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解答题专题01 三角函数与解三角形
............................................................1
...........................................................14
...........................................................18
...........................................................25
..........................................................31
..........................................................37
...........................................................44
..........................................................49
【典例】1．（2025·江苏·一模）已知函数
.
(1)求函数
的单调递增区间；
(2)若
，
，求
的值.
【答案】(1)
．
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数
，再利用正弦函数单调性求出递增区间.
（2）由（1）结合已知求出
，再利用差角的余弦公式求解即得.
【详解】（1）
，
令
，解得
，
所以
的单调递增区间为
.
（2）由
，得
，
，
即
，则
，
，
所以
.
【典例】2．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知函数
条件①：
的最小正周期为
；
条件②：
为奇函数；
条件③：
图象的一条对称轴为
；
从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知条件，使
的解析式唯一确定，回答下列问题．
(1)求
的解析式；
(2)设函数
，当
时，求函数
的值域.
【答案】(1)条件选择见解析，
；
(2)
【分析】（1）选择条件，利用余弦函数的性质求出
即可.
（2）由（1）结合三角恒等变换求出
，进而求出在指定区间上的值域.
【详解】（1）选择条件①②，由
的最小正周期为
，得
；
由
为奇函数，
，得
，所以
.
选择条件①③，由
的最小正周期为
，得
；
由
图象的一条对称轴为
，得
，而
，
则
，所以
.
选择条件②③，由
为奇函数，
，得
；
由
图象的一条对称轴为
，得
，解得
，
值不唯一，不符合题意，即②③不可选.
（2）由（1）知
，则
，当
时，
，
则
，
，
所以函数
的值域是
.
【典例】3．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知
，
．
(1)将函数
的图象向左平移
个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的
倍，纵坐标
不变，得到函数
的图象，求函数
的解析式；
(2)若
，求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用向量数量积的坐标运算及降幂公式和辅助角公式得到
的解析式，再利用三
角函数的平移及伸缩变换得到
的解析式；
（2）根据
的解析式求出
，再利用同角关系求其余弦值
，最后
利用两角和的余弦公式求出
的值.
【详解】（1）
将函数
的图象向左平移
个单位长度，则
，
再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的
倍，纵坐标不变，则有
．
（2）由题意得
，所以
，
.
【典例】4．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，
的面积为
，
．
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
的周长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据面积公式，正切公式，以及两角和的余弦公式求
，并求
，即可求解；
（2）根据正弦定理，以及（1）的结果
，求得
，再结合余弦定理，即可求解.
【详解】（1）由题意知：
，所以
，
因为
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，
因为
，所以
；
（2）由正弦定理得：
，
由（1）知：
，所以
，
由余弦定理得：
即
，所以
，
所以
的周长为
．
【典例】5．（2025·山东日照·一模）在
中，角
的对边分别为
，且
．
(1)求角
；
(2)若
为边
上一点，且
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
，利用正弦定理和倍角公式化简，结合同角三角函数的商数关系或辅
助角公式，求得
或
，可求角
；
（2）由已知可得
为等边三角形，则
，
中由余弦定理求得
的值．
【详解】（1）依题意，
，由正弦定理可得
，
因为
，所以
，所以
，
法一：即
，
因为
，所以
，
所以
，所以：
，
所以
，即
．
法二：即
，
所以
，即
，
因为
，所以
，
所以
，即
．
（2）因为
，又因为
，
所以
为等边三角形，
则
，
由余弦定理得
，
所以
，解得
或
（舍去），故
．
【典例】6．（24-25 高三上·江苏·期末）已知在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且
．
(1)求角B 的大小；
(2)若b＝3，
，求△ABC 的面积S．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据正弦定理角换边得
，再利用余弦定理即可得到答案；
（2）利用正弦定理进行边换角，再根据三角恒等变换得
，则
，再利用正弦定理得
，再
利用两角和的正弦公式求得
，最后再根据三角形面积公式即可.
【详解】（1）
因为
，
所以
，
即
，
由正弦定理可得
，
即
，所以
，所以
.
又
，所以
.
（2）由(1)知
，由
，得
，
所以
，
即
，
所以
．则
，因为
，所以
.
又
，
，所以
.
又
，
所以
.
【典例】7．（2025·江苏南通·一模）已知
的三边
所对的角分别为
．
(1)求证：
；
(2)若
，求
的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）可以采用正弦定理边角互化，再用余弦定理得到
，最后结合和角公式和同角三
角函数关系式计算即可；
（2）由（1），直接将
用
和
表示，转变成关于
的函数，借助函数单调性求范围即可．
【详解】（1）由正弦定理得
，
．
（2）
，
，令
，
由于
在
上单调递增，
则原函数也是在
上单调递增.
