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重难专攻（十二） 三角形“四心”、奔驰定理与极化恒等式
重难点题型一 三角形“四心”简单识别
（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．
（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．
（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．
（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．
1．（2024·全国·模拟预测）已知在
中，
为
的重心，
为边
中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
目录●重难点题型分布
【难度】0.65
【知识点】平面向量的混合运算、三角形的心的向量表示、数量积的运算律、垂直关系的向量表示
【分析】利用三角形的重心的向量表示及向量的线性运算即可求解.
【详解】在
中，
为
的重心，
为边
中点，
对于A，因为
，故A 错误；
对于B，因为
，故B 错误；
对于C，因为在
中，
为边
中点，
则
，
所以
，故C 正确；
对于D，若
成立，
则
，即
，则
，
又
为边
中点，故
，这不一定成立，故D 错误.
故选：C．
2．（24-25 高一上·上海·课堂例题）已知
，若点P 满足
，其中
，则点P
的轨迹一定通过
的（ ）
A．外心
B．内心
C．垂心
D．重心
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】向量加法法则的几何应用、三角形的心的向量表示
【分析】先根据单位向量的加法得出点在角平分线上进而得出轨迹过内心即可.
【详解】
指向角A 的平分线方向，
而
与
是平行的，所以依旧指向角A 的平分线方向，
所以点P 的轨迹即为角A 的平分线及其反向延长线.而内心一定落在角A 的平分线上，
所以点P 的轨迹会经过内心.
故选：B.
3．若O 是△ABC 所在平面上一定点，H，N，Q 在△ABC 所在平面内，动点P 满足
，
，则直线AP 一定经过
的____心，点H 满足
，
则H 是
的____心，点N 满足
，则N 是
的____心，点Q 满足
，则Q 是
的____心，下列选项正确的是（ ）
A．外心，内心，重心，垂心
B．内心，外心，重心，垂心
C．内心，外心，垂心，重心
D．外心，重心，垂心，内心
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】根据向量关系判断三角形的心、三角形的心的向量表示
【分析】推出
，又
所在直线一定为
的平分线，从而得到直线AP 一
定经过
的内心，点
到
三个顶点相等，故点
是
的外心，作出辅助线，得到
三点共线，且
，所以
是
的重心，推导出
，
，得到
为
的垂心.
【详解】
，变形得到
，
其中
分别代表
方向上的单位向量，
故
所在直线一定为
的平分线，
故直线AP 一定经过
的内心，
，即点
到
三个顶点相等，故点
是
的外心，
因为
，所以
，
如图，取
的中点
，连接
，
则
，所以
，
故
三点共线，且
，
所以
是
的重心，
由
可得
，
故
，同理可得
，
故
为
三条高的交点，
为
的垂心.
故选：B
4．（24-25 高一下·江西萍乡·期中）（多选题）在三角形中有如下结论：已知
的内角
所对的
边分别为
，点
为
内任意一点，则
.根据上述结论，下列说
法正确的有（ ）
A．若
是
的重心，则
B．若
是
的内心，则
C．若
，则
D．若
是
的外心，且
，则
【答案】ACD
【难度】0.4
【知识点】三角形面积公式及其应用、向量加法法则的几何应用、图形的性质
【分析】根据三角形重心的性质，可判断A 的真假；结合三角形内心与三角形面积之间的关系，可判断B
的真假；确定
点位置，可判断C 的真假；结合三角形外接圆的性质与三角形的面积公式可判断D 的真假.
【详解】对A：若
为
的重心，则
，结合
，
所以
，故A 正确；
对B：若
为
的内心，设
内切圆半径为，则
，
，
，
所以
，故B 错误；
对C：如图：
因为
，所以
，
，延长
交
于点
，
则
,
因为
三点共线，所以
.
设
，则
，
，
,
所以
，故C 正确；
对D：如图：
因为
为
的外心，且
，设
外接圆半径为
，
则
，
，
，
，
所以
，同理
，
，
结合
，
可得
.
又
，所以
，故D 正确.
