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解密01 三角函数的
象与性
图
质
A 组 考点专练
一、选择题
1.函数y＝loga(x＋4)＋2(a＞0 且a≠1)的图象恒过点A，且点A 在角α 的终边上，则sin2α 等于( )
A.－
B.－
C.
D.
【答案】B
【解析】函数y＝loga(x＋4)＋2(a＞0 且a≠1)的图象恒过点A(－3，2)，则sin α＝，
cos α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝－.故选B.
2.如图为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象，将其向左平移个单位长度后与函数g(x)的图象重合，则
g(x)可以表示为( )
A.sinπx
B.－sinπx
C.sin2πx
D.－sin2πx
【答案】B
【解析】由图象知＝－＝1，∴T＝＝2，得ω＝π，由·ω＋φ＝π，得φ＝，∴f(x)＝sin，将f(x)的图象向左平
移个单位长度后得g(x)＝sin＝－sin πx 的图象，故g(x)可以表示为－sin πx.故选B.
3.函数f(x)＝的最小正周期为( )
A.
B.
C.π
D.2π
【答案】 C
【解析】f(x)＝＝＝＝sin xcos x＝sin 2x，所以f(x)的最小正周期
T＝＝π.故选C.
4.将函数f(x)＝2sin(3x＋φ)(0＜φ＜π)图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象关于直线x＝对称，则函
数f(x)在上的值域是( )
A.[－1，2]
B.[－，2]
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C.
D.[－，2]
【答案】 D
【解析】依题意，y＝f＝2sin 的图象关于x＝对称.∴3×－＋φ＝kπ＋，φ＝kπ－，k∈Z.又0＜φ＜π，所以φ
＝π，故f(x)＝2sin.当x∈时，≤3x＋π≤π.∴－≤2sin≤2，故f(x)在上的值域是[－，2].故选D.
5.(多选题)已知函数f(x)＝sin 2x＋sin，则( )
A.f(x)的最小正周期为π
B.曲线y＝f(x)关于点对称
C.f(x)的最大值为
D.曲线y＝f(x)关于直线x＝对称
【答案】 ACD
【解析】f(x)＝sin 2x＋sin 2x＋cos 2x
＝sin，则T＝π，f(x)的最大值为，曲线y＝f(x)关于直线x＝对称，但曲线y＝f(x)不关于点对称.故选ACD.
二、填空题
6.如图，以Ox 为始边作角α(0＜α＜π)，终边与单位圆相交于点P，已知点P 的坐标为，则＝________.
【答案】
【解析】由三角函数定义，得cos α＝－，sin α＝，
∴原式＝＝
＝2cos2α＝2×＝.
7.设函数f(x)＝cos(ω>0).若f(x)≤f 对任意的实数x 都成立，则ω 的最小值为________.
【答案】
【解析】由于对任意的实数都有f(x)≤f 成立，故当x＝时，函数f(x)有最大值，故f＝1，－＝2kπ(k∈Z)，
∴ω＝8k＋(k∈Z).又ω>0，∴ωmin＝.
8.已知函数f(x)＝sin(ω＞0)，若f(x)在上恰有两个零点，则ω 的取值范围是________.
【答案】
【解析】∵0≤x≤，且ω＞0，∴≤ωx＋≤＋，又f(x)在区间上恰有两个零点，∴＋≥2π 且＋＜3π.解之得
≤ω＜4.
三、解答题
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9.(2019·浙江卷)设函数f(x)＝sin x，x∈R
.
(1)已知θ∈[0，2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ 的值；
(2)求函数y＝＋的值域.
【解析】(1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，
所以，对任意实数x 都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，
即sin xcos θ＋cos xsin θ＝－sin xcos θ＋cos xsin θ，
故2sin xcos θ＝0，所以cos θ＝0.
又θ∈[0，2π)，因此θ＝或.
(2)y＝＋
＝sin2＋sin2
＝＋
＝1－＝1－cos.
由于x∈R，知cos∈[－1，1]，
因此，所求函数的值域为.
10.已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的图象向左平移个单位后与函数g(x)＝cos(2x＋φ)图象重合.
(1)求ω 和φ 的值；
(2)若函数h(x)＝f＋g，求h(x)的单调递增区间及图象的对称轴方程.
【解析】(1)由题意得ω＝2，所以f(x)＝sin，
则f＝sin＝cos.
∵|φ|＜，∴φ＝.
(2)h(x)＝f＋g＝sin＋cos＝sin，
令2x＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，
∴h(x)图象的对称轴方程为x＝＋，k∈Z.
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以h(x)的单调递增区间为，k∈Z.
B 组 专题综合练
11.(2020·潍坊模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)是偶函数，将y＝f(x)的图象沿x 轴向左
平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数
为y＝g(x).已知y＝g(x)的图象相邻对称中心之间的距离为2π，则ω＝________.若y＝g(x)在其图象的某对称
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轴处对应的函数值为－2，则g(x)在[0，π]上的最大值为________.
【答案】 1
【解析】因为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)是偶函数，所以f(0)＝A 或f(0)＝－A，则sin φ＝
±1.又0<φ<π，所以φ＝.所以f(x)＝Asin＝Acos ωx.又将y＝f(x)的图象沿x 轴向左平移个单位长度，再将所得
图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为y＝g(x)，所以g(x)＝Acos
＝Acos.又y＝g(x)的图象相邻对称中心之间的距离2π，所以T＝4π＝，解得
ω＝1.又y＝g(x)在其图象的某对称轴对应的函数值为－2，而A>0，所以A＝2，所以g(x)＝2cos.
又x∈[0，π]，所以≤＋≤，所以当＋＝，即x＝0 时，g(x)取得最大值g(0)＝.
12.已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x＋.
(1)求f(x)的最大值及取得最大值时x 的值；
(2)若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值.
【解析】(1)f(x)＝cos xsin x－(2cos2x－1)
＝sin 2x－cos 2x＝sin.
当2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝π＋kπ(k∈Z)时，函数f(x)取最大值，且最大值为1.
(2)令2x－＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，
所以函数f(x)图象的对称轴为x＝π＋(k∈Z)，
∴当x∈(0，π)时，对称轴为x＝π 或x＝.
又方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2.
∴x1＋x2＝π(易证x1＋x2＝不合题意)，则x1＝π－x2，
∴cos(x1－x2)＝cos＝sin，
又f(x2)＝sin＝，
故cos(x1－x2)＝.
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