，即
的取值范围为
．
【典例】8．（2025·江苏南通·二模）在
中，
，
，分别是内角
，
，
的对边，
．
(1)求角
的大小；
(2)设
为边
上一点，若
，且
，求
面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件结合正弦定理化简可得
，整理可推得
，结合三角形内角和公式以及诱导公式化简推得
，即可求出答案；
（2）法一：结合图形得
，两边平方整理推出
由基本不等式得出
，即得面积最小值；法二：设
，
，则
，根据
面积关系推
得
利用两角关系求得
，再由
推得
，同法求得面积最
小值；法三：过点
作
，交
于点
.根据平行线的性质得
.由余弦定理推得
，
即得
，同法求得面积最小值.
【详解】（1）依题意，
，即
，
结合正弦定理，可得
，
因为
，
，所以
，
即
，
故
，
因为
，
，则
，故
.
（2）法一：因为
，
所以，
，
所以
，
所以
，
即
，整理得
.
由
，可得
，当且仅当
时，等号成立.
故
面积
，
即
面积的最小值为
.
法二：设
，
，则
，为点
到边
的距离.
因为
，所以
，
又
，
故
，得
，
所以
，整理得
，
因为
，得
，
显然
，
，故
，
.
根据
，得
，
即
，整理得
.
由
，可得
，当且仅当
时，等号成立.
故
面积
，
即
面积的最小值为
.
法三：过点
作
，交
于点
.
据
，可得
，
，
因为
，故
，
，
所以
，
，得
.
在
中，
，
，
由余弦定理，
，
则
，解得
，
所以
，即
.
由
，可得
，当且仅当
时，等号成立.
所以
面积
，
即
面积的最小值为
.
【典例】9．（2025·江苏淮安·模拟预测）在
中，a，b，c 为角A，B，C 的对边，
．
(1)求
；
(2)已知
．
①若
，求
；
②求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)①
；②
【分析】（1）由正弦定理化简等式，求出
；
（2）①在
，
中，由正弦定理得到
，化简求得
.②由平面向量
的关系和余弦定理表示出
和
，然后代入得到
的代数式，然后令
，化简
的代数
式，在令
，化简
，并用基本不等式求得其范围，然后得到
的范围.
【详解】（1）由正弦定理知
，
．
∴
．
∵
，
，∴
．
（2）①
．设
．
在
中，由正弦定理知
①
在
中，由正弦定理知
②
∵
，∴
，则有
．
又∵
，∴
．
②
，平方得
．
即
．
又
．
∴
令
，则
，∴
．
令
，则
，∴
．
∵
，∴
∴
．
的取值范围为
【典例】10．（24-25 高三下·江苏南京·月考）在
中，角A、B、C 所对的边为a、b、c，且
．
(1)若
，求角C 的正切值；
(2)求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将
代入原式化简即可得出答案；
（2）分
和
，由三角恒等变换化简已知式可得
，再由正弦定理、二倍角的正弦、余
弦公式以及同角三角函数基本关系可得
，令
，则
，由二次函数的性质即可得出答案.
【详解】（1）代入
，所以
，
，即
，
因
，则
，
所以
，故
，则
.
（2）由题可得：
，
即
，
即
，
因为
，所以
，则
，
因为
，
则
，
因为
，
则
，即
，
故
，
若
，则
；若
，则
，矛盾，
故
，
则
，
因为
，
所以
，
，
令
，
，
因为
，因为
，
，
所以
，所以
，
，
.
故
的取值范围为
.
11．（2025·江苏·模拟预测）已知向量
，设函数
.
(1)求
的最小正周期；
(2)若
，求
的最值和单调区间.
【答案】(1)
(2)
的最小值为
，最大值为
的单调递增区间为
，单调递减区间为
【分析】（1）利用向量数量积得出函数关系式，再利用二倍角正弦与余弦公式化简前者得正弦型函数，
故可求周期；
（2）根据正弦函数的性质可求
的最值和单调区间.
【详解】（1）
，
故
的最小正周期为
.
（2）因为
，所以
，
所以当
，即
时，
取得最小值，最小值为
；
当
，即
时，
取得最大值，最大值为
.
令
，即
时，故
在
递增；
令
，即
时，故
在
递减.
综上，
的最小值为
，最大值为
，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
12．（24-25 高三上·江苏·期末）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)求角C 的大小；
(2)若
，
，求
的面积
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
代入化简即可；
（2）由余弦定理求得
，再由面积公式即可求解；
【详解】（1）由
，
可得：
,
化简得
又
，所以
因此
（2）由余弦定理得
，
，
，
，
，
所以
的面积为
.
13．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知在
中，
，
.
(1)求角
的大小及
的值；
(2)设
，求三角形
的面积.
【答案】(1)
，
.
(2)15
【分析】（1）根据正弦定理结合三角形的内角和、两角和与差的三角函数公式，进行计算即可.
（2）利用三角形的内角和公式结合两角和的正弦可求
，再用正弦定理求边
，结合三角形的面积
公式可求解.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理：
所以
.
因为
为三角形内角，所以
，所以
，
.
因为
，所以
，
，所以
.
由
所以
，结合
，可得
.
所以
为锐角，且
.
（2）因为
为锐角，
，所以
.
所以
.
由正弦定理：
.