故选：ACD
5．（24-25 高一下·安徽安庆·阶段练习）（多选题）点
在
所在的平面内，则以下说法正确的有
（ ）
A．若
，则点
为
的外心；
B．若
，则点
为
的内心；
C．若动点
满足
，则动点
的轨迹一定经过
的垂心；
D．若动点
满足
，则动点
的轨迹一定经过
的重心．
【答案】AB
【难度】0.4
【知识点】正弦定理及辨析、向量加法的法则、数量积的运算律、垂直关系的向量表示
【分析】A、B，分别假设
为
的内心、外心，利用向量的几何图形中的关系，及向量的运算律和数
量积判断条件是否成立即可；C 由正弦定理知
，且
，代入已知等式
得
，即知
的轨迹一定经过的哪种心；D 由
，根据数量积的运算律及向量数
量积的几何意义求
的值，即知
的轨迹一定经过的哪种心；
【详解】A：若
为
的外心，
分别为
的中点，则
，
而
，同理
，又
，
故
，故A 正确；
B：若
为
的内心，如图示：
，
同理
，
，
，
所以
，
，故B 正确；
C：由正弦定理可设
，而
，
所以
，D 为BC 的中点，则
，
即动点
的轨迹一定经过
的重心，故C 错误.
D：由
，故
，即
，动点
的
轨迹一定经过
的垂心，故D 错误.
故选：AB
6．请你根据“奔驰定理”对以下命题进行判断：
①若P 是
的重心，则有
；
②若
成立，则P 是
的内心；
③若
，则
；
④若P 是
的外心，
，
，则
；
⑤若
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，O 为
内的一点且为内心.若
，则
的最大值为
.
则正确的命题有 .（填序号）
【答案】①②④⑤
【难度】0.65
【知识点】向量新定义、平面向量基本定理的应用、余弦定理及辨析、辅助角公式
【分析】根据已知可推得
，根据“奔驰定理”即可得出①；记点P 到AB，BC，CA 的
距离分别为
，
，
，根据“奔驰定理”得出
，进而结合已知即可得出
②；根据平面向量基本定理表示出
，根据“奔驰定理”化简，结合
，
不共线，即可推得
③错误；根据已知得出
，换元为三角函数，根据辅助角公式化简即可得出④；根据已知推得
.然后根据余弦定理，结合基本不等式，即可得出范围.
【详解】对于①：如图所示，因为D，E，F 分别为CA，AB，BC 的中点，
所以
，
，
，
同理可得
，
，
所以
，
又因为
，
所以
，故①正确；
对于②：记点P 到AB，BC，CA 的距离分别为
，
，
，
则
，
，
，
因为
，则
，
即
.
又因为
，
所以
，所以点P 是
的内心，故②正确；
对于③：因为
，
所以
，
，
，
所以
，
化简得
，
又因为
，
不共线，
所以
，即
，
所以，
，故③错误；
对于④：因为P 是
的外心，
，
所以
，
，
.
因为
，
则
，
化简得
.
由题意知m，n 不同时为正.记
，
，
则
，
因为
，
所以
，即
，
所以
，故④正确；
对于⑤：∵O 为
的内心，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
即
，
，
∴
.
∵
(当且仅当
时取等号)，
∴
，∴
，
∴
(当且仅当
时取等号)，
∴
的最大值为
，故⑤正确.
故答案为：①②④⑤.
7．点O 是平面
上一定点，A，B，C 是平面
上
的三个顶点，
，
分别是边AC，AB 的对
角.有以下四个命题：
①动点P 满足
，则
的外心一定在满足条件的P 点集合中；
②动点P 满足
，则
的内心一定在满足条件的P 点集合中；
③动点P 满足
，则
的重心一定在满足条件的P 点集合中；
④动点P 满足
，则
的垂心一定在满足条件的P 点集合中.
其中正确命题的个数为 .
【答案】2
【难度】0.4
【知识点】根据向量关系判断三角形的心、向量在几何中的其他应用
【分析】根据
的外心、内心、重心、垂心分别是三边中垂线的交点、角平分线的交点、中线的交点、
高的交点，这些几何特征与向量建立联系，进而判断每个命题的正误.
【详解】①当动点P 满足
时，
则点P 是
的重心，所以①不正确；
②显然
在
的角平分线上，而
与
的平分线所在向量共线，
所以
的内心一定在满足条件的点P 集合中，因此②正确；
③
变形为
，
而
，
表示点A 到
边的距离，设为
，
所以
，而
表示
边的中线向量，
所以
表示
边的中线向量，
因此
的重心一定在满足条件的P 点集合中，所以③正确；
④当
时，
的垂心与点A 重合，但显然此时垂心点P 不满足公式，所以④不正确；
故答案为：2.
