2026 年高考数学一轮复习检测卷 02（全国通用）
（考试时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填
写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
{ 1 )
1．（5分）（2025·陕西西安·模拟预测）已知集合A={x|x2−x≤0)，B= x| ≥1 ，则A∩B=（ ）
x
A．(0,1] B．(0,1) C．[0,1) D．[1,0)
【答案】A
【解题思路】解二次不等式和分式不等式，明确集合A,B，再根据交集的概念进行计算.
【解答过程】由x2−x≤0，即x(x−1)≤0，解得0≤x≤1，所以A=[0,1).
1 1 1−x {x(1−x)≥0)
由 ≥1，移项得 −1≥0，即 ≥0，等价于 ，解得0<x≤1，所以B=(0,1).
x x x x≠0
则A∩B=(0,1].
故选：A.
2．（5分）（2025·福建泉州·模拟预测）若(1+i)z=2，则在复平面内z对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解题思路】利用复数的除法法则将复数z化简，再利用复数的几何意义进行判断即可.
2 2(1−i)
【解答过程】∵(1+i)z=2，∴z= = =1−i，
1+i (1+i)(1−i)
∴在复平面内z对应的点为(1,−1)，位于第四象限.
故选：D.
3．（5分）（2025·广西·模拟预测）为落实“双碳”目标，某环保组织调研10个国家2024年度的人均碳排放强度（单位：吨/人·年），得到数据如下：2，4，5，7，8，9，11，12，13，15．则该组数据的30%
分位数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【解题思路】将已知数据按从小到大的顺序排列，求10×30%，结合百分位数定义求结论即可.
【解答过程】数据从小到大为：2，4，5，7，8，9，11，12，13，15，
又10×30%=10×0.3=3，
5+7
所以该组数据的30%分位数是 =6．
2
故选：A.
4．（5分）（2025·北京海淀·二模）设a、b、c∈R，abc≠0，且a>b>c，则（ ）
a b b c
A． + >2 B． + <2
b c a b
C．2a>b+c D．a+b>c
【答案】C
【解题思路】利用特殊值法可判断ABD选项，利用不等式的性质可判断C选项.
1 a b
【解答过程】对于A选项，不妨取a=2，b=1，c=− ，则 + =2−4=−2<2，A错；
4 b c
b c
对于B选项，不妨设a=−1，b=−2，c=−6，则 + =2+3=5>2，B错；
a b
对于C选项，因为a>b>c，由不等式的基本性质可得2a>b+c，C对；
对于D选项，不妨设a=−1，b=−2，c=−2.5，则a+b=−3<−2.5=c，D错.
故选：C.
5．（5分）（2025·江西新余·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=b，且
sin2C .则c （ ）
=2(1+❑√3sinC) =
sin2B b
❑√6+❑√2
A．2❑√3 B．3❑√2 C．❑√3−1 D．
2
【答案】D
【解题思路】由题干条件和正弦定理得 ，再由 及余弦定理可得
c2=2b2 (1+❑√3sinC) a=b❑√3 5π
c2=2b2 (1−cosC)，联立化简得tanC=− ，结合角C的范围求得C= ，代入c2=2b2 (1−cosC)
3 6
求解即可.
【解答过程】由sin2C 及正弦定理可得c2 ， ，
=2(1+❑√3sinC) =2(1+❑√3sinC) c2=2b2 (1+❑√3sinC)
sin2B b2
由 及余弦定理可得 ，
a=b c2=a2+b2−2abcosC=2b2 (1−cosC)
❑√3
所以2b2 (1+❑√3sinC)=2b2 (1−cosC)，所以❑√3sinC=−cosC，故tanC=− ，
3
又 ，故 5π，所以 ，所以c2 ，
0<C<π C= c2=2b2 (1−cosC)=b2 (2+❑√3) =2+❑√3
6 b2
c ❑√6+❑√2
所以 = .
b 2
故选：D.