所以
的面积为：
14．（2025·江苏苏州·模拟预测）△ABC 中，角A、B、C 的对边为a，b，c，已知
，且
.
(1)求角A 的大小；
(2)若
，求△ABC 的周长的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将角化边及余弦定理即可求解；
（2）由数量积可求出
，结合（1）可求出
，进而可知△ABC 的周长.
【详解】（1）因为
，
所以
，即
，
所以
，
因为
，所以
（2）因为
，所以
，即
，所以
，
由（1）知
，所以
又
，所以
，解得
，
所以△ABC 的周长为
，
所以△ABC 的周长为
.
15．（24-25 高三上·江苏苏州·期末）记
的内角
的对边分别为
，已知
，
为边
上一点，
．
(1)求
；
(2)若
平分
，求
．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式以及辅助公式化简等式，可得
，
从而可求出
；
（2）根据
平分
，可得
，由面积相等得解
，再利用余弦定理可求
的值．
【详解】（1）因为
，
由正弦定理得
，
则
，
即
，
因为
，所以
，所以
，即
．
又因为
，所以
．
（2）因为
平分
，所以
，即
，
由面积相等得
，
解得
，所以
．
由余弦定理得
，所以
．
16．（24-25 高三上·江苏南通·期末）在
中，已知
.
(1)求
；
(2)若
为
的平分线，
面积为14，求
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数的关系求出
，再利用两角差的正切公式结合
即
可求解.
（2）由（1）的结论以及三角形中
求出角C 的正弦，再利用正弦定理与
三角形面积公式求出b 边和c 边，再用等面积法转化即可求解.
【详解】（1）在
中，
，所以
，
因为
，所以
，
因为
，所以
，
所以
.
所以
，
所以
，
又因为
，所以
.
（2）由
，所以
，
所以
.
记
中角A、B、C 所对的边为a、b、c，
由正弦定理可得
，所以
，
所以
，
解得
（负值舍去），所以
.
又由
，得
，
所以由
，得
，
所以
，解得
.
17．（2025·江苏·三模）已知
为锐角三角形，角
、
、
的对边分别为
、
、，
，
.
(1)求
的取值范围；
(2)求
的内切圆半径的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理求出
的值，可得出角
的值，根据
为锐角三角形求出角
的取值范
围，利用正弦定理与三角恒等变换化简得
，根据角
的取值范围结合正弦型函数的
基本性质可求得
的取值范围；
（2）利用正弦定理结合三角恒等变换、正弦函数的基本性质可求出
的取值范围，然后利用等面积法
得出
，即可得出的最大值.
【详解】（1）因为
，则
，
可得
，
由余弦定理可得
，
因为
为锐角，故
，
因为
为锐角三角形，则
，解得
，
由正弦定理可得
，故
，
，
故
，
因为
，则
，所以
，
故
，即
的取值范围是
.
（2）因为
，
因为
，则
，故
，
故
，
又
，则
，由
，
得
，
则当
，即
时，
，
所以
的内切圆半径的最大值
.
18．（2025·江苏南通·三模）在锐角
中，内角
、
、
的对边分别为
、
、，面积为，满
足
．
(1)求证：
；
(2)求
的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由三角形的面积公式、余弦定理、正弦定理以及两角和、差的正弦公式得出
，结合正弦函数的单调性可证得结论成立；
（2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出
，根据
为锐角三角形
求出角
的取值范围，即可得出
的取值范围，然后利用二次函数的基本性质可求得
的取
值范围．
【详解】（1）由
得
，即
，
由余弦定理得：
，即
，
化简得：
，
由正弦定理有：
，
即
，化简得：
，
因为
，
，所以
，
因为正弦函数
在
上单调递增，故
，即
.
（2）由正弦定理得
，
因为
为锐角三角形，则
，解得
，则
，
令
，则目标式为
，其中
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，
因为
，
，故
，
故当
时，
.
因此，
的取值范围是
.
19．（25-26 高三上·江苏无锡·期中）已知向量
，
，设函数
．
(1)若
，
，求
的值；
(2)将函数
的图象上所有的点向右平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来
的
倍（纵坐标不变），得到函数
的图象．若函数
的图象关于直线
对称，求
在
上的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)最大值为1，最小值为
【分析】（1）根据向量数量积运算及辅助角公式化简得到
，再结合
求得
；
（2）根据三角函数图象变换得到
解析式，结合
范围求解
取值范围.
【详解】（1）因为
，
，
所以
，
所以
，即
，
因为
，则
，则
，
所以
，
所以
.
（2）由（1）知
，根据三角函数的图象变换规律，
将函数
的图象上所有的点向右平移
个单位长度可得到
，
再把所得各点的横坐标缩短到原来的
倍（纵坐标不变）可得到
，
因为函数
的图象关于直线
对称，
所以
，即
，
因为
，所以
，因此
，
因为
，所以
，则
，即
，
所以
在
上的最大值为1，最小值为
.
20．（25-26 高三上·江苏南京·期中）已知
的内角
的对边分别为
，且
.
