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专题04 有理数混合运算的四种考法
类型一、含乘方与绝对值的混合运算
例1．
【答案】
【分析】先计算乘方，再进行加减运算．
【详解】解：
【点睛】本题考查含乘方的有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则并正确计算．
例2．计算：
．
【答案】
【分析】按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法的运算顺序求解即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【变式训练1】计算：
【答案】
【分析】根据有理数的乘方运算可进行求解．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，熟练掌握有理数的乘方运算是解题的关
键．
【变式训练2】计算：
【答案】
【分析】先算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加减，按这个运算顺序计算即可.
【详解】解：
.
【点睛】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算顺序和运算法则
是解题的关键.
【变式训练3】计算：
．
【答案】
【分析】根据有理数的混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键．
【变式训练4】计算：
【答案】
【分析】先根据平方运算、绝对值运算、
计算，再由有理数加减运算法则求解即可得
到答案．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查有理数加减混合运算，涉及平方运算、绝对值运算、
计算，熟练掌
握相关运算法则是解决问题的关键．
类型二、简便运算问题
例1．用简便算法计算：
(1)
(2)
【答案】(1)
；(2)
【分析】（1）将
改写为
，再用乘法分配律进行计算即可；
（2）将
改写为
，再根据乘法分配律的逆用，进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【点睛】本题主要考查了有理数的简便运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺
序和运算法则，加法运算律和乘法运算律在有理数范围依然适用．
例2.计算：
【答案】15
【分析】根据有理数的混合运算法则，通过有理数的简便计算即可求出答案.
【详解】解：原式
故答案为：15.
【点睛】本题考查了用有理数的乘法分配律的简便运算解出答案.是否能熟练掌握分配律的
简便计算是解这题的技巧.
【变式训练1】用简便方法计算下列各题：
(1)
．
(2)
．
【答案】(1)
；(2)
【分析】（1）根据题意
，再根据乘法分配律
即可解答；
（2）先将
，再利用乘法分配律即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算法则，有理数乘法的分配律，熟记有理数乘法的分
配律是解题的关键．
【变式训练2】计算：
【答案】26
【分析】先将除法转换成乘法，然后根据利用乘法分配律计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则及运算律是解题关键．
【变式训练3】简便计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）
（2）
（3）
（4）
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键．混
合运算的顺序是先算乘除，后算加减；同级运算，按从左到右的顺序计算．如果有括号，
先算括号里面的，并按小括号、中括号、大括号的顺序进行．有时也可以根据运算定律改
变运算的顺序．
类型三、实际应用
例．2019 年国庆，全国从1 日到7 日放假七天，各地景区游人如织，其中大同云冈石窟景
区，在9 月30 日的游客人数为0.9 万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表
（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）．
日期
10 月1
日
10 月2
日
10 月3
日
10 月4
日
10 月5
日
10 月6
日
10 月7
日
人数变化（万
人）
（1）10 月3 日的人数为__________万人．
（2）七天假期里，游客人数最多的是哪天，多少万人？
（3）请问大同云冈石窟风景区在这七天内一共接待了多少游客？
【答案】（1）5.2；（2）人数最多的是10 月2 日，达到5.78 万人；（3）25.23 万人
【分析】（1）将0.9 加上10 月1，2，3 的变化量可求解；
（2）分别计算每天的游客数量即可求解；
（3）将每天的变化量的绝对值相加可求解总游客数．
【详解】解：（1）0.9+3.1+1.78-0.58=5.2（万人），
故10 月3 日的人数为5.2 万人；
故答案为5.2；
（2）10 月1 日游客人数为：0.9+3.1=4（万人）；
10 月2 日游客人数为：4+1.78=5.78（万人）；
10 月3 日游客人数为：5.78-0.58=5.2（万人）；