6．（5分）（2025·广东·模拟预测）已知双曲线 x2 y2 的左，右焦点分别为
C: − =1(a>0,b>0) F ,F ,A
a2 b2 1 2
是双曲线 上一点， 为线段 的中点.若 ，则 的离心率为（ ）
C B AF |F F )=|AF )=2|BF ) C
1 1 2 2 2
❑√3+1
A．❑√3+1 B．2 C． D．❑√2
2
【答案】C
【解题思路】根据题意设 ，由几何关系得 ，再根据双曲线定
|F F )=|AF )=2|BF )=2c |AF |=2❑√3c
1 2 2 2 1
c
义知|AF |=2c+2a，联立即可求出离心率e= .
1 a
【解答过程】由题意设 ，
|F F )=|AF )=2|BF )=2c
1 2 2 2
因为B为线段AF 的中点，所以AF ⊥BF ，
1 1 2
又 ，所以 ，则 ，
|BF |=c |BF |=❑√3c |AF |=2❑√3c
2 1 1
根据双曲线定义知|AF |=|AF |+2a=2c+2a，所以2❑√3c=2c+2a，
1 2c ❑√3+1 ❑√3+1
解得 = ，故双曲线的离心率为 .
a 2 2
故选：C.
7．（5分）（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知正项数列 为等比数列，且 是 与 的等差中项，若
{a ) 5a a 3a
n 2 4 3
a =2，则该数列的前5项和为（ ）
2
A．10 B．15 C．30 D．31
【答案】D
【解题思路】由5a 是a 与3a 的等差中项可得2×5a =a +3a ，再利用等比数列的通项公式代入求出a
2 4 3 2 4 3 1
和q，最后利用等比数列的前n项和公式求解即可.
【解答过程】因为数列 为正项等比数列，设公比为 ，
{a ) q(q>0)
n
又 是 与 的等差中项，所以 ，即 ，
5a a 3a 2×5a =a +3a =a q2+3a q 2q2+6q=20
2 4 3 2 4 3 2 2
解得q=2或q=−5（舍去），
所以由a =a q解得a =1，
2 1 1
所以该数列的前5项和 a (1−q5) 1×(1−25) ，
S = 1 = =31
5 1−q 1−2
故选：D.
8．（5分）（2025·河北石家庄·三模）已知f (x)是定义在R上的奇函数，当x 、x ∈(0, +∞)且x ≠x
1 2 1 2
x f (x )−x f (x )
时，都有 2 1 1 2 >0 成立， f (2025)=2025 ，则不等式 f (x)−x>0 的解集为（ ）
x x (x −x )
1 2 1 2
A．(−∞, −2025)∪(2025, +∞) B．(−2025, 0)∪(2025, +∞)( 1 1 )
C．(−2025, 2025) D． − ,
2025 2025
【答案】B
【解题思路】对 x 2 f (x 1 )−x 1 f (x 2 ) >0 进行变形，得出函数 g(x)= f (x)的单调性，再利用函数的单调性和
x x (x −x ) x
1 2 1 2
奇偶性解不等式.
f (x ) f (x )
【解答过程】由 x 2 f (x 1 )−x 1 f (x 2 ) >0 可得 x 1 − x 2 ，设函数 g(x)= f (x)， x∈(0, +∞) ，
x x (x −x ) 1 2 >0 x
1 2 1 2 x −x
1 2
则g(x)在(0,+∞)上单调递增，
f (−x)
又因为f (x)为定义在R上的奇函数，g(−x)= =g(x)，所以g(x)为偶函数，g(x)在(−∞,0)上单调递
−x
减，
而不等式
f (x)−x>0⇔
{g(x)>1(x>0))，
g(x)<1(x<0)
又因为f (2025)=2025，所以g(2025)=g(−2025)=1，
所以不等式的解集为(−2025, 0)∪(2025, +∞).
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．（6分）（2025·广东佛山·三模）生活经验告诉我们，儿子的身高与父亲的身高不仅线性相关，而且还
是正相关．有人调查了10名男大学生的身高y（单位：cm）及其父亲身高x（单位：cm）的数据
10
，已知其中一组数据为 ，且 ，求得经验回归方程为
(x ,y )(i＝1,2,⋯,10) (182,185) ∑ x =1750
i i i
i=1
^y＝0.65x+63，并绘制了如下残差图（残差＝观测值−预测值），则A．这10名男大学生的身高的平均值为176.75
B．由残差图可判定儿子身高与父亲身高的关系不符合上述回归模型
C．数据(182,185)对应的残差为3.7
D．去掉数据(182,185)后，重新求得的回归直线的决定系数R2变小
【答案】AC
【解题思路】由线性回归分析的相关知识逐一判断各个选项即可求解.
