圆锥曲线：椭圆的离心率问题、弦长问题、焦半径与焦点弦问题、中点弦问题
专项训练
考点目录
椭圆的离心率问题
椭圆的弦长问题
椭圆的焦半径与焦点弦问题
椭圆的中点弦问题
1．（2025·河北·模拟预测）已知焦点在x 轴上的椭圆
2
2
2
1
9
x
y
b
+
= ，其焦点 F 与上顶点A 和左顶点 B 构成面积为
3 3 的三角形，且
60
BAF
Ð
=
o ，则椭圆的离心率为（ ）
A．1
3
B．
2
3
C．
1
2
D．
2
2
【答案】B
【详解】
由
2
2
2
1
9
x
y
b
+
= 可得
3
a =
，由图知，|
|
3
AF
a
=
=
，
2
|
|
9
AB
b
=
+
，
又
60
BAF
Ð
=
o ，则
BAF
△
的面积为
2
1
3
9 sin 60
3 3
2
b
´ ´
+
=
o
，
解得
2
7
b = ，则
2
9
2
c
b
=
-
=
，则椭圆的离心率为
2
3
c
e
a
=
=
.
故选：B.
2．（25-26 高三上·湖北武汉·开学考试）若椭圆
2
2
:
1
0
2
x
y
C
m
m +
=
>
的焦距为2 2 ，则C 的离心率为（ ）
A．
2
2
B．
3
2
C．
3
3
D．
6
3
【答案】A
【详解】由2
2 2
c =
得
2
c =
，
又
2
2
2
2
2
2
a
b
c
b
=
+
=
+
>
，
所以
2
2
b = ，
2
4
m
a
=
=
，得
2
a =
，
考点一
椭圆的离心率问题
所以
2
2
c
e
a
=
=
．
故选：A．
3．（25-26 高三上·浙江·开学考试）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左、右两个焦点为
1F ，
2F ，若椭圆上存
在两点P 、Q 关于原点对称，且满足
2
1
2
2
a
PF PF
×
=
uuur uuuur
，
2
120
PF Q
Ð
=
o ，则椭圆C 的离心率（ ）
A．
3
2
B．
2
2
C．
1
2
D．1
3
【答案】C
【详解】连接
1
QF ，
2
QF ，因为点P 、Q 关于原点对称，所以四边形
2
1
QF PF 是平行四边形，
所以
1
1
2
2
QF F
F
PF
=
Ð
Ð
，又因为
2
120
PF Q
Ð
=
o ，所以
1
2
2
2
1
120
F
F
P
F
F Q
F
P
P
+
= Ð
=
°
Ð
Ð
，
所以
2
1
2
180
60
PF
F
F Q
P
=
°- Ð
=
°
Ð
，
因为
2
1
2
2
a
PF PF
×
=
uuur uuur
，所以
2
1
2
2
1
cos
2
a
PF
PF
F PF
×
Ð
=
uuur
uuuur
，所以
2
1
2
PF
PF
a
×
=
uuur
uuuur
，
又
1
2
2
PF
PF
a
+
=
uuur
uuuur
，所以
2
1
2
2
1
2
2
PF
PF
PF
PF
a
æ
ö
+
ç
÷
×
£
=
ç
÷
è
ø
uuur
uuuur
uuur
uuuur
，
当且仅当
1
2
PF
PF
a
=
=
uuur
uuuur
时取等号，又
2
1
2
PF
PF
a
×
=
uuur
uuuur
所以
2
1
F PF
V
为等边三角形，所以
2
a
c
=
，所以椭圆的离以率为
1
2
e =
.
故选：C.
4．（25-26 高三上·湖北武汉·阶段练习）设椭圆E：
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
的左右焦点分别为
1F ，
2F ，椭圆E 上点P
满足
1
2
PF
PF
^
，直线
1
PF 和直线
2
PF 分别和椭圆E 交于异于点P 的点A 和点B，若
1
2
2
3
F A
F B =
，则椭圆E 的离心率
为（ ）
A．
3
2
B．
5
3
C．10
4
D．
17
5
【答案】D
【详解】由题设，令
1
2
PF F
q
Ð
=
，故
1
|
| 2 cos
PF
c
q
=
，
2
|
| 2 sin
PF
c
q
=
，
所以
1
2
|
|
|
| 2 (cos
sin )
2
PF
PF
c
a
q
q
+
=
+
=
，故(sin
cos )
1
e
q
q
+
= ①，
由
1
2
2
3
F A
F B =
，令
1
2
2 ,
3
F A
m F B
m
=
=
，则
2
1
2
2 ,
2
3
F A
a
m F B
a
m
=
-
=
-
，
由
2
2
2
2
2
|
|
PA
PF
F A
+
=
，则
2
2
2
(2 cos
2 )
(2 sin )
(2
2 )
c
m
c
a
m
q
q
+
+
=
-
，
所以
2
2
2
cos
2
c
mc
a
ma
q
+
=
-
，整理得
2
2
2 ( cos
)
m c
a
a
c
q +
=
-
，
由
2
2
2
1
1
|
|
PB
PF
F B
+
=
，则
2
2
2
(2 sin
3 )
(2 cos )
(2
3 )
c
m
c
a
m
q
q
+
+
=
-
，
所以
2
2
3
sin
3
c
mc
a
ma
q
+
=
-
，整理得
2
2
3 ( sin
)
m c
a
a
c
q +
=
-
，
所以2 ( cos
)
3 ( sin
)
m c
a
m c
a
q
q
+
=
+
，整理得2 cos
3 sin
1
e
e
q
q
-
= ②，
联立①②，得
4
cos
5
e
q =
，
1
sin
5
e
q =
，故
1
tan
4
q =
，即
1
sin
17
q =
，
所以
17
5
e =
.
故选：D
5．（2025·四川巴中·模拟预测）已知直线
0
y
kx k
=
¹
与椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
交于,
A B 两点，椭圆的左、
右焦点分别为
1F 、
2F ，四边形
1
2
AF BF 为矩形，若
2
2
2
F A
F B
=
，则椭圆C 的离心率是（ ）
A．
3
2
B．1
2
C．
5
3
D．5
9
【答案】C
【详解】如图：
设
2
F B
t
= ，则
2
2
F A
t
=
，因为四边形
1
2
AF BF 为矩形，所以
1
2
5
F F
t
=
.
所以2
3
a
t
=
，2
5
c
t
=
.
所以
2
5
2
3
c
c
e
a
a
=
=
=
.
故选：C
6．（25-26 高三上·山西大同·开学考试）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，点P 为C 上
一点，
1
2
F PF
Ð
的平分线交x 轴于点A ，若
1
1
3
PF
AF
=
，则C 的离心率为（ ）
A．1
3
B．
1
2
C．2
3
D．3
4
【答案】A
【详解】由题意知
1
2
F PF
Ð
的平分线交x 轴于点A ，故
1
2
F PA
F PA
Ð
= Ð
，
故
1
2
1
1
1
2
2
2
1
1
sin
2
2
1
1
sin
2
2
PF A
PF A
PF
PA
F PA
AF
d
S
S
PF
PA
F PA
AF
d
×
×
Ð
×
=
=
×
×
Ð
×
V
V
，（d 为
1
2
PFF
V
的边
1
2
F F 上的高），
即得
1
1
2
2
PF
AF
PF
AF
=
，结合
1
1
3
PF
AF
=
可得
1
2
1
2
1
3
AF
AF
PF
PF
=
=
，
所以
1
2
1
2
1
3
AF
AF
PF
PF
+
=
+
，
对于
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
有
1
2
1
2
1
2
2 ,
2
AF
AF
F F
c PF
PF
a
+
=
=
+
=
，
故2
1
2
3
c
c
a
a
=
=
，即C 的离心率为1
3 .
故选：A
7．（25-26 高三上·河北·开学考试·多选）已知
1
2
,
F F 是椭圆
2
2
1
2
:
1
0
2
x
y
C
a
a +
=
>
与双曲线
2
2
2
2
:
1
0
2
x
y
C
b
b -
=
>
的公
共焦点，点P 是两曲线的一个交点，
1e ，
2e 分别为
1
C ，
2
C 的离心率，则（ ）
A．a
b
>
B．
1 2
1
e e <
C．
1
2
PFF
V
是直角三角形
D．
2
2
1
2
1
1
e
e
+
是个定值
【答案】ACD
【详解】选项A，因为
1
2
,
C C 有公共的焦点，得
2
2
2
2
a
b
-
=
+
，
即
2
2
2
4
a
b
b
=
+
>
，又
0,
0
a
b
>
>
，所以可得a
b
> .故A 正确；
选项B，因为
1
2
,
C C 有公共的焦点，可得
2
2
4
a
b
=
+
，
2
2
2
1
2
2
2
2
4
a
b
e
a
b
-
+
=
=
+
，
2
2
2
2
2
b
e
b
+
=
，
得
4
2
2
2
1
2
4
2
4
2
4
4
4
1
1
4
4
b
b
e e
b
b
b
b
+
+
=
= +
>
+
+
，即
1 2
1
e e > ，故B 错误；
选项C，因为
1
2
,
C C 有公共的焦点，可得
2
2
4
a
b
=
+
，不妨设点P 在第一象限，由椭圆和双曲线的定义得，
1
2
2
PF
PF
a
+
=
，
1
2
2
PF
PF
b
-
=
，所以
1
PF
a
b
=
+
，
2
PF
a
b
=
-
，
2
2
2
2
2
1
2
2(
)
4
8
PF
PF
a
b
b
+
=
+
=
+
，
2
2
2
2
1
2
4
4(
2)
4
8
F F
c
b
b
=
=
+
=
+
，
所以
2
2
2
1
2
1
2
PF
PF
F F
+
=
，故
1
2
PFF
V
是直角三角形，故C 正确；
选项D，因为
1
2
,
C C 有公共的焦点，可得
2
2
4
a
b
=
+
，
2
2
2
1
2
2
2
2
4
a
b
e
a
b
-
+
=
=
+
，
2
2
2
2
2
b
e
b
+
=
，
因此
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
4
2
4
2
2
2
2
b
b
b
e
e
b
b
b
+
+
+
=
+
=
=
+
+
+
，故D 正确.
故选：ACD.
8．（25-26 高三上·江西·阶段练习·多选）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左､右焦点分别为
1
2
,
F F ，上顶点为
A ，直线
2
AF 与C 的另一个交点为B ，下列结论正确的是（ ）
A．若
2
2
2
AF
BF
=
，则C 的离心率为
3
3
B．若
1
2
3
BF
BF
=
，则C 的离心率为
3
3
C．若
1
AB
BF
=
，则C 的离心率为
6
3
D．若
1
1
AF
BF
^
，则C 的离心率为
5
5
【答案】ABD
【详解】由椭圆
2
2
2
2
:
1
x
y
C a
b
+
= ，可得
1
2
(
,0),
( ,0)
F
c
F c
-
，且
(0, )
A
b ，则
1
2
AF
AF
a
=
=
，
对于A 中，若
2
2
2
AF
BF
=
，可得
2
2
a
BF =
，
又由椭圆的定义，可得
1
2
2
BF
BF
a
+
=
，所以
1
2
3
2
2
BF
a
BF
a
=
-
=
，
在
1
ABF
V
中，由余弦定理得
2
2
2
1
1
1
1
7
cos
2
9
AB
BF
AF
ABF
AB BF
+
-
Ð
=
=
，
在
1
2
BF F
△
中，可得
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
2
2
1
3
5
( )
(
)
4
4
2
2
2
cos
3
3
2
2
2
2
2
a
a
a
c
c
BF
BF
F F
F BF
a
a
BF
BF
a
+
-
-
+
-
Ð
=
=
=
´
´
，
因为
1
1
2
cos
cos
ABF
F BF
Ð
=
Ð
，所以
2
2
2
5
4
7
2
3
9
2
a
c
a
-
=
，整理得
2
2
1
3
c
a =
，
所以椭圆的离心率为
3
3
c
e
a
=
=
，所以A 正确；
对于B 中，若
1
2
3
BF
BF
=
，因为
1
2
2
BF
BF
a
+
=
，可得
1
2
3 ,
2
2
a
a
BF
BF
=
=
，
在
1
ABF
V
和
1
2
BF F
△
中，由余弦定理得
1
7
cos
9
ABF
Ð
=
，
2
2
1
2
2
5
4
2
cos
3
2
a
c
FBF
a
-
Ð
=
，
因为
1
1
2
cos
cos
ABF
F BF
Ð
=
Ð
，所以
2
2
2
5
4
7
2
3
9
2
a
c
a
-
=
，整理得
2
2
1
3
c
a =
，
所以椭圆的离心率为
3
3
c
e
a
=
=
，所以B 正确；
对于C 中，若
1
AB
BF
=
，可得
由椭圆的定义，
1
2
2
BF
a
BF
=
-
且
2
2
2
AB
AF
BF
a
BF
=
+
=
+
，
所以
2
2
2
a
BF
a
BF
+
=
-
，可得
2
2
a
BF =
，所以
1
3
2
a
BF =
，
在
1
ABF
V
和
1
2
BF F
△
中，由余弦定理得
1
7
cos
9
ABF
Ð
=
，
2
2
1
2
2
5
4
2
cos
3
2
a
c
FBF
a
-
Ð
=
，
因为
1
1
2
cos
cos
ABF
F BF
Ð
=
Ð
，所以
2
2
2
5
4
7
2
3
9
2
a
c
a
-
=
，整理得
2
2
1
3
c
a =
，
所以椭圆的离心率为
3
3
c
e
a
=
=
，所以C 不正确；
对于D 中，若
1
1
AF
BF
^
，设
2
BF
n
=
，则
1
2
BF
a
n
=
-
，
由勾股定理，可得
2
2
2
1
1
AB
AF
BF
=
+
，即
2
2
2
(
)
(2
)
a
n
a
a
n
+
=
+
-
，
解得
2
3
a
n =
，即
2
2
3
a
BF =
，
1
4
3
a
BF =
，
由
2
(0, ),
( ,0)
A
b F c
，且
2
,
,
A F B 三点共线，可得
5
2
(
,
)
3
3
c
b
B
-
，
代入椭圆C 的方程，可得
2
2
2
2
5
(
)
(
)
3
1
2
3
b
c
a
b
-
+
= ，整理得
2
2
1
5
c
a =
，
所以椭圆C 的离心率为
5
5
c
e
a
=
=
，所以D 正确.
