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1
五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题13 不等式
不等式作为高考一个工具，主要题型是小题，再者就是与其他知识点相结合。
考点01 解基本不等式
考点02 不等式应用—线性规划
考点04 不等式综合应用
考点01：解基本不等式
一 填空题
1．(2021 高考天津)若
，则
的最小值为____________．
【答案】
【解析】：
，
，
当且仅当
且
，即
时等号成立， 所以
的最小值为
．
故答案
：
．
2．(2020 天津高考·)已知
，且
，则
的最小值为_________．
【答案】4
【解析】
，
,
，当且仅当
=4 时取等号，
结合
,解得
，或
时，等号成立．
故答案为：
3．(2020 江苏高考·)已知
，则
的最小值是_______．
【答案】
2
【解析】
,
且
，当且仅当
，即
时取等
号．
的最小值为
．故答案为：
．
4．(2019·天津·理)设
，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】：
，
，当且仅当
即
或
时等号成立，因为
，所以
，故
的最小值为
．
5．(2019·上海)若
，且
，则
的最大值为________.
【答案】
【解析】法一：
，∴
；
法二：由
，
(
)，求二次最值
.
6．(2019·江苏·)在平面直角坐标系
中，
是曲线
上一动点，则点
到直线
的距离最小值是______.
【答案】4
【解析】法1：由已知，可设
，所以
.
当且仅当
，即
时取等号，故点
到直线的距离的最小值为4.
法2：距离最小时，
，则
，所以
,所以最小值为4.
7．(2022 年全国高考甲卷数学(文)·)已知
中，点D 在边BC 上，
．当
3
取得最小值时，
________．
【答案】
或
【解析】设
，
则在
中，
，
在
中，
，
所以
，
当且仅当
即
时，等号成立，
所以当
取最小值时，
．故答案为：
．
考点03：不等式应用—线性规划
一 单选题
4
1．(2021 年高考浙江卷·)若实数x，y 满足约束条件
，则
的最小值是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】:画出满足约束条件
的可行域，如下图所示：
目标函数
化为
，由
，解得
，设
，当直线
过
点时，
取得最小值为
,故选B．
2．(2021 年全国高考乙卷文科·)若
满足约束条件
则
的最小值为
( )
A．18
B．10
C．6
D．4
【答案】C
【解析】：由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，
5
由
可得点
,
转换目标函数
为
，
上下平移直线
，数形结合可得当直线过点
时,
取最小值，
此时
．故选：C．
3．(2020 年浙江省高考数学试卷·)若实数x，y 满足约束条件
，则z=2x+y 的取值范围是
(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数即：
，
其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大，
z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值，
6
联立直线方程：
，可得点A 的坐标为：
，据此可知目标函数的最小值为：
且目标函数没有最大值．故目标函数的取值范围是
．故选：B
4．(2022 年浙江省高考数学试题·)若实数x，y 满足约束条件
则
的最大值是
(
)
A．20
B．18
C．13
D．6
【答案】B
【解析】:不等式组对应的可行域如图所示：
当动直线
过
时
有最大值．
由
可得
，故
，故
，故选,B．
5．(2022 年高考全国乙卷数学(文))若x，y 满足约束条件
则
最大值是
( )
A．
B．4
C．8
D．12
【答案】C
【解析】：由题意作出可行域，如图阴影部分所示，
7
转化目标函数
为
，
上下平移直线
，可得当直线过点
时，直线截距最小，z 最大，
所以
．
故选：C．
6．(2019·浙江·文理·)若实数
，
满足约束条件
则
的最大值是
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据约束条件画出可行域，如图所示，其中
．由
得
，当直线
过
时，在
轴上的截距最大，所以
有最大值为
．故选C．
8
7．(2019·天津·文·)设变量
满足约束条件
则目标函数
的最大值为
( )
A．2
B．3
C．5
D．6
【答案】【答案】C
【解析】由约束条件
作出可行域如图
联立
，解得
，化目标函数
为
，由图可知，当直线
过
时，
有最大值为5．故选C．
二填空题
1．(2023 年全国乙卷文科·)若x，y 满足约束条件
，则
的最大值为______．
2．【答案】8
【解析】：作出可行域如下图所示：
