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新高考数学公式大全-高考复习冲刺必备
01集合与常用的逻辑用语
1.并集
运 算 性 质 ： A∪B=B∪A， A∪A=A， A∪⌀=⌀∪A=A， A⊆(A∪B)，
B⊆(A∪B)，A⊆B⇔A∪B=B
2. 交集
运 算 性 质 ： A∩B=B∩A， A∩A=A， A∩⌀=⌀∩A=⌀， (A∩B)⊆A，
(A∩B)⊆B，A⊆B⇔A∩B=A
3. 补集
运算性质：
∁U
A⊆U，
∁U
U=⌀，
∁U
⌀=U，
∁U
(
∁U
A)=A，A∪(
∁U
A)=U，A∩(
∁U
A)=⌀
4.德·摩根定律
（1） (A∩B)=( A)∪( B)；
∁U ∁U ∁U
（2） (A∪B)=( A)∩( B).
∁U ∁U ∁U
5.常用的正面叙述词语和它的否定词语.
原词语 等于(=) 小于(<) 都是 至少有一个 至多有一个 至多有n个
否定词语 不 等 于 不 小 于 不都是 一个也没有 至少有两个 至少有(n+1)个
(≠) (≥)
02等式与不等式
1.不等式的性质
2.基本不等式：两个重要不等式
不等式 变形形式 等号成立的条件
a2+b2≥2ab(a，b∈R) a2+b2 当且仅当a=b
ab≤
2
a+b (a+b) 2 当且仅当a=b
基本不等式： √ab≤ (a， a+b≥2√ab，ab≤
2 2
b>0)均值不等式串
调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数.
*绝对值不等式
， 当且仅当 ab≤0 时左边等号成立，ab≥0 时右边等号成立
3.柯西不等式
二维柯西不等式的向量形式
二维柯西不等式的概率形式
三维柯西不等式
4.伯努利不等式
5.权方和不等式5.不等式倒数和分数性质
03函数性质与指对幂函数
2.函数的单调性
∀x
1
，x
2
∈D，当x
1
<x
2
时，都有f(x
1
)<f(x
2
)，函数f(x)在区间D上单调递增
∀x
1
，x
2
∈D，当x
1
<x
2
时，都有f(x
1
)>f(x
2
)，函数f(x)在区间D上单调递减
2.奇函数、偶函数的定义
偶函数：f(-x)=f(x)，奇函数：f(-x)=-f(x)
【周期性和对称性】
6.实数指数幂的运算性质
1. aras= ar+s(a>0，r，s∈R)；
2. (ar)s=ars(a>0，r，s∈R)；
3. (ab)r=arbr(a>0，b>0，r∈R).
ar
4. 拓展： =ar-s(a>0，r，s∈R).
as
8.对数与指数的关系
当a>0，a≠1时，ax=N⇔x=log
a
N，这是指数式与对数式互化的依据相关结论如下：
(1)负数和0没有对数；
(2)log 1=0，log a=1(a>0，且a≠1)；
a a
(3) =N，log aN=N(a>0，且a≠1，N>0).
a
9、对数的运算性质1. 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么
M
(1)log (M·N)=log M+log N；(2)log =log M-log N；(3)log Mn=nlog M (n∈R).
a a a aN a a a a
10、对数换底公式
log b
1. 对数换底公式：log b= c (a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1).
a log a
c
1 m
2. 相关结论：log b= ，log bm= log b(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1；n≠0).
a log a an n a
b
13.函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，
函数y=f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)=0，这个c也
就是方程f(x)=0的解.
04复数
1.复数的模
|z|=|a+bi|= √a2+b2
2.复数的加法与减法
设z=a+bi，z=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么(a+bi)+(c+di)=(a+c)+
1 2
(b+d)i，(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
复数加法的运算律：对任意z，z，z∈C，有z+z=z+z，(z+z)+z=z+(z+z).
1 2 3 1 2 2 1 1 2 3 1 2 3
3.复数的乘法法则
（1）设z=a+bi，z=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)
1 2
(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
2. 复数乘法的运算律
①交换律：zz=zz；②结合律：(zz)z=z(zz)；③分配律：z(z+z)=zz+zz.
1 2 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 39.复数的除法运算
ac+bd bc-ad
复数的除法法则：(a+bi)÷(c+di)= + i(a，b，c，d∈R，且c+di≠0).
c2+d2 c2+d2
10. 共轭复数的性质
(1)z·z=|z|2=|z|2；(2)如果z=z，则z， z为实数；
(3)共轭复数的和为实数，即z+z=2a；
(4) z +z =z +z ；(5) z z =z z .
1 2 1 2 1 2 1 2
11.in(n∈N)的周期性及其应用
虚数单位i的乘方具有周期性，最小正周期为4，有以下结论
1
(1)i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(n∈N)，其中i0=1，i-n= (n∈N).
in
(2)i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N).