故选：ABD.
9．（25-26 高二上·湖北武汉·阶段练习）直线8
12
16
x
y
+
=
经过椭圆
2
2
2
2
1
m x
n y
+
= 的两个顶点，则该椭圆的离心率
为
.
【答案】
5
3
【详解】由题意知，直线8
12
16
x
y
+
=
与坐标轴的交点坐标为
4
0,
, 2,0
3
æ
ö
ç
÷
è
ø
.
因为椭圆
2
2
2
2
1
m x
n y
+
= ，即
2
2
2
2
1
1
1
x
y
m
n
+
= .
所以
2
2
2
2
1
1
4
16
2
4,
3
9
m
n
æ
ö
=
=
=
=
ç
÷
è
ø
，可知
2
a =
.
所以
2
2
2
2
2
1
1
20
9
c
a
b
m
n
=
-
=
-
=
，所以
2 5
3
c =
.
所以该椭圆的离心率为
5
3
c
e
a
=
=
.
故答案为：
5
3
.
10．（2025·江苏南通·模拟预测）若直线
2
3
b
y =
与椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
交于A ，B 两点，
2
AB
b
=
，则C 的
离心率为
.
【答案】2
3
【详解】直线
2
3
b
y =
与椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
交于A ，B 两点，
2
AB
b
=
，
则
2
2
,
,
,
3
3
b
b
A
b
B b
æ
ö
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，点B 在椭圆上可得
2
2
2
2
2
3
1
b
b
a
b
æ
ö
ç
÷
è
ø
+
= ，即得
2
2
5
9
b
a =
，
所以C 的离心率为
2
2
2
2
5
2
1
1
9
3
c
c
b
e
a
a
a
=
=
=
-
=
-
=
.
故答案为：2
3 .
11．（24-25 高二上·新疆哈密·阶段练习）已知点P 在圆
2
2
6
8
0
x
y
y
+
-
+
=
上，点Q 在椭圆
2
2
2
1
x
y
a +
=
(
1)
a >
上，且
PQ 的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值为
.
【答案】
3
2
【详解】由
2
2
6
8
0
x
y
y
+
-
+
=
化简为
2
2
(
3)
1
x
y
+
-
= ，圆心
(0,3)
A
．如图，
因为
1
PQ
AQ
AP
AQ
£
+
=
+ ，所以PQ 的最大值为5 等价于AQ 的最大值为4.
设
( , )
Q x y ，由
4
AQ £
，得
2
2
(
3)
16
x
y
+
-
£
①，又
( , )
Q x y 在
2
2
2
1
x
y
a +
= 上 ②
联立①②消去x ，化简得
2
2
2
(1
)
6
7
0
y
a
y
y
-
+
-
-
£
，
即
2
(1
)[(1
)
7]
0
y
y a
y
+
-
+
-
£
，因
( , )
Q x y 在
2
2
2
1
x
y
a +
= 上，则有
[ 1,1]
y Î -
，得1
0
y
+
³
，
故
2
(1
)
7
0
y a
y
-
+
-
£
，即
2
2
(1
)
7
0
a
y
a
-
+
-
£
在
[ 1,1]
y Î -
上成立(*).
令
2
2
( )
(1
)
7
g y
a
y
a
=
-
+
-
，因
1
a > ，则函数( )
g y 在[ 1,1]
-
上单调递减.
故
2
1
2
8
g y
g
a
£
-
=
- ，由（*）可得
2
2
8
0
a -
£
，解得
2
a £
，故1
2
a
<
£
.
所以
2
2
2
2
2
2
1
1
3
1
4
c
a
e
a
a
a
-
=
=
= -
£
，即
3
0
2
e
<
£
，
即椭圆的离心率的最大值为
3
2
.
故答案为：
3
2
.
12．（25-26 高三上·内蒙古·开学考试）已知椭圆C：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
= （
0
a
b
>
>
）的右焦点为F，P，Q 为C 上关于原
点对称的两点，PF
QF
^
，直线PF 交C 于另一点M，若直线QM 的斜率为
2
2
3
b
a
-
，则C 的离心率为
.
【答案】
3
1
-
【详解】不妨设
0
0
,
P x
y
，
0
0
,
Q
x
y
-
-
，
1
1
,
M x y
，
由PF
QF
^
可知，直线PF 、QF 斜率均存在且不为0，
∵
2
2
0
3
MQ
b
k
a
= -
<
，
且
2
2
2
2
0
1
2
2
2
2
2
1
0
1
0
1
0
2
2
2
2
2
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
MQ
MP
x
x
b
b
a
a
y
y
y
y
y
y
b
k
k
x
x
x
x
x
x
x
x
a
æ
ö
æ
ö
-
-
-
ç
÷
ç
÷
-
+
-
è
ø
è
ø
´
=
´
=
=
= -
-
+
-
-
，
∴
3
MP
k
=
，∴直线MP 的倾斜角为60°,
∴
30
QFO
Ð
=
° ，
设
1F 为C 的左焦点，连接
1
QF ，
根据椭圆的对称性得：
1 / /
QF
PF ,则
1
90
FQF
Ð
=
°，
∵
1
2
2
F F
c
=
,∴
1
QF
c
=
，
3
QF
c
=
，
由椭圆的定义得：
1
3
1
2
QF
QF
c
a
+
=
+
=
，
∴C 的离心率
2
3
1
3
1
c
e
a
=
=
=
-
+
.
13．（25-26 高三上·江苏南通·开学考试）椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
=
0
a
b
>
>
的左、右焦点分别为
1
2
F
F
，
，P 是椭圆上一
点，直线
1
PF 的斜率为2，
1
2
90
F PF
Ð
=
°，则椭圆的离心率为
．
【答案】
5
3
/ 1
5
3
【详解】设
1
2
,0
,0
F
c
F
c
-
，
，由椭圆的定义可得
1
2
2
PF
PF
a
+
=
，
直线
1
PF 的斜率为2，则
1
2
tan
2
PF F
Ð
=
，
又
1
2
90
F PF
Ð
=
°，
1
2
Rt
F PF
△
中，
2
1
2
1
tan
2
PF
PF F
PF
Ð
=
=
，
设
1
PF
m
=
，有
2
2
PF
m
=
，
由
2
2
2
1
2
1
2
PF
PF
F F
+
=
，得
2
2
2
4
4
m
m
c
+
=
，
又
1
2
2
2
PF
PF
m
m
a
+
=
+
=
，消去m 得
2
2
5
9
a
c
=
，
即
2
2
5
9
c
a =
，所以椭圆的离心率
5
3
c
e
a
=
=
.
故答案为：
5
3
14．（24-25 高二下·广西梧州·阶段练习）已知O 为坐标原点，椭圆C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
= （
0
a
b
>
>
）的右顶点为A ，以
OA为直径的圆与椭圆C 的三个公共点分别为A ，M ，N ，若以O ，M ，A ，N 为顶点的四边形是正方形，则椭
圆C 的离心率为
.
【答案】
6
3
【详解】以OA为直径的圆，和椭圆关于x 轴对称，则交点在OA中垂线上，不妨设点M 在第一象限，则
,
2 2
æ
ö
ç
÷
è
ø
a a
M
，代入椭圆C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
= ，得
2
2
2
2
1
4
4
a
a
a
b
+
= ，
即
2
2
2
2
3
3
3
a
b
a
c
=
=
-
，解得
6
3
c
e
a
=
=
.
故答案为：
6
3
.
1．（24-25 高二上·重庆·期末）已知椭圆
2
2
:
1
9
y
C
x
+
= 的一个焦点是F ，过原点的直线与C 相交于点A ，B ，
ABF
△
的面积是2 10
5
，则|
|
AB =（ ）
A．3 5
5
B．6 5
5
C．185
5
D．2 185
5
【答案】D
【详解】如图：
由题，不妨设
0,2 2
F
，直线AB 斜率存在，
设直线AB 方程
1
1
2
2
,
,
,
,
y
kx A x y
B x
y
=
，
联立
2
2
2
2
2
1
9
9
0,Δ
36
9
0
9
y
x
k
x
k
y
kx
ì
+
=
ï
Þ
+
-
=
=
+
>
í
ï
=
î
，
1
2
1
2
2
9
0,
9
x
x
x
k
x
-
+
=
=
+
×
，
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
1
36
2 10
2 2
4
2 2
2
2
2
9
5
ABF
S
OF
x
x
x
x
x x
k
=
×
-
=
´
´
+
-
=
´
´
=
+
V
，
解得
6
k = ± ，
故
2
1
2
6
2 185
|
|
1
|
|
37
5
45
AB
k
x
x
=
+
-
=
´
=
，
故选：D.
2．（24-25 高二上·江苏南通·期末）下列直线被椭圆
2
2
1
2
x
C
y
：+
= 截得的弦长大于
．．
1
l
y
x
=
+
：
被C 截得的弦长的是
（ ）
A．y
x
= -
B．
1
y
x
= - -
C．
1
y
x
=
-
D．
2
y
x
=
+
【答案】A
【详解】解：易知椭圆
2
2
1
2
x
C
y
：+
= 关于x 轴、y 轴、原点对称，
考点二
椭圆的弦长问题
直线
1
y
x
=
+ 与直线
1
y
x
= - - 关于x 轴对称，
直线
1
y
x
=
+ 与直线
1
y
x
=
- 关于原点对称，
所以椭圆被直线
1
y
x
=
+ 、
1
y
x
= - - 、
1
y
x
=
- 所截得的弦长相等，故排除B、C；
根据椭圆的对称性可知原点到直线的距离越远，直线被椭圆截得的弦长越小，
y
x
= - 过原点
2
y
x
=
+
，
比
1
y
x
=
+ 到原点的距离远，
故
2
y
x
=
+
截椭圆所得的弦长比
1
y
x
=
+ 截椭圆的弦长要短，故排除D，
故y
x
= - 截椭圆所得的弦长比
1
y
x
=
+ 截椭圆的弦长要长，
故选：A.
3．（2025·湖南邵阳·一模）经过椭圆
2
2
1
2
x
y
+
= 的右焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，直线l 与椭圆相交于A ，B 两
点，则|
|
AB =（ ）
A．8 2
7
B．20 2
7
C．
2
7
D．13 2
7
【答案】A
【详解】
2
2
a =
，
2
1
b = ，∴
2
2
1
c
a
b
=
-
= ，即
10
F
,
，
tan 60
3
lk =
° =
，∴
:
3
1
l y
x
=
-
，
联立方程组得
2
2
3
1
1
2
y
x
x
y
ì
=
-
ïí
+
=
ïî
，整理得
2
7
12
4
0
x
x
-
+
=
，
设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，∴
1
2
12
7
x
x
+
=
，
1
2
4
7
x x =
，
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
12
4
8 2
|
|
1
1
4
1
3
4
7
7
7
AB
k
x
x
k
x
x
x x
æ
ö
=
+
-
=
+
+
-
=
+
- ´
=
ç
÷
è
ø
.
故选：A.
4．（24-25 高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知直线
2
y
x
=
与椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
交于A，B 两点，点F 是椭
圆C 的左焦点，若
4
FA
FB
+
=
uuur
uuur
，
2 2
FA
FB
+
=
uuur
uuur
，则AB =
．
【答案】4 5
3
【详解】由对称性可得，
2
4
FA
FB
a
+
=
=
uuur
uuur
，
2
2 2
FA
FB
c
+
=
=
uuur
uuur
，
所以
2
a =
，
2
c =
，
2
2
2
b
a
c
=
-
=
，
所以椭圆方程为
2
2
1
4
2
x
y
+
= ，
2
2
2
1
4
2
y
x
x
y
=
ìïí
+
=
ïî
，解得
2
4
9
x =
，
2
16
9
y =
，
2
2
4 5
2
3
AB
x
y
=
+
=
．
故答案为：4 5
3
.
5．（24-25 高二上·重庆·期末）已知椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
+
= 的左右焦点分别为
1F 、
2F ，过
1F 作直线交椭圆C 于A 、B 两
点，其中点B 在x 轴下方，
2
ABF
△
内切圆交边AB 于点N ，则线段AN 的长度取值范围为
.
