圆锥曲线：椭圆的离心率问题、弦长问题、焦半径与焦点弦问题、中点弦问题
专项训练
考点目录
椭圆的离心率问题
椭圆的弦长问题
椭圆的焦半径与焦点弦问题
椭圆的中点弦问题
1．（2025·河北·模拟预测）已知焦点在x 轴上的椭圆
2
2
2
1
9
x
y
b
+
= ，其焦点 F 与上顶点A 和左顶点 B 构成面积为
3 3 的三角形，且
60
BAF
Ð
=
o ，则椭圆的离心率为（ ）
A．1
3
B．
2
3
C．
1
2
D．
2
2
2．（25-26 高三上·湖北武汉·开学考试）若椭圆
2
2
:
1
0
2
x
y
C
m
m +
=
>
的焦距为2 2 ，则C 的离心率为（ ）
A．
2
2
B．
3
2
C．
3
3
D．
6
3
3．（25-26 高三上·浙江·开学考试）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左、右两个焦点为
1F ，
2F ，若椭圆上存
在两点P 、Q 关于原点对称，且满足
2
1
2
2
a
PF PF
×
=
uuur uuuur
，
2
120
PF Q
Ð
=
o ，则椭圆C 的离心率（ ）
A．
3
2
B．
2
2
C．
1
2
D．1
3
4．（25-26 高三上·湖北武汉·阶段练习）设椭圆E：
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
的左右焦点分别为
1F ，
2F ，椭圆E 上点P
满足
1
2
PF
PF
^
，直线
1
PF 和直线
2
PF 分别和椭圆E 交于异于点P 的点A 和点B，若
1
2
2
3
F A
F B =
，则椭圆E 的离心率
为（ ）
A．
3
2
B．
5
3
C．10
4
D．
17
5
考点一
椭圆的离心率问题
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5．（2025·四川巴中·模拟预测）已知直线
0
y
kx k
=
¹
与椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
交于,
A B 两点，椭圆的左、
右焦点分别为
1F 、
2F ，四边形
1
2
AF BF 为矩形，若
2
2
2
F A
F B
=
，则椭圆C 的离心率是（ ）
A．
3
2
B．1
2
C．
5
3
D．5
9
6．（25-26 高三上·山西大同·开学考试）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，点P 为C 上
一点，
1
2
F PF
Ð
的平分线交x 轴于点A ，若
1
1
3
PF
AF
=
，则C 的离心率为（ ）
A．1
3
B．
1
2
C．2
3
D．3
4
7．（25-26 高三上·河北·开学考试·多选）已知
1
2
,
F F 是椭圆
2
2
1
2
:
1
0
2
x
y
C
a
a +
=
>
与双曲线
2
2
2
2
:
1
0
2
x
y
C
b
b -
=
>
的公
共焦点，点P 是两曲线的一个交点，
1e ，
2e 分别为
1
C ，
2
C 的离心率，则（ ）
A．a
b
>
B．
1 2
1
e e <
C．
1
2
PFF
V
是直角三角形
D．
2
2
1
2
1
1
e
e
+
是个定值
8．（25-26 高三上·江西·阶段练习·多选）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左､右焦点分别为
1
2
,
F F ，上顶点为
A ，直线
2
AF 与C 的另一个交点为B ，下列结论正确的是（ ）
A．若
2
2
2
AF
BF
=
，则C 的离心率为
3
3
B．若
1
2
3
BF
BF
=
，则C 的离心率为
3
3
C．若
1
AB
BF
=
，则C 的离心率为
6
3
D．若
1
1
AF
BF
^
，则C 的离心率为
5
5
9．（25-26 高二上·湖北武汉·阶段练习）直线8
12
16
x
y
+
=
经过椭圆
2
2
2
2
1
m x
n y
+
= 的两个顶点，则该椭圆的离心率
为
.
10．（2025·江苏南通·模拟预测）若直线
2
3
b
y =
与椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
交于A ，B 两点，
2
AB
b
=
，则C 的
离心率为
.
11．（24-25 高二上·新疆哈密·阶段练习）已知点P 在圆
2
2
6
8
0
x
y
y
+
-
+
=
上，点Q 在椭圆
2
2
2
1
x
y
a +
=
(
1)
a >
上，且
PQ 的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值为
.