重难点题型二 重心
常见重心向量式：设O是∆ABC的重心，P为平面内任意一点
（1）
（2）
（3）若
或
，
，则P一定经过三角形的重心
（4）若
或
，
λ∈[0,+∞)
，
则P一定经过三角形的重心．
1．（24-25 高三上·北京通州·期中）已知
是
的重心，过点
作一条直线与边
，
分别交于点
，
（点
，
与所在边的端点均不重合），设
，
，则
的最小值是（ ）
A．1
B．
C．2
D．4
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、平面向量基本定理的应用
【分析】由平面向量的基本定理得到
的等式，再用基本不等式求得最小值.
【详解】如图：
取
中点
，则
，
，
，
∵
三点共线，∴
，即
，
∴
，
当且仅当
时，取等号；
故选：B
2．已知
是
所在平面内一定点，动点
满足
，则动
点
的轨迹一定过
的 .（选填：外心、内心、垂心、重心）
【答案】重心
【难度】0.65
【知识点】根据向量关系判断三角形的心
【分析】过
作
，垂足为
，取
中点为
，连接
，根据向量的线性运算，即可判断.
【详解】过
作
，垂足为
，取
中点为
，连接
，如下所示：
则
，
则
，则
，
，又
为非负实数，
故
共线，也即
三点共线，又
为三角形
中线，故
的轨迹过三角形
的重心.
故答案为：重心.
3．（2024·上海虹口·高三上海市复兴高级中学校考期中）在
中，过重心G 的直线交边AB 于点P，
交边AC 于点Q，设
的面积为
，
的面积为
，且
，则
的取值范围
为_________．
【答案】
【解析】根据题意，连接
，作图如下：
，
在三角形
中，因为
为其重心，故可得
结合已知条件可得：
，
因为
三点共线，故可得
，即
，
由题设可知
，
，
又
，得
，
故
，令
，可得
，
，
则
，又
在
单调递减，
单调递增，
当
时，
，当
时，
，当
时，
，
故
.
故答案为：
.
重难点题型三 内心
常见内心向量式：P是∆ABC的内心
（1）|⃗AB|⃗PC +|⃗BC|⃗PA +|⃗CA|⃗PB =⃗0（或a⃗PA +b⃗PB+c⃗PC =⃗0）其中a，b，c分别是∆ABC的三边
BC、AC、AB的长．
（2）⃗AP = λ(⃗
AB
|⃗AB|
+⃗AC
|⃗AC|)，λ[0,+ ∞)，则P一定经过三角形的内心．
1．（2024·四川南充·三模）已知点P 在
所在平面内，若
，
则点P 是
的（ ）
A．外心
B．垂心
C．重心
D．内心
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、根据向量关系判断三角形的心
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积的定义可得
平分
，
平分
，结
合三角形内心定义判断即得.
【详解】在
中，由
，得
，
即
，由
，同理得
，
显然
，即
与
不重合，否则
，同理
，
则
，即
，
，
于是
平分
，同理
平分
，
所以点P 是
的内心.
故选：D
2．（2024·新疆·二模）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，
为椭圆上不与左右顶点重合
的任意一点，
，
分别为
的内心和重心，则
（ ）
A．0
B．1
C．
D．3
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】数量积的坐标表示、椭圆定义及辨析、椭圆中焦点三角形的周长问题
【分析】设
，
，则
，由已知，利用切线的性质和椭圆的焦半径公式得
，得
，由
，
得
，则
，得
，又
，所以
.
【详解】
设
，
，则
，
因为椭圆
，则
，
，
，
由切线的性质和椭圆的焦半径公式得
，
则
，
由
，
即
，即
，
所以
，则
，
又
，
所以
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：设出
，
，则
，利用切线的性质和椭圆的焦半径公式得到
，利用
，得
，进而求解.
3．（2025 高三·全国·专题练习）在
中，若
，
，过点
作边
的垂线，若
的内心
在直线上，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】求正切（型）函数的值域及最值、余弦定理解三角形
【分析】设
，根据内心的定义，结合三角形性质与余弦定理可得
，进而
可得解.