【答案】(1,3)
【详解】因为
2
ABF
△
的内切圆交边AB 于点N ，所以
2
2
2
AF
AB
BF
AN
+
-
=
,
又因为在椭圆中
1
2
4
AF
AF
+
=
，
2
1
4
BF
BF
=
-
,
所以
1
1
2
1
1
2
1
4
4
2
2
BF
BF
AF
AF
BF
BF
AN
BF
+
-
-
+
+
-
=
=
=
，
而
1
1
3
BF
£
£
，（等号取不到）因此1
3
AN
<
<
.
故答案为：
1,3 .
6．（2024·河南·模拟预测）已知椭圆C 的方程为
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
，点F 为C 的一个焦点，点
,
A B 为C 的两个
顶点，若
3
FA =
，
2
FB =
，则AB 的可能值中的最大值为
．
【答案】5
【详解】设
2
2
c
a
b
=
-
．由椭圆的对称性，不妨设F 为右焦点，
易知点F 到C 的左顶点的距离为a
c
+ ，到右顶点的距离为a
c
-
，到上、下顶点的距离均为a ，
分情况进行讨论：①若
,
A B 分别为C 的左、右顶点，则
3
2
a
c
a
c
+
=
ì
í -
=
î
，解得
5
2
1
2
a
c
ì =
ïïí
ï =
ïî
，则
2
6
b
a
c
a
c
=
+
-
=
，
所以
2
5
AB
a
=
=
，相对应的C 的方程为
2
2
4
1
25
6
x
y
+
= ；
②若A 为C 的左顶点，B 为C 的上顶点或下顶点，则
3
2
a
c
a
+
=
ì
í =
î
，所以
1
2
c
a
=
ì
í =
î
，
2
2
2
3
b
a
c
=
-
= ，
所以
2
2
7
AB
a
b
=
+
=
，相对应的C 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= ；
③若A 为上顶点或下顶点，B 为右顶点，则
3
2
a
a
c
=
ì
í -
=
î
，所以
3
1
a
c
=
ì
í =
î
，
2
2
2
8
b
a
c
=
-
=
，
所以
2
2
17
AB
a
b
=
+
=
，相对应的C 的方程为
2
2
1
9
8
x
y
+
= ．
综上所述，AB 的所有可能值为5 ，
7 ，17 ；比较可知三值最大的为5 ，即AB 的可能值中的最大值为5 ．
故答案为：5
7．（25-26 高三上·广西柳州·开学考试）已知椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
M
a
b
a
b
+
=
>
>
：
与椭圆
2
2
1
4
2
x
y
+
= 的焦点相同，且M 的
长轴长是短轴长的
3 倍．
(1)求M 的方程；
(2)若过点
1,0 且斜率为
1
2 的直线l 与M 交于
,
A B 两点，求AB ．
【答案】(1)
2
2
1
3
x
y
+
= ；
(2) 6 10
7
.
【详解】（1）由题意，椭圆M 的焦点为
2,0
-
和
2,0 ，即
2
c =
，
且
3
a
b
=
，
2
2
2
2
2
2
3
2
2
c
a
b
b
b
b
\
=
-
=
-
=
=
，解得
1
b = ± ，
0
a
b
>
>
Q
，
1,
3
b
a
\ =
=
，
\椭圆M 的方程为
2
2
1
3
x
y
+
= .
（2）
由题意，直线l 的斜率
1
2
k =
，其方程为
1
1
2
y
x
=
-
，
联立
2
2
1
2
1
3
1
y
y
x
x
ì
=
-
ï
+
í
=
ï
ï
ïî
可得
2
7
6
9
0
x
x
-
-
=
，
设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，
根据韦达定理，则有
1
2
1
2
6
9
,
7
7
x
x
x x
+
=
= -
，
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
4
2
AB
k
x
x
x
x
x x
æ
ö
\
=
+
-
=
+
´
+
-
ç
÷
è
ø
5
36
9
6
4
10
2
49
7
7
æ
ö
=
´
- ´ -
=
ç
÷
è
ø
.
所以
6 10
7
AB =
.
8．（25-26 高三上·黑龙江绥化·开学考试）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左、右焦点分别为
1F ，
2F ，M 是椭
圆C 上一点，且
1
2
MF F
△
的周长是4
2 3
+
，椭圆C 的离心率为
3
2
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知O 为坐标原点，过点
4,0
P
的直线l 与椭圆C 相交于A，B 两点，且
3
5
OA OB
×
=
uuur uuur
，求AB .
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
+
=
(2) 2 17
5
【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，由题意可得
2
2
4
2 3
3
2
a
c
c
e
a
ì
+
=
+
ïí
=
=
ïî
，
解得
2
a =
，
3
c =
，所以
2
2
2
1
b
a
c
=
-
= ，
所以椭圆C 的方程为
2
2
1
4
x
y
+
= .
（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设为k，所以直线l 的方程为
4
y
k x
=
-
.
设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
由
2
2
1
4
4
x
y
y
k x
ì
+
=
ïí
ï
=
-
î
，得
2
2
2
2
1
4
32
64
4
0
k
x
k x
k
+
-
+
-
=
，
所以
2
1
2
2
32
1
4
k
x
x
k
+
= +
，
2
1
2
2
64
4
1
4
k
x x
k
-
=
+
，由
0
D >
得
2
1
0
12
k
£
<
.
由
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
76
4
3
1
4
16
5
1
4
k
OA OB
x x
y y
k
x x
k
x
x
k
k
-
×
=
+
=
+
-
+
+
=
=
+
uuur uuur
，
得
2
1
16
k =
，满足
0
D >
，所以
1
2
8
5
x
x
+
=
，
1
2
0
x x =
，
所以
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
17
8
2 17
1
4
4
5
5
AB
x
x
y
y
k
x
x
x x
=
-
+
-
=
+
×
+
-
=
´
=
.
9．（24-25 高三下·云南昭通·期中）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
2
2 ，短轴长为2 2 ．
(1)求C 的方程；
(2)过点
0, 2
-
的直线l 与C 交于A
B
，
两点，O 为坐标原点，
0,2
P
，若
OAB
SV
3 2
PAB
S
+
=
V
，求AB ．
【答案】(1)
2
2
1
4
2
x
y
+
=
(2)
5
【详解】（1）因为短轴长为2 2 ，故
2
b =
．
又离心率为
2
2 ，由
2
2
2
a
b
c
=
+
且
2
2
c
a =
，
故
2
a =
，
故椭圆方程为：
2
2
1
4
2
x
y
+
= ．
（2）如图，由题设直线l 的斜率存在，故设直线:
2
l y
kx
=
-
，
即
2
0
kx
y
-
-
=
，令
1
1
2
2
,
,
A x y
B x
y
，
，
由
2
2
2
2
4
y
kx
x
y
=
-
ì
í
+
=
î
，
，可得
2
2
2
1
8
4
0
k
x
kx
+
-
+
=
．
故
2
2
2
Δ
64
4 2
1
4
32
16
0
k
k
k
=
-
+
´
=
-
>
，即
2
1
2
k >
，
且
1
2
1
2
2
2
8
4
2
1
2
1
k
x
x
x x
k
k
+
=
=
+
+
，
，
则
2
2
1
2
1
2
1
2
2
32
16
4
2
1
k
x
x
x
x
x x
k
-
-
=
+
-
=
+
．
又点O 到直线l 距离
1
2
2
1
d
k
=
+
，点
0,2
P
到直线l 距离
2
2
4
1
d
k
=
+
，
故
1
2
1
2
OAB
PAB
S
S
AB
d
d
+
=
´
´
+
V
V
2
1
2
1
2
2
1
6
1
3
3 2
2
1
k
x
x
x
x
k
=
+
×
-
×
=
-
=
+
，
故
1
2
2
x
x
-
=
，
即
2
2
32
16
2
2
1
k
k
-
=
+
，解得
2
3
1
2
2
k =
>
，
故
2
1
2
3
1
1
2
5
2
AB
k
x
x
=
+
-
=
+
´
=
．
10．（2025·四川广安·模拟预测）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
上任意一点P 到C 的两个焦点
1
2
2 2,0 ,
2 2,0
F
F
-
的距离之和为4 3 .
(1)求C 的方程；
(2)已知直线
1
:
3
l y
x
m
=
+
与C 相交于A，B 两点，若
5
AB =
，求m 的值.
【答案】(1)
2
2
1
12
4
x
y
+
=
(2)
2
±
【详解】（1）由题意可得
2
2
2
2 2
2
4 3
c
a
a
b
c
ì
=
ïï
=
í
ï
=
+
ïî
，解得
2
2
12
4
a
b
ì
=
í
=
î
，
故C 的方程为
2
2
1
12
4
x
y
+
= .
（2）联立
2
2
1
12
4
1
3
x
y
y
x
m
ì
+
=
ïïí
ï
=
+
ïî
，得
2
2
4
2
3
12
0
3 x
mx
m
+
+
-
=
.
2
2
4
Δ
4
4
3
12
0
3
m
m
=
- ´
-
>
，解得
2
16
3
m <
.
设
1
1
2
2
A x
y
B x
y
，
，
，
，则
1
2
2
1
2
3
2
9
36
4
m
x
x
m
x x
ì
+
= -
ïïí
-
ï
=
ïî
，
2
2
1
2
1
2
1
1
4
3
AB
x
x
x x
æ
ö
=
+
+
-
ç
÷
è
ø
2
2
2
10
3
10
27
9
36
36
5
3
2
3
4
m
m
m
=
´
-
-
-
=
´
-
=
（
）（
）
，
解得
2
m = ±
，即m 的值为
2
±
.
11．（24-25 高二下·广东深圳·期末）已知曲线
2
2
:
1(
0)
4
x
y
C
b
b
-
=
¹
．
(1)若
4
b =
，求曲线C 的离心率；
(2)若曲线C 的左，右顶点为
1
2
,
A A ，P 是C 上第一象限上动点，
1
2
1
2
PA
PA
k
k
×
= -
．
（ⅰ）若
1
2
tan
3
A PA
Ð
= - ，求点P 的坐标；
（ⅱ）设直线
1A P 与定直线:
6
l x =
的交点为M ，直线
2
MA 与曲线C 的另一个交点为Q ，求|
|
PQ 的最小值．
【答案】(1) 2
(2)（ⅰ）2 4
,
3 3
æ
ö
ç
÷
è
ø （ⅱ）8
3
【详解】（1）若
4
b =
，则曲线
2
2
1
4
4
x
y
C :
-
= ，所以曲线为双曲线，
离心率
4
4
2
2
c
e
a
+
=
=
=
.
（2）设
0
0
,
P x
y
，则
2
2
2
0
0
0
2
0
1
4
4
4
x
y
y
b
b
x
-
= Þ
=
-
，
又
1
2
2,0 ,
2,0
A
A
-
，
1
2
2
0
0
0
2
0
0
0
1
2
2
4
2
4
PA
PA
y
y
y
b
k
k
x
x
x
×
=
×
=
= -
=
+
+
-
，解得
2
b = - ，
即曲线
2
2
:
1
4
2
x
y
C
+
= ，
（ⅰ）设直线
1
2
,
PA PA 倾斜角分别为,
a b ，则
1
2
tan
,
tan
PA
PA
k
k
a
b
=
=
，
由题可知b
a
>
，
1
2
A PA
b
a
Ð
=
-
，
2
1
1
2
1
2
tan
tan
tan
tan
3
1
tan
tan
1
PA
PA
PA
PA
k
k
A PA
k
k
b
a
b
a
a
b
-
-
Ð
=
-
=
=
= -
+
+
，联立
1
2
1
2
PA
PA
k
k
×
= -
，
解得
1
2
1 ,
1
2
PA
PA
k
k
=
= - ，即
0
0
0
0
0
0
1
2
2
2
3
4
1
3
2
y
x
x
y
y
x
ì
ì
=
=
ï
ï
+
ï
ï
Þ
í
í
ï
ï
=
= -
ï
ï
-
î
î
，
所以点P 的坐标为2 4
,
3 3
æ
ö
ç
÷
è
ø .
（ⅱ）设
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
，
6,
M
t ，
则由
1
2
( 2,0),
(2,0)
A
A
-
，得
1
1
2
2
2
1
,
,
2
8
4
A P
MA
A Q
A
A Q
P
M
A
t
t
k
k
k
k
k
k
=
=
=
=
=
，即
1
2
1
2
2
2
2
y
y
x
x
=
+
-
.
且
2
2
2
1
1
2
2 (
)
1
2
A P
A Q
A P
A P
k
k
k
k
×
=
×
=
´ -
= - ，
由题意知，直线PQ不与y 轴垂直.
