文档文本内容
第六章 数列（综合训练）
参考答案
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
D B D C B D C A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
BCD ABC ACD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．12
13．11
14．①②④
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．【详解】（1）当 时， ，..............................................................................................1分
当 时， ，有 ，
整理有 ，即有 ，.........................................................3分
由 ，所以 ，所以数列 是等比数列..............................................4分
（2）由（1）知， ，即 ，
当 时， ， ……， ，相加有 ，
所以有 ，............................................................................................................................................7分
当 时也成立，从而 ，...............................................................................................................8分
记数列 的前 项和为 ，则 ，
，①
可得 ，②........................................................................................................10分
① ②， ，
所以 ，..........................................................................................................................................12分
故 ..............................................................................................................................13分
16．【详解】（1）由等差数列性质得： ①，
当 时， ，解得 ，....................................................................................................1分
当 时，有： ②，
①-②得： ，
整理得： ，..........................................................................4分
因此 是首项为 ，公比为2的等比数列，
故 .......................................................................................................................6分
（2）设 ，代入 得： ，因此 ， 是首项为 ，公差为 的等差数列，..................................................8分
令 ，即 ，得 ， 为正整数，
故所有 的 都在 中（ 小于 ，不在 中），
要得到 的前30项，即从 前 项中去掉 个属于 的项，满足 ，
去掉的项为 ，共 个（ ，故 不在 的前35项中），
故 ，即 的前30项和等于 前35项和减去5个 的和，.......................................11分
前35项和： ，.............................................................................13分
去掉的5个 的和： ，
因此 .........................................................................................................15分
17．【详解】（1）由 ，当 时， ，解得 ，................................1分
当 ， ，则 ，即 ，...................................................................3分
故 是公比为3的等比数列， ，所以 ， 也适合此式， .................................5分
（2）因为 所以 ，.
从而 ，
，................................................................................................7分
两式相减得: ，
，.......................................................................................9分解得 ....................................................................................................................................10分
（3）由（1）可知： ， ，.........................12分
，.........14分
，
所以{ }为递增数列， ，
所以 ..................................................................................................................................................15分
18．【详解】（1）设 的公比为 ，且 ．
依题意得 ，............................................................................................................................2分
解得 ，......................................................................................................................................................3分
所以 ， ．...........................................................................................................5分
（2）记事件 “这三项按照原顺序排列依然构成等比数列”，
则事件 包含如下基本事件： ， ， ； ， ， ；……； ， ， ；
， ， ； ， ， ；……； ， ， ；
， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ；
， ， ； ， ， ；
则 ，...................................................................................................................................8分于是 ．................................................................................................................................10分
（3）因为 、 均为等比数列，
所以 ，..................................................................................................13分
整理得 ，
上述两式相加得 ，........................................................................................................................15分
又数列 的每项均不为0，所以 为等比数列．.................................................................................17分
19．【详解】（1）最小值为 ，.......................................................................1分
最大值为 .........................................................................................................................2分
(2) ， ， ， ，证明如下：
显然 ；
当 时， 为数列1，2，
则其完全随机数列必为2，1，
故 ；............................................................................................................................................................4分
当 时， 为数列 ，
则完全随机数列可以为 或 ，
故 ；...........................................................................................................................................................5分
当 时， 为数列 ，为得到数列 的完全随机数列，可先排1，有3种排法，比如1排到2的位置，那就再排2，也有3种排法，剩下的两个数字只有1种排
法，
由乘法原理可得 ....................................................................................................................7分
当数列 有 项时，其“完全随机数列”的排法可以分为两个步骤：
第一步：随机排 且不排在第 项的位置，有 种排法；..................................................................8分
第二步：随机排其余 项，根据第一步的排法，可以分为两类；
第一类：若. 排在第 项的位置，但 不排在第 项的位置，这样的排法有 种；
第二类：若 排在第 项的位置， 排在第 项的位置，这样的排法有 种，.....10分
所以由计数原理得 ，又 ，
所以 ，..............................................................12分
所以数列 是公比为 的等比数列...................................................................................13分
(3)证明如下：
由（2）得 ，
所以 ，
，
，
，
以上各式相加可得 ，所以 ，.........................................................................................................15分
又数列 的随机数列的个数为 ，
所以 ...........................................................................17分