05平面向量
1.向量的线性运算
运算 注意 法则（或几何意义） 运算律
①交换律
a+b
三角形法则：首 b b a+b
加法
尾相连 ②结合律
a a
三角形法则平行四边形法则
a-b
b
三角形法则：共
减法 起点，连终点，
指向被减向量 a
三角形法则
（1）
实数 的正负决
（2）当 时， 与 的方向相同；当
数乘 定方向的同，
时， 与 的方向相反；
反。
当 时，
2.向量共线定理、平面向量基本定理
（1）共线向量定理（一维）
如果 ，则 ；反之，如果 且 ，则一定存在唯一的实数 ，
使 ．（2）平面向量基本定理（二维）
有且只有一对实数 使 ，若 不共线，称 基底。
为
3.向量的三角不等式
图1 图2 图3
|| |-| ||<| + |<| |+| |.
4.平面向量的数量积
1. · ，即 · =| || |cos θ.
2. 规定：零向量与任一向量的数量积为0.
5.投影向量
→ → →
1. 如图，设 ， 是两个非零向量， AB= ， CD= ，过AB的起点A和终点B，分别
→ →
作CD所在直线的垂线，垂足分别为A ，B ，得到A B ，则称上述变换为向量 向向量
1 1 1 1
→
投影， A B 叫做向量 在向量 上的投影向量.
1 1
2. 设与 方向相同的单位向量为 ， 与 的夹角为θ，则向量 在向量 上的投影向
量是| |cos θ .
6.向量数量积的性质
1. 设 ， 是非零向量，它们的夹角是θ， 是与 方向相同的单位向量，则
(1) · = · =| |cos θ.
(2) ⊥b⇔ · =0.
(3)当 与 同向时， · =| || |；当 与 反向时， · =-| | |.√a⋅a
特别地， · =| |2或| |= .
(4)|a· |≤|a|| |.
7.向量数量积的运算律
(1) · = · ；(2)(λ )· =λ( · )= ·(λ )；(3)( + )· = ·
+ · .
8.向量数量积的运算及性质
(1)( ± )2=| ± |2=| |2±2 · +| |2= 2±2 · + 2；
(2) 2- 2=( + )·( - )=| |2-| |2；
(3)( + )2+( - )2=2(| |2+| |2)；
(4) 2+ 2=0⇔ = =0.
9.平面向量共线的坐标表示
设 =(x，y)， =(x，y)，其中b≠0，则向量 ， 共线的充要条件是xy-xy=0.
1 1 2 2 1 2 2 1
10.向量模、夹角的坐标表示
√x2+ y2
(1)向量模的公式：设 =(x，y)，则 | |= .
→
若表示向量a的有向线段的起点和终点分别为A(x，y)，B(x，y)，则| |=|AB|=
1 1 2 2
√(x -x ) 2+(y - y ) 2
2 1 2 1
(2) 向量的夹角公式：设两个非零向量 =(x ，y)， =(x ，y)， 与 的夹角为θ，
1 1 2 2
则
x x + y y
a⋅b
1 2 1 2
cos θ= = .
|a||b| √x2+ y2√x2+ y2
1 1 2 2
15.平面向量数量积的几何意义
（3）数量积的运算律
已知向量 、 、 和实数 ，则：
① ；② ；③ ．
（4）数量积的性质设 、 都是非零向量， 是与 方向相同的单位向量， 是 与 的夹角，则
① ．② ．
③当 与 同向时， ；当 与 反向时， ．
特别地， 或 ．
④ ．⑤ ．
（5）相关运算和坐标运算对比
已知非零向量 ， ， 为向量 、 的夹角．
结论 几何表示 坐标表示
模
数量积
夹角
的充要条件
的充要条件
与 (当且仅
的关系 当 时等号成立)
06三角函数与解三角形
一、三角函数
1.弧度制
2.同角三角函数的基本关系
1. 公式：
sinθ
cosθ
， = ，
2. 深化公式：3.【常见三角不等式】
（1）若 ，则 .（对比三角函数线）
(2) 若 ，则 .（辅助角公式）
(3) .（三角形两边和大于第三边）
4.诱导公式 （奇变偶不变，符号看象限）
二、三角恒等变换
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
;
;
.
3. 辅助角公式：
4. 二倍角的正弦、余弦、正切公式
.
.
.
5. 升幂公式、降幂公式
万能公式6. 函数
振幅：A，周期： 频率： 相位： 初相：
，
，
，
对函数 函数图像的影响
（1） >1时，横坐标缩短为原来的 倍，0< <1时，横坐标伸长为原来的 倍；
（2） 的影响横坐标的横向平移，左加右减；
（3）A影响纵坐标的最大值和最小值.
三、解三角形
1. 正弦定理
变形形式：
2. 余弦定理
变形形式：
3. 三角形中常用结论
（1）
（2）大角对大边，大边对大角
（3）在斜三角形ABC中，
（4）三角形内角常用的三角恒等式：(5)三角形中的射影定理：
4. 三角形面积公式
07数列
1.利用Sn与an的关系求数列的通项公式
{S ，n=1，
1
a=
n S -S ，n≥2.
n n-1
2.等差数列
递推公式：a -a =d(n∈N*)或a -a =d(n≥2，n∈N*)
n+1 n n n-1
a+b
中项性质： a，A，b成等差数列⇔2A=a+b⇔A= .