设直线
:
,
2
PQ x
my
t t
=
+
¹ ± ，
联立方程
2
2
1
4
2
x
my
t
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
，消去x 可得
2
2
2
2
2
4
0
m
y
mty
t
+
+
+
-
= ，
则
2 2
2
2
2
2
Δ
4
4
2
4
8(2
4
)
0
m t
m
t
m
t
=
-
+
-
=
+
-
>
，解得
2
2
2
4
m
t
+
>
，
且
2
1
2
1
2
2
2
2
4
,
2
2
mt
t
y
y
y y
m
m
-
-
+
=
=
+
+
，
则
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
(
2)
A P
A Q
y
y
y y
k
k
x
x
m y y
m t
y
y
t
×
=
×
=
= -
-
-
+
-
+
+
-
，
整理可得
2
2
1
2
1
2
1
2
(
2)
0
m
y y
m t
y
y
t
+
+
-
+
+
-
=
，
则
2
2
2
2
2
4
2
0
1
2
(
2)
2
2
t
mt
m
m t
t
m
m
-
-
+
-
+
-
+
+
=
+
，
因为
2
t ¹ ± ，则
2
2
2
2
2
2
2
0
1
2
2
t
m t
m
t
m
m
+
-
+
+ -
+
+
=
+
，
化简得
2
3
t =
，则直线
2
:
3
PQ x
my
=
+
，
所以直线PQ过定点2 ,0
3
æ
ö
ç
÷
è
ø .
故直线PQ斜率存在时，
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
4
4
2
1
4
1
2
2
t
mt
PQ
m
y
y
y y
m
m
m
-
-
æ
ö
=
+
+
-
=
+
-
ç
÷
+
+
è
ø
2
2
2
2
2 2(2
4
)
1
2
m
t
m
m
+
-
=
+
+
，
代入
2
3
t =
得，
2
2
2
2
2
2
2
1 9
16
4
9
16
4
1
3
2
3
2
m
m
m
PQ
m
m
m
+
+
+
=
+
=
+
+
，
令
2
2
(
2)
m
u u
+
=
³
，则
2
2
2
2
2
1 9
16
(
1)(9
2)
2
m
m
u
u
u
m
+
+
-
-
=
+
，
则
2
2
(
1)(9
2
2
11
( )
9
u
u
f u
u
u
u
-
-
=
=
-
+
）
，其中
1
1
0
2
u
<
£
，
故当且仅当1
1
2
u =
，即
0
m =
时
min
( )
4
f u
=
，即
min
8
3
PQ
=
，
故当直线PQ斜率不存在时，PQ 取最小值，最小值为8
3 .
12．（2025·山西·模拟预测）已知椭圆C ：
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
的右焦点为
10
F
,
，且过点
3
1, 2
Pæ
ö
-
ç
÷
è
ø
.
(1)求C 的方程；
(2)设Q 为C 上一动点，当PQ
QF
+
取得最大值时，求直线QF 被C 截得的弦长.
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
+
=
(2) 25
7
【详解】（1）设C 半焦距为c ，因为
1,0
F
，故
1
c = .
又C 过点
3
1, 2
Pæ
ö
-
ç
÷
è
ø ，故
2
2
1
9
1
4
a
b
+
= .
由椭圆的几何性质有
2
2
2
2
1
a
b
c
b
=
+
=
+ ，
故
2
4
a =
，
2
3
b =
.
所以C 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= .
（2）
设C 的左焦点为F¢，则
11
2
2
PQ
QF
PF
QF
QF
PF
a
+
£
+
+
+
¢
=
=
¢
¢
，当且仅当P ，F¢，Q 三点共线时等号成
立，此时
3
1,
2
Qæ
ö
- -
ç
÷
è
ø
.
因为
1,0
F
，故直线QF 的方程为
3
1
4
y
x
=
-
.
与C 的方程联立有
2
2
3
1 ,
4
1
4
3
y
x
x
y
ì
=
-
ïïí
ï
+
=
ïî
，
整理有
2
7
6
13
0
x
x
-
-
=
，
36
4 7 13
400
0
D =
+ ´ ´
=
>
，解得
1
1
x = - ，
2
13
7
x =
.
故直线QF 被C 截得的弦长为
2
1
2
3
5
20
25
1
4
4
7
7
x
x
æ
ö
+
-
=
´
=
ç
÷
è
ø
.
13．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知椭圆
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
过点
0,
2 ，
7
1, 2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知斜率为2 的直线l 交椭圆于A，B 两点（点A，B 不重合），且l 交直线
4
y
x
=
+
于点M，探究MA
MB
×
是否
有最小值.
【答案】(1)
2
2
1
8
2
x
y
+
=
(2)没有
【详解】（1）将
0,
2 ，
7
1, 2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
代入椭圆方程得
2
2
2
2
1,
1
7
1,
4
b
a
b
ì
=
ïïí
ï
+
=
ïî
解得
2
2
b = ，
2
8
a =
，故椭圆的标准方程为
2
2
1
8
2
x
y
+
= .
（2）设直线AB 的方程为
2
y
x
t
=
+ ，
0
0
,
M x
y
，
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
联立
0
0
0
0
2
,
4,
y
x
t
y
x
=
+
ì
í
=
+
î
得
0
4
t
x
= -
+
.
将
2
y
x
t
=
+ 代入椭圆方程整理得，
2
2
17
16
4
8
0
x
tx
t
+
+
-
=
，
2
2
Δ
16
4 17
4
8
0
t
t
=
- ´
´
-
>
，解得
34
34
t
-
< <
，
故
1
2
16
17
t
x
x
+
= -
，
2
1
2
4
8
17
t
x x
-
=
，
故
2
1
0
2
0
1
2
0
1
2
0
5
5
MA
MB
x
x
x
x
x x
x
x
x
x
é
ù
×
=
-
-
=
-
+
+
ë
û
2
2
2
2
0
0
0
0
4
8
16
5
5
4
8 16
17
17
17
17
t
t
x
x
t
x t
x
é
ù
-
æ
ö
=
-
× -
+
=
- +
+
ê
ç
÷
ú
è
ø
ë
û
，
将
0
4
t
x
= -
+
代入上式，得
2
0
0
5 5
32
56
17
MA
MB
x
x
×
=
+
+
，
由
34
34
t
-
< <
，得
0
4
34
4
34
x
-
<
<
+
，又
32
4
34
10
-
<
-
，
故MA MB
×
没有最小值.
14．（2025·陕西汉中·一模）已知
1F ，
2F 是椭圆
2
2
2
2
:
1
x
y
C a
b
+
= （
0
a
b
>
>
）的左，右焦点，焦距为2，离心率
1
2
e =
，过左焦点
1F 的直线交椭圆C 于
,
A B 两点.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)求证
1
1
1
1
AF
BF
+
为定值.
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
+
=
(2)证明见解析
【详解】（1）由题可知
2
2
2
2
2
1
2
c
c
a
a
b
c
=
ì
ïï
=
í
ï
=
+
ïî
，解得
1,
2,
3
=
=
=
c
a
b
，
故椭圆C 的标准方程是
2
2
1
4
3
x
y
+
=
（2）设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，依题可设直线AB 方程为
1
x
ty
=
- ，
由
2
2
1
1
4
3
x
ty
x
y
=
-
ìïí
+
=
ïî
，消去x 可得：
2
2
(3
4)
6
9
0
t
y
ty
+
-
-
=
，
故
2
1
2
1
2
2
6
9
,
4
4
3
3
t
y
y
t
y
t
y
-
+
=
=
+
+
于是，
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
144
1
12(
1)
1
4
1
3
4
3
4
t
t
AB
t
y
y
y y
t
t
t
+
+
=
+
+
-
=
+
=
+
+
，
故
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
AF
BF
AB
AF
BF
AF BF
x
y
x
y
+
+
=
=
+
+
+
+
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
2
12(
1)
4
3
4
3
1
9
1
3
4
t
AB
AB
t
t
y y
t
ty
y
ty
y
t
+
+
=
=
=
=
+
+
+
+
+
∣
∣
，
故
1
1
1
1
AF
BF
+
为定值4
3 .
1．（24-25 高二上·浙江台州·期末）已知椭圆
2
2
2
:
1(0
5)
5
x
y
E
b
b
+
=
<
<
的左右焦点分别为
1
2
,
F F ，点
0
0
,
M x
y
是椭
圆E 上第一象限的一点，
1
2
MF F
△
的内心为
1
1
N x y
,
，若
0
1
5
x
x
=
，则椭圆E 的方程为（ ）
A．
2
2
1
5
x
y
+
=
B．
2
2
1
5
2
x
y
+
=
C．
2
2
1
5
3
x
y
+
=
D．
2
2
1
5
4
x
y
+
=
【答案】D
【详解】先证明焦半径公式，对于椭圆方程：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
= ，
由椭圆上任意点
( , )
P x y 及左、右焦点
1(
,0)
F
c
-
、
2( ,0)
F c
，
得
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
(
)
(
)
1
2
x
a
b
PF
x
c
y
x
c
b
x
cx
c
b
a
a
æ
ö
-
=
+
+
=
+
+
-
=
+
+
+
ç
÷
è
ø
2
2
2
2
2
c
c
x
cx
a
a
x
a
a
=
+
+
=
+
；
同理，
2
2
2
(
)
c
PF
x
c
y
a
x
a
=
-
+
=
-
；
根据椭圆方程知，
(0,1),|
|
|
|
c
c
x
a
a
x
a
a
Î
£
Þ
>
，即
0
c
a
x
a
±
>
，
故椭圆
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
= 两个焦半径为
1
c
PF
a
x
a
=
+
，
2
c
PF
a
x
a
=
-
，
如图,设
1
2
MF F
△
的内切圆与三边切于点
,
,
D G E ，
由圆的性质可知
1
1
2
2
,
,
GF
DF
GF
EF
EM
DM
=
=
=
，
则
1
2
1
2
1
2
0
0
0
2
GF
GF
DF
EF
MF
MF
a
ex
a
ex
ex
-
=
-
=
-
=
+
-
-
=
，
又
1
2
2
GF
GF
c
+
=
，所以
1
0
GF
ex
c
=
+
，所以
0
GO
ex
=
，又
1
G
N
x
x
x
=
=
，
则
0
1x
ex
=
，由
0
1
5
x
x
=
得
5
5
e =
，所以
2
2
2
2
2
2
2
5
1
5
5
c
a
b
b
e
a
a
-
-
=
=
=
=
，解得
2
4
b =
，
考点三
椭圆的焦半径与焦点弦问题
所以椭圆E 的方程为
2
2
1
5
4
x
y
+
= .
