= 3 3，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
在△���中，由余弦定理得�2 = �2 + �2 −2��cos�= 122 + 3 3
2 −2 × 12 × 3 3 ×
3
2 = 63，
则�= 3 7.
6．（2026·宁夏·模拟预测）已知函数��=
3sin
��
2 cos
��
2 + cos2 ��
2 −
1
2 �> 0 的图象的相邻两个对称中心
之间的距离为
π
2．
(1)求�
π
3 的值；
(2)求��在区间−
π
2 , 0 上的最大值和最小值．
【答案】(1)
1
2
(2)最大值为
1
2，最小值为−1
【解题思路】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简为�(�) = sin(��+
π
6 )，根据对称中心间距确定
周期�从而求出�= 2，最后代入�=
π
3 计算函数值.
（2）根据自变量�的范围求出相位2�+
π
6 的取值范围，结合正弦函数的图像与性质，找出该范围内使函
数取得最大值和最小值的点并求解.
【解答过程】（1）��=
3sin
��
2 cos
��
2 + cos2 ��
2 −
1
2
=
3
2 sin��+ 1 + cos��
2
−1
2
=
3
2 sin��+ 1
2 cos��= sin ��+ π
6
根据题意
�
2 =
π
2，解得�= π，即
2π
�= π，
因为�> 0，所以�= 2，则��= sin 2�+
π
6 ，
�
π
3
= sin
5π
6
=
1
2．
（2）据题意−
π
2 ≤�≤0，−π ≤2�≤0，−
5π
6 ≤2�+
π
6 ≤
π
6，
当2�+
π
6 =
π
6，即�= 0 时，��= sin
�
6 =
1
2，所以��的最大值为
1
2．
当2�+
π
6 =−
π
2，即�=−
π
3时，��= sin −
�
2 =−1，所以��的最小值为−1.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
7．（2026·湖北黄冈·二模）已知锐角三角形���中，角�，�，�的对边分别为�，�，�，且满足�2cos2�−1 =
2�cos�cos�．
(1)求证：�= 2�；
(2)求
1
cos�+
�
�的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
3 2
2 ,
4 3
3
【解题思路】（1）由二倍角公式及同角三角函数的商数关系可得tan�= tan2�，从而证得�= 2�；
（2）结合（1）的结论，由锐角三角形的定义得�的范围，根据正弦定理、诱导公式、二倍角公式及两角和
的正弦公式，将
1
cos�+
�
�转化为�的函数，分析该函数的单调性，即可求得其取值范围．
【解答过程】（1）∵�2cos2�−1 = 2�cos�cos�，∴�cos2�= 2�cos�cos�，
由正弦定理得sin�cos2�= 2sin�cos�cos�，∴sin�cos2�= sin2�cos�．
因为△���是锐角三角形，所以0 < �<
π
2，0 < �<
π
2，
∴tan�= tan2�，∴�= 2�．
（2）因为△���为锐角三角形，故
0 < �<
π
2
0 < �= 2�<
π
2
0 < �= π −3�<
π
2
，解得
π
6 < �<
π
4，
∴cos�的取值范围是
2
2 ,
3
2 ．
1
cos�+ �
�=
1
cos�+ sin�
sin�=
1
cos�+ sin �+ �
sin�
=
1
cos�+ sin�cos�+ cos�sin�
sin�
=
1
cos�+ sin2�cos�+ cos2�sin�
sin2�
=
1
cos�+ 2sin�cos2�+ cos2�sin�
2sin�cos�
=
1
cos�+ cos�+
2cos2�−1
2cos�
= 2cos�+
1
2cos�．
令�= 2cos�∈
2,
3 ，记��= �+
1
�．
∵函数��在
2,
3 上为增函数，∴��∈
3 2
2 ,
4 3
3
．
故
1
cos�+
�
�的取值范围是
3 2
2 ,
4 3
3
．
8．（2026·辽宁·模拟预测）已知函数�(�) =
3sin�cos�−cos2�+
1
2，将曲线�= �(�)向左平移
π
12个单位长
度，得到曲线�= �(�)．
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
(1)求�(�)的单调递增区间；
(2)在△���中，内角�，�，�的对边分别为�，�，�，锐角�满足�(�+
π
6 ) = 0，△���的面积为3，求�
的最小值．
【答案】(1)[ −
π
6 + �π,
π
3 + �π](�∈�)；
(2)2
【解题思路】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数�(�)，再利用正弦函数性质求出单调递增区间.
