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解答题专题05 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）
............................................................1
...........................................................21
...........................................................27
...........................................................36
..........................................................49
..........................................................58
...........................................................69
..........................................................80
【典例】1．（2025·江苏扬州·三模）已知
和
，直线
与椭圆
切于点
.
(1)求
的离心率；
(2)若过
的直线交
于另一点
，且
的面积为
，求的方程.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据点在椭圆上，可得
，再根据直线与椭圆相切，列方程，可得椭圆方程，进
而可得离心率；
（2）设点
，由已知可确定
方程与
，结合三角形面积可得
，再由
点
在椭圆上，可得方程组，联立方程组即可得解.
【详解】（1）由已知点
在椭圆上，则
，
又
，
，可知
，即
，
又直线
与椭圆相切，
联立直线与椭圆
，得
，
即
，
化简可得
，
联立
，解得
，
则
，即
，
，
，
所以离心率
；
（2）由（1）得椭圆方程为
，
设
，由已知
，且
，
则点
到直线
的距离
，
又
的面积
，
化简可得
，
又点
在椭圆上，则
，
联立方程
，解得
，则
，
所以
，即直线
.
【典例】2．（2025·江苏·二模）已知椭圆
：
的离心率为
，且经过点
.
，
是
的左、右焦点.
(1)求
的标准方程；
(2)过
的直线与
交于
，
两点.若
的内切圆半径为，
，求
的值.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据给定条件，结合离心率的意义及所过点求出
即可得椭圆方程.
（2）设出直线
方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理定理，结合弦长及三角形面积公式求解.
【详解】（1）设椭圆
的半焦距为，由离心率为
，得
，令
，
，
椭圆
：
过点
，则
，解得
，
所以椭圆
的标准方程为
.
（2）由（1）知
，设直线
的方程为
，
，
，
由
消去
得
，
，
，
，
，
而
，
，则
，解得
，
所以
.
【典例】3．（2025·江苏泰州·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知点D 为双曲线E：
的右顶点，
，
在双曲线
上.
(1)求双曲线E 的方程；
(2)过点
且斜率为
的直线l 与双曲线E 的左支交于A，B 两点，
的外接圆的圆心为P，直线
OP 的斜率为
，证明：
为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）将点的坐标代入方程计算即可.
（2）假设直线方程
，与双曲线方程联立，利用韦达定理求得斜率范围，然后假设圆的方程，
并于双曲线方程联立，最后将联立之后的两方程系数对应成比例，计算即可.
【详解】（1）因为
，
在双曲线E 上，
所以
，故
，所以E 的标准方程为
．
（2）如图：
设直线l：
，由
得
，①
所以
，因为直线l 与双曲线E 的左支交于A，B 两点，
所以
，且
，故
，
设圆P：
，
，由
，
得
，②
由双曲线的右顶点D 在圆上得
，
由①②得
.
由
，可得
③
由
，可得
④
所以3 ④
③可得
，即
．
【典例】4．（2025·江苏南通·模拟预测）已知椭圆
：
的离心率为
，下顶点
为
，点
在
上，过
中点
的直线（与直线
不重合）交
于
，
两点，其中
在直线
的左侧.
(1)求
的方程；
(2)若
，
，
，
四点共圆，求直线的方程；
(3)设直线
与
交于点
，求
面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】(1)根据椭圆离心率和椭圆上一点，待定系数求出椭圆标准方程.
(2)根据四点共圆的关系，列出坐标间的数量关系式，求出此时直线斜率，写出直线方程.
(3)椭圆中的最值问题，根据椭圆与直线关系，韦达定理求出结果.
【详解】（1）已知
，设
，则
，点
带入，可得
，
解得
，所以椭圆标准方程为
.
（2）
可知
,
得
.
当直线l 与x 轴垂直时，
因为
，所以
，
又因为
，所以AM 与AN 不垂直，
故此时
四点不共圆.
当直线l 斜率存在时，设
,
设直线l 的方程为
，
联立方程组
，消去
得
，
由韦达定理可知
，
所以
所以
，
若
四点共圆，则
，记圆心为E，
则
，所以直线l 是线段AB 的垂直平分线，
所以l 的方程为
.
（3）
直线
的方程为
，①
直线
的方程为
，②
联立①②消去
，得
，
因为
，所以
，解得
，
所以
，
所以点P 在与AB 平行的直线
上.
所以点P 到直线AB 的距离为
，
的面积为定值
，
所以
.
下面求
面积的最大值.
因为直线AB 的方程为
，
设与直线AB 平行的C 的切线方程为
，
与C 联立，消去y，得
，
由
，解得
或
(舍去)，
由
，解得
，所以切点坐标为
，
此时
面积取最大值
，
所以
面积的最大值为
.
【典例】5．（2025·江苏南京·三模）已知椭圆
过点
，短轴长为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)椭圆
与
轴的交点为
、
（点
位于点
的上方），直线
椭圆
交于不同的两点
、
.设直线
与直线
相交于点
，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得
，即可求出
、
，从而得解；
（2）由对称性分析该定直线为平行于横轴的直线，将直线
与椭圆联立消
，设直线
、
的方程
解出
纵坐标，结合韦达定理化简计算可知，点
在直线
上，然后利用“将军饮马”可求出
的最小值.
【详解】（1）依题意可得
，解得
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）设点
、
，
直线与椭圆
的方程联立消去
整理得
，
由
，且
，
所以
，
易知
、
，则直线
的方程为
，
直线
的方程为
，
两式作商得
，解得
，
故
在定直线
上.
由图可知，点
、
都在直线
的上方，点
关于直线
的对称点为原点
，
由对称性知
，所以
，
当且仅当
为线段
与直线
的交点时，即点
的坐标为
时等号成立，
故
的最小值为
.
【典例】6．（2025·江苏·一模）已知点
，曲线
上的点
与
两点的连线的斜率分
别为
和
，且
．
(1)求曲线
的方程；
(2)是否存在一条直线与曲线
交于
两点，以
为直径的圆经过坐标原点
．若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据题意表示斜率并化简即可得到答案；
（2）若直线的斜率存在，设
，
，
，直线方程与曲线方程联立，运用韦达
定理结合
得
进而化简得到
，若直线的斜率不存在，
得到
进而得到
.
【详解】（1）设点
的坐标为
，则
，
，
由题意可得，
，化简得
，
进而曲线
的方程为
．
（2）（ⅰ）若直线的斜率存在，设
，
由
，得
，
则
，即
，
设
，
，则
，
，
因为以
为直径的圆经过原点
，所以
，则
，
即
，整理得
，
，
设为点
到直线的距离，则
，所以
，
又
，所以
．
（ⅱ）若直线的斜率不存在，则
，
不妨设
，则
，代入方程
，得
，
所以
，则
，
综上，存在这样的直线与曲线
交于
，
两点，以
为直径的圆经过坐标原点
，且
．
【典例】7．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆
的离心率为
，点
在椭圆上，直线
与
交于
两点．
(1)求椭圆
的方程；
(2)若
，
①证明：
；
②若直线
经过原点，与椭圆
交于
两点，且
，求四边形
面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【分析】（1）根据椭圆性质和将
带入椭圆方程可得关于
的方程，求解即可；
（2）①设
，
，联立方程组，根据根于系数的关系和数量积的坐标运算可证；
②设
的中点为
，因为
，所以
，不妨设
，
，又
，并由点
在椭圆上进一步求范围.