【详解】因为
，
，则
，
设内切圆
与边
，
分别切于点
，
，
由题意可知：内切圆
与边
切于点
，
则
，
，
，
可得
，
设
，则
，
由三角形性质可知：
，解得
，
由余弦定理可得
，
因为
，则
，
可得
，
可知角
为锐角，
则
，
故选：C.
4．在△ABC 中，
，若O 为内心，且满足
，则x+y 的最大值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】用基底表示向量
【分析】设
，根据共线向量的几何意义和二倍角公式解答．
【详解】延长AO 交BC 于D，设BC 与圆O 相切于点E，AC 与圆O 相切于点F，则OE＝OF，则
，
设
，
因为B、C、D 三点共线，
所以
，即
，
因为
，
，所以
，
所以
．
故答案是：
5．设
，
，
是
的三个内角，
的外心为
，内心为
．
且
与
共线．若
，则
．
【答案】2
【难度】0.4
【知识点】平行向量（共线向量）
【分析】由O，I 分别是三角形的外心和内心，利用
与
共线得到线段的长度关系，用
，
表示出相应线段，得到等式.
【详解】
设内切圆半径为r，过O，I 分别作BC 的垂线，垂足分别为M，D，
则
，
，
因为
与
共线，所以
，又因为
，
，
所以
，
因为
，所以
，
即
，所以
.
故答案为：2
6．已知
中，
，
，
，I 是
的内心，P 是
内部（不含边界）的动点.若
（
，
），则
的取值范围是______.
【答案】
【解析】建立如图所示平面直角坐标系，则
，
因为
是三角形
的内心，设三角形
内切圆半径为，
则
，解得
.
所以
，
.
依题意点
在三角形
的内部（不含边界）.
因为
，
所以
，
所以
，
令
，
则
，
由图可知，当
过
时，
.
当
，过
，即为直线
时，
.
所以
的取值范围时
.
故答案为：
重难点题型四 外心
常用外心向量式：O是∆ABC的外心，
（1）
（2）(⃗OA +⃗OB)∙⃗AB =(⃗OB+⃗OC)∙⃗BC =(⃗OA +⃗OC)∙⃗AC =0
（3）动点P满足⃗OP=⃗OB+⃗OC
2
+ λ(⃗
AB
|⃗AB|cosB
+⃗
AC
|⃗AC|cosC)，λ∈(0,+∞)，则动点P的轨迹一定通过
∆ABC的外心．
（4）若(⃗OA +⃗OB)∙⃗AB =(⃗OB+⃗OC)∙⃗BC =(⃗OC +⃗OA)∙⃗CA =0，则O是∆ABC的外心．
1．（24-25 高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在
中，已知
，
，若点
为
的外心，
点
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】垂直关系的向量表示、数量积的运算律、用定义求向量的数量积
【分析】将
用
与
表示出来，再利用外心的性质求出
与
，最后根据向量数量积
的运算求出
．
【详解】已知
，即
．
根据向量加法的三角形法则可得
，将
代入可得：
设
为
中点，因为点
为
的外心，则
，即
．
又因为
．
由于
，且
，则
．
已知
，所以
．
同理，设
为
中点，则
．
因为
，且
，所以
．
已知
，所以
．
将
代入
可得：
故选：A．
2．（24-25 高一下·重庆·阶段练习）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，．已知
，
，
，点
是
的外心，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】数量积的运算律、正弦定理边角互化的应用
【分析】通过正弦定理将边与角的关系进行转化，再利用向量数量积的运算和已知条件建立方程组，求解
出
和
的值，最后计算
.
【详解】∵
，根据正弦定理知道
.
已知
，
，
，可得
因为点
是
的外心，所以
，
.
将
分别与
、
作数量积：
又因为
，
，所以可得方程组：
,解方程组求出
、
.
则
.
故选：B．
3．（24-25 高三上·江苏盐城·期中）已知点O 为
的外心，且向量
，
，若
向量
在向量
上的投影向量为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】平面向量共线定理的推论、求投影向量
【分析】由题可得
，从而得到
为直角三角形，由投影向量的概念
求解.