（2）由（1）求出�(�)，进而求出锐角�，再利用三角形面积公式、余弦定理及基本不等式求出最小值.
【解答过程】（1）函数�(�) =
3
2 sin2�−
1
2 (2cos2�−1) =
3
2 sin2�−
1
2 cos2�= sin(2�−
π
6 )，
由−
π
2 + 2�π ≤2�−
π
6 ≤
π
2 + 2�π，�∈�，解得−
π
6 + �π ≤�≤
π
3 + �π，�∈�，
所以函数�(�)的单调递增区间为[ −
π
6 + �π,
π
3 + �π](�∈�).
（2）由（1）得�(�) = �(�+
π
12 ) = sin2�，由�(�+
π
6 ) = 0，得sin(2�+
π
3 ) = 0，
由�∈(0,
π
2 )，得2�+
π
3 ∈(
π
3 ,
4π
3 )，则2�+
π
3 = π，解得�=
π
3，
由△���的面积为3，得
1
2 ��sin
π
3 =
3，解得��= 4，
由余弦定理得�2 = �2 + �2 −��≥2��−��= ��= 4，当且仅当�= �= 2 时取等号，
因此�≥2，所以a 的最小值为2.
一、单选题
1．（2026·全国二卷·高考真题）已知�为第二象限角，3sin2�cos�= 8sin�cos2�，则
1+sin�
2−cos�=（
）
A．
3
4
B．
3
5
C．
1
2
D．
5
12
【答案】C
【解题思路】利用二倍角公式化简可得3cos2�= 4 2cos2�−1 ，结合角的范围分别求出cos�，sin�即可求
解.
【解答过程】由3sin2�cos�= 8sin�cos2�，得：6sin�cos2�= 8sin�cos2�−sin2�
因为�是第二象限角，所以sin�> 0，cos�< 0，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
化简得：3cos2�= 4 2cos2�−1 ，即cos2�=
4
5
由于cos�< 0，解得：cos�=−
2 5
5 ，
因为sin�> 0，所以sin�=
1 −cos2�=
5
5 ，
所以
1+sin�
2−cos�=
1+ 5
5
2+2 5
5
=
1
2.
故选：C.
2．（2025·北京·高考真题）设函数�(�) = sin��+ cos��(�> 0)，若�(�+ π) = �(�)恒成立，且�(�)在0,
π
4
上存在零点，则�的最小值为（
）
A．8
B．6
C．4
D．3
【答案】C
【解题思路】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解.
【解答过程】函数�(�) = sin��+ cos��=
2sin(��+
π
4 )(�> 0)，
设函数�(�)的最小正周期为T，由�(�+ π) = �(�)可得��= π, �∈N∗，
所以�=
2π
�=
π
�, �∈N∗，即�= 2�, �∈N∗；
又函数�(�)在0,
π
4 上存在零点，且当�∈0,
π
4 时，��+
π
4 ∈
π
4 ,
π�
4 +
π
4 ，
所以
π�
4 +
π
4 ≥π，即�≥3；
综上，�的最小值为4.
故选：C.
3．（2025·全国二卷·高考真题）已知0 < �< �，cos
�
2 =
5
5 ，则sin �−
�
4 =（
）
A．
2
10
B．
2
5
C．
3 2
10
D．
7 2
10
【答案】D
【解题思路】利用二倍角余弦公式得cos�=−
3
5，则sin�=
4
5，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案.
【解答过程】cos�= 2cos2 �
2 −1 = 2 ×
5
5
2
−1 =−
3
5，
因为0 < �< �，则
�
2 < �< �，则sin�=
1 −cos2�=
1 −−
3
5
2
=
4
5，
则sin �−
�
4 = sin�cos
�
4 −cos�sin
�
4 =
4
5 ×
2
2 −−
3
5 ×
2
2 =
7 2
10 .
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
故选：D.
4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知cos(�+ �) = �, tan�tan�= 2，则cos(�−�) =（
）
A．−3�
B．−
�
3
C．
�
3
D．3�
【答案】A
【解题思路】根据两角和的余弦可求cos�cos�, sin�sin�的关系，结合tan�tan�的值可求前者，故可求cos �−
�的值.
【解答过程】因为cos �+ �= �，所以cos�cos�−sin�sin�= �，
而tan�tan�= 2，所以sin�sin�= 2cos�cos�，
故cos�cos�−2cos�cos�= �即cos�cos�=−�，
从而sin�sin�=−2�，故cos �−�=−3�，
故选：A.