【解答过程】(x,y)满足经验回归方程，代入x=175，计算可得y=176.75，故A正确；
从残差图中可以看到残差比较均匀地分布在以均值为0，横轴为对称轴的水平带状区域内，满足上述回归
模型，故B错误；
代入x=182，得^y=181.3，因此残差为185−181.3=3.7，故C正确；
由残差图可知(182,185)是一个极端数据，去掉后重新求得的回归直线拟合程度会变好，决定系数R2变
大，D错误．
故选：AC.
10．（6分）（2025·江西新余·模拟预测）已知函数 ，则（ ）
f (x)=x(ex−1)−alnx(a∈R)
A．若a=1，则f (x)≥1 B．f (x)可以有2个极值点
C．若a≤0，则f (x)是增函数 D．若f (x)=(a−1)x有两个零点x ,x ，则a>e
1 2
【答案】ACD
【解题思路】A由 ，设 ，设 并应用导数研究不等式
f (x)=xex−ln(xex) t=xex,x>0⇒t>0 g(t)=t−lnt
判断；B对函数求导，构造 ，应用导数研究其零点判断；C由函数单调递增，有
ℎ(x)=ex(x2+x)−x−a
lnt 1
ℎ(x)=x2ex+x(ex−1)−a≥0恒成立，结合其单调性判断；D令t=xex且x>0，问题化为 = 有两个
t a
解t ,t ，利用导数求左侧的单调性和值域求参数范围判断.
1 2【解答过程】由于 ，则 ，
a=1 f (x)=xex−(x+lnx)=xex−ln(xex)
1
设t=xex,x>0⇒t>0，设g(t)=t−lnt，则g′(t)=1− ，
t
所以t∈(0,1)时，g′(t)<0，此时g(t)单调递减；t∈(1,+∞)时，g′(t)>0，此时g(t)单调递增，
所以g(t) =g(1)=1，即g(t)≥1，故A正确；
min
由于 a ex(x2+x)−x−a，设 ，
f′(x)=ex(x+1)−1− = ℎ(x)=ex(x2+x)−x−a
x x
则 ，
ℎ′(x)=ex(x2+3x+1)−1=ex(x2+3x)+(ex−1),x>0
所以ℎ′(x)>0，ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，即ℎ(x)=0不可能有2个解，
所以f (x)不可能有2个极值点，故B错误；
若 是增函数，则 ，即 恒成立，
f (x) f′(x)≥0 ℎ(x)=x2ex+x(ex−1)−a≥0
由上知ℎ(x)是增函数，又x>0，只需a≤0，故C正确；
有两个零点，即 有两个不同的解 ，
f (x)=(a−1)x xex−aln(xex)=0 x ,x
1 2
令 且 ，则 ，故 在 上为增函数且 ，
t=xex x>0 t′=(x+1)ex>0 t=xex (0,+∞) t>0
lnt 1
故原方程有两个解转化为t−alnt=0有两个解t ,t ，易知a≠0，即 = 有两个解t ,t ，
1 2 t a 1 2
lnt 1−lnt
设ℎ(t)= ，则ℎ′ (t)= ，当t∈(0,e)时ℎ′ (t)>0，t∈(e,+∞)时ℎ′ (t)<0，
t t2
1
所以ℎ(t)在t∈(0,e)上单调递增，在t∈(e,+∞)上单调递减，则ℎ(t)≤ℎ(e)= ，
e
1 1
由于t→0∞,ℎ(t)→−∞，t→+∞,ℎ(t)→0，所以0< < ，即a>e，故D正确．
a e
故选：ACD.
11．（6分）（2025·河北邯郸·一模）如图“四角花瓣”图形可以看作由抛物线C:x2=2py(p>0)绕坐标原
π 3π
点分别旋转 ，π， 后所得三条曲线与C共同围成的区域（阴影区域），A, B分别为C与另外两条
2 2
曲线在第一象限、第二象限的交点，若|AB)=8，阴影部分的面积为S，则（ ）A．p=1
B．△AOB的面积为16
C．S的值比32小
D．直线y=x+b截第二象限“花瓣”的弦长可能为1.4
【答案】BCD
【解题思路】根据对称性，可求得各曲线的方程，进而求出交点A，B，从而判断选项A和B；对于阴影部
分的面积，利用适当放大，可对选项C进行判断；最后通过求出弦长与b的函数关系进而求出弦长的取值范
围，可判断D.