10 月4 日游客人数为：5.2-0.8=4.4（万人）；
10 月5 日游客人数为：4.4-1=3.4（万人）；
10 月6 日游客人数为：3.4-1.6=1.8（万人）；
10 月7 日游客人数为：1.8-1.15=0.65（万人）；
故七天假期里，游客人数最多的是10 月2 日，达到5.78 万人；
（3）4+5.78+5.2+4.4+3.4+1.8+0.65=25.23（万人），
答：大同云冈石窟风景区在这七天内一共接待了25.23 万游客．
【点睛】本题主要考查有理数的加减法混合运算，读懂题意是解题的关键．
【变式训练1】小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具
个，
平均每天生产
个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入。下表是小明
妈妈某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）
星期
一
二
三
四
五
六
日
增减产量
（1）根据记录的数据，小明妈妈星期三生产玩具_____个，本周实际生产玩具______个．
（2）该厂实行“每日计件工资制”，每生产一个玩具可得工资元，若超额完成任务，则
超过部分每个另奖元；少生产一个则倒扣
元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少
元？
（3）若将上面第（2）问中“实行每日计件工资制”改为“实行每周计件工资制”，其他
条件不变，在此方式下小明妈妈这一周的工资与按日计件的工资哪一个更多？请说明理由．
【答案】（1）
；
；（2）
元；（3）每日计件工资更多，理由见解析．
【分析】（1）用表中周三数据加上计划平均每天生产量，即得周三玩具生产量；表中每天
增减产量相加的和，再加上周规定生产量即得周实际生产量．
（２）把表中每天增减产量正的之和乘以3，负的之和乘以2，把它们相加的和再加上周实
际生产量乘以5，即得小明妈妈这一周的工资总额．
（3）先计算出实行每周计件工资制情况下小明妈妈的周工资与（2）中计算的实行每日计
件工资制下小明妈妈的周工资相比较可得——每日计件工资更多．
【详解】（1）
小明妈妈星期三生产玩具
个，
（个），
故本周实际生产玩具
个，
故答案为：
，
．
（2）
（元）
答：小明妈妈这一周的工资总额是
元
（3）
元，
每周计件一周得
元，
因为
，所以每日计件工资更多．
【点睛】本题考查有理数加减混合运算的实际应用．其关键是审清题意，弄准确其中正负
数及0 的含义，才能列出正确算式．
【变式训练2】杭州市出租车的收费标准如下：3 千米以内（含3 千米）收费11 元，超过3
千米的部分每千米收费2 元．超过起步里程10 千米以上的部分加收50%，即每千米3 元
（不足1 千米以1 千米计算）．
（1）小明有一次乘坐出租车行驶4.1 千米，他应付车费多少元？
（2）若小明乘坐出租车行驶14.9 千米，他应付车费多少元？
（3）小明家距离学校13.1 千米，他带了31 元钱，则他从学校坐出租车到家，钱够吗？如
果够，还剩多少钱？如果不够，他至少要先走多少千米的路？
【答案】（1）15；（2）37；（3）小明带的钱不够乘坐13.1 千米，他至少先走0.1 千米再
乘坐出租车．
【分析】（1） 由题意可知: 3<4.1<10，所以车费=3 千米以内的收费+超过3 千米的部分
×2；
（2）由于14.9>13，所以应付车费由三部分组成，即3 千米以内的收费十超过起步里程的
部分10 千米×2 +超过起步里程13 千米的里程数×3；
(3) 车费=基础车费+超过起步里程10 千米的车费+超过13 千米的车费，再比较应付车费和
他所带的钱数．
【详解】解：(1) 不足1 千米以1 千米计算，4.1≈5，又3 千米以内(含3 千米) 收费11 元，
超过3 千米的部分每千米收费2 元，
故车费为：11+ (5-3) ×2=15(元)，
∴小明乘坐出租车行驶4.1 千米应付车费15 元；
(2)不足1 千米以1 千米计算，14.9≈15，
又3 千米以内(含3 千米)收费11 元，超过3 千米的部分每千米收费2 元，超过起步里程10
千米以上的部分加收50%，即每千米3 元，
故车费为：11+10×2+ (15-13) ×3=37 (元)，
∴小明乘坐出租车行驶14.9 千米应付车费37 元；
(3)∵不足1 千米以1 千米计算，13.1 千米≈14 千米，
∴小明应付的车费是: 11+10×2+3 (14-13) ×3= 34 元，
∵小明带了31 元钱，应付34 元，34＞31，
∴小明带的钱不够，
11+10×2=31
∵
，
∴小明可以乘坐13 千米的车，13.1-13=0.1(千米)，
答：小明带的钱不够乘坐13.1 千米，他至少先走0.1 千米再乘坐出租车．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，在计算时一定要弄清题意，特别是“不足1 千米以
1 千米计算”这句话．
类型三四、24 点
例．小明有5 张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，完成下列各问题：
（1）从中取出2 张卡片，使这2 张卡片上数字的乘积最小，如何抽取？最小值是多少?
答：我抽取的2 张卡片是 、 ，乘积的最小值为 ．
（2）从中取出2 张卡片，使这2 张卡片上数字相除的商最大，如何抽取？最大值是多少?