2
通项公式：a =a +(n-1)d.
n 1
等差数列前n 项和公式
n(a +a )
1. 已知首项、末项与项数，则 S = 1 n . 已知首项、公差与项数，则 S =na +
n n 1
2
n(n-1)
d.
2
3.等比数列
a a
递推公式： n+1=q(n∈N*)或 n =q(n≥2，n∈N*)，通项公式：a =a qn-1.
a a n 1
n n-1
中项性质：在等比数列{a}中，若k+l=m+n(k，l，m，n∈N*)，则a a =a a . 特别地，若
n k l m n
m+n=2r
(m，n，r∈N*)，则a a =a2.
m n r
等比数列的前n 项和公式
已知量 首项、公比与项数 首项、末项与公比求和公式 S n = { a -a q
{ a 1 (1-qn ) (q≠1)， S n = 1 1-q n (q≠1)，
1-q na (q=1)
1
na (q=1)
1
*一些常见的数列的前n项和公式：
7. 裂项相消法
比较常见的举例如下：
08空间向量与立体几何
直线与平面平行
1.直线与平面平行的判定定理
l⊄α，a⊂α，l∥a⇒l∥α.
2.直线与平面平行的性质定理
a∥α，a⊂β，α∩β=b⇒a∥b.
平面与平面平行
1.平面与平面平行的判定定理
a⊂α，b⊂α，a∩b=P，a∥β，b∥β⇒α∥β.
2.平面与平面平行的性质定理
α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b⇒a∥b.
直线与平面垂直
1.直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平
面垂直
符号语言 l⊥a，l⊥b，a∩b=P，a⊂α，b⊂α⇒l⊥α图形语言
2.直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行
图形语言
符号语言 a⊥α，b⊥α⇒a∥b
作用 线面垂直⇒线线平行；作平行线
平面与平面垂直
1.平面与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直
图形语言
符号语言 l⊥α，l⊂β⇒α⊥β
2.平面与平面垂直的性质定理
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的
交线，那么这条直线与另一个平面垂直
图形语言
符号语言 α⊥β，α∩β=l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β
三、空间向量
2.空间中直线、平面的平行
位置关系 向量表示
线线平行 设u
1
，u
2
分别是直线l
1
，l
2
的方向向量，则l
1
∥l 2⇔u
1
∥u 2⇔∃λ∈R，使得
u=λu
1 2
线面平行 设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n=0
面面平行 设n
1
，n
2
分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n
1
∥n 2⇔∃λ∈R，使得
n=λn
1 2
3.空间中直线、平面的垂直
位置关系 向量表示
线线垂直 设直线l 1 ，l 2 的方向向量分别为u 1 ，u 2 ，则l 1 ⊥l 2⇔u 1 ⊥u 2⇔ u 1 ·u 2 =0
线面垂直 设直线l的方向向量为 u，平面 α 的法向量为 n，则l⊥α⇔ u∥n
⇔∃λ∈R，使得u=λn
面面垂直 设平面α，β的法向量分别为n
1
，n
2
，则α⊥β⇔ n
1
⊥n 2⇔n
1
·n
2
=0
4.空间距离的向量求法
1. 直线外一点到直线的距离
PQ=√|⃗AP|2-|⃗AQ|2=√a2-(a⋅u) 2.
图① 图② 图③
2. 平面外一点到平面的距离
|⃗AP⋅n|
PQ= .
|n|
5.空间角的向量求法
空间角 向量求法 范围
异面直线l 与l 所成的 设l 与l 的方向向量分别为u，v，则
1 2 1 2 ( π]
角θ |u⋅v| 0，
cos θ=|cos<u，v>| = 2
|u||v|
直线 AB 与平面 α 所 设直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n
[ π]
成的角θ，如图① |u⋅n| 0，
，则 sin θ= |cos<u，n>| = 2
|u||n|
平面 α 与平面 β 的 设平面α，β的法向量分别为n，n，
1 2
夹角θ，如图② |n ⋅n | [ 0， π]
1 2
则cos θ=|cos<n，n>|= 2
1 2 |n ||n |
1 209计数原理与概率统计
1.排列、排列数与排列数公式
排列数公式： Am =n(n-1)(n-2)…(n-m+1) (m，n∈N*，且m≤n).
n
2.全排列、阶乘的概念及相关结论
(1)规定：0!=1. (2) Am =n!(n∈N*).
n
n!
(3) Am =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)= (n，m∈N*，且m≤n).
n (n-m)!
3.排列数及其运算
n!
1. Am =n(n-1)…(n-m+1)= (m，n∈N*，且m≤n)；
n (n-m)!
Am =nAm-1 =mAm-1 +Am
.
n n-1 n-1 n-1
Am n(n-1)(n-2)…(n-m+1) n!
1. 组合数公式： Cm = n = = (n，m∈N*，且
n Am m! m!(n-m)!
m
m≤n).