12．（25-26 高三上·内蒙古·开学考试）已知椭圆C：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
= （
0
a
b
>
>
）的右焦点为F，P，Q 为C 上关于原
点对称的两点，PF
QF
^
，直线PF 交C 于另一点M，若直线QM 的斜率为
2
2
3
b
a
-
，则C 的离心率为
.
13．（25-26 高三上·江苏南通·开学考试）椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
=
0
a
b
>
>
的左、右焦点分别为
1
2
F
F
，
，P 是椭圆上一
点，直线
1
PF 的斜率为2，
1
2
90
F PF
Ð
=
°，则椭圆的离心率为
．
14．（24-25 高二下·广西梧州·阶段练习）已知O 为坐标原点，椭圆C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
= （
0
a
b
>
>
）的右顶点为A ，以
OA为直径的圆与椭圆C 的三个公共点分别为A ，M ，N ，若以O ，M ，A ，N 为顶点的四边形是正方形，则椭
圆C 的离心率为
.
1．（24-25 高二上·重庆·期末）已知椭圆
2
2
:
1
9
y
C
x
+
= 的一个焦点是F ，过原点的直线与C 相交于点A ，B ，
ABF
△
的面积是2 10
5
，则|
|
AB =（ ）
A．3 5
5
B．6 5
5
C．185
5
D．2 185
5
2．（24-25 高二上·江苏南通·期末）下列直线被椭圆
2
2
1
2
x
C
y
：+
= 截得的弦长大于
．．
1
l
y
x
=
+
：
被C 截得的弦长的是
（ ）
A．y
x
= -
B．
1
y
x
= - -
C．
1
y
x
=
-
D．
2
y
x
=
+
3．（2025·湖南邵阳·一模）经过椭圆
2
2
1
2
x
y
+
= 的右焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，直线l 与椭圆相交于A ，B 两
点，则|
|
AB =（ ）
A．8 2
7
B．20 2
7
C．
2
7
D．13 2
7
4．（24-25 高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知直线
2
y
x
=
与椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
交于A，B 两点，点F 是椭
圆C 的左焦点，若
4
FA
FB
+
=
uuur
uuur
，
2 2
FA
FB
+
=
uuur
uuur
，则AB =
．
5．（24-25 高二上·重庆·期末）已知椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
+
= 的左右焦点分别为
1F 、
2F ，过
1F 作直线交椭圆C 于A 、B 两
点，其中点B 在x 轴下方，
2
ABF
△
内切圆交边AB 于点N ，则线段AN 的长度取值范围为
.
6．（2024·河南·模拟预测）已知椭圆C 的方程为
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
，点F 为C 的一个焦点，点
,
A B 为C 的两个
顶点，若
3
FA =
，
2
FB =
，则AB 的可能值中的最大值为
．
考点二
椭圆的弦长问题
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7．（25-26 高三上·广西柳州·开学考试）已知椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
M
a
b
a
b
+
=
>
>
：
与椭圆
2
2
1
4
2
x
y
+
= 的焦点相同，且M 的
长轴长是短轴长的
3 倍．
(1)求M 的方程；
(2)若过点
1,0 且斜率为
1
2 的直线l 与M 交于
,
A B 两点，求AB ．
8．（25-26 高三上·黑龙江绥化·开学考试）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左、右焦点分别为
1F ，
2F ，M 是椭
圆C 上一点，且
1
2
MF F
△
的周长是4
2 3
+
，椭圆C 的离心率为
3
2
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知O 为坐标原点，过点
4,0
P
的直线l 与椭圆C 相交于A，B 两点，且
3
5
OA OB
×
=
uuur uuur
，求AB .
9．（24-25 高三下·云南昭通·期中）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
2
2 ，短轴长为2 2 ．
(1)求C 的方程；
(2)过点
0, 2
-
的直线l 与C 交于A
B
，
两点，O 为坐标原点，
0,2
P
，若
OAB
SV
3 2
PAB
S
+
=
V
，求AB ．
10．（2025·四川广安·模拟预测）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
上任意一点P 到C 的两个焦点
1
2
2 2,0 ,
2 2,0
F
F
-
的距离之和为4 3 .
