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考点突破练11 直线与圆
一、必备知识夯实练
1.(2023 浙江温州三模)已知直线l1:x+y=0,l2:ax+by+1=0,若l1⊥l2,则a+b=( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
2.(2023 河北张家口二模)已知点P(x0,y0)为圆C:x2+y2=2 上的动点,则直线l:x0x-y0y=2 与圆C 的位置关
系为( )
A.相交
B.相离
C.相切
D.相切或相交
3.(2023 广东梅州二模)若直线l:mx+ny+m=0 将圆C:(x-2)2+y2=4 分成弧长之比为2∶1 的两部分,则直
线的斜率为( )
A.±√5
2
B.±2√5
5
C.±√2
2
D.±√2
4
4.(2023 全国乙,文11)已知x,y 满足x2+y2-4x-2y-4=0,则x-y 的最大值是( )
A.1+3√2
2
B.4
C.1+3√2
D.7
5.(2023 山东潍坊模拟)若点M 是圆C:x2+y2-4x=0 上的任一点,直线l:x+y+2=0 与x 轴、y 轴分别相交
于A,B 两点,则∠MAB 的最小值为( )
A. π
12
B.π
4
C.π
3
D.π
6
6.(2023 山东济宁二模)在平面直角坐标系中,过点P(3,0)作圆O:(x-1)2+( y -2√3)
2=4 的两条切线,切
点分别为A,B,则直线AB 的方程为( )
A.x-√3y+3=0
B.x+√3y+3=0
C.√3x-y+3=0
D.√3x+y+3=0
7.(多选题)(2023 广东惠州模拟)已知直线l:kx-y-k=0 与圆M:x2+y2-4x-2y+1=0,则下列说法正确的是(
)
A.直线l 恒过定点(1,0)
B.圆M 的圆心坐标为(2,1)
C.存在实数k,使得直线l 与圆M 相切
D.若k=1,直线l 被圆M 截得的弦长为2
8.(2023 新高考Ⅰ,6)过(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0 相切的两条直线的夹角为α,则sin α=
( )
A.1
B.√15
4
C.√10
4
D.√6
4
9.(2023 福建莆田模拟)写出一个被直线x-y=0 平分且与直线x+y=0 相切的圆的方程:
.
10.(2023 江苏南京师大附中一模)过点P(3,-2)且与圆C:x2+y2-2x-4y+1=0 相切的直线方程为
.
二、关键能力提升练
11.(2023 广东深圳中学模拟)若圆(x-a)2+(y-3)2=20 上有四个点到直线2x-y+1=0 的距离为√5,则实数a
的取值范围是( )
A.(-∞,-13
2 )∪(17
2 ,+∞)
B.(-13
2 , 17
2 )
C.(-∞,-3
2)∪(7
2,+∞)
2
D.(-3
2 , 7
2)
12.(2023 四川德阳模拟)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句是“白日登山望烽火,黄昏饮马傍
交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某
处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域
为x2+y2≤1,若将军从点P(-1,-2)处出发,河岸线对应的直线方程为x+y=2,并假定将军只要到达军营所
在区域即回到军营,则“将军饮马”问题中的最短总路程为( )
A.6
B.5
C.4
D.3
13.(多选题)已知圆C:x2+y2-4y+3=0,一条光线从点P(2,1)射出经x 轴反射,则下列结论正确的是( )
A.圆C 关于x 轴对称的圆的方程为x2+y2+4y+3=0
B.若反射光线平分圆C 的周长,则入射光线所在直线方程为3x-2y-4=0
C.若反射光线与圆C 相切于点A,与x 轴相交于点B,则|PB|+|BA|=2
D.若反射光线与圆C 交于M,N 两点,则△CNM 面积的最大值为1
2
14.(多选题)(2023 浙江杭州、宁波4 月联考)已知圆O:x2+y2=1,P 是直线l:x-y+2=0 上一点,过点P 作
圆O 的两条切线,切点分别为M,N,则( )
A.直线MN 经过定点
B.|MN|的最小值为√2
C.点(2,0)到直线MN 的距离的最大值为5
2
D.∠MPN 是锐角
15.(2023 河南商丘模拟)已知圆C1:x2+(y-2)2=5,圆C2过点(2,-1)且与圆C1相切于点(2,1),则圆C2的方程
为 .