2. 规定：
C0
=1. 3. 组合数的性质：
Cm =Cn-m ；Cm =Cm +Cm-1
.
n n n n+1 n n
4.二项式定理
1. 概念：公式(a+b)n= C0 an+ C1 an-1b1+…+ Ck an-kbk+…+ Cn bn，n∈N*叫做二项式定理
n n n n
2. (a+b)n的二项展开式：C0 an+ C1 an-1b1+…+ Ck an-kbk+…+ Cn bn
n n n n
3.
二项式系数：展开式中各项的系数Ck
(k=0，1，2，…，n)
n
4. 通项：展开式的第k+1项：T = Ck an-kbk
k+1 n
5. 备注：在二项式定理中，若设a=1，b=x，则得到公式：
(1+x)n= C0 + C1 x+ C2 x2+…+ Ck xk+…+ Cn xn
n n n n n
5. 样本均值与方差
如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y，y，…，y，
1 2 n
y + y +…+ y 1 n
则称y= 1 2 n= ∑ y为样本均值，又称样本平均数. )样本方差和标准差
n n i
i=1如果一个样本中个体的变量值分别为y，y，…，y，样本平均数为y，则称
1 2 n
n
1
s2= ∑ (y-y)2为样本方差，s=√s2为样本标准差.
n i
i=1
6.百分位数
3. 计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
第1步，按从小到大排列原始数据.
第2步，计算i =n×p%.
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若
i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.
7.频率分布表、频率分布直方图及其相关的计算
2. 由频率分布表或频率分布直方图进行有关计算时，要掌握下列结论
频率
(1)小长方形的面积=组距× =频率；
组距
(2)各小长方形的面积之和等于1；
频数 频数
(3) =频率，此关系式的变形为 =样本量，样本量×频率=频数.
样本量 频率
8.样本相关系数
n
∑ (x -x)(y - y)
i i
i=1
1）. 样本相关系数：r= ，r为变量x和变量y的样本相关
√ n √ n
∑ (x -x) 2 ∑ (y - y) 2
i i
i=1 i=1
系数，有时也称样本线性相关系数.
9.一元线性回归模型
{Y =bx+a+e，
1. 把式子 称为Y关于x的一元线性回归模型. 其中，Y称
E(e)=0，D(e)=σ2
为因变量或响应变量， x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参
数，b称为斜率参数；e是Y与bx+a之间的随机误差. 如果e=0，那么Y与x之间的关系就
可用一元线性函数模型来描述.
10.经验回归方程与最小二乘法
1. 设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x，y)(i=1，2，…，n)，通
i i
n
常用各散点到直线y=bx+a的竖直距离的平方之和Q= ∑ (y -bx -a) 2 来刻画各样本观测
i i
i=1
数据与该直线的“整体接近程度”.n
{ ∑ (x -x)(y - y)
^ i i
b= i=1 ，
n
（1）当a，b的取值为 时，Q达到最小.
∑ (x -x) 2
i
i=1
^ ^
a= y-bx
^ ^ ^
（2）将y=bx+a称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图
^ ^
形称为经验回归直线. 这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的b， a叫做b，
a的最小二乘估计.
11.残差分析
残差=观测值-预测值
12.独立性检验
1）.分类变量与列联表
1. 分类变量：为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或
性质，这类随机变量称为分类变量. 分类变量的取值可以用实数表示.
2. 2× 2列联表
假设两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x，x}和{y，y}，其2×2列联表为
1 2 1 2
X Y 合计
y y
1 2
x a b a+b
1
x c d c+d
2
合计 a+c b+d a+b+c+d
2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数.
2）.独立性检验
1. 假定通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如表所示.
X Y 合计
Y=0 Y=1
X=0 a B a+b
X=1 c d c+d
合计 a+c b+d n=a+b+c+dn(ad-bc) 2
则χ2= .
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
3. χ2独立性检验中5个常用的小概率值和相应的临界值如下表所示.
α 0. 1 0. 05 0. 01 0. 005 0. 001
x 2. 706 3. 841 6. 635 7. 879 10. 828
α
13.古典概型
k n(A)
P(A)= =
n n(Ω)
其中，n(A)和n(Ω) 分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
14.概率的基本性质
性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0.
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)=1，P(⌀)=0.
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)=P(A)+P(B)，此性质可以推广到
多个事件的情况，即如果事件A，A，…，A 两两互斥，那么P(A∪A∪…∪A)=P(A)+
1 2 m 1 2 m 1
P(A)+…+P(A).
2 m
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)=1-P(A)，P(A)=1-P(B).
性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B).
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
15.概率关系
概率 A、B互斥 A、B相互独立
P(A∪B) P(A)+P(B) 1-P(A)P(B)
P(AB) 0 P(A)P(B)
P(AB) 1-[P(A)+P(B)] P(A)P(B)
P(AB∪AB) P(A)+P(B)(A、B 互斥时，AB=A， A P(A)·P(B)+P(A)·P(B)
B=B)
P(AB∪AB∪AB) 1 1-P(A)P(B)
16.条件概率
P(AB)
1. 定义：一般地，设 A，B为两个随机事件，且 P(A)>0，我们称 P(B|A)=
P(A)
为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.