(1)求C 的方程；
(2)已知直线
1
:
3
l y
x
m
=
+
与C 相交于A，B 两点，若
5
AB =
，求m 的值.
11．（24-25 高二下·广东深圳·期末）已知曲线
2
2
:
1(
0)
4
x
y
C
b
b
-
=
¹
．
(1)若
4
b =
，求曲线C 的离心率；
(2)若曲线C 的左，右顶点为
1
2
,
A A ，P 是C 上第一象限上动点，
1
2
1
2
PA
PA
k
k
×
= -
．
（ⅰ）若
1
2
tan
3
A PA
Ð
= - ，求点P 的坐标；
（ⅱ）设直线
1A P 与定直线:
6
l x =
的交点为M ，直线
2
MA 与曲线C 的另一个交点为Q ，求|
|
PQ 的最小值．
12．（2025·山西·模拟预测）已知椭圆C ：
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
的右焦点为
10
F
,
，且过点
3
1, 2
Pæ
ö
-
ç
÷
è
ø
.
(1)求C 的方程；
(2)设Q 为C 上一动点，当PQ
QF
+
取得最大值时，求直线QF 被C 截得的弦长.
13．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知椭圆
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
过点
0,
2 ，
7
1, 2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知斜率为2 的直线l 交椭圆于A，B 两点（点A，B 不重合），且l 交直线
4
y
x
=
+
于点M，探究MA
MB
×
是否
有最小值.
14．（2025·陕西汉中·一模）已知
1F ，
2F 是椭圆
2
2
2
2
:
1
x
y
C a
b
+
= （
0
a
b
>
>
）的左，右焦点，焦距为2，离心率
1
2
e =
，过左焦点
1F 的直线交椭圆C 于
,
A B 两点.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)求证
1
1
1
1
AF
BF
+
为定值.
1．（24-25 高二上·浙江台州·期末）已知椭圆
2
2
2
:
1(0
5)
5
x
y
E
b
b
+
=
<
<
的左右焦点分别为
1
2
,
F F ，点
0
0
,
M x
y
是椭
圆E 上第一象限的一点，
1
2
MF F
△
的内心为
1
1
N x y
,
，若
0
1
5
x
x
=
，则椭圆E 的方程为（ ）
A．
2
2
1
5
x
y
+
=
B．
2
2
1
5
2
x
y
+
=
C．
2
2
1
5
3
x
y
+
=
D．
2
2
1
5
4
x
y
+
=
2．（2024·四川南充·二模）已知椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
+
= 的左右焦点分别为
1
2
,
F F ．过点
1F 倾斜角为q 的直线l 与椭圆C 相
交于A ，B 两点（A 在x 轴的上方），则下列说法中正确的有（ ）个．
①
1
3
2
cos
AF
q
=
+
②
1
1
1
1
4
3
AF
BF
+
=
③若点M 与点B 关于x 轴对称，则
1
AMF
V
的面积为9sin 2
7
cos2
q
q
-
④当
π
3
q =
时，
2
ABF
△
内切圆的面积为12
25
p
A．1
B．2
C．3
D．4
3．（24-25 高二上·安徽合肥·期中·多选）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的左､右焦点分别为
1
2
,
F F ，左､右顶点分别为
1
1
, ,
2
,
A B BF
AF
P
=
是椭圆E 上异于
,
A B 的一个动点，则下列说法正确的有（ ）
A．椭圆E 的离心率为1
3
B．若
1
1
2
PF
F F
^
，则
2
1
4
cos
5
PF F
Ð
=
C．直线PA 的斜率与直线PB 的斜率之积为定值
D．符合条件
1
2
0
PF
PF
×
=
uuur
uuur
的点P 有且仅有2 个
考点三
椭圆的焦半径与焦点弦问题
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4．（2024·四川·一模·多选）已知椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
E
+
= 的左顶点为A ，左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，过点
1F 的直线与椭圆
相交于,
P Q 两点，则（ ）
A．
1
2
1
F F =
B．
4
PQ £
C．当
2, ,
F P Q不共线时，
2
F PQ
△
的周长为8
D．设点P 到直线
4
x = - 的距离为d ，则
1
2
d
PF
=
5．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
，左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，离心率为
2
2 ，过
2F 作
直线l 交椭圆于A，B 两点（A 在x 轴上方），满足
2
2
3
AF
F B
=
，设点A 关于x 轴的对称点为A¢，若
1
A BF
¢
V
的外接
圆半径
5 2
4
R ³
，则b 的最小值为
.