(1)求
；
(2)若
的面积为
，且
，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用正弦定理进行边化角，再运用辅助角公式，即可得解；
（2）由三角形面积可得
，再将
用
与
进行表示，表示出
后，利用基本不等式进行求解
即可.
【详解】（1）由正弦定理，
可转化为
，
在三角形中，
恒成立，两边同除
，得
，
即
，则
，则
或
，
则
或
（舍去），
故
.
（2）
由题可知，
为
的中点，
为
的三等分点，且
.
又
，
.
由
，可得
.
，
当且仅当
时，即
时，等号成立.
故
的最小值为
.
21．（25-26 高三上·江苏南通·期中）在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
.
(1)求证：
；
(2)设
边上的中点为D.
（ⅰ）若
，
，求
；
（ⅱ）记
，求
的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)（ⅰ）
；（ⅱ）
【分析】（1）利用二倍角的余弦公式化简，再结合三角函数求出
；
（2）（ⅰ）利用余弦定理以及
即可；
（ⅱ）在
和
中利用正弦定理，结合两角和差、倍角公式得出
，令
，结合辅助角公式和三角函数的最值求出最大值，并检验其存在性，即可求出
的最
大值.
【详解】（1）
，则
，
因
，则
，则
，
又
，则
或者
（舍），则
；
（2）（ⅰ）因
，
，
，
，
则在
和
中利用余弦定理可得，
，
得
，则
为等边三角形，故
；
（ⅱ）在
和
中利用正弦定理可得，
，
，
两式联立可得，
，即
，即
则
，即
，
则
，
因
，则令
，
则
，其中
，
则
，得
，
当
时，
，
因
，则
，则
，则
，
故当
，即
时，
有最大值
，此时
，
故
的最大值为
.
22．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知函数
，其中
.
(1)若函数
在区间
内恰有2 个极值点，求
的取值范围；
(2)当
时，在
中，角
所对的边分别为
，且
，求边
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简得到
，由
在
上恰有2 个极值点，结合三角函数的
性质，列出不等式，即可求解；
（2）由
，得到
，求得
，且
，再由正弦定理，求得
，
结合
和三角函数的性质，即可求得实数
的取值范围.
【详解】（1）解：由
，
因为
，可得
又因为
在
上恰有2 个极值点，则满足
，
解得
，所以
的取值范围为
.
（2）解：当
时，可得
由
，可得
，即
，
因为
，可得
，所以
，
解得
，所以
，
又由正弦定理
，可得
，
所以
，
又因为
，可得
，所以
，
所以
，当且仅当
时，等号成立，
所以实数
的取值范围为
.
23．（25-26 高三上·江苏常州·月考）已知向量
，记函数
．
(1)求函数
在
上的取值范围；
(2)若
为偶函数，求
的最小值；
(3)若
在区间
上单调递增，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先根据向量数量积坐标表示化简、再根据二倍角正弦公式与余弦公式、辅助角公式化简函
数为
，最后根据正弦函数性质求值域；
（2）先根据
为偶函数求得
，再求
的最小值；
（3）根据题意
，根据正弦函数单调递增区间求解.
【详解】（1）
，
∵
，
，
，
∴
的取值范围为
.
（2）因为
为偶函数，
所以
，
因此当
时
.
（3）
，
因为
，所以
，
根据正弦函数单调递增区间可得
，
得
，所以
，
即的取值范围为
.
24．（25-26 高三上·江苏南通·期中）已知函数
，
，直线
和
点
是
图象的一组相邻的对称轴和对称中心.
(1)求
；
(2)设函数
，
，求
的零点和单调递增区间.
【答案】(1)
(2)
的零点为0，
，
，
的单调递增区间为
和
【分析】（1）先由正弦型函数结构特征得函数周期，进而由周期公式求出参数
，再将
代入
得到关于参数
的方程即可求解；
（2）先化简函数
的解析式，接着令
结合正弦函数性质、题设条件即可计算求解零点，再令
结合题设条件即可求解.
【详解】（1）因为直线
和点
是
图象的一组相邻的对称轴和对称中心，
所以函数
的最小正周期
，故
.
又因为
，故
，
因为直线
是函数
的对称轴，
所以
，故
，
，
又因为
，故
.
所以
；
（2）由题
，
由
得
，所以
或
，
，
所以
或
，
，
因为
，所以
，所以
的零点为0，
，
；
由
得
，
，
因为
，所以
，
所以
的单调递增区间为
和
.
25．（25-26 高三上·江苏扬州·月考）定义在
上的函数
．
(1)当
时，求函数
的值域；
(2)当
时，若
在
处取最大值．
①求
；
②关于
的方程
在区间
上有两解
，
，求
的值．
【答案】(1)
(2)①2；②
.
【分析】（1）需要将函数化简为标准形式，再根据给定区间求值域；
（2）①通过辅助角公式找到最大值条件，进而求出
；
②先根据三角函数性质求出
与
的关系，再代入式子计算.