故选：D
2．（2024·四川南充·二模）已知椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
+
= 的左右焦点分别为
1
2
,
F F ．过点
1F 倾斜角为q 的直线l 与椭圆C 相
交于A ，B 两点（A 在x 轴的上方），则下列说法中正确的有（ ）个．
①
1
3
2
cos
AF
q
=
+
②
1
1
1
1
4
3
AF
BF
+
=
③若点M 与点B 关于x 轴对称，则
1
AMF
V
的面积为9sin 2
7
cos2
q
q
-
④当
π
3
q =
时，
2
ABF
△
内切圆的面积为12
25
p
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【详解】在
1
2
AF F
△
中，由余弦定理
2
2
2
1
1
2
1
1
2
2
2
cos
AF
F F
AF
F F
AF
q
+
-
×
×
=
，
即
2
2
2
1
1
1
4
4
cos
2
AF
c
c AF
a
AF
q
+
-
×
=
-
，
整理得
2
1
cos
b
AF
a
c
q
=
- ×
，同理可得
2
1
cos
b
BF
a
c
q
=
+ ×
，
所以
2
1
1
2
2
2
2
cos
ab
AB
AF
BF
a
c
q
=
+
=
-
×
，
2
2
2
1
1
1
1
cos
cos
2
a
c
a
c
a
AF
BF
b
b
b
q
q
- ×
+ ×
+
=
+
=
，
对于椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
C
+
= ，则
2
a =
、
3
b =
、
1
c = ，
所以
1
3
2
cos
AF
q
=
-
，
1
3
2
cos
BF
q
=
+
，故①错误；
2
1
1
1
1
2
4
3
a
AF
BF
b
+
=
=
，故②正确；
所以
2
2
2
2
2
2
12
cos
4
cos
ab
AB
a
c
q
q
=
=
-
×
-
，
1
1
AMF
ABM
AF
S
S
AB
=
V
V
，
又
1
1
sin
cos
2
ABM
A
B
S
BM x
x
BF
AB
q
q
=
-
=
×
×
V
2
3
12cos
sin
2
cos
4
cos
q
q
q
q
=
×
×
+
-
2
3
12sin
cos
2
cos
4
cos
q
q
q
q
=
×
+
-
3
6sin 2
1 cos2
2
cos
4
2
q
q
q
=
×
+
+
-
3
12sin 2
2
cos
7
cos2
q
q
q
=
×
+
-
，(由题可知
π
2
q ¹
)
又
1
2
3
2
cos
2
cos
12
4
4
cos
AF
AB
q
q
q
+
-
=
=
-
，
所以
1
2
cos
3
12sin 2
9sin 2
4
2
cos
7
cos2
7
cos2
AMF
S
q
q
q
q
q
q
+
=
´
×
=
+
-
-
V
，故③错误；
当
π
3
q =
时，直线l 的方程为
3
1
3
x
y
=
- ，
由
2
2
3
1
3
1
4
3
x
y
x
y
ì =
-
ïïí
ï
+
=
ïî
，消去x 整理得
2
5
2 3
9
0
y
y
-
-
=
，显然
0
D >
，
所以
2 3
5
A
B
y
y
+
=
，
9
5
A
B
y y = -
，
又
1
2
AF =
，
1
6
5
BF =
，则
2
1
2
2
AF
a
AF
=
-
=
，
2
1
14
2
5
BF
a
BF
=
-
=
，
设
2
ABF
△
内切圆的半径为r ，则
2
1
2
2
2
1
1
2
2
ABF
A
B
S
F F
y
y
r
AB
AF
BF
=
-
=
+
+
V
，
所以
2
2 3
9
6
14
2
4
2
2
5
5
5
5
r
æ
ö
æ
ö
+ ´
=
+
+
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，解得
2 3
5
r =
，
所以
2
ABF
△
内切圆的面积
2
2
2 3
12
π
π
5
25
S
r
p
æ
ö
=
=
´
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
，故④正确；
故选：B
3．（24-25 高二上·安徽合肥·期中·多选）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的左､右焦点分别为
1
2
,
F F ，左､右顶点分别为
1
1
, ,
2
,
A B BF
AF
P
=
是椭圆E 上异于
,
A B 的一个动点，则下列说法正确的有（ ）
A．椭圆E 的离心率为1
3
B．若
1
1
2
PF
F F
^
，则
2
1
4
cos
5
PF F
Ð
=
C．直线PA 的斜率与直线PB 的斜率之积为定值
D．符合条件
1
2
0
PF
PF
×
=
uuur
uuur
的点P 有且仅有2 个
【答案】AC
【详解】由题知
1
1
,
AF
a
c BF
a
c
=
-
=
+ ，因为
1
1
2
BF
AF
=
，即
2
a
c
a
c
+
=
-
，解得
3
a
c
=
，所以离心率
1
3
c
e
a
=
=
，故A 正确；
若
1
1
2
PF
F F
^
，连接
1
2
,
PF PF ，在
1 2
Rt
PFF
△
中，由勾股定理得
2
2
2
1
1
2
2
PF
F F
PF
+
=
，
又因为点P 在椭圆上，所以
1
2
2
PF
PF
a
+
=
，所以
2
2
2
2
2
2
(2 )
a
PF
c
PF
-
+
=
，
又
3
a
c
=
，解得
2
10
3
PF
c
=
，所以
1
2
2
1
2
2
3
cos
10
5
3
F F
c
PF F
PF
c
Ð
=
=
=
，故B 错误；
设
0
0
,
,
,0 ,
,0
P x
y
A
a
B a
-
，
则
2
0
0
0
0
0
2
2
0
0
0
0
0
,
,
PA
PB
PA
PB
y
y
y
y
y
k
k
k
k
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
=
=
×
=
´
=
+
-
+
-
-
，
又因为点P 在椭圆上，所以
2
2
0
0
2
2
1
x
y
a
b
+
= ，
因为
3
a
c
=
，所以
2
2
2
2
9
,
8
a
c b
c
=
=
，从而
2
0y =
2
2
0
8
8
9
c
x
-
，
所以
2
2
2
2
2
0
0
0
2
2
2
2
2
2
0
0
0
8
8
8
9
8
9
9
9
9
9
PA
PB
c
x
x
c
y
k
k
x
a
x
c
x
c
-
-
-
×
=
=
=
= -
-
-
-
为定值，故C 正确；
因为
1
2
0
PF PF
×
=
uuur uuuur
，所以点P 在以
1
2
F F 为直径的圆上，半径为c ，
又因为
2 2
b
c
c
=
>
，
所以该圆与椭圆无交点，所以同时在圆上和在椭圆上的点不存在，即不存在符合条件的点P ，故D 错误.
故选：AC.
4．（2024·四川·一模·多选）已知椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
E
+
= 的左顶点为A ，左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，过点
1F 的直线与椭圆
相交于,
P Q 两点，则（ ）
A．
1
2
1
F F =
B．
4
PQ £
C．当
2, ,
F P Q不共线时，
2
F PQ
△
的周长为8
D．设点P 到直线
4
x = - 的距离为d ，则
1
2
d
PF
=
【答案】BCD
【详解】
对于A，由题意知：
2
a =
，
3
b =
，
2
2
1
c
a
b
\ =
-
= ，
1
2
2
2
F F
c
\
=
=
，A 错误；
对于B，
PQ
∵
为椭圆C 的焦点弦，
2
4
PQ
a
\
£
=
，B 正确；
对于C，
1
2
1
2
2
4
PF
PF
QF
QF
a
+
=
+
=
=
Q
，
2
F PQ
\V
的周长为
2
2
1
2
1
2
8
PQ
PF
QF
PF
PF
QF
QF
+
+
=
+
+
+
=
，C 正确；
对于D，作PM 垂直于直线
4
x = - ，垂足为M ，
设
0
0
,
P x
y
，则
0
4
d
PM
x
=
=
+
，
1
1,0
F -
Q
，
2
2
2
2
2
2
1
0
0
0
0
0
0
0
3
1
1
1
1
3
2
4
2
4
4
2
PF
x
y
x
x
x
x
x
æ
ö
\
=
+
+
=
+
+ -
=
+
+
=
+
ç
÷
è
ø
0
1
2
2 x
=
+
，
1
0
2
4
PF
x
\
=
+
，
1
2
d
PF
\
=
，D 正确.
故选：BCD.
5．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
，左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，离心率为
2
2 ，过
2F 作
直线l 交椭圆于A，B 两点（A 在x 轴上方），满足
2
2
3
AF
F B
=
，设点A 关于x 轴的对称点为A¢，若
1
A BF
¢
V
的外接
圆半径
5 2
4
R ³
，则b 的最小值为
.
【答案】9 10
20
【详解】
不妨设
2
BF
m
=
，则
2
2
3
3
AF
BF
m
=
=
，
根据椭圆的定义可知：
1
2
2
2
3
AF
a
AF
a
m
=
-
=
-
，
1
2
2
2
BF
a
BF
a
m
=
-
=
-
，
根据余弦定理得：
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
3
9
4
cos
2
2 2
3
3
AF
AF
F F
a
m
m
c
F AF
AF
AF
a
m
m
+
-
-
+
-
Ð
=
=
×
-
×
，
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
2
3
16
2
cos
2
2 2
3
4
AF
AB
F B
a
m
m
a
m
F AF
AF
AB
a
m
m
+
-
-
+
-
-
Ð
=
=
×
-
×
，
联立两式可得：
2
2
2
2
2
2
2
3
9
4
2
3
16
2
=
2 2
3
3
2 2
3
4
a
m
m
c
a
m
m
a
m
a
m
m
a
m
m
-
+
-
-
+
-
-
-
×
-
×
化简得：
2
2
2
2
2
2
4 2
3
36
16
=3 2
3
48
3 2
a
m
m
c
a
m
m
a
m
-
+
-
-
+
-
-
再由离心率
2
2
2
2
2
2
c
e
a
c
a
c
a
=
=
Þ
=
Þ
=
，
代入化简得：
2
2
2
2
2
3
8
12
3 2
0
a
m
a
m
a
m
-
-
-
+
-
=
，
再化简得：
2
8
24
0
a
am
-
=
解得：
3
a
m =
，即
2
2
1
5
,
,
,
3
3
a
a
BF
AF
a BF
=
=
=
由
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c
e
a
c
a
c
b
c
c
b
c
a
=
=
Þ
=
Þ
=
Þ
+
=
Þ
=
，
所以可知点A
A¢
、
为椭圆的上、下顶点，且
π
4
A AB
¢
Ð
=
，
再由余弦定理：
2
2
2
2
2
π
16
4
2
2
cos
4
2 2
4
9
3
2
a
A B
A A
AB
A A
AB
b
a
b
=
+
-
¢
¢
¢
×
=
+
- ×
×
×
2
2
2
2
16
8
10
2
9
3
9
a
a
a
a
=
+
-
=
，
又由余弦定理得：
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
25
10
4
9
9
cos
5
2
5
2
3
a
a
a
A F
F B
A B
A F B
a
A F
F B
a
+
-
+
-
Ð
=
=
×
¢
×
¢
=
¢
¢
，
在三角形
1
A F B
¢
中，则有
1
3
sin
5
A F B
¢
Ð
=
，
即三角形
1
A F B
¢
外接圆半径R 满足：
1
10
5 10
3
2
3
sin
9
5
a
A B
R
a
A F B =
=
¢
Ð
¢
=
则有
5 10
5 10
5 5
2
18
18
9
R
a
b
b
=
=
´
=
，
再由
5 2
4
R ³
，则
5 5
5 2
9
4
R
b
=
³
，解得：
9 10
20
b ³
，
故答案为：9 10
20
.
6．（24-25 高三上·上海·阶段练习）设椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
a
b
a
b
G
+
=
>
>
的左、右焦点分别为
1F 、
2F ，直线l 经过点
2F ，且
与Γ 交于P、Q 两点．若
1
2
PF
PF
^
，且
2
1
F Q = ，则Γ 的长轴长的最小值为
．
【答案】3
2 2
+
【详解】设
2
,(
1)
PF
t t
=
>
，根据椭圆的性质，则
1
1
2
,
2
1,
1
PF
a
t QF
a
PQ
t
=
-
=
-
= + ，
1
2
PF
PF
^
Q
，则
1
2
90
F PF
Ð
=
°，
2
2
2
1
1
QF
PF
PQ
=
+
，
即
2
2
2
2
1
2
1
a
t
t
a
-
+
+
=
-
，
2
2
2
4
4
t
t
at
a
+
=
-
，
整理得：
2
2
2
1
1
3
1
1
3
3
2
2
4
1
2
1
2
2
1
2
2
t
t
t
t
a
t
t
t
+
-
-
æ
öæ
ö
=
=
+
+
³
+
=
+
ç
֍
÷
-
-
-
è
øè
ø
，
当且仅当：
1
1
2
1
t
t
- = - ，即
1
2
t = +
时，取等号，
3
2
2
a
\
=
+
为最小值，
故长轴长2a 的最小值3
2 2
+
，
故答案为：3
2 2
+
．
7．（24-25 高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
，
1F 、
2F 分别是椭圆C 的左、右焦点，P 是
椭圆C 上任意一点．若
1
2
PFF
V
的周长为6 ，且
1
PF 的最小值为1．
(1)求C 的方程；
(2)设点
4,0
M
，过
2F 的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，记直线MA 、MB 的斜率分别为
1k 、
2k ，求
1 2
k k 的取值范
围．
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
+
=
(2)
1 ,0
4
é
ù
-
ê
ú
ë
û
【详解】（1）因为P 是椭圆C 上任意一点，且
1
2
PFF
V
的周长为6 ，则2
2
6
a
c
+
=
，可得
3
a
c
+
=
，
设点
,
P x y ，则
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
= 且a
x
a
- £
£
，所以，
2
2
2
2
2
b
y
b
x
a
=
-
，
易知
1
,0
F
c
-
，则
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
b
PF
x
c
y
x
cx
c
b
x
a
=
+
+
=
+
+
+
-
2
2
2
2
2
,
c
c
c
x
cx
a
x
a
a
x
a
c a
c
a
a
a
=
+
+
=
+
=
+
Î
-
+
，
所以，
1
PF 的最小值为
1
a
c
-
= ，所以，
3
1
a
c
a
c
+
=
ì
í -
=
î
，解得
2
1
a
c
=
ì
í =
î
，则
2
2
3
b
a
c
=
-
=
，
因此，椭圆的方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= .
（2）如下图所示：
若直线l 与x 轴重合时，此时，
1
2
0
k
k
=
=
，则
1
2
0
k k =
，
若直线l 不与x 轴重合时，设直线l 的方程为
1
x
my
=
+ ，设点
1
1
,
A x y
、
2
2
,
B x
y
，
联立
2
2
1
3
4
12
x
my
x
y
=
+
ì
í
+
=
î
可得
2
2
3
4
6
9
0
m
y
my
+
+
-
=
，
则
2
2
2
36
36 3
4
144
1
0
m
m
m
D =
+
+
=
+
>
，
由韦达定理可得
1
2
2
6
3
4
m
y
y
m
+
= -
+
，
1
2
2
9
3
4
y y
m
= -
+
，
所以，
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
4
4
3
3
3
9
y y
y y
y y
k k
x
x
my
my
m y y
m y
y
=
=
=
-
-
-
-
-
+
+
2
2
2
2
2
9
1
1
3
4
,0
9
18
4
4
1
9
3
4
m
m
m
m
m
-
é
ö
+
=
= -
Î -
÷
ê
-
+
+
ë
ø
+
+
.
综上所述，
1 2
k k 的取值范围是
1 ,0
4
é
ù
-
ê
ú
ë
û
.
8．（24-25 高三上·广东·期中）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
1
2 ，左焦点为F ，点
2,0
A -
在C
上．过F 且斜率为
0
k k ¹
的直线l 交C 于M 、N 两点（M 在N 的上方）．
(1)求C 的方程；
(2)若
1
k = ，求
MF
NF ；
(3)若
2
PM
MA
=
uuuur
uuur ，直线PN 交x 轴于点T ，求AT 的取值范围．
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
+
=
(2)
9
4 2
7
MF
NF
+
=
(3) 6 3
3
,
,2
5 2
2
æ
ö
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
U
【详解】（1）由题意可得
2
2
2
1
2
a
c
a
b
a
c
ì =
ïï
=
í
ï
ï =
-
î
，得
2
3
1
a
b
c
=
ì
ï =
í
ï =
î
，
因此椭圆C 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= .