6．（24-25 高三上·上海·阶段练习）设椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
a
b
a
b
G
+
=
>
>
的左、右焦点分别为
1F 、
2F ，直线l 经过点
2F ，且
7．（24-25 高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
，
1F 、
2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，P 是
椭圆C 上任意一点．若
1
2
PFF
V
的周长为6 ，且
1
PF 的最小值为1．
(1)求C 的方程；
(2)设点
4,0
M
，过
2F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，记直线MA 、MB 的斜率分别为
1k 、
2k ，求
1 2
k k 的取值范
围．
8．（24-25 高三上·广东·期中）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
1
2 ，左焦点为F ，点
2,0
A -
在C
上．过F 且斜率为
0
k k ¹
的直线l 交C 于M 、N 两点（M 在N 的上方）．
(1)求C 的方程；
(2)若
1
k = ，求
MF
NF ；
(3)若
2
PM
MA
=
uuuur
uuur ，直线PN 交x 轴于点T ，求AT 的取值范围．
9．（2024·广西桂林·模拟预测）已知椭圆C：
2
2
2
2
1
2
x
y
a
a
+
=
-
过定点
2,1
P
，过点P 的两条动直线交椭圆于
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，直线
,
PA PB 的倾斜角互补，F 为椭圆C 的右焦点.
(1)设M 是椭圆C 的动点，过点M 作直线
2 2
x =
的垂线
,
MN N 为垂足，求
MF
MN .
(2)在
ABF
△
中，记
,
FBA
FAB
a
b
Ð
=
Ð
=
，若直线AB 的斜率为
2
2 ，求sin
sin
a
b
-
的最大值.
10．（24-25 高三上·安徽六安·期末）法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相
垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，
2
2
a
b
+
为半径的圆（a 为椭圆的长半轴长，b 为椭圆的短半轴
长），这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的蒙日圆的面积为5π ，短轴长为2 ，作直线l 与椭
圆E 交于M 、N 两点，与椭圆E 的蒙日圆交于H 、G 两点．
(1)已知
4 0
P
,
，直线l 斜率为1，若直线PM 、PN 的斜率满足
0
PM
PN
k
k
+
=
，求直线l 的方程；
(2)若椭圆E 的左右焦点分别为
1F 、
2F ，直线l 过坐标原点．求证：
1
2
MH
MG
MF
MF
×
=
×
．
1．（24-25 高二下·山西·开学考试）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的焦距为4，直线
3
0
x
y
-
+
=
与椭圆相交于
A ，B 两点，若点
2,1
Q -
是线段AB 的中点，则椭圆C 的短轴长为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
2．（24-25 高二下·四川成都·阶段练习）已知曲线
2
2
:
1
9
4
x
y
C
+
= ，直线l 与曲线C 交于
,
A B 两点，且点
(1,1)
P
是线段
AB 的中点，则直线l 的斜率为（ ）
A．4
9
B．
4
9
-
C．9
4
D．
9
4
-
3．（24-25 高二上·河北廊坊·期末）已知椭圆
2
2
1
9
3
x
y
+
= ，过点
1,1
P
的直线交椭圆于A，B 两点，且P 为线段AB
的中点，则直线AB 的方程为（ ）
A．
3
4
0
x
y
+
-
=
B．3
4
0
x
y
+
-
=
C．
3
2
0
x
y
-
+
=
D．3
2
0
x
y
-
-
=
4．（24-25 高二上·内蒙古包头·期中）已知点
1,0
F -
为椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
的左焦点，点P 为椭圆的下顶
点，平行于FP 的直线l 交椭圆于
,
A B 两点，且AB 的中点为
1
(1, )
2 ，则该椭圆的方程为（ ）
A．
2
2
1
6
5
x
y
+
=
B．
2
2
1
2
x
y
+
=
C．
2
2
1
5
4
x
y
+
=
D．
2
2
1