【详解】（1）
，得
，
将
带入椭圆方程有
，解得
，
．
所以椭圆方程为
．
（2）设
，
，
由
，得
，
，
（*）
①由于
，
所以
．
将（*）带入得
，化简得
．
②设
的中点为
，因为
，所以
，
不妨设
，
，
到直的距离为
，
，
．
由
，得点
坐标为
，
则
，
由点
为椭圆上点，
，
得
，即
，
所以
，
所以
．
综上，四边形
面积的取值范围为
．
【典例】8．（2025·江苏·模拟预测）已知曲线
，两曲线的离
心率均为
，其中
分别是
的左、右顶点．
(1)分别求
的方程．
(2)已知Q 是
上一点，
分别交直线
和
于
两点，以
为直径的圆记为圆D．
（i）判断圆D 是否过定点．若过定点，求出定点的坐标；若不过，请说明理由．
（ii）P 是
上一点，当圆D 的面积最小时，过点P 作圆D 的两条切线，切点为
，求
面积的取
值范围．
【答案】(1)曲线
，曲线
；
(2)（i）圆
过定点
；（ii）
【分析】（1）根据
判断曲线焦点的位置，再根据离心率，得出
的值；
（2）（i）首先计算出
，
的坐标，根据中点坐标公式得出圆心
的坐标，在利用
，得到圆
的半径，最后将圆心与半径代入得圆的标准方程，即可得出圆
过定点；（ii）根据圆的面积公式，得出
圆D 的面积最小时，
，得出圆的标准方程，可得圆心坐标与半径，可求
的取值范围，根据切
线性质可求
，最后再构造出函数，结合函数单调性求出
面积的取值范围.
【详解】（1）因为
，则
，可知曲线
的焦点在
轴上，曲线
的焦点在
轴上；
对于曲线
，
，解得：
；
对于曲线
，
，解得：
；
即
，所以曲线
，曲线
.
（2）（i）由题意可知：
，
，
设
，因为
在
上，则
，可得
，
直线
的方程为
，令
得：
，即
；
直线
的方程为
，令
得：
，即
；
则
，
且
，
可知圆
的圆心为
，半径
，
则圆
的方程为：
，整理可得
，
令
得
，所以圆
过定点
；
（ii）因为
，则
，当且仅当
时，等号成立，
所以当圆D 的面积最小时，圆心为
，半径
，方程为
，
设
，
，则
，即
；
则
，
因为
，
是圆D 的两条切线，则
，
，
可知
，
，
设
，则
，
,
因为
，
令
，则
，可得
，
因为
在
内单调递减，且
，
，
可得
，所以
面积的取值范围为
.
【典例】9．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知
，
，二者相交于
，离心率为
．
(1)求
的方程；
(2)记
在第一象限交于
，第二象限交于
，第三象限于
，第四象限交于
．
（i）如图1，过点
的直线交
于
，过点
的直线
交
于
，斜率分别为
，
，
的中点
分别为
，
．求证：当
时，
(所有直线斜率均存在) ；
（ii）如图2，
为
上的动点，连接
交
于
，连接
交
于
．连接
交
于
，连接
交
于
，求证：
轨迹为双曲线，并给出轨迹方程．
【答案】(1)
，
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析，轨迹方程为
【分析】（1）由题意可得
，
，计算即可得解；
（2）（i）由题意可得
，
，分别联立曲线
，结合韦达定理可得
的横坐标，则可计算出
的纵坐标，从而可用
表示出
的斜率，结合
计算即可
得证；（ii）设直线
、
、
、
的斜率分别为
、
、
、
，分别联立直线
、
、
与曲线
、
、
，结合韦达定理计算出
、
、
的坐标，从而可得出
、
、
、
间的关系，
并可用
表示出
，再设
，结合
、
两点坐标可得
，
，则可得
所满足关
系式，即为
轨迹.
【详解】（1）由题意可得
，且
，即
，
故
，解得
，则
，
故
，
；
（2）（i）由题意可得
，
，
联立
，消去
有
，
故
，则
，
，故
，
联立
，消去
有
，
故
，则
，
，故
，
由
，故
，故
；
（ii）设直线
、
、
、
的斜率分别为
、
、
、
，
则
，
联立
，消去
有
，
则
，故
，
则
，
由
，则
，
，
联立
，消去
有
，
则
，故
，
则
，
由
，则
，
则
，
，
联立
，消去
有
，
则
，故
，
则
，
由
，则
，
则
，
设
，则
，
，
故有
，
即有
，
化简可得
，故
轨迹为双曲线，
且轨迹方程为
.
【典例】10．（25-26 高三上·江苏南京·月考）已知椭圆
的左、右顶点分别为
M、N，且椭圆C 过点
，离心率为
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知椭圆C 具有性质：椭圆C 上任一点
处的切线方程为
，试运用该性质解决以下
问题：过动点
作椭圆C 的两条切线，切点分别为A、B，A 在x 轴上方．
（i）设直线AM 与直线BN 的斜率分别为
，
，求证：
为定值；
（ii）若
，过点P 作直线l 交椭圆C 于D，E 两点，过D 作PA 的平行线交AB 于点G，延长DG 至
点F，使得DG＝GF．求证：A，E，F 三点共线．
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）根据已知条件求得
，进而求得椭圆
的方程.
（2）(i)设出直线
的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，由此化简
，从而证得
为定
值.
(ii)通过联立方程组求得
点的坐标，联立直线的方程和椭圆方程，化简写出根与系数关系，通过联立
直线
与直线
的方程求得
点坐标，进而求得
点坐标，通过证明
来证得
三点共线.
【详解】（1）由题意得
，
解得
，所以椭圆C 的方程为
.
（2）（i）由（1）知
，设
，
则
，又都过点P，所以有
，
所以
，
故直线过定点
，设
，
联立
消x 得
，
，
所以
，
，
所以
为定值.
（ii）当
时，
，
由
消去
并化简得
，
解得
或
，
由于
在x 轴上方，所以
，则
，
即
,
设
，
联立
消y 得
，
则
，
所以
，
，
另一方面，
，联立
，
解得
，所以
，
所以
，
要证A、E、F 三点共线，只需证
，
即证
①，
而
，
，
所以等式①成立，故A、E、F 三点共线.
11．（25-26 高三上·江苏·月考）已知双曲线
的离心率为
，且过点
.
(1)求
的方程；
(2)直线过
且交
于
两点，若弦
的长度为
的实轴长的两倍，求的方程.
【答案】(1)
(2)
或
或
【分析】（1）由离心率和所过点求出
，写出方程；
（2）若直线斜率不存在，验证；若直线斜率存在，设为
，联立-消元-韦达定理，利用弦长
公式求
.
【详解】（1）因为双曲线
过
，离心率为
，所以
，
解得
，所以双曲线
的方程为
.
（2）由（1）知双曲线的实轴长为2，当直线的斜率存在时，设直线的方程为
，
联立
，得
，
，
设
，则
，
所以
，解得
，
由直线与双曲线渐近线的位置关系可得此时直线与双曲线有两个交点；
当直线的斜率不存在时，直线的方程为
，此时
，符合题意.
综上所述，直线的方程为
或
或
.
12．（25-26 高三上·江苏南通·开学考试）已知
为坐标原点，过抛物线
的焦点
的直线交
抛物线
于
两点（点
在第一象限）．
(1)若
，
，求
的值；
(2)设点
为抛物线准线与
轴交点，求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意设点
，直线
，联立解出
，再利用抛物线的
定义，即可求解.
（2）根据题意设点
，直线
，表示出
后，利用韦达定理进行
化简，即可求解.
【详解】（1）因为点
在第一象限，
，则
，
焦点
，准线
，
，
所以设点
，直线
，
联立
，得
，解得
，
，
由
，得
.
（2）因为点
在第一象限，则
，焦点
，点
，
设点
，直线
，
联立
，得
，
所以
，
，
则
，
综上，
的值为0.