16.(2023 山东淄博一模)在平面直角坐标系中,已知点P(3,1),直线y=kx+b 与圆x2+y2=10 交于M,N 两
点,若△PMN 为正三角形,则实数b= .
三、核心素养创新练
17.(2023 河北邯郸一模)已知点A(0,0),B(6,0),符合点A,B 到直线l 的距离分别为1,3 的直线方程为
.(写出一条即可)
18.(2023 广东深圳一模)设a>0,A(2a,0),B(0,2),O 为坐标原点,则以OA 为弦,且与AB 相切于点A 的圆
的标准方程为 ;若该圆与以OB 为直径的圆相交于第一象限内的点P,则点P 横
坐标x 的最大值为 .
3
考点突破练11 直线与圆
1.B 解析 因为直线l1:x+y=0,l2:ax+by+1=0,且l1⊥l2,则1·a+1·b=0,所以a+b=0.
2.C 解析 由题意可得x0
2+ y0
2=2,则圆心C 到直线l 的距离d=
2
√x0
2+ y0
2 = 2
√2 =√2,所以直线和圆
相切.
3.D 解析 如图,令直线l 与圆C 交于点A,B,依题意,∠ACB=120°,而圆C 的圆心C(2,0),半径
r=2,∠ABC=30°,因此点C 到直线l 的距离d=rsin 30°=1,于是d=|3m|
√m
2+n
2=1,
整理得n=±2√2m,
所以直线l 的斜率k=-m
n =±√2
4 .
4.C 解析 (方法一)由x2+y2-4x-2y-4=0,得(x-2)2+(y-1)2=9,该方程表示圆心为(2,1),半径为3 的圆.
设x-y=u,则x-y-u=0,且由题意知直线x-y-u=0 与圆(x-2)2+(y-1)2=9 有公共点,则|1-u|
√2
≤3,解得
1-3√2≤u≤1+3√2,所以x-y 的最大值为1+3√2.
(方法二)由x2+y2-4x-2y-4=0,得(x-2)2+(y-1)2=9,令{
x =2+3cosθ,
y =1+3sinθ,0≤θ<2π,
所以x-y=1+3cos θ-3sin θ=1+3√2cos(θ+π
4 ),当cos(θ+π
4 )=1 时,x-y 的最大值为1+3√2.故选C.
5.A 解析 如图,直线l 的斜率为-1,倾斜角为3 π
4 ,故∠OAB=π
4 .圆C 的标准方程为(x-2)2+y2=4,圆
心为C(2,0),半径为r=2.易知直线l 交x 轴于点A(-2,0),所以|AC|=4.
由图可知,当直线AM 与圆C 相切,且切点位于x 轴下方时,∠MAB 取最小值.由圆的几何性质可知
CM⊥AM,且|CM|=2=1
2|AC|,则∠CAM=π
6 .
故∠MAB≥∠OAB-π
6 = π
4 - π
6 = π
12.
6.A 解析 圆O:(x-1)2+( y -2√3)
2=4 的圆心为O(1,2√3),半径为2,PO 的中点坐标为N(2,√3),|
PO|=√(3-1)
2+(2√3-0)
2=4,则以N 为圆心,PO 为直径的圆的方程为(x-2)2+( y -√3)
2=4.
因为过点P(3,0)作圆O:(x-1)2+( y -2√3)
2=4 的两条切线,切点分别为A,B,所以AB 是两圆的公
共弦,将两圆的方程相减可得公共弦AB 所在直线的方程为x-√3y+3=0.
7.AB 解析 直线l:kx-y-k=0 变形为y=k(x-1),故直线l 恒过定点(1,0),故A 正确;
圆M:x2+y2-4x-2y+1=0 变形为(x-2)2+(y-1)2=4,圆心坐标为(2,1),故B 正确;
令圆心(2,1)到直线l:kx-y-k=0 的距离|2k -1-k |
√1+k
2
=2,整理得3k2+2k+3=0,由Δ=4-36=-32<0 可得,
方程无解,故不存在实数k,使得直线l 与圆M 相切,故C 错误;
4
若k=1,则直线l 的方程为x-y-1=0,圆心(2,1)在直线l:x-y-1=0 上,故直线l 被圆M 截得的弦长为直
径4,故D 错误.
故选AB.
8.B 解析 由x2+y2-4x-1=0,得(x-2)2+y2=5,故圆心C(2,0),半径R=√5.
