圆锥曲线：双曲线的定点问题、定值问题、定直线问题、向量问题专项训练
考点目录
双曲线中的定点问题
双曲线中的定值问题
双曲线中的定直线问题
双曲线中的向量问题
1．（24-25 高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线
2
2
2
:
1
y
C x
b
-
=
0
b >
的左顶点为M ，离心率为3，
,
A B 是C 上的两
点.
(1)求C 的标准方程；
(2)若线段AB 的中点为
1 8
,
7 7
æ
ö
ç
÷
è
ø ，求直线AB 的方程；
(3)若
0
MA MB
×
=
uuur uuur
（M 不在直线AB 上），证明：直线AB 过定点.
2．（24-25 高二下·广东清远·期末）已知双曲线
2
2
1
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
与椭圆
2
2
2 :
1
36
16
x
y
C
+
= 的焦点相同，且离
心率之比为3:1.
(1)求双曲线
1
C 的方程；
(2)若直线:
3
0
l x
ny
-
+
=
与双曲线
1
C 的左､右两支分别交于,
P Q 两点，记点P 关于x 轴的对称点为P¢ ，证明：直线
P Q
¢
过定点，并求出该定点的坐标.
考点一
双曲线中的定点问题
3．（2025·宁夏中卫·三模）已知双曲线C：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
的离心率为2，其右焦点F 到一条渐近线的距离
为
3 .
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线l ：
0,
0
y
kx
m k
m
=
+
>
>
与双曲线C 交于不同的两点A，B，且以线段AB 为直径的圆经过点
1,0
P
，
证明：直线l 过定点.
4．（24-25 高二上·安徽黄山·期末）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的离心率为10
3
，
,
A B 分别为其左、右顶
点，点
3 2,1 在C 上. P 为直线
2
x =
上的动点，PA 与双曲线C 的另一交点为M ，PB 与双曲线C 的另一交点为
N ．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)证明：直线MN 过定点.
5．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的渐近线为
2
y
x
= ±
，双曲线的左顶点为
( 1,0)
P -
，直线:l y
kx
m
=
+
与双曲线C 相交于A，B（异于点P）两点．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若AB 的中点为
2,1
M
，求直线l 的方程；
(3)若以AB 为直径的圆恒过点P，试判断直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明
理由．
6．（2025·湖北黄冈·三模）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
左顶点
1,0
A -
到其渐近线的距离为
3
2
.过右焦
点F 的直线分别交双曲线的左，右两支及直线
1
:
2
l x =
于
,
,
M N P 三点，过N 作平行于x 轴的直线交直线AP 于点
G，点G 满足NG
GH
=
uuur
uuur
.
(1)求C 的方程；
(2)证明：直线MH 过定点.
7．（24-25 高二下·河南南阳·期末）已知
1
2
,
F F 分别是双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的左､右焦点，A 是C 的右顶
点，
1
3
AF =
，且C 与椭圆
2
2
1
5
x
y
+
= 有相同的焦点.
(1)求C 的方程；
(2)若直线:
1
l y
kx
=
+ 与C 的公共点个数为1，求k 的值；
(3)已知
,
M N 是C 上不同的两点，直线
,
AM AN 的斜率分别为
1
2
,
,
k k
A不在直线MN 上，且
1 2
3
k k =
，证明：直线MN
过定点.
8．（2025·广东广州·模拟预测）已知双曲线C：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
的离心率为
5 ，点
2,2 在C 上，A，B
为C 的左、右顶点．
(1)求C 的方程；
(2)若点M，N 在C 的右支上（M 在第一象限），直线AM，BN 分别交y 轴于P，Q 两点，且
3
OQ
OP
=
uuur
uuur
．
（ⅰ）探究：直线MN 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由；
（ⅱ）设
1S ，
2S 分别为AMN
V
和BMN
V
的面积，求
1
2
S
S
-
的取值范围．
9．（2025·浙江嘉兴·一模）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的左､右焦点分别是
1
2
( 2 3,0),
(2 3,0)
F
F
-
，并且
经过点
(2 3,4)
A
.
(1)求C 的方程；
(2)过点
2F 的直线交双曲线的右支于
,
M N 两点（点M 在第一象限），过点M 作直线
2 3
3
x =
的垂线，垂足为D .
（i）求证：直线DN 经过定点；
（ii）记
ODN
△
的面积为S ，求S 的取值范围.
10．（25-26 高三上·黑龙江·开学考试）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的离心率为
2 ，点O 为坐标原点，过
C 的右焦点的直线l 交C 的右支于,
P Q 两点，当l
x
^
轴时，
2 2
PQ =
.