13．（25-26 高三上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆
，直线
，直线l 与圆C 相交于点A，B，圆C 与x 轴正半轴交于点D．
(1)若
，求直线l 的方程；
(2)记直线AD，BD 的斜率分别为
，
，求证：
为定值．
【答案】(1)
或
(2)
【分析】（1）根据圆得垂径定理可求出
的值，从而可求直线l 的方程；
（2）令
，结合圆
的方程求出点
的坐标，设
，
，联立直线与圆
的方程，利用
韦达定理，得
利用斜率公式得
从而可求出
为定值
．
【详解】（1）圆
的方程化为标准形式：
故圆心
，半径长
设圆心
到直线
（即
）的距离为
，根据弦长公式：
，已知
代入得：
，解得：
由点到直线的距离公式，圆心
到直线
的距离
，
解得
因此，直线的方程为
或
．
（2）由圆
，令
，得
（取正半轴），故
；
设
，
，
联立直线与圆
的方程得方程组
，
消去
，整理得
由韦达定理，得
又直线AD，BD 的分别为
因此：
又
故
故
为定值
．
14．（25-26 高三上·江苏南京·期中）已知椭圆
的离心率为
，且椭圆经过点
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)已知
，过椭圆
的左焦点且倾斜角为
的直线交椭圆
于
两点，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得
，解出即可求解；
（2）直线的方程为：
，与椭圆
方程联立得
，设
，得
，进而计算弦长
，又由点到直线的距离公式计算点
到直线
的距离
，最后由
计算即可求解.
【详解】（1）由题意有：
，
所以椭圆
的方程为：
；
（2）由题意有：左焦点
，所以过
且倾斜角为
的直线的方程为：
，
所以
，
设
，
所以
，
所以
，
又点
到直线
的距离为：
，
所以
.
15．（25-26 高三上·江苏苏州·开学考试）在平面直角坐标系
中，动点
到点
的距离与到直
线
：
的距离相等，记
的轨迹为
.
(1)求
的方程；
(2)直线过点
与曲线
交于点
，
，点
满足
，当直线
斜率最大时，求点
的坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线的定义求出方程；
（2）先通过向量关系得到点M 与Q 的坐标联系，再结合抛物线方程，利用基本不等式求直线OQ 斜率最
大值，最后联立直线与抛物线方程，结合韦达定理求出点N 坐标.
【详解】（1）设动点
，则点
到点
的距离为
，
直线
的距离为
；
因为动点
到点
的距离与到直线
的距离相等，
所以
，所以
的方程
.
（2）设
，由
，即
得
；
因为点
在轨迹
上，所以
，而
，
因为要求
斜率的最大值，所以
，
所以
，当且仅当
，即
时，等号成立.
所以
，直线
，
由
与
联立，得
，即
，
所以
，即
，所以
，
所以
.
16．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知椭圆
的离心率为
，右顶点为
．
(1)求C 的标准方程；
(2)若
，直线l 过C 的右焦点且与C 交于P，Q 两点，
①求
的最小值；
②若
，求l 的方程．
【答案】(1)
；
(2)①
；②
或
.
【分析】（1）由离心率和椭圆参数关系求参数值，即可得方程；
（2）①设
，则
，应用两点距离公式及二次函数性质求最值；②设l 为
，根据已知有
，由等比例关系得
，即
，
再联立直线与椭圆并应用韦达定理求参数值，即可得方程.
【详解】（1）因为
，所以
，又
，
所以
，故C 的标准方程为
．
（2）①设
，则
，
所以
，
又
，所以当
时，
的最小值为
，
②由题意，右焦点
，直线l 斜率不为0，
设l 的方程为
，
因为
，所以
，则
，
故
，可得
，
由
，消去x，得
，
则
，
从而
，
可得
，即
，所以
，
故l 的方程为
或
．
17．（2025·江苏·模拟预测）已知双曲线
的右焦点为
，若
上任一点到两
条直线
和
的距离的平方差为
．
(1)求双曲线
的方程；
(2)设点
为
上任意一点，
为过
的直线．
①记过
且与
轴垂直的直线为
．若与
交于点
，与直线
交于点
，证明：当
时，
为定值，并求出这个定值；
②设点
关于直线的对称点为
，试求
点的轨迹．
【答案】(1)
(2)①证明见解析，定值为
；②答案见解析
【分析】（1）首先设任一点的坐标为
，然后根据点到直线的距离公式结合已知条件列出等式，化简
即可求得双曲线的方程.
（2）对于①，首先根据已知条件将点
的坐标求出来，然后根据两点距离公式列出
的表达式，然
后化简即可求得定值；对于②，分两种情况讨论，当直线斜率存在和不存在时，当斜率存在时，根据直
线垂直与对称的性质可求出
的轨迹为圆.
【详解】（1）设
上任一点
，而直线
转化为
.
根据点到直线的距离公式可得：
.
根据题意
，化简得
，
即
.
（2）由（1）可知
，所以
，所以点
.
①证明：依题意可知直线
的方程为
.
因为直线
与直线
交于点
，所以将
代入直线方程
可得到点
的坐标为
.
因为线
与直线
交于点
，所以将
代入直线方程
可得到点
的坐标为
.
所以
，
，
所以
.
因为直线过点
，所以
，即
.
所以
为定值，且定值为
.
②设点
关于直线
的对称点
，
当
时，
，此时
的轨迹为点
.
当
时，设
，
则
，解得
，
因为点
在双曲线
上，
所以
，即
，
化简得：
.
所以
，即
，
点轨迹与
重合，不合题意；
或
，即
，
所以
点轨迹为以
为圆心，半径为
的圆，此时
也在圆上.
18．（2025·江苏·三模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，若直线与
相切于第
一象限内的点
，且与
轴相交于点
.
(1)证明：
平分
；
(2)过原点
作的垂线（垂足为
），与
相交于点
，求
面积的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设
，设切线
，联立方程组利用判别式可求得
，进而求得
，可证到两边距离相等，可证结论；
（2）由（1）可知
的方程为
，联立方程线求得
的纵坐标，进而可求得
面积的最
大值.
【详解】（1）
设
，则满足
，又可设切线
，
则联立
化简得
.
由
，解得
，
所以直线
，令
，得
.
直线
的方程为
，即
，
所以
到
的距离为
.
同理点
到直线
的距离为
.
所以
，故
平分
.
（2）由（1）可知
的方程为
，
联立
解得
.
联立
解得
.
.
当且仅当
时，取等号.
所以
的面积
，
即
面积的最大值为
.
19．（2025·江苏常州·模拟预测）已知椭圆
的中心为坐标原点
，对称轴为
轴､
轴，且点
和点
在椭圆
上
(1)求椭圆
的方程；
(2)直线
与椭圆
交于
两点，若
，是否存在定点
，使得直线
的倾斜角互补？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
；
(2)存在，
.
【分析】（1）设出椭圆方程，利用待定系数法求出中.
（2）假设存在点
，由倾斜角互补可知斜率和为
，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标
公式列式求出
即可.
【详解】（1）设椭圆
的方程为：
，
由点
和点
在椭圆
上，得
，解得
，
所以椭圆
的方程为：
.
（2）当
时，直线
，
假设存在点
，使直线
的倾斜角互补，即直线
的斜率之和为
，
由
消去
得
，
，设
，
，
，由
，
得
，而
，即
，
于是
，整理得
，解得
，
所以存在点
，使得直线
的倾斜角互补.
20．（2025·江苏泰州·二模）在平面直角坐标系
中，抛物线
：
的焦点为F，点
，过F 的直线交C 于M、N 两点．当直线
的斜率为1 时，
．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若直线
、
与抛物线C 的另一个交点分别为A、B，
，求
的值；
(3)若
记直线
、
的倾斜角分别为
、
，求
的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意可得
，联立直线
与抛物线C 的方程，结合韦达定理及弦长公式求解即
可；
（2）分别设出直线
，
的方程与抛物线C 的方程联立，结合韦达定理表示出
，进而解方
程求解即可；
（3）由韦达定理及斜率公式可得
，再由差角的正切公式及基本不等式求解即可.
【详解】（1）由题意，
，
当直线
的斜率为1 时，直线
的方程为
，设
，
联立
，得
,
则
，
,
所以
，即
，
所以抛物线C 的方程为
.
（2）由（1）知，
，
设
，直线
，
联立
，可得
，
则
，
设直线
，
联立
，得
，
则
，
，即
，
同理可得
，即
，
又
，且
，
所以
，
将
，
，代入得
，
又
，则
，又
，则
.