（2）由题意，
1,0
F -
，直线l 的方程为
1
y
x
=
+ ，设点
1
1
,
M x y
、
2
2
1
2
,
N x
y
y
y
>
，
联立
2
2
2
1
7
6
9
0
1
4
3
y
x
y
y
x
y
=
+
ìï
Þ
-
-
=
í
+
=
ïî
，解得
1
3
6 2
7
y
+
=
，
2
3
6 2
7
y
-
=
，
故
1
2
9
4 2
7
MF
y
NF
y
+
=
=
．
（3）由题意，直线l 的方程为
1
y
k x
=
+
，设
1
0
m
k
=
¹
，
联立
2
2
2
2
2
2
4
3
8
4
12
0
1
4
3
y
kx
k
k
x
k x
k
x
y
=
+
ìï
Þ
+
+
+
-
=
í
+
=
ïî
，
4
2
2
2
Δ
64
4 4
3
4
12
144
1
0
k
k
k
k
=
-
+
-
=
+
>
，
由韦达定理得
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
8
6
2
4
3
4
3
4
12
15
1
4
3
4
3
k
x
x
k
k
k
x x
k
k
ì
+
= -
= - +
ïï
+
+
í
-
ï
=
= -
ï
+
+
î
，
所以
1
1
2
1
2
2
1
5
8
5
2
8
0
2
5
x
x
x
x x
x
x
+
+
+
+
=
Þ
= -
+
，
因为
2
PM
MA
=
uuuur
uuur ，则
1
1
1
1
,
2
2
,
P
P
x
x
y
y
x
y
-
-
=
- -
-
，
所以
1
1
1
1
4
2
2
P
P
x
x
x
y
y
y
-
= - -
ì
í
-
= -
î
，则
1
1
1
3
4
3
3
3
P
P
x
x
y
y
kx
k
=
+
ì
í
=
=
+
î
，
又
1
2
1
1
2
2
1
5
8
2
5
3
3
1
2
5
x
x
x
kx
k
y
k x
x
+
ì
= -
ï
+
ïí
+
ï
=
+
= -
ï
+
î
，
设
,0
T t
，因为直线l 的斜率存在，则l 与x 轴不垂直，则
1
1
x ¹ - ，
因为
0
k ¹
，所以点M 不是椭圆长轴的顶点，则
1
2
2
x
- <
<
，
故
1
2, 1
1,2
x Î -
-
È -
，
由P 、N 、T 三点共线知
1
2
1
1
1
2
1
1
5
8
3
4
2
5
3
3
3
3
2
5
P
P
x
t
x
t
x
t
x
t
x
kx
k
y
y
kx
k
x
+
-
-
-
-
+
-
+
=
Û
=
+
+
-
+
，
解得
1
1
1
2
1
1
3
3
x
t
x
x
+
= -
= - +
+
+
，
当
1
2
1
x
- <
< - 时，
1
1
3
2
x
<
+
<
，则
1
1
1
1
,0
3
2
t
x
æ
ö
= - +
Î -
ç
÷
+
è
ø ，
当
1
1
2
x
- <
<
时，
1
2
3
5
x
<
+
<
，则
1
1
4
1
1
,
3
5
2
t
x
æ
ö
= - +
Î -
-
ç
÷
+
è
ø，
所以
4
1
1
,
,0
5
2
2
t
æ
ö
æ
ö
Î -
-
È -
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ，则
6 3
3
2
,
,2
5 2
2
t
æ
ö
æ
ö
+ Î
È
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
.
因此
6 3
3
2
,
,2
5 2
2
AT
t
æ
ö
æ
ö
=
+
Î
È
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø ．
9．（2024·广西桂林·模拟预测）已知椭圆C：
2
2
2
2
1
2
x
y
a
a
+
=
-
过定点
2,1
P
，过点P 的两条动直线交椭圆于
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，直线
,
PA PB 的倾斜角互补，F 为椭圆C 的右焦点.
(1)设M 是椭圆C 的动点，过点M 作直线
2 2
x =
的垂线
,
MN N 为垂足，求
MF
MN .
(2)在
ABF
△
中，记
,
FBA
FAB
a
b
Ð
=
Ð
=
，若直线AB 的斜率为
2
2 ，求sin
sin
a
b
-
的最大值.
【答案】(1)
2
2
(2)
3
3
【详解】（1）因为点P 在椭圆C 上，所以
2
2
2
1
1
2
a
a
+
=
-
，解得
2
4
a =
；
所以椭圆C 的方程为
2
2
1
4
2
x
y
+
= ，故
2,0
F
，
设动点
0
0
,
M x
y
，则
2
2
0
0
1
4
2
x
y
+
= ，所以
2
2
0
0
2
2
x
y =
-
，
故
2
2
0
0
0
2
2
2 2
2
MF
x
y
x
=
-
+
=
-
，
0
2 2
MN
x
=
-
，
所以
2
2
MF
MN =
．
（2）不妨设
AFB
Ð
g
=
，
ABF
△
的外接圆半径为R ，
则由正弦定理得
2
sin
sin
sin
AF
BF
AB
R
a
b
g
=
=
=
，
所以
2 sin ,
2 sin ,
2 sin
AF
R
BF
R
AB
R
a
b
g
=
=
=
.
如图，过A
B
、作直线
2 2
x =
的垂线，垂足为D
E
、，
过B 作BG
AD
^
于点G ，由（1）的结论可得
,
AF
BF
e
e
AD
BE
=
=
，
所以
AF
BF
e AD
BE
-
=
-
，即
2
2 sin
2 sin
2
R
R
AG
a
b
-
=
，
所以
2 2
sin
sin
AG
R
a
b
=
-
，又
2
2
AB
k
=
，得
2
tan
2
BAG
Ð
=
，
则
6
cos
3
AG
BAG
AB =
Ð
=
，即
2 2
sin
sin
6
2 sin
3
R
R
a
b
g
-
=
，
所以
3
3
sin
sin
sin
3
3
a
b
g
-
=
£
，当且仅当
π
2
g =
时等号，
所以sin
sin
a
b
-
的最大值为
3
3
.
10．（24-25 高三上·安徽六安·期末）法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相
垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，
2
2
a
b
+
为半径的圆（a 为椭圆的长半轴长，b 为椭圆的短半轴
长），这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的蒙日圆的面积为5π ，短轴长为2 ，作直线l 与椭
圆E 交于M 、N 两点，与椭圆E 的蒙日圆交于H 、G 两点．
(1)已知
4 0
P
,
，直线l 斜率为1，若直线PM 、PN 的斜率满足
0
PM
PN
k
k
+
=
，求直线l 的方程；
(2)若椭圆E 的左右焦点分别为
1F 、
2F ，直线l 过坐标原点．求证：
1
2
MH
MG
MF
MF
×
=
×
．
【答案】(1)
1
y
x
=
-
(2)证明见解析
【详解】（1）由椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的蒙日圆的面积为5π ，短轴长为2 ，
由题意可得
2
2
π
5π
2
2
0
a
b
b
a
b
ì
+
=
ïï
=
í
ï >
>
ïî
，解得
2
1
a
b
=
ì
í =
î
，所以，椭圆E 的方程为
2
2
1
4
x
y
+
= .
设直线l 方程为y
x
t
=
+
，设点
1
1
,
M x y
、
2
2
,
N x
y
，
联立方程
2
2
1
4
y
x
t
x
y
=
+
ìïí
+
=
ïî
，消去y 整理得
2
2
5
8
4
4
0
x
tx
t
+
+
-
=
，
则
2
2
2
64
16 5
1
16 5
0
t
t
t
D =
-
´
-
=
-
>
，解得
5
5
t
-
< <
，
由韦达定理可得
1
2
8
5
t
x
x
+
= -
，
2
1
2
4
1
5
t
x x
-
=
，
因为
4,0
P
，且
0
PM
PN
k
k
+
=
，所以
1
2
1
2
1
2
1
2
0
4
4
4
4
y
y
x
t
x
t
x
x
x
x
+
+
+
=
+
=
-
-
-
-
，
所以，
1
2
2
1
1
2
1
2
4
4
2
4
8
0
x
t
x
x
t
x
x x
t
x
x
t
+
-
+
+
-
=
+
-
+
-
=
，
即
2
4
4
8
2
4
8
0
5
5
t
t
t
t
-
æ
ö
´
+
-
-
-
=
ç
÷
è
ø
，解得
1
t = - ，且满足
0
D >
，
所以直线l 方程为
1
y
x
=
- .
（2）因为直线l 与椭圆E 交于M 、N 两点，与椭圆E 的蒙日圆交于H 、G 两点，
设
0
0
,
M x
y
，其中
0
2,2
x Î -
且
2
2
5
OG
OH
=
=
，
因为
2
2
2
2
2
0
0
0
0
5
5
5
5
5
1
4
x
MH
MG
OM
OM
OM
x
y
x
æ
ö
×
=
-
+
=
-
=
-
+
=
-
+ -
ç
÷
è
ø
2
0
3
4
4 x
=
-
，
2
2
2
2
2
0
0
1
0
0
0
0
0
0
3
3
3
2 3
3 1
2 3
4
2
4
4
2
x
x
MF
x
y
x
x
x
x
=
+
+
=
+
+ + -
=
+
+
=
+
，
同理可得
2
0
3
2
2
MF
x
=
-
，故
2
0
1
2
0
0
3
3
3
2
2
4
2
2
4
x
MF
MF
x
x
æ
ö æ
ö
×
=
+
×
-
=
-
ç
÷ ç
÷
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
，
因此，
1
2
MH
MG
MF
MF
×
=
×
，证毕.
1．（24-25 高二下·山西·开学考试）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的焦距为4，直线
3
0
x
y
-
+
=
与椭圆相交于
A ，B 两点，若点
2,1
Q -
是线段AB 的中点，则椭圆C 的短轴长为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【详解】设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，则
2
2
1
1
2
2
1
x
y
a
b
+
= 且
2
2
2
2
2
2
1
x
y
a
b
+
= ，
故
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
0
x
x
y
y
a
b
-
-
+
=
，故
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
AB
b
x
x
y
y
k
x
x
a
y
y
+
-
=
= -
-
+
，即
2
2
2
2
1
2 1
b
a
´ ´ -
= -
´ ´
，
故
2
2
2
a
b
=
，又2
4
c =
，所以
2
c =
，所以
2
2
4
a
b
-
=
，所以
2
4
b =
，即
2
b =
，
因此椭圆C 的短轴长为2
4
b = .
故选：B
2．（24-25 高二下·四川成都·阶段练习）已知曲线
2
2
:
1
9
4
x
y
C
+
= ，直线l 与曲线C 交于
,
A B 两点，且点
(1,1)
P
是线段
AB 的中点，则直线l 的斜率为（ ）
A．4
9
B．
4
9
-
C．9
4
D．
9
4
-
【答案】B
【详解】设
1
1
( ,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，因为A ，B 两点在曲线
2
2
:
1
9
4
x
y
C
+
= 上，所以有：
2
2
1
1
2
2
2
2
1
(1)
9
4
1
(2)
9
4
x
y
x
y
ì
+
=
ïïí
ï
+
=
ïî
用(1) 式减去(2) 式可得：
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)(
)
(
)(
)
0,
0,
0
9
4
9
4
9
4
9
4
x
y
x
y
x
x
y
y
x
x
x
x
y
y
y
y
-
-
+
-
+
-
+
-
-
=
+
=
+
=
因为点
(1,1)
P
是线段AB 的中点，根据中点坐标公式：可得：
1
2
1
2
1
2
1
2
x
x
y
y
+
ì
=
ïïí
+
ï
=
ïî
,即
1
2
2
x
x
+
=
，
1
2
2
y
y
+
=
.
代入
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)(
)
(
)(
)
0
9
4
x
x
x
x
y
y
y
y
+
-
+
-
+
=
可得：
1
2
1
2
2(
)
2(
)
0
9
4
x
x
y
y
-
-
+
=
化简得：
1
2
1
2
0
9
4
x
x
y
y
-
-
+
=
，可得：
1
2
1
2
4
9
y
y
x
x
-
= -
-
考点四
椭圆的中点弦问题
而
1
2
1
2
y
y
x
x
-
-
就是直线l 的斜率k ，所以直线l 的斜率为
4
9
-
.
故选：B.
3．（24-25 高二上·河北廊坊·期末）已知椭圆
2
2
1
9
3
x
y
+
= ，过点
1,1
P
的直线交椭圆于A，B 两点，且P 为线段AB
的中点，则直线AB 的方程为（ ）
A．
3
4
0
x
y
+
-
=
B．3
4
0
x
y
+
-
=
C．
3
2
0
x
y
-
+
=
D．3
2
0
x
y
-
-
=
【答案】A
【详解】椭圆
2
2
1
9
3
x
y
+
= ，由
2
2
1
1
1
9
3
+
< ，得点P 在椭圆内，设
1
1
2
2
(
)
A x y
B x
y
,
, (
,
)，
则
2
2
1
1
2
2
2
2
1
9
3
1
9
3
x
y
x
y
ì
+
=
ïïí
ï
+
=
ïî
，两式相减得
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)(
)
(
)(
)
0
9
3
x
x
x
x
y
y
y
y
+
-
+
-
+
=
，
而
1
2
1
2
2,
2
x
x
y
y
+
=
+
=
，因此
1
2
1
2
1
3
y
y
x
x
-
-
= -
，即直线AB 的斜率为
1
3
-
，
所以直线AB 的方程为
1
1
(
1)
3
y
x
- = -
-
，即
3
4
0
x
y
+
-
=
.