【详解】因为
，
所以
，
即
，所以
在
上，故
的外接圆以
为圆心，
为直径，
所以
为直角三角形，且
，
为
中点，
因为向量
在向量
上的投影向量为
，
故
,
由于
为锐角，所以
故选：B．
4．（2024 高三·江苏·专题练习）
的外心
满足
，
，则
的面积
为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】向量数乘的有关计算、三角形的心的向量表示
【分析】设
的中点为
，根据外心性质和向量线性运算可证得
，利用勾股定理可构造方程求
得外接圆半径，由此可得
长，代入三角形面积公式即可.
【详解】设
的中点为
，则
，
，即
，
又
，所以
，
三点共线且
，
；
设
的外接圆半径为
，则
，
，
，解得：
，
，
.
故答案为：
.
5．已知
是
的外心，若
，且
，则实数
的最
大值为______．
【答案】
/
【解析】设三角形
的外接圆的半径为
，
，
根据向量数量积的几何定义可得：
，即
，
，
又
，根据正弦定理可得
，
，
，
，当且仅当
时，
即
为等边三角形时取等号，
，
，
实数
的最大值为
．
故答案为：
6．（2025·全国·高三专题练习）在
中，
，
．点
满足
．过点
的直线分别与边
交于点
且
，
．已知点
为
的外心，
，则
为______．
【答案】
【解析】
三点共线，
可设
，
，
，即
，
，
，即
，
，
；
，
，
为
的外心，
，
，
整理可得：
，
，解得：
（舍）或
；
，
.
故答案为：
.
重难点题型五 垂心
常见垂心向量式：O是∆ABC的垂心，则有以下结论：
（1）⃗OA ∙⃗OB =⃗OB∙⃗OC =⃗OC ∙⃗OA．
（2）|⃗OA|
2+|⃗BC|
2=|⃗OB|
2+|⃗CA|
2=|⃗OC|
2+|⃗AB|
2．
（3）动点
P
满足
，
λ∈(0,+∞)
，则动点
P
的轨迹一定过
∆ABC
的垂心．
（4）奔驰定理推论：S∆BOC:S∆COA:S∆AOB=tanA :tanB:tanC，tanA ∙⃗OA +tanB∙⃗OB+tanC ∙⃗OC =⃗0．
1．在锐角
中，
、
、分别是
的内角
、
、
所对的边，点
是
的重心，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.4
【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求三角形中的边长或周长的最值或范围、已知数量积
求模
【分析】连接
并延长交
于点
，由重心的性质可得出
，利用平面向量的线性运算可得出
，利用平面向量的数量积以及余弦定理可得出
，推导出
，
再结合锐角三角形这一条件以及余弦定理求出
的取值范围，利用双勾函数的单调性可求得
的取值
范围.
【详解】连接
并延长交
于点
，则
为
的中点，
因为
，则
，由重心的性质可得
，则
，
因为
，
所以，
，所以，
，
所以，
，
所以，
，则
为锐角，
由余弦定理可得
，
所以，
，
因为
为锐角三角形，则
，即
，即
，
所以，
，
构造函数
，其中
，
任取
、
且
，则
.
当
时，
，
，则
，
当
时，
，
，则
，
所以，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
因为
，所以，
，故
.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：在涉及到三角形中的中线问题，一般利用向量法来处理，结合三角形中的余弦定理
来求解，本题中要求解的是角的余弦值的取值范围，要充分利用已知条件将角的余弦值表示为以某个变量
为自变量的函数，结合锐角三角形这一条件求出变量的取值范围，再利用相关函数的单调性求解.
2．（多选题）对于给定的
，其外心为
，重心为
，垂心为
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．过点
的直线交
于
，若
，
，则
D．
与
共线
【答案】ACD
【难度】0.4
【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、垂直关系的向量表示、平面向量共线定理的推论
【分析】根据外心在AB 上的射影是AB 的中点，利用向量的数量积的定义可以证明A 正确；利用向量的数
量积的运算法则可以
即
，在一般三角形中易知这是不一定正确的，由此可判定
B 错误；利用三角形中线的定义，线性运算和平面向量基本定理中的推论可以证明C 正确；利用向量的数
量积运算和向量垂直的条件可以判定
与
垂直，从而说明D 正确.