（3）因为直线
、
的倾斜角分别为
、
，
所以
，
，
由
，
，
，
则
，
则
，
若要使
最大，则
，设
，
则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最大值为
．
21．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知双曲线
的左，右顶点分别为A，B，点
在双曲线上.直线QA，QB 的斜率分别为
，
，
(1)求双曲线C 的方程;
(2)若点P 为直线
上的一点点P 不在x 轴上，直线PA 与双曲线C 交于另一点
(i)记
，
的面积分别为
，
，若
，求点P 的坐标;
(ⅱ)若直线PB 与双曲线C 交于另一点N，点G 是直线MN 上一点，
，其中O 为坐标原点，求线
段OG 的最大值.
【答案】(1)
(2)(i)
；(ⅱ)4
【分析】（1）利用已知可得
的关系式，求解即可；
（2）设
，则直线PA 的方程为
，联立方程组，由根与系数的关系求得
的坐
标，(i)由已知可得
，求解即可；(ⅱ) 直线PB 的方程为
，与双曲线方程联
立方程组求得
的坐标，进而求得直线MN 的方程，可得直线MN 过定点，从而可求得线段OG 的最大值.
【详解】（1）由题意得
，
所以
，
，
所以双曲线C 的方程为
（2）设
，则直线PA 的方程为
，
由
，得
，
当
时，有
，此时直线PA 与双曲线的渐近线平行，
故直线PA 与双曲线只有一个交点，舍去.
当
时，有
，
所以
，所以
，
(i)因为
，
，
由
，得
，
所以
，
即点P 的坐标为
；
(ⅱ)直线PB 的方程为
，
由
，得
，
因为
，所以
，即
，
所以
，
当
时，有
，所以MN 的方程为
；
当
时，直线MN 的斜率
，
所以直线MN 的方程为
，
即
，
所以直线MN 恒过定点
，
又
，所以点G 在以HO 为直径的圆上，
所以当MN 垂直于x 轴时，点 G 与点H 重合，
所以
，所以线段OG 的最大值为
.
22．（25-26 高三上·江苏·月考）已知椭圆
：
，短轴长为4，椭圆上的点到两个
焦点的距离之和为
.设椭圆E 的左右顶点为A，B，直线交椭圆E 于M，N 两点（不与A，B 重合），
设直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，且
.
(1)求椭圆方程；
(2)求证：直线
过定点；
(3)弦
的中点为
，直线
与椭圆交于P，Q 两点，求四边形
面积S 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意可得
，
，代入可得椭圆的标准方程；
（2）由
结合题意可得
，设直线
的方程为
，
，
，
直线与椭圆联立方程组可得
，
，由两点间斜率公式列式计算可得
，计
算即可得证；
（3）直线
的方程为
，直线与椭圆联立方程组可得
，由点到直线距离公式
可三角形面积公式列式可得
，进而计算可解.
【详解】（1）由题意可得
，则
，
，则
，
所以椭圆的标准方程为
；
（2）连接
，设
，
，而
，
，
因为
，所以
，
则
，
因为
，所以
，
设直线
的方程为
，
则
，得
，
，
，
，
则
，
化简可得
，
所以
，
因为
，所以
，解得
，
所以直线
的方程为
，故恒过定点
；
（3）因为
，所以
，
设直线
的方程为
，即
，
则
，得
，故
，
则
到
的距离为
，
到
的距离为
，
且
与
异号，
故
，
所以
，
由（2）可知
，
所以
，
所以
且
，
所以的取值范围为
.
23．（25-26 高三上·江苏南京·月考）在平面直角坐标系
中，已知椭圆
的离
心率为
，点
在
上，
为
的左、右顶点.
(1)求
的方程；
(2)过点
作直线与椭圆
交于两点
，
（
在第一象限），直线
分别交
轴于
两点.
（i）试探究：是否存在常数
使得
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由；
（ii）当
面积取最大值时，求
的值.
【答案】(1)
(2)（i）存在，
（ii）
【分析】（1）由题意列出方程组，解得
，即可得到椭圆方程；
（2）（i）设直线方程，联立方程组整理得到关于
的一元二次方程，由判别式求得参数
的取值范围，
由韦达定理得到交点坐标与参数的关系.写出直线
的方程，然后得到
坐标，通过化简
求得结果.
（ii）方法一：由（1）求得
,从而表示出
，然后得到
并得到
的取值范围，构造函数
，通过导数求得函数的单调区间，从而求得
最大值及此时的
;
方法二：由（1）求得
,从而表示出
，利用三角变换得到
，构造函数
，利用导数求得函数单调区间，从而求得
最大值及此时的
；
方法三：设
点坐标，得到
点坐标、
及直线
方程，联立方程组求得
，列出
后构造函数
，利用导数求得函数单调区间，从而求得
最大值及此时的
.
【详解】（1）由已知，
，解得
，
所以C 的方程为
；
（2）（i）设过点
的直线
，
由
，消去x 得
，
，
，
，
，
由（1）知
，
则直线
，
，
直线
，
，
，
所以存在
，使得
；
（ii）法一：
，
，
因为
，所以
，
，
因为M 在第一象限，所以
，
令
，
，
令
，解得
或
，
在
上单调递增，在
单调递减，
所以当
时，
取最大值，所以
.
法二：
，
，
设
，
，
所以
，
令
，
，
令
，解得
或
，
因为
，所以
，
所以存在唯一的
，使得
，
且
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以当
时
取最大值，所以
.
法三：设
，则
，所以
，
直线
，
由
，得
，
，
令
，
，
令
，解得
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以当
时，
取最大值，
所以
.
24．（25-26 高三上·江苏镇江·月考）已知椭圆
的短轴长为2，左、右焦点分别
为
，过点
的直线l 与椭圆C 交于M，N 两点，其中M，N 分别在x 轴上方和下方，点P、Q 分别是
和
的中点，
、
分别是
和
的重心．
(1)若
，求椭圆C 的方程；
(2)在（1）的条件下，过点
并垂直于x 轴的直线交椭圆C 于点B，椭圆上不同的两点A，D 满足
成等差数列，求弦AD 的中垂线的纵截距的取值范围；
(3)若
总成立，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由已知可知
，将
代入椭圆方程，即可求解；
（2）设
,
，
,
，
中点
,
，利用弦长公式，分别求出
，
，再利用点差法
整体代入，根据点
在椭圆内部，即可求解；
（3）根据重心性质及面积公式得
，再结合
，构造不
等式组求得
，根据函数单调性可得
的范围，联立直线与椭圆方程，结合韦达定
理求解即可．
【详解】（1）椭圆
短轴长为2，则有
，故椭圆
，
将
代入椭圆方程得
，解得
，
所以椭圆C 的方程为
；
（2）由题可得
，进而可得
，
.
设
中点
，由弦长公式
，
，
，
同理
，代入
可得
，
当AD 斜率存在时
两式作差可得
，
，∴
弦AD 的中垂线方程为
，
当
时，纵截距
，即AD 的中垂线的纵截距.
在椭圆内，
，得
，且
.
当AD 斜率不存在时，AD 的中垂线为
轴，在
轴上的截距为
．
综上所述
，即弦AD 的中垂线的纵截距的取值范围为
.
（3）点
分别为
的重心，设
，
设点
，
则根据重心性质及面积公式得
，
，
而
，
∴
，
,
，即
，
则
，令
，
任取
，有
，
时，
，
，
，
，即
；
时，
，
，
，
，即
；
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
，
可得
，即
，
设直线
，则联立椭圆方程得
，
消元化简得，
，
，
，
对任意的
恒成立，
即
，故实数
的取值范围为
.
25．（25-26 高三上·江苏徐州·月考）已知椭圆
的右顶点为
，且椭圆的离
心率为
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)已知
为
的右焦点，
，
为
轴上两动点，且
．
（i）若
的外接圆与
在第二象限的交点为
，直线
交
轴于点
，记
的面积为
的面积为
，求
；
（ii）若直线
分别与
交于点
，求证：直线
恒过定点．
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）证明见解析
【分析】（1）根据椭圆右顶点、离心率求出
、
值，代入椭圆标准方程即可.