2. 性质：设P(A)>0，则
(1)P(B|A)∈[0，1]，P(Ω|A)=1；
(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)；
(3)设B和B互为对立事件，则P(B|A)=1-P(B|A).17.概率的乘法公式
1. 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)P(B|A).
我们称上式为概率的乘法公式.
2. 推广：
(1)若P(AB)>0，则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).
(2) 若A(i=1，2，3，…，n)为随机事件，且P(AA…A)>0，则P(AA…A)=P(A)·
i 1 2 n 1 2 n 1
P(A|A)P(A|AA)·…·P(A|AA…A ).
2 1 3 1 2 n 1 2 n-1
18.全概率公式
1. 一般地，设A ，A ，…，A 是一组两两互斥的事件，A∪A∪…∪A=Ω，且P(A)>0，
1 2 n 1 2 n i
n
i=1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)= ∑ P(A
i
)P(B|A
i
). 称此公式为全概率
i=1
公式.
19.贝叶斯公式*
1. 设 A ，A ，…，A 是一组两两互斥的事件，A∪A∪…∪A=Ω，且 P(A)>0，i=1，
1 2 n 1 2 n i
P(A )P(B|A )
i i
2,… ,n ， 则 对 任 意 的 事 件 B⊆ Ω ， P(B)>0 ， 有 P(A
i
|B)=
P(B)
=
P(A )P(B|A )
i i
n ，
∑ P(A )P(B|A )
k k
k=1
i=1，2,…,n.
20.离散型随机变量X的分布列
1. 定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x ，x ，…，x ，我们称X取每一个
1 2 n
值x 的概率P(X=x)=p，i=1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列.
i i i
2. 分布列的表格表示
X x x … x
1 2 n
P p p … p
1 2 n
3. 离散型随机变量分布列具有的两个性质
(1)p≥0，i=1，2，…，n；(2)p+p+…+p=1.
i 1 2 n
21.两点分布(0—1分布)
1. 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”， A表示“失败”，定义
{1，A发生，
X=
0，A发生.
2. 如果P(A)=p，则P(A)=1-p，那么X的分布列如表所示.
X 0 1P 1-p p
我们称X服从两点分布或0—1分布.
22.离散型随机变量的均值
1. 定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示.
X x x … x
1 2 n
P p p … p
1 2 n
n
则称E(X)=xp+xp+…+xp=∑ xp 为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简
1 1 2 2 n n i i
i=1
称期望.
2. 性质：若X是一个离散型随机变量，则有E(aX+b)=aE(X)+b.
23.离散型随机变量的方差、标准差
1. 设离散型随机变量X的分布列如表所示.
X x x … x
1 2 n
P p p … p
1 2 n
n
则称D(X)=(x-E(X))2p+(x-E(X))2p+…+(x-E(X))2p=∑ (x-E(X))2p 为随机变量X的
1 1 2 2 n n i i
i=1
方差，并称√D(X)为随机变量X的标准差，记为σ(X).
随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量
取值的离散程度. 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机
变量的取值越分散.
离散型随机变量的方差的性质
1. 设a，b为常数，则D(aX+b)=a2D(X).
2. 均值与方差的性质公式：D(X)=E(X 2)-(E(X))2.
两点分布的方差
1. 若X服从两点分布，则D(X)=p(1-p)(其中p为成功概率).
9.离散型随机变量的方差
1. 方差概念的理解
方差刻画的是一组数据的离散程度，可按如下步骤定义随机变量的方差：
(1)计算随机变量X的可能取值与均值的偏差(x-E(X))，i=1，2，…，n.
i
(2)为避免正、负偏差相互抵消，取偏差的平方(x-E(X))2，i=1，2，…，n.
i
(3)为了体现X取各值的概率不同，定义偏差平方关于取值概率的加权平均
n
∑ (x-E(X))2P(X=x)为离散型随机变量的方差.
i i
i=1由方差的定义可以看出，本质上方差是随机变量X的函数(X-E(X))2的均值(期望)，
即 D(X)=E(X-E(X))2.
11.二项分布
1. 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示
事件A发生的次数，则X的分布列为 P(X=k)= Ck pk(1-p)n-k，k=0，1，2,…,n. 如果
n
随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n,p).
2. 二项分布的期望与方差： 一般地，如果X~B(n，p)，那么E(X)=np，D(X)=np(1-p).
12.超几何分布
1. 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件
Ck Cn-k
M N-M
(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X 的分布列为P(X=k)= ，
Cn
N
k=m，m+1，m+2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m=max{0，n-N+M}，r=min{n，
M}. 如
果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.
nM
若随机变量X服从超几何分布，则其均值E(X)= .