过点D(0,-2)作圆的切线,与圆的两个切点为A,B,连接AC,BC,CD,AB,
则AB⊥CD,∠CAD=∠CBD=π
2 ,∠ADC=∠BDC=α
2 ,
由几何知识得,|BC|=|AC|=√5,|CD|=√(0-2)
2+(-2-0)
2=2√2.
由勾股定理得,|AD|=|BD|=√|CD|
2- R
2=√3.
cosα
2 =|BD|
|CD| = √3
2√2 = √6
4 ,sinα
2 =|BC |
|CD| = √5
2√2 = √10
4 ,
sin α=2sinα
2 cosα
2 =2×√10
4 × √6
4 = √15
4 .故选B.
9.(x-1)2+(y-1)2=2(答案不唯一) 解析 由题意可知,圆心过直线x-y=0,不妨设圆心坐标为(1,1),半
径为r.
又因为圆心(1,1)到直线x+y=0 的距离d=|1+1|
√1
2+1
2 =√2=r,所以(x-1)2+(y-1)2=2 符合题意.
10.x=3 或3x+4y-1=0 解析 将圆C 方程化为圆的标准方程(x-1)2+(y-2)2=4,得圆心C(1,2),半径为
r=2.
当过点P(3,-2)的直线斜率不存在时,直线方程为x=3,是圆C 的切线,满足题意;当过点P(3,-2)的直
线斜率存在时,可设直线方程为y+2=k(x-3),即kx-y-3k-2=0,利用圆心到直线的距离等于半径得
|2k + 4|
√k
2+1
=2,解得k=-3
4 ,即此直线方程为3x+4y-1=0.
综上,满足题意的直线方程为x=3 或3x+4y-1=0.
11.D 解析 因为圆的方程为(x-a)2+(y-3)2=20,所以圆心为(a,3),半径为2√5.又圆(x-a)2+(y-3)2=20
上有四个点到直线2x-y+1=0 的距离为√5,所以圆心到直线2x-y+1=0 的距离d<√5,所以
|2a-2|
√5
<√5,即|2a-2|<5,得-3
2<a<7
2.
12. C 解析 如图,设点P 关于直线x+y=2 的对称点为Q(x,y),则{
x -1
2
+ y -2
2
=2,
y +2
x +1 =1,
解得{
x = 4,
y =3,
即Q(4,3),
5
所以|OQ|=√4
2+3
2=5,则“将军饮马”问题中的最短总路程为|OQ|-1=5-1=4.
13.ABD 解析 对于A,由圆C 方程可得x2+(y-2)2=1,故圆心C(0,2),半径r=1,
∴圆C 关于x 轴对称的圆的圆心为C'(0,-2),半径为1,
∴所求圆的方程为x2+(y+2)2=1,即x2+y2+4y+3=0,故A 正确;
对于B,∵反射光线平分圆C 的周长,∴反射光线经过圆心C(0,2),∴入射光线所在直线经过点
C'(0,-2),
∴kC'P=1+2
2
= 3
2,∴入射光线所在直线方程为y+2=3
2x,即3x-2y-4=0,故B 正确;
对于C,∵反射光线经过点P(2,1)关于x 轴的对称点P'(2,-1),
∴|PB|+|BA|=|P'B|+|BA|=|P'A|,又|P'A|=√| P'C |
2-1=2√3,∴|PB|+|BA|=2√3,故C 错误;
对于D,设∠CMN=θ(0<θ<π
2 ),则圆心C(0,2)到直线MN 的距离d=sin θ,∴|MN|=2√1- sin
2θ
=2cos θ,
∴S△CNM=1
2|MN|·d=sin θcos θ=1
2sin 2θ,
则当θ=π
4 时,(S△CNM)max=1
2,故D 正确.故选ABD.