π 3π
【解答过程】设抛物线C绕原点顺时针旋转 ，π， 后得到的三条曲线分别为C ，C ，C .
2 2 1 2 3
( p) (p ) ( p) ( p )
抛物线C的焦点为 0, ，故C 的焦点为 ,0 ，C 的焦点为 0,− ，C 的焦点为 − ,0 .
2 1 2 2 2 3 2
故 ， ， ， .
C :y2=2px C :x2=−2py C :y2=−2px p>0
1 2 3
对于 ： 为曲线 与
交点，联立方程{x2=2py)，解得{x=2p)，即
.
A A C C A(2p,2p)
1 y2=2px y=2p
为曲线 与 交点，联立方程{ x2=2py )，解得{x=−2p)，即 .
B C C B(−2p,2p)
3 y2=−2px y=2p
又因为 ，故 .故 错误.
|AB)=8=|2p−(−2p))=4 p p=2 A
1
对于B：由上述过程可得，A(4,4)，B(−4,4)，△ABO的面积为8×4× =16.故B正确.
2
对于C：由于对称性，阴影部分在四个象限的图形全等，故只讨论第一象限部分.
第一象限部分依然根据对称性，可分为两份，以下只讨论曲线C与直线y=x围成的部分.
设该阴影部分面积为S′，显然S=8S′.1 1
设函数f (x)= x2，则f′(x)= x.故过A点的切线斜率为2.
4 2
因此过A点的切线方程为y=2x−4.该切线与x轴交于M，故M(2,0).
1
S′<S = ×2×4=4.故S<8S =32.故C正确.
△AOM 2 △AOB
对于D：第二象限的“花瓣”图形由曲线C和曲线C 围成，两者关于y=−x对称.
3
直线y=x+b与曲线C相交，联立方程化简得x2−4x−4b=0，且交点在第二象限，
所以 ，故 ，所以交点坐标 .
x<0 x=2−2❑√1+b (2−2❑√1+b,2−2❑√1+b+b)
由于“花瓣”图形仅限阴影部分区域，故−4≤2−2❑√1+b≤0，即1≤❑√1+b≤3.
由于C 与C关于直线y=−x对称，直线y=x+b亦关于直线y=−x对称，
3
所以直线 与 的交点坐标为 .
y=x+b C (2❑√1+b−2−b,2❑√1+b−2)
3
故弦长
l=❑√2|4+b−4❑√1+b)
设 ，则 ，故 .
❑√1+b=m 1≤m≤3 l=❑√2|m2−4m+3)=❑√2|(m−2) 2−1)
因此当m=1或3时，即b=0或8时，直线y=x+b与两曲线交于一点，弦长为0；
当m=2时，即b=3时，弦长最长，此时l=❑√2>1.4.故弦长的取值可能为1.4.故D正确.
故选：BCD.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）（2025·广西·模拟预测）已知向量⃗a，⃗b满足|⃗a|=1，|⃗b|=2，且|2⃗a−⃗b|=2，则|⃗a+⃗b|=
．
【答案】❑√7【解题思路】由 两边平方，结合数量积的性质及条件可求 ，再由 结合
|2⃗a−⃗b|=2 ⃗a⋅⃗b |⃗a+⃗b|=❑√(⃗a+⃗b) 2
数量积性质求结论.
【解答过程】因为 ，所以 ，
|2⃗a−⃗b|=2 (2⃗a−⃗b) 2=4⃗a2−4⃗a⋅⃗b+⃗b2=4
又|⃗a|=1，|⃗b|=2，所以⃗a⋅⃗b=1，
所以 ．
|⃗a+⃗b|=❑√(⃗a+⃗b) 2=❑√⃗a2+2⃗a⋅⃗b+⃗b2=❑√7
故答案为：❑√7.