故选：A
4．（24-25 高二上·内蒙古包头·期中）已知点
1,0
F -
为椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
的左焦点，点P 为椭圆的下顶
点，平行于FP 的直线l 交椭圆于
,
A B 两点，且AB 的中点为
1
(1, )
2 ，则该椭圆的方程为（ ）
A．
2
2
1
6
5
x
y
+
=
B．
2
2
1
2
x
y
+
=
C．
2
2
1
5
4
x
y
+
=
D．
2
2
1
4
3
x
y
+
=
【答案】B
【详解】
如图，由题意，点
1,0
F -
，
(0,
)
P
b
-
，直线l 的斜率为
0
(
)
1
0
l
b
k
b
- -
=
= -
- -
，
因
/ /
AB
PF ，故
AB
k
b
= - ，
设点
1
1
2
2
(
)
A x y
B x
y
,
, (
,
)，则
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
x
y
a
b
x
y
a
b
ì
+
=
ïïí
ï
+
=
ïî
，
两式相减，可得：
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
(
)(
)
(
)(
)
0
x
x
x
x
y
y
y
y
a
b
+
-
+
-
+
= （*），
因AB 的中点为
1
(1, )
2
M
，则
1
2
1
2
2,
1
x
x
y
y
+
=
+
=
，且
1
2
1
2
y
y
b
x
x
-
= -
-
，
代入（*），化简可得：
2
2
a
b
=
①又
2
2
1
a
b
-
= ②，
联立① ② ，解得：
2,
1
a
b
=
= ，故该椭圆的方程为
2
2
1
2
x
y
+
= .
故选：B.
5．（2025·山西·一模·多选）已知椭圆
2
2
:
1
16
4
x
y
C
+
= ，左，右焦点分别为
1F ，
2F ，点P 是C 上的动点，点
( 3,1)
M
，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆C 的离心率为
3
2
B．
1
|
|
PF
PM
+
的最大值为10
C．
1
|
|
PF
PM
+
的最小值为5
D．被点M 平分的弦所在直线的斜率为
3
4
-
【答案】ABD
【详解】
A.由题意得
4
a =
，
2
b =
，
16
4
2 3
c =
-
=
，故椭圆C 的离心率
3
2
c
e
a
=
=
，A 正确.
B.由A 得，
1
2
( 2 3,0),
(2 3,0)
F
F
-
，∴
2
2
2
2 3
3
0 1
2
MF =
-
+
-
=
.
由椭圆定义得，
1
2
2
8
PF
PF
a
+
=
= ，
∴
1
2
2
2
8
8
8
8
2
10
PF
PM
PF
PM
PM
PF
MF
+
=
-
+
=
+
-
£
+
=
+
=
，B 正确.
C.
1
2
2
2
8
8
8
8
2
6
PF
PM
PF
PM
PF
PM
MF
+
=
-
+
=
-
-
³
-
=
-
=
，C 错误.
D.由
2
2
3
1
1
16
4
+
< 可知点M 在椭圆内部，设过点M 的直线与椭圆相交于点
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
∴
2
2
1
1
2
2
2
2
4
16
4
16
x
y
x
y
ì
+
=
í
+
=
î
，两式相减，得
1
2
1
2
1
2
1
2
4
0
x
x
x
x
y
y
y
y
-
+
+
-
+
=
，
∵弦AB 被点M 平分，∴
1
2
2 3
x
x
+
=
，
1
2
2
y
y
+
=
，
∴
1
2
1
2
2 3
3
4
2
4
y
y
x
x
-
= -
= -
-
´
，即直线AB 的斜率为
3
4
-
，D 正确.
故选：ABD.
6．（24-25 高三下·江苏盐城·阶段练习·多选）已知椭圆
2
2
1
9
x
y
+
= 的左右焦点为
1F ，
2F ，直线l 交椭圆于,
P Q 两点，
则（ ）
A．
1
PF 的取值范围为
2,4
B．若直线l 经过点
1F ，则PQ的最小值是2
3
C．椭圆上存在四个点P ，使得
1
2
PFF
V
为直角三角形
D．若线段PQ中点为
1
1, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø ，则直线l 的方程为
3
2
0
x
y
+
-
=
【答案】BCD
【详解】
由题意得，
3,
1,
9 1
2 2
a
b
c
=
=
=
-
=
，
∴
1
a
c
PF
a
c
-
£
£
+
，即
1
3
2 2
3
2 2
PF
-
£
£
+
，A 错误.
由A 得，
1
2 2,0
F -
，
当直线l 垂直于x 轴时，直线l 方程为
2 2
x = -
，
将
2 2
x = -
代入椭圆方程得，
1
3
y = ±
，
2
3
PQ =
.
当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 方程为
2 2
y
k x
=
+
，
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
由
2
2
2 2
1
9
y
k x
x
y
ì
=
+
ï
í
ï
+
=
î
得，
2
2
2
2
9
1
36 2
72
9
0
k
x
k x
k
+
+
+
-
=
，
∴
2
2
1
2
1
2
2
2
36 2
72
9
,
9
1
9
1
k
k
x
x
x x
k
k
-
+
= -
=
+
+
，
∴
2
2
1
2
1
2
1
4
PQ
k
x
x
x x
=
+
×
+
-
2
2
2
2
2
2
2
2
2
16
6 1
36 2
72
9
2
2
3
1
4
9
1
9
1
9
1
3
9
1
3
k
k
k
k
k
k
k
k
+
æ
ö
-
=
+
×
-
- ×
=
=
+
>
ç
÷
ç
÷
+
+
+
+
è
ø
，
∴当直线l 垂直于x 轴时，PQ的最小值是2
3 ，B 正确.
由题意得，以
1
2
F F 为直径的圆，圆心为
0,0 ，半径为2 2 ，故圆方程为
2
2
8
x
y
+
= ，
由
2
2
2
2
8
1
9
x
y
x
y
ì
+
=
ïí
+
=
ïî
得，
3 14
4
2
4
x
y
ì =
ïïí
ï
=
ïî
或
3 14
4
2
4
x
y
ì =
ïïí
ï
= -
ïî
或
3 14
4
2
4
x
y
ì = -
ïïí
ï
=
ïî
或
3 14
4
2
4
x
y
ì = -
ïïí
ï
= -
ïî
，
∴椭圆上存在四个点P ，使得
1
2
PFF
V
为直角三角形，C 正确.
设
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
，则
2
2
1
1
2
2
2
2
1
9
1
9
x
y
x
y
ì
+
=
ïïí
ï
+
=
ïî
，
两式相减得
1
2
1
2
1
2
1
2
0
9
x
x
x
x
y
y
y
y
+
-
+
+
-
=
，
∵线段PQ中点为
1
1, 3
æ
ö
ç
÷
è
ø ，则
1
2
1
2
2
2,
3
x
x
y
y
+
=
+
=
，
∴
1
2
1
2
1
2
1
2
1
9
3
PQ
y
y
x
x
k
x
x
y
y
-
+
=
= -
= -
-
+
，
∴直线l 的方程为
1
1
1
3
3
y
x
-
= -
-
，即
3
2
0
x
y
+
-
=
，D 对.
故选：BCD.
7．（24-25 高二下·上海·期中）若椭圆
2
2
1
20
4
x
y
+
= 的一条弦AB 的中点为
2,1
M -
，则直线AB 的斜截式方程
为
．
【答案】
2
9
5
5
y
x
=
+
【详解】设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，依题意，点A ，B 在椭圆
2
2
1
20
4
x
y
+
= 上，
所以
2
2
1
1
2
2
2
2
1
20
4
1
20
4
x
y
x
y
ì
+
=
ïïí
ï
+
=
ïî
，两式相减得，
2
2
2
2
1
2
1
2
0
20
4
x
x
y
y
-
-
+
=
，
即
1
2
1
2
1
2
1
2
0
20
4
x
x
x
x
y
y
y
y
-
+
-
+
+
=
，变形得
1
2
1
2
1
2
1
2
4
20
x
x
y
y
x
x
y
y
+
-
= -
-
+
，
因为AB 的中点为
2,1
M -
，所以
1
2
4
x
x
+
= - ，
1
2
2
y
y
+
=
，
设直线AB 的斜率为k ，
所以
1
2
1
2
1
2
1
2
4
4
4
2
20
20 2
5
x
x
y
y
k
x
x
y
y
+
´ -
-
=
= -
= -
=
-
+
´
，
所以直线AB 的方程为
2
1
2
5
y
x
- =
+
，化为斜截式方程为
2
9
5
5
y
x
=
+
.
故答案为：
2
9
5
5
y
x
=
+
.
8．（24-25 高二上·广西南宁·阶段练习）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的
面积除以圆周率π 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆
2
2
2
2
1
0
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
（
）的右焦点为
6,0
F
，
过F 作直线l 交椭圆于 A，B 两点，若弦AB 中点坐标为
6 , 1
3
æ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，则该椭圆的面积为 .
【答案】12 3π
【详解】因为右焦点为
6,0
F
,得出
2
2
6
a
b
-
=
，
设点
1
1
2
2
,
,
,
,
A x y
B x
y
中点为
1
2
1
2
,
2
2
x
x
y
y
M
+
+
æ
ö
ç
÷
è
ø ，
1 0
3
6
4
6
2 6
6
3
AB
FM
k
k
- -
=
=
=
=
-
所以
1
2
1
2
6 ,
1
2
3
2
x
x
y
y
+
+
=
= - ，
1
2
1
2
6
2
,
2
3
x
x
y
y
+
=
+
= -
所以
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
1,
1
x
y
x
y
a
b
a
b
+
=
+
= ，
所以
2
2
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
x
x
y
y
a
a
b
b
-
=
-
，
所以
2
2
1
2
1
2
2
1
2
1
y
y
y
y
b
x
x
x
x
a
-
+
´
= -
-
+
2
2
2
2
2
6
3
, 4
2 6
6
3
AB
b
b
k
a
a
-
-
´
= -
´
= -
所以
2
2
3
4
b
a =
，所以
2
2
24,
18
a
b
=
=
,
所以
2 6,
3 2
a
b
=
=
所以该椭圆的面积为π
12 3π
ab =
故答案为：12 3π .
9．（24-25 高二上·陕西铜川·阶段练习）已知直线l 与椭圆
2
2
:
1
9
6
x
y
C
+
= 交于A ，B 两点，若
(1,1)
M
为线段AB 的中
点，则直线l 的斜率为
.
【答案】
2
3
-
【详解】设
1
1
( ,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，直线l 的斜率为k ，则
1
2
1
2
y
y
k
x
x
-
=
-
.
因为
(1,1)
M
为线段AB 的中点，所以
1
2
2
x
x
+
=
，
1
2
2
y
y
+
=
.
联立
2
2
1
1
2
2
2
2
1,
9
6
1,
9
6
x
y
x
y
ì
+
=
ïïí
ï
+
=
ïî
两式相减得
2
2
2
2
1
2
1
2
0
9
6
x
x
y
y
-
-
+
=
，
即
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)(
)
0
9
6(
)
x
x
y
y
y
y
x
x
+
+
-
+
=
-
，所以2
0
9
3
k
+
=
，解得
2
3
k = -
，经验证此时直线与椭圆有两交点，
故答案为：
2
3
-
10．（24-25 高二上·北京·阶段练习）过点
1,1
P -
作直线与椭圆
2
2
1
4
2
x
y
+
= 交于
,
A B 两点，若线段AB 的中点为P ，
则直线AB 的斜率是
.
【答案】1
2 /0.5
【详解】令
1
1
2
2
(
)
A x y
B x
y
,
, (
,
)，则
1
2
1
2
1,
1
2
2
x
x
y
y
+
+
= -
= ，
又
2
2
1
1
2
2
2
2
1
4
2
1
4
2
x
y
x
y
ì
+
=
ïïí
ï
+
=
ïî
，作差得
2
2
2
2
1
2
1
2
0
4
2
-
-
+
=
x
x
y
y
，整理得
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2(
)
2
y
y
x
x
x
x
y
y
-
+
= -
=
-
+
.
故答案为：
1
2
11．（25-26 高三上·广东深圳·开学考试）已知椭圆C：
2
2
1
4
3
x
y
+
= 的左焦点为
1F ，过点
1F 斜率存在且不为0 的直线
l 交椭圆C 于A，B 两点，M 为AB 中点，O 为坐标原点．
(1)若直线OM 的斜率为
3
4
-
，求直线l 的方程；
(2)P 为椭圆上的点，直线PM 与x 轴交于点Q，若PQ
QM
=
uuur
uuuur
，求OQ 的取值范围．
【答案】(1)
1
0
x
y
-
+ =
；
(2) 1
3
( ,1)
(1, )
2
2
U
.