【详解】
如图，设AB 中点为M,则
,
,故A 正确；
等价于
等价于
,即
，
对于一般三角形而言，
是外心，
不一定与
垂直，比如直角三角形
中，
若
为直角顶点，则
为斜边
的中点，
与
不垂直.故B 错误；
设
的中点为
,
则
，
E,F,G
∵
三点共线，
，即
,故C 正确；
,
与
垂直,又
,∴
与
共线，故D 正确.
故选：ACD.
【点睛】本题考查平面向量线性运算和数量及运算，向量垂直和共线的判定，平面向量分解的基本定理，
属综合小题，难度较大，关键是熟练使用向量的线性运算和数量积运算，理解三点共线的充分必要条件，
进而逐一作出判定.
3．（2024·全国·高三专题练习）已知
为
的垂心（三角形的三条高线的交点），若
，则
______.
【答案】
/
【解析】因为
，
所以
，同理
，
由H 为△ABC 的垂心，得
，即
，
可知
，即
，
同理有
，即
，可知
，即
，
所以
，
，又
，
所以
．
故答案为：
.
4．（2025·北京·高三强基计划）已知H 是
的垂心，
，则
的最大内角的正
弦值是_________．
【答案】
【解析】法1：根据三角形五心的向量表达，有
，
设
分别为
，
根据三角恒等式
，
可得
，
因此
的最大内角的正切值为
，因此最大内角的正弦值为
．
法2：因为H 是
的垂心，故
，
设
，
则
，故
，
同理，
，
，
而
，
故
，
同理，
，
，
因为
，故
最大，故
.
故答案为：
5．（24-25 高三上·江苏苏州·开学考试）设三角形
的外心为
，重心为
，且满足
，则
的最大值为 .
【答案】
【难度】0.4
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、数量积的运算律
【分析】设外接圆半径为，根据向量数量积的运算律得
，再利用导数求出最值即可.
【详解】设外接圆半径为，
则根据重心向量公式有
，
则
，
令
，此时
，
当
时，
，此时
单调递增；
当
时，
，此时
单调递减；
则
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用向量数量积和三角恒等变换得到
，再利用导数
求出其最值即可.
6．若
为
的垂心，
，则
＝ ，
．
【答案】
/
【难度】0.4
【知识点】向量在几何中的其他应用、向量的线性运算的几何应用
【分析】依题意可得
，设
为
的中点，
为
的中点，则
，
即可得到三角形面积之比，从而得到
，
，设
，
，表示出
、
，根
据
求出
，即可得解.
【详解】因为
，所以
，
设
为
的中点，
为
的中点，则
，
，
所以
，
所以
为
的中位线，且
，所以
为
的中点，所以
，
又
，
，所以
，所以
，
所以
，
同理可得
，
所以
，
，
又
为
的垂心，
，
设
，
，则
，
，
所以
，即
，所以
，则
所以
，所以
，
故答案为：
；
重难点题型六 奔驰定理
奔驰定理及其推论
1、奔驰定理：O是ABC
内的一点，且
，则
．
2、奔驰定理推论：
，则
** 错误的表达式 **
** 错误的表达式 **
，
，
.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．
3、对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系。但如果向
量关系符合奔驰定理的形式，在选择填空题当中可以迅速的地得出正确答案．
1．奔驰定理：已知点O 是
内的一点，若
的面积分别记为
，则
．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形
与“奔驰”轿车的logo 很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O 是
的垂心，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正切公式化简、求值、向量
的线性运算的几何应用
【分析】延长
交
于点P，则利用垂心的性质结合三角形面积的求法可得
，再利用
和
可得
，不妨设
，利用
可求出
的值，从而可求出
的值.
【详解】延长
交
于点P，
是
的垂心，
，
．
同理可得
，
．
又
，
．
又
，
．
不妨设
，其中
．
，
，解得
．
当
时，此时
，则A，B，C 都是钝角，不合题意，舍掉．
故
，则
，故C 为锐角，
∴
，解得
，
故选：B．
【点睛】关键点点睛：此题考查向量的线性运算，考查三角函数恒等变换公式的应用，解题的关键是利用
垂心的性质得
，再结合已知条件得
，设
，再利用两角和的正切公式可得
，从而可求得结果，考查计算能力和转化
思想，属于较难题.