13．（5分）（2025·河北秦皇岛·模拟预测）设 ，若曲线 在点 处的切线也是
a≠0 f (x)=aln(x−1) (2,f (2))
曲线g(x)=eax−2的切线，则a= ．
1
【答案】
2
【解题思路】首先根据题意求出切线方程，然后对g(x)求导，根据斜率值和切点的函数值求出a的值.
a
【解答过程】因为f'(x)= ，所以f'(2)=a,f (2)=aln1=0.
x−1
所以曲线 在点 的切线方程为： .
f (x) (2,f (2)) y=a(x−2)
因为 ，设曲线 与该切线的切点为 .
g'(x)=aeax−2 g(x) (x ,a(x −2))
0 0
所以 g' (x )=aeax 0 −2=a ，所以 ax −2=0 ，即 ax =2 .
0 0 0
又 ，
g(x )=eax 0 −2=a(x −2)=2−2a=e0
0 0
1
所以a= .
2
1
故答案为： .
2
14．（5分）（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，
小球与大球、正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为 .【答案】❑√6π
【解题思路】根据题干信息画出示意图，根据正四面体的特征分别计算出大小球半径即可求出小球的体积.
【解答过程】如图所示，设O为大球的球心，大球的半径为R，大正四面体的底面中心为E，棱长为
AB=12，高为ℎ，CD的中点为F，
连接OA,OB,OC,OD,OE,BF，
2 ❑√3 ❑√6
则BE= BF= ×12=4❑√3，ℎ=AE=❑√AB2−BE2= ×12=4❑√6，
3 3 3
∵V =4V ，
正四面体 O−ABC
1 1
∴ S ·ℎ=4× S ·R，
3 △ABC 3 △ABC
1
∴R= ℎ=❑√6，
4
设小球的半径为r，小球也可看作一个小的正四面体的内切球，
且小正四面体的高 ，
ℎ =ℎ−2R=2❑√6
小
1 1 ❑√6
∴r= ℎ = ×2❑√6= ，
4 小 4 2
4 4 ❑√6 3
∴小球的体积为： πr3= π×( ) =❑√6π，
3 3 2
故答案为：❑√6π.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（13分）（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数 .
f(x)=❑√3sin2x+2cos2x−1
π
(1)求函数f(x)的单调递增区间及在[0, ]上的值域；
2
2
(2)若θ为锐角且f(θ)=− ，求cos2θ的值.
5
π π
【答案】(1)单调递增区间为[− +kπ, +kπ](k∈Z)，值域为[−1,2]
3 6
6❑√2+1
(2)−
10
【解题思路】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解.
（2）由（1）的信息，利用同角公式及差角余弦公式求解.
π
【解答过程】（1）依题意，函数f(x)=❑√3sin2x+cos2x=2sin(2x+ )
6
π π π π π
由− +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z，解得− +kπ≤x≤ +kπ,k∈Z，
2 6 2 3 6
π π
所以函数f(x)的单调递增区间为[− +kπ, +kπ](k∈Z)；
3 6
π π π 7 7π π
由0≤x≤ ，得 ≤2x+ ≤ π，f(x) =2sin =−1,f(x) =2sin =2，
2 6 6 6 min 6 max 2
π
所以当x∈[0, ],f(x)的值域为[−1,2].
2
π 2 π 1
（2）由（1）知，f(x)=2sin(2x+ )，由f(θ)=− ，得sin(2θ+ )=− <0，
6 5 6 5
π π π 7π π 7π
由θ∈(0, )，得2θ+ ∈( , )，所以2θ+ ∈(π, )，
2 6 6 6 6 6
π √ 1 2 2❑√6，
cos(2θ+ )=−❑1−(− ) =−
6 5 5
π π π π π π
所以cos2θ=cos[(2θ+ )− ]=cos(2θ+ )cos +sin(2θ+ )sin
6 6 6 6 6 6
2❑√6 ❑√3 1 1 6❑√2+1
=− × +(− )× =− .
5 2 5 2 10
16．（15分）（2025·四川广安·模拟预测）已知椭圆 x2 y2 上任意一点 到 的两个焦点
C: + =1(a>b>0) P C
a2 b2的距离之和为 .
F (−2❑√2,0),F (2❑√2,0) 4❑√3
1 2
(1)求C的方程；
1
(2)已知直线l:y= x+m与C相交于A，B两点，若|AB)=5，求m的值.