（2）（i）利用垂直关系得到
，求出直角三角形外接圆方程，与椭圆联立得到
点纵坐标，结合
三角形面积公式求解即可.
（ii）设出直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理及
的值，化简后可发现
轴上截距为定值，即
可得证.
【详解】（1）设椭圆
的焦距为
，
因为椭圆
的右顶点为
，所以
．
因为椭圆
的离心率为
，所以
，解得
，
所以
，
所以椭圆
的方程为
．
（2）（i）由
，
，得
．
中，外接圆圆心为
中点
，半径为
.
所以外接圆方程为
，
整理得
，
设
，
则，
消去
，得
，
即
化简得
，
又
，所以
．
过点
作
轴，则
，所以
.
所以
．
（ii）设直线
的方程为
，
联立
，消去
，整理得
，
因为直线
与
交于
，
所以
，即
．
因为
，
所以
，
所以
，
即
，即
，
化简得
，
因为
，所以
，
所以直线
恒过定点
．
26．（24-25 高三上·江苏南通·期中）设抛物线
的焦点为F，准线为l，点P 在C 上，记P 在l
上的射影为H.
(1)
能否为正三角形?若能，求点P 的坐标；若不能，请说明理由；
(2)设C 在点P 处的切线与l 相交于点Q，证明：
.
【答案】(1)能，
或
；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由题可得HP 中点M 纵坐标为1，且
，即可得答案；
（2）由导数知识可得C 在点P 处的切线方程，后可表示出Q 坐标，后验证
，可证明结论.
【详解】（1）设
，因
，则
.
又由题可得
的焦点为
，准线为
.
则P 在l 上的射影H 为
.要使
为正三角形，
则应满足HP 中点M 纵坐标为1，且
.
即
，即当
或
时，
能使
为正三角形；
（2）由题可得
满足
.
注意到
，
则点
处的切线斜率为：
，则相应切线为：
.
代入
，可将切线方程化简为：
.
令
，可得
.又
，
则
，
得
，又
，则
.
27．（2025·江苏·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆
的离心率为
，左、右顶点分别为
，上顶点为
是
上异于顶点的两点.
(1)求
的方程；
(2)若
在第一象限，
的面积是
面积的2 倍，求
的坐标；
(3)若直线
的斜率是直线
的斜率的3 倍，证明：直线
经过定点.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由长轴长与离心率求出椭圆方程；
（2）设
，由面积公式列出等式求解即可；
（3）设直线方程为
，联立椭圆方程，由
列出等式化简即可求解.
【详解】（1）因为
，所以
，
因为
，所以
，
所以
的方程为
.
（2）
设
，则
，①
因为
的面积是
的面积的2 倍，
所以
，即
，②
联立①②，解得
，
所以
.
（3）显然直线PQ 与
轴不垂直，设其方程为
，
联立
消去
得
，
设
，则
，
由题意
，即
.
即
.
则
则
，
即直线PQ 过定点
.
28．（24-25 高三下·江苏·开学考试）已知双曲线
的一条渐近线方程为
，实轴长为4， F 为其左焦点.
(1)求C 的方程;
(2)设过点
，且斜率为k 的直线l 与C 交于A，B 两点.
①若点A，B 分别在C 的左、右两支上，求k 的取值范围;
②若x 轴上存在一点M，使得点M 是
的外心，求点M 的坐标.
【答案】(1)
；
(2)①
；②
【分析】（1）运用渐近线公式，结合实轴长，构造方程组计算即可；
（2）①设直线l 方程为：
，设
，
，将其与双曲线方程联立，借助韦达定理和
根的判别式计算即得；
②设
，
的外接圆的方程为
，将其与直线方程联立，得
再将直线与双曲线方程联立得
，
由两方程同解推得
，化简计算即可.
【详解】（1）由题意可得
，
解得
，则C 的方程为
；
（2）①设直线l 方程为：
，设
，
，
联立
，消去y 可得
由点A，B 分别在C 的左、右两支上，
可得
，
解得
，
即k 的取值范围为
②设
，
的外接圆的方程为
由
消y 得
由
消y 得
上面两个方程的实数根均为
，
，故为同解二次方程，所以
，
由
可得
.
即
， 整理得
①.
由
可得
.
即
.
整理得
②.
由①+②，整理得
，故
或
当
时，代入②，可得
，以上两方程不同解，应舍去；
当
时，代入①，可得
即
满足条件，所以点M 的坐标为
29．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知点
、
为椭圆
上两点.
(1)求椭圆
的方程；
(2)过原点的直线与椭圆
交于
、
两点，记四边形
与
的面积分别为
、
，若
，
求
；
(3)过点
的直线交椭圆
于
、
两点，过
且平行于
轴的直线与直线
交于点，与直线
交于点
，求证：点为线段
的中点.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）将点
、
的坐标代入椭圆
的方程，求出
、
的值，即可得出椭圆
的方程；
（2）设原点为
，直线
与
轴交于点
，分析可得
，可求出点
的坐标，进而可得出点
的坐标，可求出直线
的坐标，并将直线
的方程与椭圆方程联立，求出点
的横坐标，可求出
的值，求出点
到直线
的距离，利用三角形的面积公式可求出
的值；
（3）分析可知直线
的斜率存在，设直线
的方程为
，设点
、
，将
该直线方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，求出点、
的坐标，计算出
，即可证得结
论成立.
【详解】（1）已知
、
是椭圆
上两点，
则
，解得
，故椭圆
的方程为
.
（2）设原点为
，直线
与
轴交于点
，由对称性知，
为
的中点，
所以
，
因为
，所以
，得
，
又
，则
，即
.
所以
，则直线
的方程为
，
联立
，消去
得
，由韦达定理得
，
则
，
点
到直线
的距离
，
所以
.
（3）证明：若点
的直线斜率不存在，则该直线的方程为
，显然直线
与椭圆
相切，
故点
的直线斜率存在，设方程为
，与椭圆相交于
、
，
联立方程组
，消去
得
，
，解得
，
有
，
，
又直线
的方程为
，
直线
的方程为
，
有
、
，
所以
，
由
，
所以
，即点为线段
的中点.
30．（24-25 高三下·江苏南通·开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线
的离心率为2，左、右顶点分别为A，B，且
(1)求
的方程;
(2)直线l 与
的左、右两支分别交于点C，D，记直线BC，BD 的斜率分别为
，
，且
（i）求证：直线l 过定点;
（ii）
，直线OP 与BD 交于点Q，判断并证明直线AQ 与BC 的位置关系.
【答案】(1)
；
(2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）由已知可得
，
，可求得双曲线方程；
（2）（ⅰ）设直线l 的方程为
，
，
，与双曲线联立方程组，由根与系数的关系
可得
，
，结合已知可得
或
，可得定点坐标；（ⅱ）直线AQ
与直线BC 的位置关系是平行，理由如下：求得点
的坐标，进而可得直线AQ 的斜率，结合已知，可证
结论.
【详解】（1）设双曲线
的焦距为2c，则
，且
，解得
，
，
所以
，所以
的方程为：
；
（2）（ⅰ）设直线l 的方程为
，
，
，
，
联立
与
，消去y，得
，
所以
，
，
由
，得
，
整理得
，
所以
，
整理得
，所以
或
，
当
时，直线l 的方程为
，过点
，不符，故舍去；当
时，直线l 的方程为
，过点
，
所以直线l 过定点
；
（ⅱ）直线AQ 与直线BC 的位置关系是平行，理由如下：
因为
，所以直线OP 方程为：
，
又直线BD 方程为：
，联立
与
，
解得
，
，即
，
因为
，所以直线AQ 的斜率为
，由
，
得直线BD 的斜率
，所以
31．（24-25 高三上·江苏·期末）已知双曲线
的离心率为
，双曲线过点
，
直线与
的右支交于
两点，且经过点
.