N
2. 若 X 服 从 参 数 为 N ， n ， M 的 超 几 何 分 布 ， 即 X~H(N ， n ， M) ， 则 D(X)=
nM(N-M)(N-n)
N2 (N-1)
16.正态分布
(x-μ)2
1 -
1. 正态曲线：函数f(x)= e 2σ2 ，x∈R. 其中μ∈R，σ>0为参数. 我们称f(x)
σ√2π
为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.
2. 正态分布：若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，
记为X~N(μ，σ2). 特别地，当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布.
10平面解析几何
一、直线
1.直线的方程形式与适用条件
名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式
方 程 形 y-y=k(x- y=kx+b y- y x y Ax+By+C=0
式 x) 0 1 = + =1 (A，B不同时为
0 y - y a b
2 1 0)
(a≠0，b≠0)x-x
1
x -x
2 1
(x≠ x ，
1 2
y≠y)
1 2
已 知 条 直线上一 斜率k，直线 直线上两点 直线在 x 轴上的非 系数A，B，C
件 定点(x ， 在 y 轴上的 (x，y)， 零截距a，直线在y
0 1 1
y)，斜率 截距b (x，y) 轴上的非零截距b
0 2 2
k
2.直线方程的斜截式、一般式与两直线的位置关系
斜截式： 一般式：
l ：y=kx+b； l ：Ax+B y+C =0(A ，B 不同时为0)；
1 1 1 1 1 1 1 1 1
l ：y=kx+b l ：Ax+B y+C =0(A ，B 不同时为0)
2 2 2 2 2 2 2 2 2
l ，l 相交 k≠k AB -A B ≠0
1 2 1 2 1 2 2 1
l 1 ∥l 2 {k =k ， {A B -A B =0，
1 2 1 2 2 1
b ≠b A C -A C ≠0
1 2 1 2 2 1
l 1 ，l 2 重合 {k =k ， {A B -A B =0，
1 2 1 2 2 1
b =b A C -A C =0
1 2 1 2 2 1
l ⊥l k·k=-1 AA+B B =0
1 2 1 2 1 2 1 2
3.距离公式
1. 两点间的距离：已知P(x，y)，P(x，y)，则|PP|=√(x -x ) 2+(y - y ) 2.
1 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1
①此公式与两点的先后顺序无关.
②原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|=√x2+ y2
2. 点到直线的距离
|Ax +B y +C|
0 0
点P(x，y)到直线Ax+By+C=0(A，B不同时为0)的距离 d= .
0 0 0 √A2+B2
3. 两条平行线间的距离：
两条平行直线l ：Ax+By+C=0与l ：Ax+By+C=0(A，B不同时为0，C≠C)间的距离 d=
1 1 2 2 1 2
|C -C |
1 2
.
√A2+B2
二、圆的方程
1.圆的标准方程与一般方程
1. 圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2，其中圆心为(a，b)，半径为r.
2. 圆的一般方程：当 D2+E2-4F>0 时，方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 为圆的一般方程，表示以
( - D ，- E) 为圆心， 1 √D2+E2-4F为半径的圆.
2 2 2
说明：对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，①当D2+E2-4F<0时，它不表示任何图形；
( D E)
②当D2+E2-4F=0时，它表示一个点 - ，- .
2 2
【注意】二元二次方程Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0表示的图形为圆时，需满足A=B≠0，C=0，
(D) 2 (E) 2 4F
且 + - >0.
A A A
2.点与圆的位置关系
1. 点M(x，y)与圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(或x2+y2+Dx+Ey+F=0)的位置关系及判断方法：
0 0
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点M在圆上 |CM|=r (x 0 -a)2+(y 0 -b)2=r2 x2 0 +y2 0 +Dx 0 +Ey 0 +F=0
点M在圆外 |CM|>r (x 0 -a)2+(y 0 -b)2>r2 x2 0 +y2 0 +Dx 0 +Ey 0 +F>0
点M在圆内 |CM|<r (x 0 -a)2+(y 0 -b)2<r2 x2 0 +y2 0 +Dx 0 +Ey 0 +F<0
3.直线与圆的位置关系
1. 设圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，直线l：Ax+By+C=0(A，B不同时为0).
|Aa+Bb+C|
圆 心 C(a ， b) 到 直 线 l的 距 离 d= . 由
√A2+B2
{ (x-a) 2+(y-b) 2=r2 ，
Ax+By+C=0，
消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2 1 0
几何法 d<r d=r d>r
代数法 Δ>0 Δ=0 Δ<0
3. 过圆上一点的切线仅有一条，可熟记下列结论
(1)若点P(x，y)在圆x2+y2=r2(r>0)上，则过点P的圆的切线方程为xx+yy=r2；
0 0 0 0
(2)若点P(x，y)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上，则过点P的圆的切线方程为
0 0
(x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)=r2；
0 0
(3)若点P(x，y)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上，则过点P的圆的切线方程为
0 0
x +x y + y
xx+yy+D· 0 +E· 0 +F=0.
0 0
2 2
4. 过圆外一点的切线有两条，可熟记下列结论
(1)若点P(x ，y)为圆x2+y2=r2(r>0)外一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，
0 0
如图1，则直线AB的方程为xx+yy=r2.