二、多选题
5．（2025·全国一卷·高考真题）已知△���的面积为
1
4，若cos2�+ cos2�+ 2sin�= 2, cos�cos�sin�=
1
4，
则（
）
A．sin�= sin2�+ sin2�
B．��=
2
C．sin�+ sin�=
6
2
D．��2 + ��2 = 3
【答案】ABC
【解题思路】对cos2�+ cos2�+ 2sin�= 2 由二倍角公式先可推知A 选项正确，方法一分情况比较�+ �
和
π
2的大小，方法二亦可使用正余弦定理讨论解决，方法三可结合射影定理解决，方法四可在法三的基础上，
利用和差化积公式，回避讨论过程；，然后利用cos�cos�sin�=
1
4算出�, �取值，最后利用三角形面积求出
三边长，即可判断每个选项.
【解答过程】cos2�+ cos2�+ 2sin�= 2，由二倍角公式，1 −2sin2�+ 1 −2sin2�+ 2sin�= 2，
整理可得，sin�= sin2�+ sin2�，A 选项正确；
由诱导公式，sin(�+ �) = sin π −�= sin�，
展开可得sin�cos�+ sin�cos�= sin2�+ sin2�，
即sin�(sin�−cos�) + sin�(sin�−cos�) = 0，
下证�=
π
2.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
方法一：分类讨论
若�+ �=
π
2，则sin�= cos�, sin�= cos�可知等式成立；
若�+ �<
π
2，即�<
π
2 −�，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，sin�< cos�，同理sin�< cos�，
又sin�> 0, sin�> 0，于是sin�(sin�−cos�) + sin�(sin�−cos�) < 0，
与条件不符，则�+ �<
π
2不成立；
若�+ �>
π
2，类似可推导出sin�(sin�−cos�) + sin�(sin�−cos�) > 0，则�+ �>
π
2不成立.
综上讨论可知，�+ �=
π
2，即�=
π
2.
方法二：边角转化
sin�= sin2�+ sin2�时，由�∈(0,π)，则sin�∈(0,1]，
于是1 × sin�= sin2�+ sin2�≥sin2�，
由正弦定理，�2 + �2 ≥�2，
由余弦定理可知，cos�≥0，则�∈(0,
π
2 ]，
若�∈(0,
π
2 )，则�+ �>
π
2，注意到cos�cos�sin�=
1
4，则cos�cos�> 0，
于是cos�> 0, cos�> 0（两者同负会有两个钝角，不成立），于是�, �∈0,
π
2 ，
结合�+ �>
π
2 ⇔�>
π
2 −�，而�,
π
2 −�都是锐角，则sin�> sin
π
2 −�= cos�> 0，
于是sin�= sin2�+ sin2�> cos2�+ sin2�= 1，这和sin�≤1 相矛盾，
故�∈(0,
π
2 )不成立，则�=
π
2
方法三：结合射影定理（方法一改进）
由sin�= sin2�+ sin2�，结合正弦定理可得，�= �sin�+ �sin�，由射影定理可得�= �cos�+ �cos�，于
是�sin�+ �sin�= �cos�+ �cos�，
则�(sin�−cos�) + �(sin�−cos�) = 0，可同方法一种讨论的角度，推出�+ �=
π
2，
方法四：和差化积（方法一改进）
续法三：
�(sin�−cos�) + �(sin�−cos�) = 0，可知sin�−cos�, sin�−cos�同时为0 或者异号，即(sin�−
cos�)(sin�−cos�) ≤0，展开可得，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
sin�sin�−sin�cos�−cos�sin�+ cos�cos�≤0，
即cos(�−�) −
1
2 sin2�+ sin2�≤0，结合和差化积，cos(�−�) 1 −sin(�+ �) ≤0，由上述分析，�, �∈
0,
π
2 ，则�−�∈−
π
2 ,
π
2 ，则cos(�−�) ≥0，则1 −sin(�+ �) ≤0，即sin�≥1，于是sin�= 1，可知
�=
π
2.