(1)求C 的方程；
(2)过点P 作直线
1
x = 的垂线，垂足为N .
①证明：直线QN 过定点；
②求
OQN
△
面积的最小值.
1．（24-25 高三上·广东深圳·期末）已知双曲线C 的中心为坐标原点，上焦点为
0,2 5 ，离心率为
5 .记C 的上、
下顶点分别为
1A ，
2
A ，过点
0,4 的直线与C 的上支交于M，N 两点.
(1)求C 的方程；
(2)直线
1A M 和
2
A N 的斜率分别记为
1k 和
2k ，求
2
1
2
2
3
k
k
+
的最小值；
(3)直线
1A M 与
2
A N 交于点P，证明：点P 在定直线上.
2．（2025·山西·三模）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的离心率为
5 ，点
2,2
A
在双曲线C 上．
(1)求C 的方程；
(2)过双曲线C 右支上一动点M 分别作C 两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于P ，Q ，O 为坐标原点，证
明：平行四边形MPOQ 的面积为定值，并求出该定值．
考点二
双曲线中的定值问题
3．（2025·湖南长沙·三模）已知动点
,
M x y 与定点
3 2,0
F
的距离与它到定直线
3 2
:
2
l x =
的距离的比是常数
2 ，
(1)求动点M 的轨迹；
(2)过上述轨迹上一点P 作轨迹的切线与两直线y
x
= ± 分别交于A 、B 两点，证明：三角形AOB 的面积是定值．
4．（2025·江苏·模拟预测）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的右焦点为F ，若C 上任一点到两条直线
3
2
y
x
=
和
2
3
y
x
=
的距离的平方差为10
13 ．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)设点
0
0
(
,
)
P x
y
为C 上任意一点，
0
0
2
2
:
1
x x
y y
l
a
b
-
= 为过P 的直线．
①记过F 且与x 轴垂直的直线为m ．若l 与m 交于点A ，l 与直线
1
x = 交于点B ，证明：当
0
0
y ¹
时，
AF
BF 为定
值，并求出这个定值；
②设点F 关于直线l 的对称点为M ，试求M 点的轨迹．
5．（25-26 高三上·重庆·开学考试）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的虚轴长为2，一条渐近线方程为
2
0
x
y
+
=
.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)已知,
,
P Q R 是C 上的三个不同点.
①若
,0
P a
，点
,
Q R 在双曲线C 的同一支上，且PQR
V
是等边三角形，求QR ；
②若D （异于原点O ）是PQR
V
外接圆的圆心，直线
,
,
,
PQ QR RP OD 的斜率均存在，并分别记为
1
2
3
4
,
,
,
k k k k ，求
1
2
3
4
k k k k 的值.
6．（25-26 高三上·内蒙古·开学考试）已知双曲线C：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
-
= （
0
a >
，
0
b >
）的一个焦点为(5,0) ，点
(4 2,3)
P
在C 上.
(1)求C 的方程；
(2)已知点
3
(4 2,
)
Q
-
，
(2 2,0)
A
，B 为线段PQ 上一点，且直线AB 交C 于D，E 两点，证明：
AD
BE
AE
BD
×
=
×
.
7．（24-25 高三上·河南周口·期中）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的左、右焦点分别为
1F 、
2F ，焦距为
2 5 ，且点
2F 到其渐近线的距离为1．
(1)求C 的标准方程．
(2)若点
0
0
,
P x
y
是C 上第一象限的动点，过点
0
0
,
P x
y
作直线l （l 不与渐近线平行），若l 与C 只有一个公共点，
且l 与x 轴相交于点T （与点P 不重合）．
（i）证明：
1
1
2
2
PF
TF
PF
TF
=
．
（ii）若点N 在直线l 上，且
2
2
F N
F P
^
，那么点N 是否在定直线上？若在定直线上，求出该直线方程；若不在定
直线上，请说明理由．
8．（24-25 高三下·广东广州·阶段练习）已知O 为坐标原点，双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的离心率为
5 ，且
过点
5 ,1
2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
.
(1)求C 的标准方程；
(2)过C 的右焦点F 的直线1l 与双曲线C 的左、右两支分别交于两点A、B，点Q 是线段AB 的中点，过点F 且与1l
垂直的直线2l 交直线OQ 于M 点，
①判断点M 是否在一条定直线上，请说明理由；
②记
MFQ
△
面积为S ，证明：
4
S >
.
1．（24-25 高二下·上海宝山·阶段练习）已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为
2 5,0 ，离心率为
5 ．记C
的左、右顶点分别为
1A 、
2
A .