答：我抽取的2 张卡片是 、 ，商的最大值为 ．
（3）从中取出4 张卡片，将这四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算使其
结果等于24，如何抽取？写出运算式子（写出一种即可）．
答：我抽取的4 张卡片是 、 、 、 ，
算24 的式子为 ．
【答案】（1）-6、10、-60；（2）3、10、
；（3）例如：选-6、0、3、4；算式是-6×
（0×3-4 或选-6、0、3、10；3×10-6+0 或选-6、3、4、10；算式是（10- 4）-（-6）×3 或4-
10×（-6）÷3 等等．
【详解】试题分析：（1）观察这五个数，要找乘积最小的就要找符号相反且数值最大的数，
所以选﹣6 和10；
（2）2 张卡片上数字相除的商最大就要找符号相同，且分母越小越好，分子越大越好，所
以就要选10 和3，且3 为分母；
（3）从中取出4 张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，这就不唯一，用加减乘除只
要答数是24 即可，选-6、0、3、4；算式是-6×（0×3-4 或选-6、0、3、10；3×10-6+0 或
选-6、3、4、10；算式是（10- 4）-（-6）×3 或4-10×（-6）÷3 等等．
试题解析：（1）﹣6×10=－60；我抽取的2 张卡片是）-6、10，乘积的最大值为－60；
（2）10÷3=
；我抽取的2 张卡片是3、10，商的最大值为
；
（3）方法不唯一，如：选-6、0、3、4；算式是-6×（0×3-4 或选-6、0、3、10；3×10-6+0
或选-6、3、4、10；算式是（10- 4）-（-6）×3 或4-10×（-6）÷3 等等．
考点：1．有理数的混合运算；2．图表型．
【变式训练1】如图所示，小明有标注①~⑤号的5 张写着不同有理数的卡片，请你按要
求选出卡片，完成下列各题．
（1）从中选出1 张卡片，且这张卡片的有理数在全部有理数大小排列里居中，应选取
__________号卡片，这张卡片上的有理数是_________；
（2）从中选出2 张卡片，且这2 张卡片的有理数差最大，应选取_________号卡片，差的
最大值是_________；
（3）从中选出3 张卡片，且这3 张卡片的有理数积最小，应选取_________号卡片，积的
最小值是_________；
（4）从中选出4 张卡片，且将这4 张卡片的有理数运用加、减、乘和除四则运算及括号列
出一个算式，使得该算式的计算结果为24，请你写出算式（只需写出1 种即可）．
【答案】（1）②，
；（2）④⑤，14；（3）①④⑤，
；（4）
或
等．
【分析】（1）根据题意和题目中的卡片，可以解答本题；
（2）根据题意和题目中的卡片，可以解答本题；
（3）根据题意和题目中的卡片，可以解答本题；
（4）根据题意可以写出相应的算式，本题答案不唯一，主要符合题意即可.
【详解】（1）因为-1 在全部有理数大小排列里居中，所以选②卡片，
故答案为：②，-1；
(2)由已知可得，
当选取卡片6 和−8 时，差值最大，差的最大值是6−(−8)=14；
故答案为：④⑤，最大值是14
(3)由已知可得，
当选取卡片3、6 和−8 时，乘积最小，积的最小值是：(−8)×6×3=−144；
故答案为：①④⑤，最小值是
(4) [−1−(6÷3)]×(−8)=(−1−2)×(−8)=(−3)×(−8)=24
∵
，
∴算式[−1−(6÷3)]×(−8)的计算结果为24（答案不唯一）.
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，写出相应的算式，注
意第（4）问答案不唯一
【变式训练2】小强有5 张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题：
(1)从中取出2 张卡片，使这2 张卡片上数字乘积最大，如何抽取？最大值是多少？
(2)从中取出2 张卡片，使这2 张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？
(3)从中取出2 张卡片，利用这2 张卡片上数字进行某种运算，得到一个最大的数，如何抽
取？最大的数是多少？
(4)从中取出4 张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，如何抽取？写出运算式子（一种
即可）．
【答案】(1)抽取
与
，积为24
(2)抽取
与，商为
(3)抽取
与
，进行乘方运算得到最大为
(4)
（答案不唯一）
【分析】（1）要使2 张卡片的乘积最大，则取同号的两张卡片，且其绝对值最大的两张，
据此可求解；
（2）要使2 张卡片的商最小，则取异号的两张卡片，且分子的绝对值最大，分母的绝对值
最小，据此可求解
（3）进行乘方的运算可使相应的值最大，可选取
与4，据此可求解；
（4）利用有理数的相应的运算进行求解，符合题意即可．
【详解】（1）抽取
与
，则其乘积为：
；
（2）抽取
与，则其商为：
；
（3）抽取
与
，则有：
；
（4）
．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
课后训练
1．计算：
．
【答案】
【分析】根据有理数的四则混合运算的法则先计算括号里面的，再计算除法即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了有理数的四则混合运算，注意不要将乘法分配律运用到除法运算中，
除法没有分配律，正确运用有理数的运算法则是解答本题的关键．
2．计算下面各题，能简便运算的要用简便方法算：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【答案】(1)
(2)88
(3)249
【分析】（1）先计算乘法再计算除法即可；（2）提公因数即可；（3）改变计算顺序，结
合乘法结合律即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
【点睛】本题考查有理数的混合运算．观察式子形式，合理使用运算法则是解题的关键．
3．计算（能简算的要简算）
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【答案】（1）－3；（2）
；（3）
；（4）－1；（5）2；（6）
【分析】（1）根据加法结合律直接求解即可；
（2）根据有理数的加法交换律及结合律进行运算即可；
（3）根据加法交换律及结合律进行有理数的加减混合运算即可；
（4）根据加法交换律及结合律进行有理数的加减混合运算即可；
（5）根据乘法交换律及结合律进行运算即可；
（6）先对带分数进行拆解，然后根据有理数的乘法分配律进行求解即可．
【详解】解：（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
（5）原式
（6）原式
．
【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握利用运算律进行有理数的简便运算是
解题的关键．
4．计算：
．
【答案】
【分析】先计算括号内的，并要先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键．
5．计算：
．
【答案】1
【分析】先计算绝对值，乘方运算和小括号里面的，再进行乘除运算，最后再加减即可.