【详解】（1）当
时，
，
因为
，
，所以
，
所以函数
的值域为
；
（2）①当
时，
，其中
，
，
当
时，函数
取得最大值，此时
，
所以
；
②由题知
，
，由①知
故方程
的两解满足：
，即
，
且
；又由①知
，
.
所以
；
由
知
，
所以
；
所以
．
（40 分钟）
26．（2025·江苏·模拟预测）在
中，内角
、
、
的对边分别为
、
、，且
.
(1)求角
；
(2)若
是锐角三角形，且
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化简得出
的值，结合角
的取值范围可得出角
的值；
（2）由
是锐角三角形可求出角
的取值范围，利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得
的取值
范围.
【详解】（1）因为
，由正弦定理可得
，
因为
、
，则
，所以，
，
则有
，故
.
（2）因为
为锐角三角形，则
，所以，
，
所以，
，则
，
由正弦定理可得
，
所以，
，
即
的取值范围是
.
27．（24-25 高一下·广东·期中）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
.
(1)求B；
(2)已知D 为边AB 上的一点，且
.
（ⅰ）若
，
，求AC 的长；
（ⅱ）求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)（1）
；（2）
【分析】（1）根据正弦定理边角化，结合正弦和角公式可得
,根据
，化简可得
，即可求解，
（2）（ⅰ）在
中，由余弦定理求解
，进而根据诱导公式以及正弦定理得
，
解得
，进而根据同角关系以及锐角三角函数求解，
（ⅱ）在
中由正弦定理
，得
，在
中，由锐角三角函数
得
，进而可得
，利用二倍角公式化简得
，即可根据余弦
函数的性质求解.
【详解】（1）由题意知
，
又由正弦定理得
，所以
.
又
，所以
，所以
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，
又因为
，所以
.
（2）（ⅰ）因为
，
根据余弦定理得
，所以
，
因为
，所以
，
在
中，由正弦定理知，
，即
，所以
，
进而
,所以
故
，
（ⅱ）因为
，所以
，
在
中，由正弦定理得
，所以
；
又在
中，
；
所以
，
因为
，所以
，所以
，
所以
的取值范围是
.
28．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，点P 满足
．
(1)若
，求
；
(2)若
，
的周长为4，
①求证：
；
②求
面积的最大值．
【答案】(1)
(2)①证明见解析 ；②
【分析】（1）方法一：先根据边相等判断
是等边三角形，再结合角相等推出
，
进而得出
，算出
的值.方法二：在
和
中用正弦定理，得到
，结
合范围求出
.
（2）①由角相等得出
，在
和
中用正弦定理，推出
，再得到
.②
先根据
和均值不等式求出
的上限，再由三角形三边关系求出
的下限.用余弦定理表示
，
进而得出
关于
的表达式，通过求导判断函数单调性，求出
最大值.
【详解】（1）方法一：因为
，所以
为等边三角形，
因为
，所以
，
所以
，
所以
，所以
，所以
．
方法二：在
中，由正弦定理得，
，
在
中，由正弦定理得，
，
所以
，又
，所以
，故
．
（2）①证明：因为
，所以
．
在
中，
，在
中，
，
所以
，即
，
从而
，故
．
②因为
，所以
，
解得
，当且仅当
时，取等号，
又
，则
，即
，即
，
整理得
，解得
，故
．
在
中，由余弦定理，得
，
，
令
，则
，所以
单调递增，
所以
的最大值为
．故
最大值为
．
29．（2025·江苏苏州·模拟预测）记
的内角
所对的边分别是
，已知
.
(1)证明：
；
(2)若
，求
.
【答案】(1)证明见解析
(2)
.
【分析】（1）先切化弦，再利用两角和差的余弦公式得出
，最后结合余弦函数的性质即
可；
（2）先利用
结合正余弦定理可得
，再将
代入
化简即可得
，再分类讨论即可.
【详解】（1）因为
，所以
，
即
，所以
，
又因为
，
所以
或
（舍），从而
.
（2）因为
，所以
，
利用正弦定理得
，即
，即
，
又因为
，所以
，代入上式得
.
若
，则
，所以
；
若
，则
，所以
，
又
有意义，故
，故
不符合题意.
综上所述，
.
30．（2025·江苏·模拟预测）在
中，角
的对边分别为
，
．
(1)若
，求
的周长；
(2)若
的内切圆、外接圆半径分别为
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理求出
，即可求解
的周长，
（2）利用余弦定理可得
，即可确定c 的取值范围，进而利用正弦定理和面积公式，表示
，利用基本不等式即可求解范围.
【详解】（1）
，
，由余弦定理得，
，
，解得，
或
（舍去）
，
的周长为
.
（2）由余弦定理得，
，整理得，
，
，
，即
，
由正弦定理得，
，
，
，
，
，
令
，
，
，
函数
在
上单调递增，
，即
的取值范围是
.
（40 分钟）
31．（2025·江苏连云港·模拟预测）在
中，点
在边
上，
，
，
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）在
中，利用余弦定理求得
，从而得
，进而在
中，可解
；
（2）设
，
，（
），借助直角三角形可
，则利用正弦定
理求得
，再用余弦定理求出
，即可得解.