由cos�cos�sin�=
1
4 = cos�cos�，由�+ �=
π
2，则cos�= sin�，即sin�cos�=
1
4，
则sin2�=
1
2，同理sin2�=
1
2，由上述推导，�, �∈0,
π
2 ，则2�, 2�∈(0,π)，
不妨设�< �，则2�=
π
6 , 2�=
5π
6 ，即�=
π
12 , �=
5π
12，
由两角和差的正弦公式可知sin
π
12 + sin
5π
12 =
6−2
4
+
6+ 2
4
=
6
2 ，C 选项正确
由两角和的正切公式可得，tan
5π
12 = 2 +
3，
设��= �, ��= 2 +
3 �，则��=
2 +
6 �，
由�△���=
1
2 (2 +
3)�2 =
1
4，则�2 =
4−2 3
4
=
3−1
2
2
，则�=
3−1
2 ，
于是��= ( 6 +
2)�=
2，B 选项正确，由勾股定理可知，��2 + ��2 = 2，D 选项错误.
故选：ABC.
三、填空题
6．
（2025·上海·高考真题）已知�(�) =
1,
�> 0
0,
�= 0
−1,
�< 0
，�Ԧሬ、�Ԧሬ、�Ԧሬ是平面内三个不同的单位向量．若�(�Ԧሬ⋅�Ԧሬ) + �(�Ԧሬ⋅
�Ԧሬ) + �(�Ԧሬ⋅�Ԧሬ) = 0，则|�Ԧሬ+ �Ԧሬ+ �Ԧሬ|的取值范围是__________．
【答案】(1,
5)
【解题思路】利用分段函数值分类讨论，可得��Ԧሬ⋅�Ԧሬ, ��Ԧሬ⋅�Ԧሬ, ��Ԧሬ⋅�Ԧሬ
=
−1,0,1 ，再根据数量积关系设出
�Ԧሬ, �Ԧሬ, �Ԧሬ坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得.
【解答过程】若��Ԧሬ⋅�Ԧሬ
= ��Ԧሬ⋅�Ԧሬ
= ��Ԧሬ⋅�Ԧሬ
= 0，则�Ԧሬ⋅�Ԧሬ= �Ԧሬ⋅�Ԧሬ= �Ԧሬ⋅�Ԧሬ= 0，
又三个向量均为平面内的单位向量，故向量�Ԧሬ, �Ԧሬ, �Ԧሬ两两垂直，显然不成立；
故��Ԧሬ⋅�Ԧሬ, ��Ԧሬ⋅�Ԧሬ, ��Ԧሬ⋅�Ԧሬ
=
−1,0,1 .
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
不妨设
��Ԧሬ⋅�Ԧሬ
= 1
��Ԧሬ⋅�Ԧሬ
= 0
��Ԧሬ⋅�Ԧሬ
=−1
，则�Ԧሬ⋅�Ԧሬ> 0, �Ԧሬ⋅�Ԧሬ= 0, �Ԧሬ⋅�Ԧሬ< 0，
不妨设�Ԧሬ= (1,0), �Ԧሬ= (0,1)，�Ԧሬ= cos�, sin�, �∈0,2π ，
则�Ԧሬ⋅�Ԧሬ= cos�> 0
�Ԧሬ⋅�Ԧሬ= sin�< 0 ，则�∈
3
2 π,2π ，
则�Ԧሬ+ �Ԧሬ+ �Ԧሬ
= (1 + cos�, 1 + sin�) =
(1 + cos�)2 + (1 + sin�)2 =
3 + 2cos�+ 2sin�
=
3 + 2 2sin(�+
π
4 )，
由�∈
3
2 π,2π ，�+
π
4 ∈
7
4 π,
9
4 π ，
则sin(�+
π
4 ) ∈−
2
2 ,
2
2 ，2 2sin(�+
π
4 ) ∈−2,2
故�Ԧሬ+ �Ԧሬ+ �Ԧሬ
∈(1,
5).
故答案为：(1,
5).
7．（2025·上海·高考真题）已知tan�= 1，则cos �+
π
4 =__________．
【答案】0
【解题思路】利用同角三角函数关系和余弦的两角和公式求解即可.
【解答过程】由tan�=
sin�
cos�= 1 可得sin�= cos�，
所以cos �+
π
4 = cos�cos
π
4 −sin�sin
π
4 =
2
2
cos�−sin�= 0，
故答案为：0.
四、解答题
8．（2026·北京·高考真题）已知函数�(�) = 2sin��cos�+ 2cos��sin�，�> 0，�<
π
2．�(�)最小正周期
为π，且�(0) > 0，�(
π
4 ) = 1．
(1)求�、�的值；
(2)求�(�)的单调递减区间．
【答案】(1)�= 2，�=
π
3
(2) �π +
π
12 , �π +
7π
12
�∈�
【解题思路】（1）利用两角和正弦公式化简可得��= 2sin ��+ �，结合正弦型函数周期公式列方程求�，
再由�0 > 0, �
π
4 = 1 列式求�；
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
（2）根据正弦型函数单调区间求法求结论.