0 0(2)若点P(x，y)为圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为
0 0
A，B，如图2，则直线AB的方程为(x-a)(x-a)+(y-b)(y-b)=r2.
0 0
(3)若点P(x，y)为圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)外一点，过点P作圆的两条切线，切点
0 0
x +x y + y
分别为A，B，则直线AB的方程为xx+yy+D· 0 +E· 0 +F=0.
0 0
2 2
4.直线与圆相交的弦长及圆的中点弦问题
1. 直线与圆相交的弦长的求法
几何法 (l ) 2
利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系r2=d2+ 求解
2
代数法 若直线与圆的交点坐标易求出，则求出交点坐标，然后用两点间的距离公式计
算弦长
弦长 设直线l：y=kx+b与圆的两交点分别为(x ，y)，(x ，y)，将直线方程代入圆
1 1 2 2
公式法 的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得弦
长l=|x-x|=√(1+k2 )[(x +x ) 2-4x x ]
1 2 1 2 1 2
= √ ( 1+ 1 ) [(y + y ) 2-4 y y ] (k≠0)
k2 1 2 1 2
三、圆锥曲线
1.椭圆的标准方程与简单几何性质
焦点位置 在x轴上 在y轴上
图形
标准方程 x2 y2 y2 x2
+ =1(a>b>0) + =1(a>b>0)
a2 b2 a2 b2
性 焦点 F(-c，0)，F(c，0) F(0，-c)，F(0，c)
1 2 1 2质
焦距 |FF|=2c(c=√a2-b2)
1 2
范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a
对称性 对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点
顶点 (±a，0)，(0，±b) (0，±a)，(±b，0)
轴长 长轴(线段AA)长为2a，短轴(线段B B )长为2b
1 2 1 2
离心率 c √ b2
e= = 1- (0<e<1)
a a2
2.点与椭圆的位置关系
x2 y2
1. 已知点P(x，y)，椭圆 + =1(a>b>0)的焦点为F，F，则
0 0 a2 b2 1 2
x2 y2
①|PF
1
|+|PF
2
|=2a⇔点P在椭圆上⇔
a2
0+
b2
0=1；
x2 y2
②|PF
1
|+|PF
2
|<2a⇔点P在椭圆内部⇔
a2
0+
b2
0<1；
x2 y2
③|PF
1
|+|PF
2
|>2a⇔点P在椭圆外部⇔
a2
0+
b2
0>1.
3.直线与椭圆的位置关系
1. 联立直线与椭圆的方程，根据方程组解的情况可得直线与椭圆的公共点个数(位置关系).
x2 y2
直线y=kx+m与椭圆 + =1(a>b>0)的位置关系的判断方法：
a2 b2
{y=kx+m，
由
x2 y2
消去y(或x)得到一个一元二次方程，则
+ =1
a2 b2
位置关系 解的个数 Δ的取值
相交 两解 Δ>0
相切 一解 Δ=0
相离 无解 Δ<0
2. 弦长公式
设直线斜率为k，直线与椭圆的两交点为A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则|AB|=√1+k2·|x-x|=√1+k2·√(x +x ) 2-4x x
1 2 1 2 1 2√ 1 √ 1
或|AB|= 1+ |y-y|= 1+ √(y + y ) 2-4 y y (k≠0).
k2 1 2 k2 1 2 1 2
3. 椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆所截得的弦叫做椭圆的通径，其
2b2
长度为 .
a
4. 焦点弦：过焦点的直线与椭圆相交形成的弦. 焦点弦中通径最短.
4.双曲线的标准方程与简单几何性质
1. 双曲线的标准方程与简单几何性质
焦点位置 在x轴上 在y轴上
图形
标准方程 x2 y2 y2 x2
- =1(a>0，b>0) - =1(a>0，b>0)
a2 b2 a2 b2
性 焦点 F(-c，0)，F(c，0) F(0，-c)，F(0，c)
1 2 1 2
质
焦距 |FF|=2c(c2=a2+b2)
1 2
范围 x≤-a或x≥a y≤-a或y≥a
对称性 对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点
顶点 A(-a，0)，A(a，0) A(0，-a)，A(0，a)
1 2 1 2
轴 实轴(线段AA)的长：2a；
1 2
虚轴(线段BB)的长：2b；
1 2
实半轴长：a；
虚半轴长：b
渐近线 b a
y=± x y=± x
a b
离心率 c √ b2
e= = 1+ (e>1)
a a2
2. 等轴双曲线：实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线，其标准方程为x2-y2=±a2
(a≠0)，等轴双曲线的离心率e=√2，两条渐近线互相垂直.|a×0±b×c|
3. 双曲线的焦点到渐近线的距离d= =b.
√a2+b2
x2 y2
4. 双曲线 - =1(a>0，b>0)，右支上任意一点到左焦点的最小距离为c+a，到右焦点的
a2 b2
最小距离为c-a.