(1)求双曲线C 的方程；
(2)双曲线上任意一点E （不与
1A 、
2
A 重合），求证：
1
2
A E
A E
k
k
×
为定值；
(3)过点
4,0
-
的直线与C 的左支交于M 、N 两点，直线
1
MA 与
2
NA 交于点P ．证明：点P 在定直线上．
2．（2025·甘肃白银·三模）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的一条渐近线的方程为
7
3
y
x
=
，虚轴的一个端点
到渐近线的距离为3 7
4
．双曲线C 的右焦点为F，点M 在C 上，且MF
x
^ 轴，过点M 与C 相切的直线l 与x 轴
交于点P．
(1)求双曲线C 的方程．
(2)若点M 在x 轴上方，求以线段MP 为直径的圆的一般方程．
(3)过点P 的直线交双曲线C 于D，E 两点（点D 在双曲线的左支上，且不为左顶点），G 为线段PF 的中点，直线
GE 与MF 交于点H，求证：直线DH 与x 轴平行．
考点三
双曲线中的定直线问题
3．（2025·安徽·模拟预测）已知双曲线
2
2
2
2
Γ :
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
过点
3, 6
P
，渐近线方程为
3
y
x
= ±
．
(1)求Γ 的方程；
(2)已知点(
)
1,0
A
，过点
1,2
Q
作动直线l 与双曲线右支交于不同的两点B 、C ，点H 在线段BC 上（不含端点）．
①若H 为BC 的中点，AQH
V
的面积为7 ，求直线l 的斜率；
②直线AB 、AH 、AC 分别与y 轴交于点D 、E 、F ，若E 为DF 的中点，证明：点H 恒在定直线3
2
3
0
x
y
-
-
=
上．
4．（25-26 高三上·浙江·开学考试）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的离心率为
5 ，且过点
2,2 3 .
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)设双曲线C 的左、右两个顶点为A、B，过右焦点的直线交双曲线于P，Q 两点，直线AP 与直线BQ 交于点T ，
求证：点T 在定直线上．
5．（25-26 高三上·福建·开学考试）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的右焦点为F ，离心率为2，圆
2
2
:
1
O x
y
+
= 与C 恰有两个交点.
(1)求C 的方程；
(2)设A 为C 的左顶点，过F 且斜率存在的直线交C 的右支于
,
M N 两点，直线
,
AM AN 分别交圆O 的另一点于,
P Q .
（i）证明：
,
,
P O Q 三点共线；
（ii）设直线MN 与直线PQ交于D ，证明：点D 在定直线上.
6．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
y
x
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的上下焦点分别为
1 0,
F
c 、
2 0,
F
c
-
，离
心率为
6
2
，点
1F 到渐近线的距离为1，过点
1F 且斜率为k 的直线1l 在第一象限交双曲线C 于点P ，过点
2F 且斜率
为k 的直线2l 在第四象限交双曲线C 于点Q ，
2
PF 与
1
QF 交于点M .
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若
1
2
2
PF
QF
-
=
，求k 的值；
(3)证明：
1
2
MF
MF
+
是定值.
7．（24-25 高二下·江苏连云港·期末）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的离心率为
5
2
，且过点
2 2,1 ．
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)已知直线l 经过点
2,2 ，
①若直线l 与双曲线C 的左支相切，求直线l 的方程；
②若双曲线C 的右顶点为P，直线l 与双曲线C 交于A，B 两点，直线PA 的斜率为
1k ，直线PB 的斜率为
2k ，证
明：
1
2
k
k
+
为定值．
8．（25-26 高三上·辽宁·阶段练习）已知双曲线
2
2
2
2
:
1,(0
)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
<
<
的焦距为4，左右焦点分别为
1
2
,
F F ，若点
P 为双曲线C 上一点，过点P 分别作双曲线C 两条渐近线的平行线
,
PM PN ，与两条渐近线分别交于点
,
M N ，四
边形OMPN 的面积为
3
2
．设点
,
A B 分别为双曲线C 的左右顶点，过点(4,0) 的直线与双曲线C 交于点
,
D E （不同
于点
,
A B ．设直线AD 与BE 交于点G，直线AE 与BD 交于点H，双曲线在点
,
D E 处的切线交于点R．
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)试探究
GR
RH 是否是定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由．
1．（2025·河南·一模）已知等轴双曲线
1
2
,
C C 的对称中心均为坐标原点O ，焦点分别在x 轴和y 轴上，且焦距均为
4．设
,
A B 两点分别在
1
2
,
C C 上，满足直线
,
OA OB 的斜率之积为1，点P 为
1
C 上异于A 的另一点，过P 分别作平行
于
,
OA OB 的直线，交
,
OB OA于
,
N M 两点．
(1)求双曲线
1
2
,
C C 的方程；
(2)证明：OA
OB
=
；
(3)设OM
OA
l
=
uuuur
uuur
，ON
OB
m
=
uuur
uuur
，证明：
2
2
l
m
-
为定值．
2．（2025·山东泰安·二模）已知双曲线
2
2
2
Γ :
1
0
y
x
b
b
-
=
>
，左､右顶点分别为
1
2
,
A A ，过
2,0
M -
的直线交双曲线
于,
P Q 两点.