【详解】（1）在
中，
，
由余弦定理，
，
得
，
所以
．
所以在
中，
．
（2）设
，
，（
），在
中，
由正弦定理得
，又因为
，
代入上式有：
，得
．
由余弦定理得
，
综上，
．
32．（2025·江苏泰州·模拟预测）（1）在
中，已知
，
若
最长边的长为
，求最短边的长.
（2）在
中，
，点D 在BC 的延长线上，
，
，
，求AD 的长.
【答案】（1）
；（2）7
【分析】（1）由两角和的正切确定
，
，再结合正弦定理即可求解；
（2）由正弦定理求得
，在
中，由余弦定理即可求解；
【详解】（1）因为
，
所以
，
又
，所以
，所以
，
，
所以
，
，
故c 为最长边，即
因为
，且A，B 为锐角，所以A 为最小角，故a 为最短边，
由
得
，且
，所以
由正弦定理
得
，
即最短边的长为
；
（2）在
中，由正弦定理
得
，
因为
，所以
，
在
中，由余弦定理得
，
即AD 的长为
33．（2025·重庆·二模）在
中，角
所对的边分别
，且
.
(1)求角
的值；
(2)若
为锐角三角形，且
，求
面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理可得
，进而可得
，可得
；
（2）由
为锐角三角形可得
，根据正弦定理可得
，进而可得
，
，进而可得.
【详解】（1）由
及正弦定理可得
，
得
，
得
，
得
，
因
，故
，故
，即
，
又
，故
.
（2）由
得
，
由
为锐角三角形可得
得
，
由正弦定理可得
，故
，
即
，
因
，故
，故
，
故
，
，故
，
故
面积的取值范围为
34．（25-26 高三上·江苏南通·月考）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)求
.
(2)若
在AB 上，CD 平分
.
（i）若
，求BD；
（ii）若
在AC 上，BE 平分
，且
，求
.
【答案】(1)
(2)（i）
或
（ii）
【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，结合两角和的正弦公式及诱导公式可得；
（2）根据正弦、余弦定理解三角形即可.
【详解】（1）因为
，由正弦定理
得：
，
因为
，所以
.
因为
，所以
，所以
，所以
.
（2）因为CD 平分
，所以
（i）
中，
，由余弦定理
，
得：
，所以
，或
.
当
时，
，所以
，所以
，所以
.
所以
，所以
.
当
时，
，所以
，所以
，
所以
，所以
，所以
.
（ii）设
，则
，因为
，
所以
，
，
由正弦定理，得
，
.
因为BC
，所以
因为
所以
，即
所以
因为
，
所以
，
即
，
所以
.
因为
，所以
，所以
，
所以
，所以
，所以
.
35．（25-26 高三上·江苏扬州·期中）在
中，角
的对边分别为
的面积为.已
知
.
(1)若
，求
的值；
(2)若
，求
的最小值；
(3)若
.分别在边
上，且
，求
面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用正弦定理结合三角形面积公式得到
，再利用余弦定理求解余弦值即可.
（2）利用余弦定理和三角形面积公式并结合换元法得到
，再利用辅助角公式并结合正
弦函数的有界性列出不等式，求解参数范围，最后求出最小值即可.
（3）利用正弦定理求出
，
，结合
可得
，再结合辅助角公式和正弦函数的有界性得到
，最后利用三角形面积
公式得到结果即可.
【详解】（1）因为
，所以由正弦定理可得
，
因为
，所以
，
所以由余弦定理得
；
（2）由三角形面积公式得
，且
，解得
，
由余弦定理得
，
令
，则
，
，
即
，其中
，
可得
，解得
，
则
，当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
（3）由题意得
，而
，可得
，
如图，作出符合题意的图形，
设
，则
是等边三角形，得到
，
因为
，所以
，而
，
故
，设
，
在
中，由正弦定理得
，
解得
，
在
中，由正弦定理得
，解得
，
如图，过
作
，可得
，
，
，
由锐角三角函数的定义得
，则
，
因为
，所以
，
化简得
，则
，
由辅助角公式可得
，
，
由正弦函数有界性可得
，
即
，故
，
由三角形面积公式得
.
（40 分钟）
36．（25-26 高三上·江苏南京·开学考试）已知在锐角
中，
，
为
边上一点，且
平分
．
(1)求
的值；
(2)若
，求
的值．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）由三角形内角性质及和差角正弦公式化简得
，结合已知锐角三角形、
正弦边角关系有
，最后根据角平分线的性质即可得；
（2）由已知及余弦定理得
，再由
及数量积的运算律求
的模长，即可得.
【详解】（1）由
，
所以
，
则
，在锐角三角形中
，则
，
由正弦定理知
，又
平分
，
根据角平分线的性质知
；
（2）由
，且
，则
，可得
，
由
，
所以
，
所以
，而
，故
.
37．（2025·江苏泰州·一模）在
，已知
，
.
(1)求B；
(2)若
为
的平分线，
的面积为14，求
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用同角三角函数的关系求出
，再利用两角差的正切公式结合
即
可求解.