4
3
x
y
+
=
5．（2025·山西·一模·多选）已知椭圆
2
2
:
1
16
4
x
y
C
+
= ，左，右焦点分别为
1F ，
2F ，点P 是C 上的动点，点
( 3,1)
M
，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆C 的离心率为
3
2
B．
1
|
|
PF
PM
+
的最大值为10
C．
1
|
|
PF
PM
+
的最小值为5
D．被点M 平分的弦所在直线的斜率为
3
4
-
考点四
椭圆的中点弦问题
6．（24-25 高三下·江苏盐城·阶段练习·多选）已知椭圆
2
2
1
9
x
y
+
= 的左右焦点为
1F ，
2F ，直线l 交椭圆于,
P Q 两点，
则（ ）
A．
1
PF 的取值范围为
2,4
B．若直线l 经过点
1F ，则PQ的最小值是2
3
C．椭圆上存在四个点P ，使得
1
2
PFF
V
为直角三角形
D．若线段PQ中点为
1
1, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø ，则直线l 的方程为
3
2
0
x
y
+
-
=
7．（24-25 高二下·上海·期中）若椭圆
2
2
1
20
4
x
y
+
= 的一条弦AB 的中点为
2,1
M -
，则直线AB 的斜截式方程
为
．
8．（24-25 高二上·广西南宁·阶段练习）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的
面积除以圆周率π 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
（
）的右焦点为
6,0
F
，
过F 作直线l 交椭圆于 A，B 两点，若弦AB 中点坐标为
6 , 1
3
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，则该椭圆的面积为 .
9．（24-25 高二上·陕西铜川·阶段练习）已知直线l 与椭圆
2
2
:
1
9
6
x
y
C
+
= 交于A ，B 两点，若
(1,1)
M
为线段AB 的中
点，则直线l 的斜率为
.
10．（24-25 高二上·北京·阶段练习）过点
1,1
P -
作直线与椭圆
2
2
1
4
2
x
y
+
= 交于
,
A B 两点，若线段AB 的中点为P ，
则直线AB 的斜率是
.
11．（25-26 高三上·广东深圳·开学考试）已知椭圆C：
2
2
1
4
3
x
y
+
= 的左焦点为
1F ，过点
1F 斜率存在且不为0 的直线
l 交椭圆C 于A，B 两点，M 为AB 中点，O 为坐标原点．
(1)若直线OM 的斜率为
3
4
-
，求直线l 的方程；
(2)P 为椭圆上的点，直线PM 与x 轴交于点Q，若PQ
QM
=
uuur
uuuur
，求OQ 的取值范围．
12．（2025·海南·模拟预测）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
，且该椭圆的离心率为
2
2 ，直线l 不过原点O 且不平
行于坐标轴，l 与椭圆C 交于A
B
、两点，线段AB 的中点为M ．
(1)证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值；
(2)若直线l 的方程为2
2
3 3
0
x
y
-
+
=
，延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，四边形OAPB 为平行四边形，求椭圆C
的方程．
13．（2025·天津宁河·模拟预测）已知椭圆
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
过点
2,1
-
，长轴长为2 5 ，过点
1,0
C -
且斜率
为k 的直线l 与椭圆相交于不同的两点A 、B ．
(1)求椭圆的方程；
(2)若线段AB 中点的横坐标是
1
2
-
，求直线l 的斜率；
(3)在x 轴上是否存在点M ，使
2
5
3
1
MA MB
k
×
+
+
uuur uuur
是与k 无关的常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说
明理由．
14．（2025·江西·三模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的右焦点为
10
F
,
，离心率为
1
2 ，点A 在C 上，且位于第
二象限，点
4,0
P
，直线AP 与C 在第一象限交于点B .
(1)求C 的方程；
(2)若B 是AP 的中点，求直线AP 的方程；
(3)过点A 作直线1l
y
^
轴，过点F 作直线2l
x
^
轴，直线1
2
,
l l 交于点Q ，证明直线BQ 过定点，并求出该定点.