【详解】解：
【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则且准确的计算
是解题的关键.
6．出租车司机李师傅从上午
在厦大至会展中心的环岛路上营运，共连续运载
十批乘客．若规定向东为正，向西为负，李师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米）
（1）将最后一批乘客送到目的地时，李师傅距离第一批乘客出发地的位置怎样？距离多少
千米？
（2）上午
李师傅开车的平均速度是多少？
（3）若出租车的收费标准为：起步价8 元（不超过3 千米），超过3 千米，超过部分每千
米2 元．则李师傅在上午
一共收入多少元？
【答案】（1）距离第一批乘客出发地的东方，距离是6 千米；（2）43.2 千米/小时；
（3）128 元
【分析】（1）将所有数据相加得出结果后，即可作出判断；
（2）将所有数据的绝对值相加，可得出路程，然后求出时间，根据速度=路程÷时间即可得
出答案；
（3）分别计算起步价，及超过3 公里的收入，然后相加即可．
【详解】解：（1）由题意得：向东为“+”，向西为“-”，
则将最后一批乘客送到目的地时，李师傅距离第一批乘客出发地的距离为：
（+8）+（-6）+（+3）+（-7）+（+8）+（+4）+（-7）+（-4）+（+3）+（+4）=6（千米），
所以，将最后一批乘客送到目的地时，李师傅在距离第一批乘客出发地的东方，距离是6
千米；
（2）上午8：00～9：15 李师傅开车的距离是：
|+8|+|-6|+|+3|+|-7|+|+8|+|+4|+|-7|+|-4|+|+3|+|+4|=54（千米），
上午8：00～9：15 李师傅开车的时间是：1 小时15 分=1.25 小时；
所以，上午8：00～9：15 李师傅开车的平均速度是：54÷1.25=43.2（千米/小时）；
（3）一共有10 位乘客，则起步费为：8×10=80（元）．
超过3 千米的收费总额为：
[（8-3）+（6-3）+（3-3）+（7-3）+（8-3）+（4-3）+（7-3）+（4-3）+（3-3）+（4-
3）]×2=48（元）．
则李师傅在上午8：00～9：15 一共收入：80+48=128（元）．
【点睛】此题考查正负数在实际生活中的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，
确定一对具有相反意义的量．
7．红红有5 张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，解决下列问题：
(1)从中取出2 张卡片，使这2 张卡片上的数字相乘的积最大，最大值是________．
(2)从中取出2 张卡片，使这2 张卡片上的数字相除的商最小，最小值是________．
(3)从中取出0 以外的4 张卡片，将这4 个数字进行加、减、乘、除、乘方、取相反数或取
绝对值等混合运算，使结果为24，（注：每个数字只能对用一次，如
）．
请另写出一种符合要求的运算式子．
【答案】(1)6(2)
(3)
（答案不唯一）
【分析】（1）根据题意列出算式，找出积最大值即可；
（2）根据题意列出算式，找出商最小值即可；
（3）利用“24 点”游戏规则列出算式即可．
【详解】（1）解：根据题意得
，
积的最大值为
，故答案为：6；
（2）解：商的最小值为
，故答案为
；
（3）解：
；
等，
算式可以为：
（答案不唯一）．
【点睛】此题考查有理数的混合运算，有理数大小比较，解题关键在于掌握各性质和运算
法则.