（2）由（1）的结论以及三角形中
求出角C 的正弦，再利用正弦定理与
三角形面积公式求出b 边和c 边，再用等面积法转化即可求解.
【详解】（1）在
中，
，所以
，
因为
，所以
，
因为
，所以
，
所以
.
所以
，
所以
，
又因为
，所以
.
（2）由
，所以
，
所以
.
记
中角A、B、C 所对的边为a、b、c，
由正弦定理可得
，所以
，
所以
，
解得
（负值舍去），所以
.
又由
，得
，
所以由
，得
，
所以
，解得
.
38．（2025·江苏南京·二模）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知
.
(1)求
；
(2)若
，
，求
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意，根据正弦定理和余弦定理计算即可求解；
（2）由（1），由题意可得
，
，在
和
中，利用余弦定理建立方程
，求得
，进而
，再次利用余弦定理计算即可求解.
【详解】（1）
，由正弦定理得
，
得
，所以
，
由
，得
.
（2）如图，因为
，
，所以
，
，
在
中，由余弦定理得
，
即
；
在
中，由余弦定理得
，
即
，①
所以
，得
，
由
解得
，代入①得
，由
解得
.
在
中，由余弦定理得
.
39．（2025·江苏镇江·模拟预测）记
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)求
；
(2)若
，且
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简求得
，得到
的值；
（2）由
，求得
，得到
，结合正弦定理和两角和
的正弦公式，分别求得
和
的值，结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：因为
，
由正弦定理，可得
因为
，可得
，所以
，所以
.
（2）解：由
，
可得
，即
，
因为
，可得
，所以
，即
，
又
，所以
，解得
，
又因为
，可得
由正弦定理
，可得
，
所以
.
40．（2025·江苏苏州·三模）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，
的面积和周
长分别为，
，且
．
(1)若
，
，求
；
(2)若
且
，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可列出方程组求出
，即可得
，即得答案；
（2）法一，由已知条件等式结合余弦定理化简可得
，再由余弦定理结合基本不等式即可求得答案；
法二由已知条件等式结合正弦定理化简可得
，再由余弦定理结合基本不等式即可求得答案；
【详解】（1）因为
，所以
，
消去
得
，又因为
，所以
，
所以
，即
．
（2）法一：因为
，所以
，
即
，
又因为
，所以
，
化简得
，
因为
，即
，所以
．
因为
，所以
（当且仅当
时取等号），
所以
，由题意可知A 为锐角，且
，故
，
因此
，即的最大值为
．
法二：在
中，因为
，所以
，
由正弦定理得
，
因为
，所以
，
即
，
又
，所以
．
所以
，所以
（当且仅当
时取等号），
所以
，因此
，即的最大值为
．
（60 分钟）
41．（23-24 高三上·江苏无锡·月考）在
中，
，且
，
，
为
内
一点，
．
(1)若
，求
的长；
(2)若
，求
．
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）根据勾股定理，可先确定点
的位置，再求
的长.
（2）在
中，利用正弦定理列式求值.
【详解】（1）如图：
因为在
中，
，
，
，所以
，
.
在
中，
，
，
，所以
，
.
所以点
在线段
上，所以
.
（2）如图：
设
，
在直角
中，
.
在
中，由正弦定理可得：
.
所以：
.
42．（2025·江苏·一模）在
中，角
所对的边分别为
，且
．
(1)求
；
(2)若
，
，
为
的中点，求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理或正弦定理进行边角转化，可求角
.
（2）法一：在
中，利用余弦定理，先求边
与
，再在
中利用余弦定理求
.
法二：利用
，在
和
中利用余弦定理列式，可求
的值.
法三：在
中，利用余弦定理，先求边
，再利用
，结合平面向量数量积的有关运
算，可求
的值.
【详解】（1）法一：因为
，由余弦定理：
，
得：
，则
，因为
，所以
．
法二：因为
，由正弦定理得：
，
，
，
，
因为
，所以
，因为
，所以
．
（2）在
中，由余弦定理得：
，
得：
，
法一：
，
在
中，由余弦定理得：
，得：
．
法二：因为
，所以
，
所以
，
所以
，解得：
．
法三：因为
，所以
，
，所以
．
43．（2025·江苏宿迁·二模）记
的内角
、
、
所对边分别为
、
、，面积为，且
．
(1)证明：
；
(2)若
，
边上的高为
，求
．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用三角形的面积公式结合二倍角的正弦定理可得出
，再利用正弦定理结合两角
和的正弦公式化简可得出所证结论成立；
（2）解法1：利用两角和的正切公式可求出
的值，过
作
，过
作
，
、
分别
为垂足，设
，在
中，应用勾股定理求出
的值，然后在
，利用勾股定理
可求出
的值；
解法2：利用同角三角函数的基本关系求出
、
的值，利用三角形的面积公式求出
的值，然后利
用正弦定理可求出
的值.