2．（24-25 高三上·四川凉山·期末）在平面上有
及内一点O 满足关系式：
即称为经典的“奔驰定理”，若
的三边为a，b，c，现有
则O 为
的（ ）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】向量在几何中的其他应用
【分析】利用三角形面积公式，推出点O 到三边距离相等。
【详解】记点O 到AB、BC、CA 的距离分别为
，
，
，
，
因为
，则
，即
，又因为
，所以
，所以点P 是△ABC 的内
心.
故选：B
3．（23-24 高一下·河北·期中）平面向量中有一个非常优美的结论：已知O 为
内的一点，
，
，
的面积分别为
，
，
，则
．因其几何表示酷似奔驰的
标志，所以称为“奔驰定理”．已知O 为
的内心，三个角对应的边分别为a，b，c，已知
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积
【分析】根据三边，先求出角B 的余弦值,再由内心可得到
，进而由“奔驰定
理”得到
，在对向量进行线性运算即可.
【详解】因为
，
，
，
所以
，
因为O 为
的内心，设
，由题意
，
则
，
同理可得
所以根据“奔驰定理”有
，
所以
，
即
，
所以
，
．
故选：A．
4．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车
标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O 是△ABC 内的一点，△BOC，△AOC，
△AOB 的面积分别为
、
、
，则有
，设O 是锐角△ABC 内的一点，
∠BAC，∠ABC，∠ACB 分别是△ABC 的三个内角，以下命题错误的是（ ）
A．若
，则O 为△ABC 的重心
B．若
，则
C．若O 为△ABC（不为直角三角形）的垂心，则
D．若
，
，
，则
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】三角形面积公式及其应用、向量的线性运算的几何应用、用定义求向量的数量积、数量积的运
算律
【分析】对于A，假设
为
的中点，连接
，由已知得
在中线
上，同理可得
在其它中线上，
即可判断；对于选项B，利用奔驰定理可直接得出B 正确；对于C，由垂心的性质、向量数量积的运算律
，得到
，结合三角形面积
公式及角的互补关系得结论，可判断C 正确；选项D，根据奔驰定理可得
，再利用三角
形面积公式可求得
，即可计算出
，可得D 错误；
【详解】对于A：如下图所示，
假设
为
的中点，连接
，则
，故
共线，即
在中线
上，
同理可得
在另外两边
的中线上，故O 为
的重心，即A 正确；
对于B：由奔驰定理O 是
内的一点，
的面积分别为
，
则有
可知，
若
，可得
，即B 正确；
对于C：由四边形内角和可知，
，则
，
同理，
，
因为O 为
的垂心，则
，
所以
，同理得
，
，
则
，
令
，
由
，则
，
同理：
，
，
综上，
，
根据奔驰定理得
，即C 正确.
对于D：由
可知，
，
又
，所以
由
可得，
；
所以
，即D 错误；
故选：D.
【点睛】关键点睛：利用向量数量积定义、运算律和垂心性质得到向量模的比例，结合三角形面积公式和
奔驰定理判断结论即可.
5．（24-25 高二上·安徽安庆·开学考试）如图，
为
内任意一点，角
的对边分别为
，则
总有优美等式
成立,此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命
题中，正确的有（ ）
A．若
是
的重心，则有
B．若
，则
是
的内心
C．若
，则
D．若
是
的外心，且
，则
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】根据向量关系判断三角形的心、平面向量基本定理的应用、向量的线性运算的几何应用、三角
形面积公式及其应用
【分析】根据三角形重心的性质可得
，结合奔驰定理可判断A; 设点P 到边
的距离分别为
，结合三角形面积公式可得
，与
比较，可判断B;由
化简得
，和奔驰定理比较
可判断C;由三角形外心性质结合三角形面积公式可判断D.
【详解】对于A，
是
的重心，则
,
代入
就得到
,正确；
对于B，设点P 到边
的距离分别为
，
由
得，
，即
，与已知条件
比较知，
，则
是
的内
心，正确；
对于
，即
，
与
比较得到，
，错误；
对于D，
是
的外心，且
，则
，设三角形外接圆半径为R，
所以
，
代入奔驰定理即可得到
，正确，
故选：ABD.