(1)求双曲线
的方程；
(2)若直线的斜率为
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由条件列方程求
，可得双曲线方程；
（2）联立方程组，结合条件列不等式可得结论.
【详解】（1）设双曲线的半焦距为，
因为双曲线
的离心率为
，
所以
，所以
，
所以双曲线方程可化为
，因为双曲线过点
，
所以
，
所以
，
，
故双曲线方程为
；
（2）设直线的方程为
，
联立
，化简可得
，
所以
，
由已知，
，且
，
，
所以
，
，
，
所以
或
，
所以
的取值范围为
.
32．（2025·江苏苏州·三模）已知椭圆：
，
为右顶点，
为下焦点，延长
交椭圆于另
一点
．
(1)求点
的坐标；
(2)设椭圆在点
处的切线为直线，求直线
与所夹锐角的正切值；
(3)若直线
与椭圆交于
，
两点（异于
），使得
，求证：直线
过定点．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求出直线
方程为
，与椭圆方程联立得到
点横坐标为
，此时
，得到答案；
（2）因为点
在
轴下方，
，求导，得到切线直线为
，
，
，
得到
，因此直线
与所夹锐角的正切值；
（3）法一：
到
，
的距离相等，设
，求出直线
的方程，由点到直线距离公式
和
，得
，从而求出直线
，由
得
点
，求出直线
所过定点；
法二：记直线
、直线
的倾斜角分别为
、
，根据
得到
，所以
，设直线
，与椭圆联立得到两根之和，两根之积，结合
化简得
，从而求出过定点
；
法三：记直线
、直线
的斜率分别为
、
，根据
，化简得到
，设直线
，联立得到齐次化方程，所以
，代入
得
，故求出
，求出定点坐标.
【详解】（1）因为椭圆：
，即
，所以
，
，
所以
，即
，
联立直线
与椭圆方程
，得
，即
，
解得
或
，显然
点横坐标为
，此时
，
所以
．
（2）因为点
在
轴下方，所以当
时，
，
，
将
代入
，
所以
，因此切线直线
，即
，
记直线、直线
的倾斜角分别为
、
，则
，
，
所以
，
因此直线
与所夹锐角的正切值为
．
（3）证明：法一：因为
，所以
到
，
的距离相等，
设该距离为
，设
，则
，所以
，
两边平方得，
，
将
代入化简得
设
，同理可得
，
所以直线
，
由
得点
，直线
过定点
．
法二：记直线
、直线
的倾斜角分别为
、
，
则
，
，
因为
，所以
，即
，
所以
．
因为直线
斜率不存在时，由对称性知不符合要求，所以设直线
，
与椭圆联立得
，设
，
则
，
结合
化简得
，
即
，
所以
时，
过
，不符合要求，舍去；
时，
过定点
．
综上，直线
过定点
．
法三：记直线
、直线
的斜率分别为
、
，
因为
，所以
，即
，
所以
．
因为直线
不经过点
，所以可设直线
，
因为
，所以
，
所以
，
即
，所以
，
代入
得
，
所以
，因此直线
过定点
．
33．（2025·江苏盐城·模拟预测）在平面直角坐标系
中，设点
，若点
满足
，其中
为定点，则称点
是点
关于点
的“
相关点”.
(1)已知点
，若点
是点
关于点
的“
相关点”，且
，求
的值.
(2)已知圆
，点
，点
是圆
上的动点，点
是点
关于点
的“
相关点”，若点
的轨迹与圆
有公共点，求正数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量夹角公式和圆的方程来求解
的值；
（2）设
，根据 “
相关点”，则
，
，得到
设
，可得
结合
，得
最后根据点
的轨迹与圆
有公共点，求得
的取值范围即可.
【详解】（1）因为
，
，点
是点
关于点
的 “
相关点”，
所以
，
，
则
，即
因为
，所以
，
又
，
，则
，
两边平方得
，即
，即
，
解得
（2）设
，因为
在圆
：
上，所以
点
是点
关于点
的 “
相关点”，则
，
，
所以
，
即
设
，则
，可得
因为
，所以
，整理得
因为点
的轨迹与圆
有公共点，所以两圆的圆心距
满足
.
连不等式前面可化为
.
两边同时平方可得
，展开得
.
可得
.
因为
，所以
，即
，即
恒成立，所以
，
即不等式
的解集为
.
连不等式后边可化为
.
两边同时平方可得
，展开得
.
移项可得
，
又
，可得
，解得
.
因为不等式
的解集为
，不等式
的解集为
，
所以原不等式的解集为
.
34．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，矩形ABCD 中，
，
，
，
，
，
分别是
矩形四条边的中点，
，
，
，直线
与
的交点为M．设点M 的轨迹为曲
线C．
(1)证明曲线C 的方程为
（
）；
(2)设曲线C 的左顶点为E，右焦点为F，动直线l 与曲线C 交于P，Q 两点.
①设直线EP，EQ 的斜率分别为
，
，且满足
，若坐标原点O 在直线l 上的射影为W，求
面积的最大值.
②若l 过点F，且P，N 关于原点对称，是否存在直线l，使得四边形OFQN 的面积为
?若存在，求出直线
l 的条数；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)①
；②存在，2 条
【分析】（1）设
，分别表示出直线
的方程和直线
的方程，两式相乘化简即可得出答案.
（2）①先明确曲线顶点、焦点，设直线方程并联立椭圆方程，利用韦达定理结合斜率条件确定直线过定
点Z，点W 的轨迹是以OZ 为直径的圆，进而计算得出面积表达式；②设过焦点的直线方程，联立椭圆方
程后用韦达定理，将四边形面积转化为三角形面积作差，通过换元、函数单调性分析，结合面积值判断直
线条数.
【详解】（1）显然
，设
，
因为
，
，所以
，
，
当
时，则直线
的方程为
①，
直线
的方程为
②
①×②得：
即
.
故曲线
方程为
，得证.
（2）①由
，设直线：
，
，
，
直线EP，EQ 的斜率分别为
，
，且满足
，
联立
，得
.
，
，
，
，
即
，
化简可得：
，解得：
，则直线过
.
得直线PQ 过定点
，而点W 是坐标原点O 在直线l 上的射影，
所以点W 的轨迹是以OZ 为直径的圆（除去与x 轴的交点）.
因为该圆的圆心为
，半径
，
所以
面积的最大值为
．
②满足题意的直线条数有两条，证明如下：
由题意可知直线PQ 的斜率不为0，设
，
，
，不妨令
，
，
联立
，可得
因为四边形OFQN 的面积为
，
所以
，
因为
，代入①可得
，
，
代入②可得
，
所以
，即
或
，
令
，则
，
令
因为
恒成立，所以
，即
在
上单调递增，
因为
，由零点存在性定理可知：
所以
在
上有唯一零点，
综上所述，满足题意的直线l 有两条.
35．（2025·江苏·三模）设
为坐标原点，抛物线
与
的焦点分别为
为线段
的中点．点
在
上
在第一象限），点
在
上，
．
(1)求曲线
的方程；
(2)设直线
的方程为
，求直线
的斜率；
(3)若直线
与
的斜率之积为
，求四边形
面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求出
的坐标，即可得到
的坐标，从而求出抛物线方程；
（2）设
，
，
，
，联立直线与抛物线方程，求出
，
的坐标，再
由向量的关系求出
的坐标，即可得解；
（3）推导出
，同理
，即可得到
，设
，联立直线
与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可求出
过定点坐标，再求出
的最小值.