【详解】（1）因为
，所以
，
在
中，
，所以
．
由正弦定理
，得
．
因为
，
所以
，
所以
，即
，
所以
．
（2）因为
，所以
，由（1）知
．
法1：因为
，
所以
为锐角三角形．
过
作
，过
作
，
、
分别为垂足，
由
，设
，
因为
，所以
，
，
所以在
中，
，
，
，所以
，解得
，
所以在
中，
，即
．
法2：因为
，又因为
，解得
，
．
因为
，所以
，所以
，
．
由
，得
，解得
．
由正弦定理
，得
，解得
．
44．（2025·江苏南京·一模）在
中，角
，
，
对应边为
，
，，满足
．
(1)已知
，若
在
上，且
，求
的最大值；
(2)延长
至点
，使得
．若
，求
的大小．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）由已知可得
，根据面积公式可得
，由余弦定理结合不等式即可求解；
（2）由已知可得
，过
作
，交
于点
，可证
，根据比例关系可得
，结合正弦定理即可求解.
【详解】（1）在
中，
，
由
，得
，
整理得
，而
，
所以
，可得
，
结合
，可知
，所以
的面积
，
因为
是
边上的高，所以
，可得
，
由余弦定理得
，即
，
根据
，可得
，即
，
解得
，即
，当且仅当
时，等号成立，
所以
，
当
时，
取得最大值
；
（2）由
，可得
，
过
作
，交
于点
，则
，可得
，
在
与
中，
，
，
所以
，可得
，即
，
所以
，
结合正弦定理得
，可得
，
结合
，可得
或
，
所以
或
.
45．（2025·江苏泰州·二模）在
中，角A、B、C 的对边分别是a、b、c．已知
，
为
常数．
(1)若
，
，求
面积的最大值；
(2)若
，
，求
的值．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理可得
，再利用三角形面积公式及辅助角公式求
出最大值.
（2）由正弦定理边化角，再用和角的余弦公式化
为
求解即得.
【详解】（1）由
，
，得
，而
，
由余弦定理得
，则
，
于是
的面积
，
整理得
，其中锐角
由
确定，
而
，则
，因此
，当且仅当
时取等号，
由
，解得
，所以
面积的最大值
.
（2）由
，
，得
，由正弦定理得
，
又
，
整理得
，而
，所以
.
46．（24-25 高一下·山西·期中）已知
的内角
的对边分别为
，且
．
(1)求
；
(2)若
，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）由正弦定理边化角，进而可求解；
（2）由余弦定理结合三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）由
，可得
．
因为
，所以
．
又
，且
，
所以解得
．
（2）由余弦定理可知
．
因为
，所以
，
整理得
，解得
或
（舍去）．
由
，可得
，
则
的面积
．
47．（24-25 高一下·河南·期中）已知
分别为
三个内角
的对边，且
.
(1)求
；
(2)若
，且
的面积为
，求
的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理实现边角转化，结合两角和的正弦公式、辅助角公式进行求解即可；
（2）根据余弦定理和三角形面积公式进行求解即可.
【详解】（1）因为
，
所以
，
，
，
，
因为
，所以
，
即
，所以
，
因为
，所以
，所以有
，所以
.
（2）因为
，且
的面积为
，
所以有
，
所以
，即
，所以
周长为
.
48．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在
中，
，点
在边
上，且
，且
．
(1)记
，求
的取值范围；
(2)若
的面积为
，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等面积法、正弦定理、二倍角公式得出
，再根据
，利用余弦函数
的性质求解；
（2）利用余弦定理得到
以及三角形面积公式，得到
，进一步得到
，再利用辅助角公式结合三角函数的值域即可求解．
【详解】（1）因为
，
，
所以
，
因为
，
所以
，
因为
，所以
，所以
，
因为
，所以
，所以
；
（2）由余弦定理得
，
因为
，所以
，因为
，所以
，
所以
，
令
，则
，
所以
（其中
），
所以当
时，
取得最小值
的最小值为8．
的最小值为
49．（2025·江苏盐城·模拟预测）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求B；
(2)若
，求
的内切圆的半径的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理边化角，结合三角恒等变换求得
，得解；
（2）由（1）结合余弦定理和基本不等式得
，再根据直角三角形内切圆半径公式求解.
【详解】（1）因为
，由正弦定理可得
，又
，
所以
，即
，
所以
，又
，
，
，又
，
所以
.
（2）由（1），
，
，则
，
，
故
，当且仅当
时，取等号，
设
的内切圆的半径为，则
，
所以
的内切圆的半径的最大值为
.
50．（25-26 高三上·江苏盐城·期中）已知向量
，
，记函数
.
(1)求函数
的对称中心；
(2)将函数
图象上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2 倍，得到函数
的图象，若
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查三角函数化简和正弦型函数的对称中心，以及诱导公式二倍角公式的运用，解答时直接
运用相关公式求解即可.
【详解】（1）因为
令
，解得
，
所以函数
的对称中心为
；
（2）因为将函数
图象上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2 倍，得到函数
的图
象，所以
；
又因为
，所以
，所以
，
所以