14.AB 解析 设P(x0,x0+2),则以OP 为直径的圆的方程为
( x - x0
2 )
2
+( y - x0+2
2
)
2
= x0
2+( x0+2)
2
4
,化简得x2-x0x-(x0+2)y+y2=0,
与x2+y2=1 联立,可得MN 所在直线方程为x0x+(x0+2)y=1,即x0(x+y)+2y-1=0,
故可知直线MN 恒过定点(-1
2 , 1
2),故A 正确;
点O 到过定点(-1
2 , 1
2)的直线MN 距离的最大值为√(- 1
2 -0)
2
+( 1
2 -0)
2
= √2
2
,|MN|min=2×
√
1-(
√2
2 )
2
=√2,故|MN|的最小值为√2,故B 正确;
当点(2,0)与定点(-1
2 , 1
2)的连线与直线MN 垂直时,此时点(2,0)到直线MN 的距离最大,且最大值
为√(- 1
2 -2)
2
+( 1
2 -0)
2
= √26
2
,故C 错误;
6
圆心O 到直线l 的距离为2
√2 =√2,由于∠MPN=2∠MPO,在直角三角形OPM 中,sin∠MPO=
|OM |
|OP| =
1
|OP| ,
当点P 运动到满足OP⊥l 时,此时|OP|最小,∠MPO 最大,此时sin∠MPO=√2
2
,∠MPO=45°,∠MPN=90°,故D 错误.故选AB.
15.(x-4)2+y2=5 解析 如图,过点(0,2)和(2,1)的直线方程为x+2y-4=0,以点(2,-1)和点(2,1)为端点
的线段的垂直平分线的方程为y=0.
由{
x +2 y - 4 =0,
y =0,
得C2(4,0),则圆C2的半径r=√2
2+1
2=√5,所以圆C2的方程为(x-4)2+y2=5.
16.-5 解析 由题意可知点P(3,1)在圆上,如图.设MN 的中点为H,连接PH,因为△PMN 为正三角
形,所以PH 过点O,且PH⊥MN,
则直线MN 的斜率k=- 1
kOP
=-3,y=kx+b 即为y=-3x+b.
因为△PMN 为正三角形,所以点O 为△PMN 的中心,由中心及重心性质知,|OH|=|OP|
2
= √10
2 ,
故|b|
√1+9 = √10
2 ,解得b=±5.结合点P(3,1)在圆上,△PMN 是圆的内接正三角形,可知b<0,即b=-5.
17.x+2√2y+3=0 或x-2√2y+3=0 或2x+√5y-3=0 或2x-√5y-3=0(写出一条即可) 解析 由题意可
知直线l 是圆x2+y2=1 与圆(x-6)2+y2=9 的公切线,
因为两圆外离,所以满足条件的直线l 有四条,如图.
当直线l 位于直线l1,l2位置时,由几何性质(相似三角形的性质)易知直线l 过点(-3,0).
设直线l 的方程为x=my-3,则|-3|
√1+m
2=1,解得m=±2√2,此时直线l 的方程为x+2√2y+3=0 或x-2
√2y+3=0.当直线l 位于直线l3,l4位置时,由几何性质(相似三角形的性质)易知直线l 过点(3
2,0),设
直线l 的方程为x=ny+3
2,则|
3
2|
√1+n
2
=1,解得n=±√5
2 ,此时直线l 的方程为2x+√5y-3=0 或2x-√5
y-3=0.
7
18.(x-a)2+(y+a2)2=a2+a4 4
5 解析 以OA 为弦的圆的圆心记作D,则圆心在线段OA 的垂直平分
线x=a 上.
因为圆D 与直线AB 相切于A,
所以DA⊥AB.
由kAB= 2-0
0-2a=-1
a,可得kDA=a,所以直线DA 的方程为y=a(x-2a),
将x=a 代入直线DA 的方程可得圆心为D(a,-a2),圆D 的半径r=|AD|=
√(2a-a)
2+(0+a
2)
2=√a
2+a
4,
所以所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y+a2)2=a2+a4.
①
以OB 为直径的圆的圆心C(0,1),半径为1,则圆C 的方程为x2+(y-1)2=1.
②
①-②可得-2ax+2(a2+1)y=0,即y=
a
a
2+1x 为圆C 与圆D 的公共弦所在直线的方程,将y=
a
a
2+1x
代入圆C 的方程可得[1+(
a
a
2+1)2]x2- 2a
a
2+1x=0.
因为交点P 在第一象限,所以x≠0,所以x=
2
a
2+1
a
+
a
a
2+1
,令m=a
2+1
a
,则m=a+1
a≥2,当且仅当
a=1 时,等号成立.则1
m =
a
a
2+1,
所以交点P 的横坐标x=
2
m+ 1
m
,m≥2.
由对勾函数可得y=m+ 1
m在区间[2,+∞)内单调递增,所以当m=2 时,y=m+ 1
m取得最小值,为5
2,
所以交点P 的横坐标的最大值为x=
2
5
2
= 4
5 .