【解答过程】（1）因为��= 2sin��cos�+ 2cos��sin�，
所以��= 2sin ��+ �，
又��的最小正周期为π，�> 0，
所以
2π
�= π，所以�= 2，
因为�0 > 0, �
π
4 = 1，
所以sin�> 0，2sin 2 ×
π
4 + �= 1，
所以0 < �<
π
2，cos�=
1
2，
所以�=
π
3，
所以��= 2sin 2�+
π
3 ，
（2）令2�π +
π
2 ≤2�+
π
3 ≤2�π +
3π
2 ，�∈�，可得�π +
π
12 ≤�≤�π +
7π
12，�∈�，
函数��= 2sin 2�+
π
3 的单调递减区间为�π +
π
12 , �π +
7π
12
�∈Z .
9．（2026·天津·高考真题）已知�(�) = sin(2�+
π
6 )．
(1)求最小正周期；
(2)若�∈−
π
6 ,
π
12 ，求�(�)的最大值和最小值；
(3)若�∈(0,
π
2 )，sin�=
3
3 ，求�(�)．
【答案】(1)π
(2)最大值为
3
2 ，最小值为−
1
2
(3)
2 6+1
6
【解题思路】（1）由正弦型函数周期计算公式计算求解；
（2）利用换元法，结合正弦函数性质求解；
（3）根据同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角和的正弦公式计算求解.
【解答过程】（1）�=
2π
|�| =
2π
2 = π；
（2）若�∈[ −
π
6 ,
π
12 ]，则2�+
π
6 ∈[ −
π
6 ,
π
3 ]，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
由正弦函数性质可知，当2�+
π
6 =−
π
6，即�=−
π
6时，函数�(�)有最小值，即�(�)min = �( −
π
6 ) =−
1
2，
当2�+
π
6 =
π
3，即�=
π
12时，函数�(�)有最大值，即�(�)max = �(
π
12 ) =
3
2 .
所以函数�(�)的最大值为
3
2 ，最小值为−
1
2；
（3）若�∈(0,
π
2 )，sin�=
3
3 ，所以cos�=
1 −sin2�=
6
3 ，
则sin2�= 2sin�cos�=
2 2
3 ，cos2�= 1 −2sin2�=
1
3，
则�(�) = sin(2�+
π
6 ) = sin2�cos
π
6 + cos2�sin
π
6 =
2 2
3 ×
3
2 +
1
3 ×
1
2 =
2 6+1
6
.
10．（2026·全国二卷·高考真题）在△���中，已知cos�=
3
4，cos2 �+ �+ sin�sin�= 1．
(1)证明：△���为钝角三角形；
(2)若△���的面积为
7
4 ，求△���的周长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)3 +
2
【解题思路】（1）cos(�+ �) =−cos�，结合题设得出sin�sin�=
7
16，然后由两角和的余弦展开得到
cos�cos�< 0，进而得解；
（2）先推出三角形面积公式的变形式�△���= 2�2sin�sin�sin�，解得�，由正弦定理进而得出�，然后列余
弦定理和面积公式的关于�, �的方程组求解.
【解答过程】（1）证明：由�+ �+ �= π，则cos(�+ �) =−cos�=−
3
4，
又cos2(�+ �) + sin�sin�= 1，得
9
16 + sin�sin�= 1，则sin�sin�=
7
16，
由两角和的余弦公式，cos(�+ �) = cos�cos�−sin�sin�=−
3
4，
结合sin�sin�=
7
16可知cos�cos�=−
5
16 < 0，
则cos�, cos�异号，必然一个为负，一个为正.
又�, �∈(0,π)，即�, �中必有一个是钝角；
（2）方法一：由正弦定理和三角形的面积公式，
�△���=
1
2 ��sin�=
1
2 (2�sin�)(2�sin�)sin�= 2�2sin�sin�sin�，
（�是△���外接圆半径）
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
又sin�sin�=
7
16，sin�=
1 −
3
4
2
=
7
4 ，则
7
4 = 2�2 ⋅
7 7
64 ，解得�=
2 14
7 ，
又sin�=
7
4 ，则�= 2�sin�=
2，
由余弦定理�2 = �2 + �2 −2��cos�，即�2 + �2 −
3
2 ��= 2，
又
1
2 ��sin�=
7
8 ��=
7
4 ，则��= 2，
于是�2 + �2 −
3
2 ��= 2，即�2 + �2 = 5，
(�+ �)2 = �2 + 2��+ �2 = 9，解得�+ �= 3，
故△���周长为�+ �+ �= 3 +
2.