(1)若
10 ,
4
b
P
=
在第一象限，
2
MA P
V
是等腰三角形，求P 的坐标；
(2)连接QO 并延长交双曲线于R ，若
1
2
1
A R A P
×
=
uuur uuuur
，求b 的取值范围.
考点四
双曲线中的向量问题
3．（24-25 高二下·贵州黔西·阶段练习）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
E
a
b
a
b
-
=
>
>
的离心率是3 5
5
，焦距为6．
(1)求E 的方程；
(2)若直线:
1
l y
kx
=
+ 与E 相交于
,
A B 两点，且
25
3
OA OB
×
= -
uuur uuur
（O 为坐标原点），求l 的方程．
4．（24-25 高二上·四川凉山·期末）已知圆锥曲线
2
2
:
1
y
C x
l
+
= ，左右顶点分别为
1
2
,
A A ，过点
2, 0
M -
的直线l 交
曲线C 于,
P Q 两点（P 在Q 的左侧）．
(1)当离心率
1
2
e =
时，求l 的值．
(2)当
4
l =
时，是否存在直线l 使得
2
PM
PA
^
，若存在，求出l 直线方程，若不存在说明理由．
(3)连接OQ ，直线OQ 交曲线C 于另一点R ，
1
2
9
A R A P
×
= -
uuur uuuur
恒成立，求l 的取值范围．
5．（24-25 高三下·江苏南京·开学考试）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
G
-
=
>
>
，左右顶点分别为
1
2
,
A A ，过点
2,0
M -
的直线l 交双曲线G 于,
P Q 两点．
(1)若双曲线G 的渐近线为
2
y
x
= ±
时，求离心率；
(2)若
1
a = ，
1
b = ，
2
MA P
△
为等腰三角形时，且点P 在x 轴上方，求点P 的坐标；
(3)若
1
a = ，连接OQ 并延长，交双曲线G 于点R ，若
1
2
1
A R A P
×
=
uuur uuuur
，求b 的取值范围．
6．（24-25 高二下·云南昆明·期中）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的左、右顶点分别为
1
2
( 1,0),
(1,0)
A
A
-
，离
心率为2．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)O 为坐标原点，过点
( 2,0)
M -
且斜率不为0 的直线l 交双曲线C 于P，Q 两点（点P 在第一象限，点Q 在第二
象限），直线OQ 交双曲线C 于点R ，求
1
2
A R A P
uuur uuuur
g
．
7．（24-25 高三上·广东广州·模拟预测）费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在
凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与
该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2 的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸
透镜的平面圆直径MN 为6，且MN 与x 轴交于点
2,0
-
．平行于x 轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有
光线经折射后全部汇聚在点
2,0 处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）
(1)设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线C ，试判断C 属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式．
(2)设曲线F 为解析式同C 的完整圆锥曲线，直线l 与F 交于A ，B 两点，交y 轴于点H ，交x 轴于点Q （点Q 不与
F 的顶点重合）．若
1
2
HQ
k QA
k QB
=
=
uuur
uuur
uuur
，
1
2
8
3
k
k
+
= -
，试求出点Q 所有可能的坐标
8．（24-25 高二下·浙江温州·阶段练习）已知双曲线C：
2
2
1
4
x
y
-
= ．过y 轴正半轴上一点T 作射线TA，TB 交C
于点
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，且
1
2
0
y y <
．
0,0
P x
为x 轴正半轴上一点，满足2
3
TA
TB
TP
+
=
uur
uur
uur
．
(1)若P 为C 的右焦点，求直线AB 的方程；
(2)求
0x 的取值范围；
(3)若T 在直线AB 上，且OP
OT
=
，是否存在
0x ，使得|
| |
| |
| |
|
PA
TB
PB
TA
×
=
×
？若存在，求
0x ；若不存在，请说
明理由．