，移项得
，联立有
，解得
，
设
，显然平移直线
使其经过点
，此时截距
最小，则
最大，
代入得
，故答案为：8．
9
2．(2023 年全国甲卷文科·)若x，y 满足约束条件
，设
的最大值为____________．
【答案】15
【解析】：作出可行域，如图，
由图可知，当目标函数
过点
时，
有最大值，
由
可得
，即
所以
．故答案为：15
3．(2020 年高考课标Ⅰ卷文科·若x，y 满足约束条件
则z=x+7y 的最大值为______________．
【答案】1
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
10
目标函数
即：
，
其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，
联立直线方程：
，可得点A 的坐标为：
，
据此可知目标函数的最大值为：
．故答案
：1．
4．(2020 年高考课标Ⅱ卷文科·)若x，y 满足约束条件
则
的最大值是__________．
【答案】
【解析】不等式组表示的平面区域为下图所示：
平移直线
，当直线经过点
时，直线
在纵轴上的截距最大，
此时点
的坐标是方程组
的解，解得：
，
因此
的最大值为：
．故答案为：
．
5．(2020 年高考课标Ⅲ卷文科·第13 题)若x，y 满足约束条件
，则z=3x+2y 的最大值为
_________．
【答案】7
【解析】不等式组所表示的可行域如图
因为
，所以
，易知截距
越大，则
越大，
11
平移直线
，当
经过A 点时截距最大，此时z 最大，
由
，得
，
，所以
．故答案为：7．
6．(2019·上海·文理)已知
满足
，求
的最小值为________.
【答案】
【解析】线性规划作图：后求出边界点代入求最值，当
，
时，
.
7．(2019·全国Ⅱ·文·)若变量
满足约束条件
则
的最大值是
___________.
【答案】9
【解析】画出不等式组表示的可行域，如图所示，
阴影部分表示的三角形
区域，根据直线
中的
表示纵截距的相反数，当直线
过点
时，
取最大值为9．
考点04 不等式综合应用
12
一 单选题
1．(2023 年全国乙卷文科·)已知实数
满足
，则
的最大值是
( )
A．
B．4
C．
D．7
【答案】C【解析】：法一：令
，则
，
代入原式化简得
，因为存在实数
，则
，即
，化简得
，解得
，
故
的最大值是
，
法二：
，整理得
，
令
，
，其中
，
则
，
，所以
，则
，即
时，
取得最大值
，
法三：由
可得
，设
，则圆心到直线
的距离
，解得
故选：C
2 ．(2019· 天津· 理) 已知
，
，
，则
的大小关系为
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】：
，
，即
，
，所以
．
3．(2020 年浙江省高考数学试卷)已知a，b
R 且ab≠0，若(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0 在x≥0 上恒成立，
则
( )
A．a<0
B．a>0
C．b<0
D．b>0
【答案】C
13
【解析】：因为
，所以
且
，设
，则
零点
为
当
时，则
，
，要使
，必有
，且
，
即
，且
，所以
；
当
时，则
，
，要使
，必有
．综上一定有
． 故选：C
4．(2020 年浙江省高考数学试卷·)已知a，b
R 且ab≠0，若(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0 在x≥0 上恒成立，则
(
)
A．a<0
B．a>0
C．b<0
D．b>0
【答案】C
【解析】：因为
，所以
且
，设
，则
零点
为
当
时，则
，
，要使
，必有
，且
，
即
，且
，所以
；当
时，则
，
，要使
，必有
．综上
一定有
． 故选：C
5．(2019·全国Ⅰ·理) 已知
，
，
，则
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】答案：B
【解析】：
，
，
，故
．
二、填空题
1．(2022 年高考全国甲卷数学(理))已知
中，点D 在边BC 上，
．当
取得最小值时，
________．
2．(2021 年高考浙江卷)我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明．弦图是由四个全等的直角三
角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．若直角三角形直角边的长分别是3，4，
记大正方形的面积为
，小正方形的面积为
，则
___________．
14
15
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2、2022 年8 月份到2023 年6 月份高三各地名校卷、各地联考卷、一二模模拟卷
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