方法二：由cos2 �+ �+ sin�sin�= 1，则cos2�+ sin�sin�= 1，
即sin�sin�= 1 −cos2�= sin2�，
由正弦定理可得，��= �2，
由三角形面积公式，�△���=
1
2 ��sin�=
1
2 ��×
7
4 =
7
4 ，
得到��= 2，则�=
2，其余同上.
11．（2025·天津·高考真题）在△���中，角�, �, �的对边分别为�, �, �．已知�sin�=
3�cos�，�−2�= 1，
�=
7．
(1)求A 的值；
(2)求c 的值；
(3)求sin(�+ 2�)的值．
【答案】(1)
π
3
(2)3
(3)
4 3
7
【解题思路】（1）由正弦定理化边为角再化简可求；
（2）由余弦定理，结合（1）结论与已知代入可得关于�的方程，求解可得�，进而求得�；
（3）利用正弦定理先求�，再由二倍角公式分别求sin2�, cos2�，由两角和的正弦可得.
【解答过程】（1）已知�sin�=
3�cos�，由正弦定理
�
sin�=
�
sin�，
得�sin�= �sin�=
3�cos�，显然cos�≠0，
得tan�=
3，由0 < �< π，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
故�=
π
3；
（2）由（1）知cos�=
1
2，且�= 2�+ 1，�=
7，
由余弦定理�2 = �2 + �2 −2��cos�，
则7 = �2 + (2�+ 1)2 −2 ×
1
2 �(2�+ 1) = 3�2 + 3�+ 1，
解得�= 1（�=−2 舍去），
故�= 3；
（3）由正弦定理
�
sin�=
�
sin�，且�= 1, �=
7, sin�=
3
2 ，
得sin�=
�sin�
�
=
21
14 ，且�> �，则�为锐角，
故cos�=
5
14
7，故sin2�= 2sin�cos�=
5 3
14 ，
且cos2�= 1 −2sin2�= 1 −2 ×
21
14
2
=
11
14；
故sin(�+ 2�) = sin�cos2�+ cos�sin2�=
3
2 ×
11
14 +
1
2 ×
5 3
14 =
4 3
7 .
12．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记△���的内角A、B、C 的对边分别为a，b，c，已知sin�=
2cos�，
�2 + �2 −�2 =
2��
(1)求B；
(2)若△���的面积为3 +
3，求c．
【答案】(1)�=
π
3
(2)2 2
【解题思路】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos�, sin�，最后结合已知sin�=
2cos�得cos�的值即
可；
（2）首先求出�, �, �，然后由正弦定理可将�, �均用含有�的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.
【解答过程】（1）由余弦定理有�2 + �2 −�2 = 2��cos�，对比已知�2 + �2 −�2 =
2��，
可得cos�=
�2+�2−�2
2��
=
2��
2��=
2
2 ，
因为�∈0,π ，所以sin�> 0，
从而sin�=
1 −cos2�=
1 −
2
2
2
=
2
2 ，
又因为sin�=
2cos�，即cos�=
1
2，
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
注意到�∈0,π ，
所以�=
π
3.
（2）由（1）可得�=
π
3，cos�=
2
2 ，�∈0,π ，从而�=
π
4，�= π −
π
3 −
π
4 =
5π
12，
而sin�= sin
5π
12
= sin
π
4 +
π
6 =
2
2 ×
3
2 +
2
2 ×
1
2 =
6+ 2
4
，
由正弦定理有
�
sin5π
12
=
�
sinπ
3
=
�
sinπ
4
，
从而�=
6+ 2
4
⋅
2�=
3+1
2
�, �=
3
2 ⋅
2�=
6
2 �，
由三角形面积公式可知，△���的面积可表示为
�△���=
1
2 ��sin�=
1
2 ⋅
3+1
2
�⋅
6
2 �⋅
2
2 =
3+ 3
8
�2，
由已知△���的面积为3 +
3，可得
3+ 3
8
�2 = 3 +
3，
所以�= 2 2.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