3
x2 y2
【答案】(1) + =1
12 4
(2)±❑√2
【解题思路】（1）根据题意得到关于a,b,c的方程组，解出即可；
（2）先联立直线方程和椭圆方程，得出根与系数的关系，再结合弦长公式代入计算求解参数.
【解答过程】（1）由题意可得 { c=2❑√2 ) ，解得{a2=12)，
2a=4❑√3
b2=4
a2=b2+c2
x2 y2
故C的方程为 + =1.
12 4
{x2
+
y2
=1)
（2）联立 12 4 ，得4 x2+2mx+3m2−12=0 .
1 3
y= x+m
3
4 16
Δ=4m2−4× (3m2−12)>0，解得m2< .
3 3
3m
{ x +x =− )
设 ，则 1 2 2 ，
A(x ，y )，B(x ，y )
1 1 2 2 9m2−36
x x =
1 2 4
|AB)=❑
√
1+
(1) 2
❑√(x +x ) 2−4x x
3 1 2 1 2
❑√10 √ 3m ❑√10 √ 27m2 ，
= ×❑（− ） 2−（9m2−36）= ×❑36− =5
3 2 3 4
解得m=±❑√2，即m的值为±❑√2.17．（15分）（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，平面SAC⊥平面ACB，△SAC是边长为4❑√3的等边三
角形，△ACB为直角三角形，∠ACB=90°，BC=4，
(1)当M为AB的中点时，求三棱锥M−BCS的体积；
(2)求二面角A−SB−C的正弦值.
【答案】(1)8❑√3；
2❑√39
(2) .
13
【解题思路】（1）连接SM，MC，作AC的中点N，连接SN，根据面面垂直的性质定理得SN是三棱锥
S−ABC的高，再应用棱锥的体积公式求三棱锥M−BCS的体积；
（2）连接MN，根据已知构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，求相关平面的法向量，再应用
向量法求夹角余弦值，进而得到其正弦值.
【解答过程】（1）如图，连接SM，MC，作AC的中点N，连接SN，
△SAC是边长为4❑√3的等边三角形，N是AC的中点，所以SN=6，SN⊥AC，
平面SAC⊥平面ACB，平面SAC∩平面ACB=AC，SN⊂平面SAC，
根据面面垂直的性质定理知SN⊥平面ABC，所以SN是三棱锥S−ABC的高，
1 1 1 1
由题意知：V = V = × × ×4×4❑√3×6=8❑√3，
M−BCS 2 S−ABC 2 3 2
故三棱锥M−BCS的体积为8❑√3.（2）连接MN，在△ACB中，AC⊥BC，MN//BC，所以MN⊥AC，
结合（1）易知SN，MN，AC两两垂直，建立空间直角坐标系N−xyz，如图，
∴ ， ， ， ，
A(2❑√3,0,0) B(−2❑√3,4,0) S(0,0,6) C(−2❑√3,0,0)
∴ ， ， ，
⃗SB=(−2❑√3,4,−6) ⃗SC=(−2❑√3,0,−6) ⃗SA=(2❑√3,0,−6)
设 ， 分别是面ASB、面CSB的法向量，
⃗n =(x ,y ,z ) ⃗n =(x ,y ,z )
1 1 1 1 2 2 2 2
则
{⃗n
1
⋅⃗SB=−2❑√3x
1
+4 y
1
−6z
1
=0)，令
z =1 ，则 ⃗n =(❑√3,3,1) ，
⃗n ⋅⃗SA=2❑√3x −6z =0 1 1
1 1 1
{⃗n
2
⋅⃗SB=−2❑√3x
2
+4 y
2
−6z
2
=0)，令
z =1 ，则 ⃗n =(−❑√3,0,1) ，
⃗n ⋅⃗SC=−2❑√3x −6z =0 2 2
2 2 2
所以 ， ， ，
⃗n ⋅⃗n =−2 |⃗n )=❑√13 |⃗n )=2
1 2 1 2
−2 ❑√13 2❑√39
∴⃗n 与⃗n 所成的角的余弦值为cosθ= =− ，正弦值为sinθ= ，
1 2 2❑√13 13 13
2❑√39
故二面角A−SB−C的正弦值为 .