【详解】（1）抛物线
的焦点为
，
由
为线段
的中点，可得
，
所以曲线
的方程为
；
（2）设
，
，
，
，
联立
，消去x 整理得
，解得
，
，
则
，
，
因为
，则
，
因为
，
，则
，所以
，
所以
，
，即
，直线
的斜率为
；
（3）因为
，
，
，
，
所以
，
，
因为
，所以
因为
，
，
，
，
所以
，①
由
代入①得
，
由
得
，
因为
，
，所以
，所以
，同理
，
所以
且
，
所以
，因为
，所以
，
所以
，得
，即
，
设
，联立
消去x，得
，
所以
，所以
，则
，所以
过定点
，
则
，
当且仅当
，即
时取等号，所以
，
所以四边形
面积的最小值为
36．（24-25 高三下·江苏·开学考试）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，点
在
上，且
，直线
的斜率为
，过点
的直线与
交于
两点，当
轴时，四边
形
的面积为．
(1)求
的方程；
(2)若以
为直径的圆与直线
相切，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据斜率公式以及面积公式即可结合
求解，
（2）联立直线与椭圆方程，得到韦达定理，进而根据中点坐标公式可得圆心
，利用弦
长公式以及点到直线的距离公式即可求解.
【详解】（1）如图：
，
将
代入椭圆方程，可得
，故
，
故
，
又四边形
的面积为
，
结合
，故
，
故椭圆方程为
（2）设直线
，
联立
与
可得
，
设
,则
，
故
，
故圆心为
，
故圆心到直线
的距离为
，
则圆的半径为
，
由于相切，故
，解得
，
故直线
方程为
37．（2025·江苏南京·二模）在平面直角坐标系
中，点
，
，
，动点
满足
，记点
的轨迹为
.
(1)求
的方程；
(2)过点
且斜率不为0 的直线与
相交于两点E，F（
在
的左侧）.设直线
，
的斜率分别为
，
.
①求证：
为定值；
②设直线
，
相交于点
，求证：
为定值.
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）根据椭圆的定义可知点
在以
，
为焦点，
为长轴长的椭圆上，即可求出轨迹方程；
（2）①设直线的方程为
，
，
，
，联立直线与椭圆方程，消元，列出韦
达定理，即可得到
再由斜率公式计算可得；②作
关于
轴的对称点
，则
，
，
三点共线，设
，表示出直线
、
的方程，即可得到
，
，代入椭圆方
程得到轨迹方程，结合双曲线的定义即可证明.
【详解】（1）由
，
，
所以点
在以
，
为焦点，
为长轴长的椭圆上，
设椭圆方程为
，焦距为
，
则
，
，所以
，
所以
的方程为
.
（2）①由
，直线的斜率存在且不为
．
设直线的方程为
，
，
，
，
联立
，得
，
则
，
，
，
所以
．
又
，所以
，
，
所以
.
②由①知
，所以
．
作
关于
轴的对称点
，则
，
，
三点共线．
又
，
，设
.
则直线
方程即为直线
方程
.
又直线
方程为
，
作差，得
，
所以
，
所以
，
，
由
，得
．
又因为
，所以
，
即
，即
，
所以点
在以
，
为焦点，为实轴长的双曲线的左支（椭圆内部）上运动，
所以
．
38．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知椭圆
的上顶点为A，过点A 作两条相互垂直
的直线分别与椭圆E 交于点M，N．
(1)若椭圆的离心率为
，求直线
与y 轴交点的纵坐标；
(2)若
是等腰直角三角形，且这样的等腰直角三角形有且仅有一个，求a 的范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用已知椭圆方程结合离心率求出椭圆方程，再利用两直线垂直且过椭圆顶点设直线方
程，联立椭圆方程求出
坐标，从而得出直线
的方程，令
求直线
与y 轴交点的纵坐标；
（2）利用两直线垂直且过椭圆顶点设直线方程，联立椭圆方程求出
坐标，利用等腰直角三角形条件
得出
，利用两点间距离公式构造方程，化简方程并换元，讨论满足等腰直角三角形有且仅有一
个的
的取值范围．
【详解】（1）
椭圆
，离心率为
，
，解得
，
椭圆
，
椭圆
的上顶点为A，过点A 作两条相互垂直的直线分别与椭圆E 交于点M，N，
，直线
斜率存在，且斜率不为0，
设直线
的斜率为
，
，
，
的斜率为
，
直线
的方程为
，
联立直线与椭圆方程
得
，化简整理得
，
解得
（对应点A）或
，
，
，
，
把
替换为
得点
，
，
直线
的方程为
，
设
与
轴交点坐标为
，
．
（2）
椭圆
上顶点
，过点A 作两条相互垂直的直线分别与
椭圆E 交于点M，N，
是等腰直角三角形，且这样的等腰直角三角形有且仅有一个，
设直线
斜率为
，则直线
的斜率为
，
直线
的方程为
，联立椭圆方程
得
，
化简整理得
，解得
（对应点A）或
，
，
，即
，
把
替换为
得点
，
是等腰直角三角形，
，即
，
化简整理得
，
令
，则方程化为
，
是方程的一个根，对应
，总能得到一个关于
轴对称的等腰直角三角形，
其他根取决于
，
，
，
当
时，
，
无实数根，只有
，故等腰直角三角形唯一，符合条件；
当
时，
，
有重根
，故仍只有
，等腰直角三角形唯一，符合条件；
当
时，
，
有两个正根
，且
，
，存在额外的等腰直角三角形，不满足唯一性．
满足条件的
的取值范围是
．
39．（2025·江苏南通·模拟预测）在平面直角坐标系
中，已知圆
，直线
，
动圆
与圆
外切且与相切，记圆心
的轨迹为曲线
.
(1)求
的方程；
(2)经过点
的直线与
交于
，
两点.
（i）
是
上异于
的点，设直线
，
，
，
的斜率分别为
，
，
，
，若
，
证明：
；
（ii）记线段
的中点为
，
，是否存在直线
，使得
，
，均为正整数，若存在，
求直线
的方程；若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）不存在，理由见解析
【分析】（1）设圆心
，圆
的半径为，进而根据两圆外切及直线与圆相切列方程求解即可；
（2）（i）设
，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及
可得
，
进而求证即可；
（ii）先假设存在直线
，使得
，
，均为正整数，进而推出矛盾即可求解.
【详解】（1）设圆心
，圆
的半径为，
由圆
，圆心
，半径为1，
则
，
消去，得
，
当
时，
，舍去；
当
时，
，
综上所述，
的方程为
.
（2）（i）由题意可知，直线
的斜率存在且不为0，
设
，
联立
消
，得
，
设
，
，则
设
，
，
因为
，则
，
因为
，
，
是
上三点，则
，
，2，3，
所以
，
则
，
化简得，
.
，
同理
，
所以
.
（ii）不存在直线
，使得
，
，均为正整数，理由如下：
由（※），得
由
，
，消去，得
，
假设存在直线
，使得
，
，均为正整数，
则
是3 的正整数倍，进而
，都是3 的正整数倍，
不妨设
，
，
，
则
消去
，得
，
即
.
因为
，
有相同的奇偶性，且
，
所以
解得
所以
，
，
所以
，与
，
，均为正整数矛盾，
所以不存在直线
，使得
，
，均为正整数.
40．（2025·江苏宿迁·三模）已知椭圆
上一点
到两个焦点的距离之和为
6.
(1)求
的方程；
(2)已知
是
上一动点，
，当
为
的右顶点时，
取得最小值，求
的取值范围；
(3)若动直线
与
交于点
，点
是
轴正半轴上异于点
的一定点，若直线
的倾
斜角分别为
，且存在实数
使得
恒成立，求点
的坐标及
的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
，
.
【分析】（1）将
代入椭圆方程，可得
，再利用椭圆的定义可得
，即可得椭圆方程；
（2）根据两点距离公式，结合二次式的性质即可求解；
（3）联立直线与椭圆方程得韦达定理，即可根据正切和差角公式以及斜率公式化简求解.
【详解】（1）由已知，将
代入椭圆方程
得
，解得
，
又椭圆
上一点
到两个焦点的距离之和为6，
所以
，解得
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）设
，则
，
，
因为当
为
的右顶点时，
取得最小值，
即
时，
取得最小值，
所以
，即
，
所以
的取值范围是
.