5.直线与双曲线的位置关系
1. 联立直线与双曲线的方程，根据方程解的情况可得直线与双曲线的公共点个数(位置关
x2 y2
系). 设直线l：y=kx+m(m≠0)①，双曲线C： - =1(a>0，b>0)②，
a2 b2
把①代入②得(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.
b
(1)当b2-a2k2=0，即k=± 时，直线l与双曲线C的渐近线平行,直线与双曲线相交于一点
a
b
(2)当b2-a2k2≠0，即k≠± 时，Δ=(-2a2mk) 2-4(b2-a2k2)(-a2m2-a2b2).
a
Δ>0⇒直线与双曲线有两个公共点；
Δ=0⇒直线与双曲线有一个公共点；
Δ<0⇒直线与双曲线没有公共点.
注意：与双曲线只有一个公共点的直线有两种，一种是与渐近线平行的直线，另一种是与
双曲线相切的直线.
2. 弦长公式：斜率为k的直线l与双曲线相交于A(x，y)，B(x，y)两点，
1 1 2 2
则|AB|=√1+k2·|x-x|=√1+k2√(x +x ) 2-4x x
1 2 1 2 1 2
√ 1 √ 1
或|AB|= 1+ |y-y|= 1+ √(y + y ) 2-4 y y (k≠0).
k2 1 2 k2 1 2 1 2
3. 双曲线的通径：过双曲线的焦点且垂直于实轴的直线被双曲线所截得的弦叫做双曲线的
2b2
通径，其长度为 .
a
6.抛物线的标准方程与简单几何性质
1. 抛物线的标准方程与简单几何性质11导数及其应用
1.函数在某点处的导数
f'(x )或y'| ，即f'(x )= lim ¿ Δy =Δ l x i → m 0 f(x 0 +Δx)-f(x 0 ) .
0 x=x 0 0 Δx→0 Δx Δx
2.基本初等函数的导数公式
1. 基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)=c(c为常数) f'(x)=0
f(x)=xα(α∈R，且α≠0) f'(x)=αxα-1
f(x)=sin x f'(x)=cos x
f(x)=cos x f'(x)=-sin x
f(x)=ax(a>0，且a≠1) f'(x)=axln a
f(x)=ex f'(x)=ex
f(x)=logx(a>0，且a≠1) 1
a f'(x)=
xlna
f(x)=ln x 1
f'(x)=
x
3.导数的四则运算法则名称 内容
和、差的导数 [f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)
积的导数 [f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
[cf(x)]'=cf'(x)(c为常数)
商的导数 [f(x)] f '(x)g(x)-f(x)g'(x)
'=
g(x) [g(x)] 2
(g(x)≠0)
4.复合函数的概念及其求导法则
y=f(g(x))，它的导数与函数，y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为y'=y'·u'. 即y对
x u x
x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
7.【部分同构携手放缩法】（同构放缩需有方，切放同构一起上）
【方法总结】在学习指对数的运算时，曾经提到过两个这样的恒等式：
(1)当a＞0且a≠1时，有 ，(2)当a＞0且a≠1时，有
再结合指数与对数运算法则，可以得到下述结论(其中x＞0) (“ex”三兄弟与“lnx”三姐
妹)
(3) ， (4) ，
，
(6) ，
再结合常用的切线不等式： ， ， ， 等，得到更多的结论
(7) ， ．
， ．
(8) ，
，
(9) ，
，
1．地位同等同构（主要针对双变量，合二为一泰山移）(1) >k(x<x) f(x)－f(x)<kx－kx f(x)－kx<f(x)－kx y＝f(x)－kx为增函数；
1 2 1 2 1 2 1 1 2 2
(2) <(x<x) f(x)－f(x)>＝－ f(x)＋>f(x)＋ y＝f(x)＋为减函数；
1 2 1 2 1 2
2．指对跨阶同构（主要针对单变量，左同右同取对数）(1)积型：
如， ，后面的转化同(1)
(2)商型：
(3)和差：
如； ．
3．无中生有同构（主要针对非上型，凑好形式是关键）
(1) ；
(2)
；
(3) ．
*指数均值不等式与对数均值不等式
（1）指数均值不等式： 对于实数a,b,定义为a,b的指数平均数,则（当且仅当a=b时，等号成立）
（2）对数均值不等式：对于a,b两个正数的对数平均线，则有
（当且仅当a=b时，等号成立）
8. 微分中值定理
推论：如果在 内恒有 ，则在 内 为常数.罗尔定理图示 拉格朗日中值定理图示
9. 泰勒公式
泰勒（Taylor）公式的主要作用是用多项式逼近函数和近似计算，对应的分别时带有皮
亚诺余项的泰勒公式和带有拉格朗日余项的泰勒公式。
带有皮亚诺余项的泰勒公式
若函数 在点 处存在直至n阶导数，则有
用得比较多的是在 时的特殊形式：
它称为带有皮亚诺余项的麦克劳林公式.
常用的泰勒公式（带有皮亚诺余项）由泰勒公式，我们得到下列常用的不等式：
*高中常用的泰勒公式（麦克劳林公式）如下：
8. 切线放缩