13
18．（17分）（2025·四川巴中·模拟预测）已知函数f (x)=ax+lnx+1.
(1)当a<0时，求函数f (x)的单调区间；
(2)讨论函数f (x)的零点的个数；
(3)对于任意的x>0, f (x)<xe2x恒成立，求a的取值范围.
( 1) ( 1 )
【答案】(1)单调递增区间是 0,− ，单调递减区间是 − ,+∞
a a
(2)答案见解析
(3)(−∞,2)
【解题思路】（1）先求定义域，求导，令f′(x)>0, f′(x)<0，求可得单调区间；
lnx+1
（2）参变分离，研究g(x)=− ，x>0的单调性，分类讨论进而可求解；
x
（3）参变分离，构造函数，求其单调性，最终求出极值，最值，求得实数a的取值范围.
1
【解答过程】（1）函数f (x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=a+ (x>0)，
x
由题意，a<0，1 1 1 1
令f′(x)=a+ >0，解得0<x<− ；令 f′(x)=a+ <0，解得x>− .
x a x a
( 1) ( 1 )
所以，f (x)的单调递增区间是 0, − ，单调递减区间是 − , +∞ .
a a
lnx+1
（2）f (x)定义域为(0, +∞)，由f (x)=ax+lnx+1分离参数，得a=− .
x
lnx+1
令g(x)=− ，
x
函数f (x)的零点的个数即为g(x)与直线y=a的交点个数即为原函数零点个数.
lnx
求导得，g′(x)= ，令g′(x)=0，解得x=1.
x2
当0<x<1时，g′(x)<0，所以g(x)在(0, 1)上单调递减；
当x>1时，g′(x)>0，所以g(x)在(1, +∞)上单调递增.
所以，g(x) =g(1)=−1.
min
(1) 1 1
又因为g =0，所以，当0<x< 时，g(x)>0；当x> 时，g(x)<0，
e e e
又x→+∞时，g(x)→0.
当a<−1时，g(x)与直线y=a无交点，即函数f (x)无零点；
当a=−1或a≥0时，g(x)与直线y=a有一个交点，则函数f (x)有一个零点；
当−1<a<0时，g(x)与直线y=a有两个交点，则函数f (x)有两个零点.
综上所述：当a<−1时，函数f (x)无零点；
当a=−1或a≥0时，函数f (x)有一个零点；
当−1<a<0时，函数f (x)有两个零点.
（3）设s(x)=lnx+2x，则s(x)在(0,+∞)上为增函数，
(1) 2
而s = −1<0，s(1)=1>0，故s(x)在(0,+∞)有唯一解x .
e e 0
xe2x−lnx−1
而由题设可得任意的x>0, a< 恒成立.
x
令 ，则 ，
φ(x)=ex−x−1 φ′ (x)=ex−1
当 时， ，函数 在 上单调递减，
x<0 φ′ (x)<0 φ(x)=ex−x−1 (−∞,0)
当 时， ，函数 在 上单调递增，
x>0 φ′ (x)>0 φ(x)=ex−x−1 (0,+∞)
所以φ(x)≥φ(0)，所以ex−x−1≥0，所以ex≥x+1，当且仅当x=0时取到等号，所以当x>0时，有xe2x=elnxe2x=elnx+2x≥(lnx+2x)+1，
当且仅当lnx+2x=0，也就是当x=x 时取等号.
0
xe2x−lnx−1 (lnx+2x)+1−lnx−1 2x
所以 ≥ = =2，当且仅当x=x 时取等号.
x x x 0
所以a<2，故a的取值范围是(−∞, 2).
19．（17分）（24-25高三上·浙江杭州·期末）阿尔法狗(AlphaGo)是谷歌公司开发的人工智能程序，它第
一个战胜了围棋世界冠军.它可以借助计算机，通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策.工
程师分别用人类围棋对弈的近100万、500万、1000万种不同走法三个阶段来训练阿尔法狗(AlphaGo)，
三个阶段的阿尔法狗(AlphaGo)依次简记为甲、乙、丙.