（3）设
，（
且
），
，
，
将
与
联立得
，
则
，
，
又
分别为直线
的倾斜角，
因为
，
所以
为定值，
又
，
又
为定值，则
，所以
，
当
时，
，为定值，
，
所以
，
.
41．（2025·江苏苏州·模拟预测）在平面直角坐标系
中，已知抛物线
的焦点为
，直线
与
交于
两点.
(1)若过
，另一条过
的直线
与
交于
两点（
在
轴上方），直线
分别交直线
于
两点，证明：
为
的中点；
(2)若
上存在点
，使得
，证明：
为定值.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）通过联立直线和抛物线方程得到交点纵坐标的关系，再根据直线方程求出特定点的纵坐标，
最后通过坐标关系判断中点.
（2）方法1 通过对两个向量数量积等式进行变形和运算，消去从而得到
的值；方法2 则是利用
向量数量积的关系以及等式之间的运算，结合一些代数恒等式来求解
的值.
【详解】（1）设
.
设
，与抛物线联立，得
，
则
，即
，同理可得
.
又因为
，令
，得
，同理
，
将
代入得
，所以
为
的中点.
（2）方法1：设
，因为
，得
①，
由
，得
，
①
②
，
得
，
即
，
即
.
因为
，所以
，
则
，即
为定值-4.
方法2：设
，因为
，所以
，
即
，同理得
，
所以
，
由
，得
①，
同理
②，
③，
由①-②，得
④，
由①+②+③，得
，
即
，
而
故结合④可得
，
则
，
所以
为定值-4.
42．（2025·江苏淮安·模拟预测）椭圆
：
过点
，离心率为
.过原点
的直线交椭圆于A，B 两点，点C，D 在椭圆E 上，且满足
，设直线
与
交于点F.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)求F 点的轨迹方程；
(3)设直线
与F 点的轨迹交于M，N 两点，求证：
的面积为定值.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据椭圆
过点
，离心率为
，列式解得
的值即得；
（2）由题意设
，
，根据
及直线
与
交于点F，知C，D 分别
是
的中点,得
，将
代入椭圆
的方程，消去
即可得F 点的轨迹方程
（3）分直线的斜率存在与不存在两种情况计算
，斜率存在时利用联立方程求出
，再求得点
到直线
的距离
，结合
即可求得
为定值
【详解】（1）由题意得
，解得
，
所以椭圆E 的方程为
.
（2）由题意设
，则
∵
，直线
与
交于点F.
∴C，D 分别是
的中点,设
则
∵
，
在椭圆E：
上，
∴
，
由
，得
，
整理得
将①代入，得
，即
所以F 点的轨迹方程为
.
（3）若直线的斜率不存在，则
，则
,
若直线的斜率存在，设
设
，
，
，则
由
在椭圆
上，
在
上
两式相减，整理得
，
由（2）知
、
在椭圆
上，
则
，
两式相减，得
化简得
整理，得
，∴
由
得
，所以
到直线
的距离
∴
.
∵
，∴
所以
的面积
为定值.
43．（2025·江苏南通·模拟预测）已知椭圆
以双曲线
的实轴为长轴，且过点
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若直线
与双曲线
交于
两点，与椭圆
交于
两点，直线
平分线
段
平分线段
.
（i）求
的值；
（ii）求直线
与椭圆
的交点构成的四边形面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）
【分析】（1）根据题意可设椭圆
的标准方程为
，代入点的坐标求得
即可；
（2）(i)利用点差法求解；（ii）根据（i）的结论，将面积表示出来，利用基本不等式求得面积最大值，
进而得到其取值范围.
【详解】（1）由
，可得其顶点为
，
则可设椭圆
的标准方程为
，
把点
代入，得到
，
所以椭圆
的标准方程为
；
（2）(i)设
.
则
，即
，
所以
，同理可得
，
所以
.
(ii)
直线
和
与椭圆
的交点分别为两组对
称点（关于原点对称），构成一个平行四边形（原点是对角线交点，对角线互相平分）
由①知，
，所以
.
如图设交椭圆于
，
交椭圆于
，
.
联立
，解得
，同理得
.
所以四边形面积
，
又
，当
或
时等号成立，
所以：
，
所以
，
因此，面积范围为：
.
44．（2025·江苏南通·三模）已知O 为坐标原点，椭圆
的离心率
，椭圆
C 的左、右焦点分别为
，
，焦距为
．定义椭圆C 上点
的“和点”为
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)记OP，OQ 的斜率分别为
，
，求
的取值范围；
(3)若直线l 交椭圆C 于A，B 两点，点A，B 的“和点”分别为
，
，且
，求
面积的最
大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由离心率和焦距列式求得
，进而求得
，即可得解.
（2）利用两点式斜率公式得
，令
，则
，然后利用基本不
等式求解范围即可.
（3）方法一：当l 斜率不为0 时，设直线
，与椭圆方程联立，韦达定理，利用数量积的坐标
运算列式得
，利用弦长公式求得
，求出O 到直线l 的距离，进而求得
，然后利用基本不等式求解最大值即可；
当l 斜率为0 时，设直线
，与椭圆方程联立，利用
求出
，然后求出
，即可
得解；
方法二：由数量积的坐标运算得
，即
，然后设出点
的极坐标，代入椭圆方程并
化简得
，则
，结合
利用对勾函数单调性求解
面积
的最大值即可.
【详解】（1）由题意
，解得
，所以
，
所以椭圆C 的方程为
．
（2）由题意
，
令
，则
，
当
时，
，当且仅当
取等号；
当
时，
，当且仅当
取等号；
所以
或
，
即
的取值范围为
．
（3）方法一：①当l 斜率不为0 时，
设直线
，
，
，则
，
，
，
，
，
，
所以
，即
，
所以
，代入得
，
（*）
，O 到直线l 的距离
，
，
当且仅当
，即
时取“=”．
②当l 斜率为0 时，设直线
，联立
，
则
，
由
得
，解得
，
所以
，
综上：
．
方法二：设
，
，
，
，
由
，
，
，
设
，
，其中
，
，
即
，
，
，
，而
，
，
当且仅当
或2 即
，
或
，
时，
取最大值1．
45．（2025·江苏南通·二模）在平面直角坐标系
中，已知纵坐标为2 的点
是抛物线
上一点，斜率为
的直线与抛物线
交于
，
两点，若直线
，
的斜率之和
为0．
(1)求抛物线
的方程；
(2)设
，
都在
轴下方，且点
在点
的左侧，直线
，
与
轴分别交于点
，
，记
，
的面积分别为
，
，求
的最大值；
(3)记点
关于
轴的对称点为
，设直线
，
交于点
，直线
，
交于点
，求证：直线
恒过定点．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设直线
方程为
，与抛物线方程联立，利用韦达定理表示
，即可求
解；
（2）首先根据坐标表示直线
和直线
方程，并求点
的坐标，并利用坐标表示
，转化为二次函
数求最值；
（3）利用坐标表示直线
和直线
的方程，并联立方程求点
的坐标，并求直线
的方
程，即可证明直线恒过定点.
【详解】（1）设直线
方程为
，即
，
，
.
联立方程组
，整理得
，所以
，
因为直线
，
的斜率之和为0，即
，
而
，同理
，
所以
，整理得
，
所以
，解得
，
所以抛物线
的方程为
（2）由（1）可知，
，
，
，点
，
所以
，
.
直线
的方程为
，令
，解得
，
所以
，同理
.
所以
，
且
，其中为点
到直线
的距离，
所以
，
因为
，
都在
轴下方，所以
，即
，
所以
，
所以当且仅当
时，
取得最大值
.
（3）显然
轴的对称点为
的坐标为
.
因为直线
的方程为
，
且直线
的方程为
，
联立方程组
，消去
可得
，
，所以
，
同理
（
与
互换）.
若
，直线
的斜率为
，
所以直线
的方程为
，
整理得
，此时直线
恒过定点
.
若
，则直线
的方程为
，经过点
.
综上所述，直线
恒过定点
.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用坐标表示几何关系，并利用韦达定理化简.