【详解】（1）椭圆C：
2
2
1
4
3
x
y
+
= 的左焦点为
1( 1,0)
F -
，设直线l 的方程为
1,
0
x
ty
t
=
-
¹
，
0
0
(
,
)
M x
y
，
由
2
2
1
3
4
12
x
ty
x
y
=
-
ì
í
+
=
î
消去x 并整理得
2
2
(3
4)
6
9
0
t
y
ty
+
-
-
=
，
由M 为弦AB 的中点，得
0
2
3
3
4
t
y
t
=
+
，
0
0
2
4
1
3
4
x
ty
t
=
- = -
+
，
由直线OM 的斜率为
3
4
-
，得
0
0
3
3
4
4
y
t
x = -
= -
，解得
1
t = ，
所以直线l 的方程为
1
x
y
=
- ，即
1
0
x
y
-
+ =
.
（2）由（1）知
2
2
4
3
(
,
)
3
4 3
4
t
M
t
t
-
+
+
，令点M 关于x 轴对称点为
2
2
4
3
(
,
)
3
4
3
4
t
M
t
t
¢ -
-
+
+
，
直线
2
3
3
4
t
y
t
= -
+
交椭圆C 于点
1
2
3
( ,
)
3
4
t
P x
t
-
+
，设
2
(
,0)
Q x
，
由PQ
QM
=
uuur
uuuur
，得
1
2
2
4
2
3
4
x
x
t
=
+
+
，于是
2
2
2
2
2
2
2
3
(
)
1
3
4
(3
4)
t
x
t
t
+
+
=
+
+
，
令
2
3
4
4
t
m
+
=
>
，则
2
2
2
2
4
(
)
1
m
x
m
m
-
+
= -
，解得
2
2
2
1
4
1
x
m
m
m
= -
±
-
+
，
2
1
4
2
1
OQ
m
m
m
=
-
+
±
，令1
1
(0, )
4
u
m =
Î
，则
2
|
|
4
1
2
OQ
u
u
u
=
-
+ ±
，
令函数
2
1
( )
4
1
2 ,0
4
f u
u
u
u
u
=
-
+ +
<
<
，求导得
2
1
4
2
( )
2
4
1
u
f u
u
u
-
¢
=
+
-
+
，
而
2
2
1
1
1
1
15
15
4
,
4
1
(2
)
[
,1)
2
2
2
4
16
4
u
u
u
u
-
<
-
<
-
+
=
-
+
Î
，则
( )
0
f u
¢
>
，
函数
( )
f u 在
1
(0, )
4 上单调递增，
1
(0)
( )
( )
4
f
f u
f
<
<
，即
3
1
( )
2
f u
<
<
，即
3
1 |
|
2
OQ
<
<
；
令函数
2
1
( )
4
1
2 ,0
4
g u
u
u
u
u
=
-
+ -
<
<
，求导得
2
1
4
2
( )
2
4
1
u
g u
u
u
-
¢
=
-
-
+
，
而
2
1
1
1
15
4
,
4
1
[
,1)
2
2
2
4
u
u
u
-
<
-
<
-
+ Î
，则
( )
0
g u
¢
<
，
函数( )
g u 在
1
(0, )
4 上单调递减，
1
( )
( )
(0)
4
g
g u
g
<
<
，即1
( )
1
2
g u
<
< ，即1
|
| 1
2
OQ
<
< ，
所以OQ 的取值范围是1
3
( ,1)
(1, )
2
2
U
.
12．（2025·海南·模拟预测）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
，且该椭圆的离心率为
2
2 ，直线l 不过原点O 且不平
行于坐标轴，l 与椭圆C 交于A
B
、两点，线段AB 的中点为M ．
(1)证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值；
(2)若直线l 的方程为2
2
3 3
0
x
y
-
+
=
，延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，四边形OAPB 为平行四边形，求椭圆C
的方程．
【答案】(1)证明见解析
(2)
2
2
1
18
9
x
y
+
=
【详解】（1）依题意，因为
2
2
2
1
1
2
b
e
a
= -
=
，所以
2
2
2
a
b
=
，
设
1
2
1
2
,
,
,
,
,
M
M
A x y
B x y
M x
y
，则
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
x
y
a
b
x
y
a
b
ì
+
=
ïïí
ï
+
=
ïî
，
两式相减可得
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
0
b
x
x
a
y
y
-
+
-
=
，得
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
2
y
y
b
x
x
a
-
= -
= -
-
，即
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
y
y
y
y
x
x
x
x
-
+
= -
-
+
，
因为M 为线段AB 的中点，则
1
2
1
2
2
,
2
M
M
x
x
x
y
y
y
+
=
+
=
，
直线OM 的斜率
M
OM
M
y
k
x
=
，直线l 的斜率
1
2
1
2
l
y
y
k
x
x
-
=
-
，
于是得
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
M
l
OM
M
y
y
y
y
y
y
y
k
k
x
x
x
x
x
x
x
-
+
-
×
=
×
=
= -
-
-
+
是定值，
所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．
（2）设点P 的坐标为
,
p
p
P x
y
，
由
2
2
2
3 3
2
2
2
x
y
x
y
b
ì
=
-
ïí
ï
+
=
î
，消去x 并整理得：
2
2
27
3
3 3
2
0
4
y
y
b
-
+
-
=
，
则
1
2
1
2
1
2
3,
3 3
2 3
y
y
x
x
y
y
+
=
+
=
+
-
= -
，
又四边形OAPB 为平行四边形，即线段AB 与线段OP 互相平分，
则
1
2
1
2
2
2 3
2
3
P
M
P
M
x
x
x
x
y
y
y
y
ì
=
=
+
= -
ïí
=
=
+
=
ïî
即点
2 3, 3
P -
，
而点P 在椭圆C 上，于是得
2
2
12
3
1
2b
b
+
= ，解得
2
2
2
9,
2
18
b
a
b
=
=
=
，
所以椭圆C 的方程为：
2
2
1
18
9
x
y
+
= ．
13．（2025·天津宁河·模拟预测）已知椭圆
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
过点
2,1
-
，长轴长为2 5 ，过点
1,0
C -
且斜率
为k 的直线l 与椭圆相交于不同的两点A 、B ．
(1)求椭圆的方程；
(2)若线段AB 中点的横坐标是
1
2
-
，求直线l 的斜率；
(3)在x 轴上是否存在点M ，使
2
5
3
1
MA MB
k
×
+
+
uuur uuur
是与k 无关的常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说
明理由．
【答案】(1)
2
2
1
5
5
3
x
y
+
=
(2)
3
3
±
(3)存在，且点
1,0
6
M æ
ö
ç
÷
è
ø
【详解】（1）由题意可得
2
2
2
2 5
2
1
1
a
a
b
ì
=
ïí
+
=
ïî
，可得
2
2
5
5
3
a
b
ì
=
ïí
=
ïî
，因此椭圆方程为
2
2
1
5
5
3
x
y
+
= ，即
2
2
3
5
+
=
x
y
.
（2）设点
1
1
,
A x y
、
2
2
,
B x
y
，则
1
2
1
x
x
+
= - ，
因为
2
2
1
1
2
2
2
2
3
5
3
5
x
y
x
y
ì
+
=
í
+
=
î
，这两个等式作差可得
2
2
2
2
1
2
1
2
3
0
x
x
y
y
-
+
-
=
，
即
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
3
y
y
y
y
y
y
k y
y
x
x
x
x
x
x
-
-
+
=
×
= -
+
= -
-
-
+
，
由题意可知，直线AB 的方程为
1
y
k x
=
+
，
线段AB 的中点
1
2
1 ,
2
2
y
y
+
æ
ö
-
ç
÷
è
ø在直线
1
y
k x
=
+
上，所以，
1
2
1
2
2
y
y
k
+
=
，可得
1
2
y
y
k
+
=
，
所以
2
1
2
1
3
k y
y
k
-
+
= -
= -
，故
3
3
k = ±
，故直线l 的斜率为
3
3
±
.
（3）在x 轴上存在点
1 ,0
6
M æ
ö
ç
÷
è
ø，使
2
5
·
3
1
MA MB
k
+
+
uuur uuur
是与k 无关的常数.
证明：假设在x 轴上存在点
,0
M m
，使
2
5
3
1
MA MB
k
×
+
+
uuur uuur
是与k 无关的常数，
因为直线l 过点
1,0
C -
且斜率为k ，所以，直线l 的方程为
1
y
k x
=
+
，
由
2
2
3
5
1
x
y
y
k x
ì
+
=
ïí
=
+
ïî
得
2
2
2
2
3
1
6
3
5
0
k
x
k x
k
+
+
+
-
=
.
设
1
1
,
A x y
、
2
2
.
B x y
，则
2
1
2
2
6
3
1
k
x
x
k
-
+
=
+
，
2
1
2
2
3
5
3
1
k
x x
k
-
=
+
，
因为
1
1
,
MA
x
m y
=
-
uuur
，
2
2
,
MB
x
m y
=
-
uuur
，
所以
1
2
1
2
2
2
5
5
3
1
3
1
MA MB
x
m
x
m
y y
k
k
×
+
=
-
-
+
+
+
+
uuur uuur
2
1
2
1
2
2
5
1
1
3
1
x
m
x
m
k
x
x
k
=
-
-
+
+
+
+
+
2
2
2
2
1
2
1
2
2
5
1
3
1
k
x x
k
m
x
x
m
k
k
=
+
+
-
+
+
+
+
+
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
5
6
5
1
3
1
3
1
3
1
k
k
k
k
m
m
k
k
k
k
-
-
=
+
+
-
+
+
+
+
+
+
2
2
2
2
2
2
6
3
3
1
k
mk
m k
m
k
-
+
+
+
=
+
设常数为t ，则
2
2
2
2
2
2
6
3
3
1
k
mk
m k
m
t
k
-
+
+
+
=
+
，
整理得
2
2
2
3
6
1 3
0
m
m
t k
m
t
+
- -
+
- =
对任意的k 恒成立，
2
2
3
6
1 3
0
0
m
m
t
m
t
ì
+
- -
=
í
- =
î
，解得
1
6
m =
，
即在x 轴上存在点
1 ,0
6
M æ
ö
ç
÷
è
ø，使
2
5
3
1
MA MB
k
×
+
+
uuur uuur
是与k 无关的常数.
14．（2025·江西·三模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的右焦点为
10
F
,
，离心率为
1
2 ，点A 在C 上，且位于第
二象限，点
4,0
P
，直线AP 与C 在第一象限交于点B .
(1)求C 的方程；
(2)若B 是AP 的中点，求直线AP 的方程；
(3)过点A 作直线1l
y
^
轴，过点F 作直线2l
x
^
轴，直线1
2
,
l l 交于点Q ，证明直线BQ 过定点，并求出该定点.
【答案】(1)
2
2
1
4
3
x
y
+
=
(2)
6 5
4
0(
5
x
y
+
-
=
或
5
6
4 5
0)
x
y
+
-
=
(3)证明见解析，5 ,0
2
æ
ö
ç
÷
è
ø
【详解】（1）由题意可得
2
2
2
1,
1 ,
2
,
c
c
a
a
b
c
=
ì
ïï
=
í
ï
=
+
ïî
解得
2
2
4,
3
a
b
=
=
，
所以C 的方程为
2
2
1
4
3
x
y
+
= .
（2）依题意画出图像为：
设直线AP 的方程为
4
x
my
=
+
（因为点A 在第二象限，所以1
3
4
m > -
，即
4 3
3
m < -
），
设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
.
联立直线与椭圆方程
2
2
1,
4
3
4,
x
y
x
my
ì
+
=
ïí
ï =
+
î
得
2
2
3
4
24
36
0
m
y
my
+
+
+
=
.
当
4 3
3
m < -
时，
2
2
2
2
24
4 36
3
4
144
576
0
m
m
m
D =
- ´
´
+
=
-
>
.
由根与系数的关系知，
1
2
2
24
3
4
m
y
y
m
+
= -
+
①，
1
2
2
36
3
4
y y
m
=
+
②.
因为B 是AP 的中点，所以
1
2
2
y
y
=
，结合①解得
2
1
2
2
8
16
,
3
4
3
4
m
m
y
y
m
m
= -
= -
+
+
.
代入②，解得
6 5
5
m = -
（
6 5
5
m =
舍去），
所以直线AP 的方程为
6 5
4
5
x
y
= -
+
，即
6 5
4
0(
5
x
y
+
-
=
或
5
6
4 5
0)
x
y
+
-
=
.
（3）根据题意画出图像为：
由①②可得，
1
2
1
2
2
2
36
3
24
3
3
4
2
3
4
2
m
m
my y
y
y
m
m
æ
ö
=
= -
´ -
= -
+
ç
÷
+
+
è
ø
.
由题意可得，
1
1,
Q
y
，直线BQ 的方程为
2
1
2
1
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
y
y
y
y
y
y
y
x
y
x
y
x
x
x
-
-
-
=
-
+
=
-
+
-
-
-
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
2
2
2
1
4
1
1
1
1
y
y
y
x
y
y
y
y
y
y
my y
x
x
x
x
x
x
-
-
-
-
-
-
-
=
-
=
-
-
-
-
-
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
3
5
4
5
2
2
1
1
1
1
1
2
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
x
x
x
x
x
x
x
x
-
+
+
-
-
-
-
æ
ö
=
-
=
-
=
-
ç
÷
-
-
-
-
-
è
ø
，
所以直线BQ 过定点5 ,0
2
æ
ö
ç
÷
è
ø .