(1)测试阶段，让某围棋手与甲、乙、丙三个阿尔法狗(AlphaGo)各比赛一局，各局比赛结果相互独立.已知
1 1 1
该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 ， ， .记该棋手连胜两局的概率为p，试判断该棋手在第
2 3 4
二局与谁比赛p最大，并写出判断过程.
(2)工程师让甲和乙进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比
另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，
且每局比赛结果相互独立.
（ⅰ）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望E(X)的最大值;
（ⅱ）若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事M，证明： α2
P(M)= .
α2+β2
【答案】(1)在第二局与甲比赛 p最大，判断过程见解析
13
(2)（i）分布列见解析， ；（ii）证明见解析
4
1 1 1
【解题思路】（1）棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记p = ，p = ，p = ，分别求得在第二盘与
1 2 2 3 3 4
甲、乙、丙比赛连胜两局的概率，即可求解.
（2）（ⅰ）求出X所有可能值，利用相互独立事件与互斥事件概率运算求得相应的概率，列出分布列并
求得期望，再利用基本不等式并结合二次函数性质即可求得期望的最大值；（ⅱ）设事件A，B分别表示
每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”，则P(M)=P(AA)⋅1+P(BB)⋅0+P(AB)⋅P(M)+P(BA)⋅P(M)
，利用相互独立事件概率运算即可求解.
【解答过程】（1）该棋手在第二局与甲比赛p最大，1 1 1 1 1 1
该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 ， ， ，记p = ，p = ，p = ，
2 3 4 1 2 2 3 3 4
该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
1
记该棋手在第二盘与甲比赛连胜两局的概率为p ，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为 ，
甲 2
则
1 1 5
p = [(1−p )p p +p p (1−p )]+ [(1−p )p p +p p (1−p )]=p (p +p )−2p p p =
甲 2 2 1 3 2 1 3 2 3 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 3 24
，
1
同理，该棋手在第二盘与乙比赛连胜两局的概率p =p (p +p )−2p p p = ，
乙 2 1 3 1 2 3 6
1
该棋手在第二盘与丙比赛连胜两局的概率p =p (p +p )−2p p p = ，
丙 3 1 2 1 2 3 8
因为p >p >p ，所以该棋手在第二局与甲比赛 p最大.
甲 乙 丙
（2）（ⅰ）因为没有平局，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”或者“乙获胜”，则α+β=1，
由题意得X的所有可能取值为：2，4，5，
P(X=2)=α2+β2，
，
P(X=4)=(αβ+βα)α2+(αβ+βα)β2=2αβ(α2+β2)
P(X=5)=(αβ+βα)⋅(αβ+βα)⋅α+(αβ+βα)⋅(αβ+βα)⋅β=4α2β2，
所以X的分布列为：
X 2 4 5
P α2+β2 2αβ(α2+β2) 4α2β2
所以X的期望为：
E(X)=2(α2+β2 )+8αβ(α2+β2 )+20α2β2
，
=2(1−2αβ)+8αβ(1−2αβ)+20α2β2=4α2β2+4αβ+2
1 1 1
由1=α+β≥2❑√αβ，得αβ≤ ，当且仅当α=β= 取等号，则0<αβ≤ ，
4 2 4
1 2 13
因此E(X)=4α2β2+4αβ+2=(2αβ+1) 2+1≤(2× +1) +1= ，
4 4
13
所以E(X)的最大值为 .
4（ⅱ）设事件A，B分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”.
由题知甲最后赢得比赛的局数是偶数，
由题设可知前两局比赛结果可能是AA，BB，AB，BA，其中事件AA表示“甲赢得比赛”，事件BB表示
“乙赢得比赛”，事件AB，BA表示“甲、乙各得1分”，当甲、乙得分总数相同时，甲最后赢得比赛的
概率与比赛一开始甲赢得比赛的概率相同，
所以P(M)=P(AA)⋅1+P(BB)⋅0+P(AB)⋅P(M)+P(BA)⋅P(M)
=P(A)P(A)+P(A)P(B)P(M)+P(B)P(A)P(M)
=α2+αβP(M)+βαP(M)=α2+2αβP(M)，
α2
因此(1−2αβ)P(M)=α2，得P(M)= ，而α+β=1，
1−2αβ
所以
α2 α2 α2
P(M)= = = .
(α+β) 2−2αβ α2+2αβ+β2−2αβ α2+β2