6．如图，
为
内任意一点，角
，
，
的对边分别为
，
，.总有优美等式
成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.现有以下命题：
①若
是
的重心，则有
；
②若
成立，则
是
的内心；
③若
，则
；
④若
是
的外心，
，
，则
.
则正确的命题有 .
【答案】①②④
【难度】0.4
【知识点】根据向量关系判断三角形的心、三角形的心的向量表示
【分析】对于①:利用重心的性质
代入
即可.
对于②:利用三角形的面积公式结合
与
可知点
到
的距离相等.
对于③:利用
将
表示出来，代入
.化简即可表示出
的关系式，用
将
表示出来即可得处其比值.
对于④：利用三角形的圆心角为圆周角的两倍，再将
两边平方，化简可得
，结
合
的取值范围可得出答案.
【详解】对于①：如图所示：因为
分别为
的中点，
所以
,
，
同理可得
、
，
所以
，又因为
所以
.①正确.
对于②：记点
到
的距离分别为
，
，因
为
，则
，即
，又因为
，所以
，所以点
是
的内心.②
正确.
对于③：因为
，所以
,
,
,
所以
,
化简得：
，
又因为
不共线.
所以
，
.③错误.
对于④：因为
是
的外心，
，所以
,
，
,
因为
，则
，
化简得：
,由题意知
不同时为正.
记
,
则
，
因为
所以
.④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】本题考查三角形的向量性质.属于难题.利用平面向量基本定理，将等式中的向量全部用一组基向
量表示是解本类题型常用的方向.
重难点题型七 极化恒等式
1、极化恒等式：
2、平行四边形模式：如图，平行四边形ABCD，O 是对角线交点．则AB·AD＝[|AC|2－|BD|2]．
3、三角形模式：如图，在△ABC 中，设D 为BC 的中点，则AB·AC＝|AD|2－|BD|2．
1．（23-24 高三下·湖南长沙·阶段练习）向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的
“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，
，我们称为极化恒
等式. 已知在
中，
是
中点，
，
，则
（ ）
A．
B．16
C．
D．8
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】数量积的运算律、已知模求数量积
【分析】可以把三角形补形为平行四边形，
,利用已知条件求解即可.
【详解】由题设，
可以补形为平行四边形
，
由已知得
．
故选：A．
2．在
中，
．P 为
所在平面内的动点，且
，则
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设
，表示出
，
，根据数量积的坐标表示、辅助
角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则
，
，
，
因为
，所以
在以
为圆心，为半径的圆上运动，
设
，
，所以
，
，
所以
，其中
，
，
因为
，所以
，即
；
故选：D
3．半径为2 的圆O 上有三点，A、B、C 满足
，点P 是圆内一点，则
的取
值范围是________．
【解析】易知
，且
，由平行四边形性质可知□ABOC 为菱形，且△ABO 与
△ACO 均为等边三角形．
取AO 中点M，由极化恒等式得
∴
，易知
，
∴
的范围是
4．在直角
中，
，平面
内动点
满足
，则
的最小值为 .
【分析】由题可知，点
的轨迹是以
为圆心，1 为半径的圆，由数量积的定义求出
，再由向量的模长公式求出
，当
与
共线反向时，
取最小值，即可得出答案.
【解析】平面
内动点
满足
，所以点
的轨迹是以
为圆心，1 为半径的圆，
因为
，由勾股定理可得：
，
所以
，且
，
所以
，所以
，
，
，
，
，
又向量
是长度为
的一个向量，由此可得，点
在圆
上运动，
当
与
共线反向时，
取最小值，且这个最小值为一
，
故
的最小值为
.
5．四边形
中，点
分别是
的中点，
，
，
，点
满足
，
则
的最大值为 .
【答案】
【分析】利用向量加法运算及数量积定义得
，然后利用数量积的运算律得
，设出向量夹角，从而
，利用余弦函数求解最值即可.
【详解】因为
，
，又点
分别是
的中点，
所以
，所以
，
，
又
，所以
，又点
分别是
的中点，所以
，
因为
，所以
，
即
，设
，
，则
，所以
，
所以
，
所以当
即
时，
有最大值1，即
有最大值为
.
故答案为：
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几
何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时注意数量积运算律的应用.
