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解答题第17 题 三角函数与解三角形（讲练测）
............................................................1
............................................................7
............................................................7
............................................................9
...........................................................11
..........................................................12
...........................................................14
...........................................................16
【典例】1．（25-26 高三上·北京房山·开学考试）在
中，
．
(1)求
的值；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求
的面积．
条件①：
；
条件②：
．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按照第一个解答计分．
【典例】2．（25-26 高三上·北京延庆·月考）如图所示，公园里有一块边长为2 的等边三角形草坪（记
为
），计划沿图中线段
铺设灌溉水管，
在
上，
在
上，设
.
(1)若
，求
的面积；
(2)若图中
把草坪分成面积相等的两部分，求
关于
的函数关系及
的最小值.
【典例】3．（25-26 高三上·北京·开学考试）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，面
积为S，且
．
(1)求角B 的大小；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得
唯一确定，求
的周
长，
条件①：
条件②：
条件③：
边上的高是7．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
【典例】4．（2025·北京平谷·一模）在
中，
.
(1)求
的大小；
(2)再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得
存在且唯一，求
的面积.
条件①：
；
条件②：
；
条件③：
边上的高为
.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分.
【典例】5．（25-26 高三上·北京·月考）已知
，
是函数
的两个相邻极值点.从条件①、条件②、条
件③这三个条件中选择两个作为已知，使
的解析式能唯一确定.
(1)求
的解析式；
(2)若
在区间
上有且仅有2 个零点，求
的取值范围.
条件①：
；条件②：
；条件③：
.注：如果选择的条件不符合要求，本
题得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【典例】6．（25-26 高三上·北京·月考）已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
.
(1)求
的值；
(2)给出以下三个条件：
条件①：
；条件②：
；条件③：
.
这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题：
（i）求
的值；
（ii）求
的角平分线
的长.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分.
【典例】7．（2025·北京东城·二模）已知函数
.
(1)若
的最小值为
，求
的值；
(2)若
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数
存在且
唯一，求
在区间
上的取值范围.
条件①：
的图象关于
和
对称；
条件②：
在区间
上单调，且
的图象关于点
对称；
条件③：
的最小正周期
，且
.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分.
【典例】8．（2025·北京海淀·二模）已知函数
．
(1)若
，求
及
的单调递增区间；
(2)已知
在区间
上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，
使函数
存在且唯一确定，求
的最小正周期．
条件①：
；
条件②：
是
的一个极值点；
条件③：
是
的一个零点．
【典例】9．（25-26 高三上·北京·月考）已知函数
，其中
.再从条件①、
条件②、条件③中选择一个作为已知，使
存在，并完成下列两个问题．
(1)求
的值，并写出函数
的单调递减区间；
(2)当
时，若曲线
与直线
恰有一个公共点，求
的取值范围．
条件①：
；
条件②：
是
的一个零点；
条件③：
．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【典例】10．（2025·北京顺义·一模）已知函数
.
(1)求
的值；
(2)再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知条件，使函数
存在且唯一确定.当
在区间
上仅有一个零点时，求
的取值范围.
条件①：
在
上是单调函数；
条件②：
图象的一个对称中心为
；
条件③：对任意的
，都有
成立.
注：如果选择的条件不符合要求，得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
11．（2025·北京昌平·二模）在
中，
为锐角，
．
(1)求
；
(2)若
，求
的面积．
12．（2025·北京东城·一模）在
中
.
(1)求
的值及
的面积；
(2)求证：
.
13．（2025·北京丰台·二模）在
中，
．
(1)求
；
(2)若
,
，求
边上的高．
14．（2025·北京·二模）已知
中，
．
(1)求
的大小；
(2)设
为
的中点，且
，求
的面积．
15．（2025·北京大兴·三模）在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，角
的角平分线
交
于点
，且
．
(1)求
；
(2)若
，且
的面积为
，角
的角平分线为
，求
的长．
16．（2025·北京海淀·三模）已知函数
．
(1)若
，求
的值；
(2)若
在一个周期内的部分取值如下表，
：
x
0
m
求
的解析式及单调增区间．
17．（2025·北京·模拟预测）在
中，
，
(1)求
的值.
(2)从以下三个条件中选一个作为已知，使得满足条件的
存在，求
的面积.
①
边上的高为7；
②
；
③
边上的中线长5.
18．（2025·北京丰台·一模）在
中，
．
(1)求
；
(2)若
的面积为
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
存在，求a．
条件①：
；
条件②：
；
条件③：
．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
19．（25-26 高三上·北京通州·月考）在
中，
，
.
(1)求
；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使
存在且唯一确定，并解决下
面的问题：求
的面积.
条件①：
；
条件②：
；
条件③：
注：如果选择的条件不符合要求，不给分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
20．（25-26 高三上·北京朝阳·月考）在
中，
．
(1)求
；
(2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
存在，求
的面积．
条件①：
；
条件②：
；
条件③：
．
21．（2025·北京海淀·一模）在
中，已知
，
．
(1)求
的值；
(2)若
为锐角，再从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，使
存在且唯一，
求
的面积．
条件①：
；
条件②：
；
条件③：
．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
22．（2025·北京海淀·三模）在
中，已知
．
(1)求
；
(2)若
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使
存在且唯一
确定，求
边上中线的长．
条件①：
；条件②：
；条件③：
的面积为
．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
23．（2025·北京·三模）已知函数
.
(1)若
，求
的值；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数
存在，求出
，
的值，并
证明：当
时，
.
条件①：
；
条件②：当
时，
的最小值为
；
条件③：
图象关于直线
对称.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分.
24．（2025·北京海淀·三模）已知函数
（
，
）．
在区间
上单调递增，且
是图象的对称轴，再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条
件中选择一个作为已知，使函数
存在，并求解下列问题．
条件①：
；
条件②：当
时，
取到最小值；
条件③：
．
(1)求
、
的值；
(2)若函数
在区间
上单调递减，求实数
的最大值．
25．（25-26 高三上·北京·月考）已知函数
，且
图象的相
邻两条对称轴之间的距离为
，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．
条件①：
的最小值为
；条件②：
图象的一个对称中心为
；条件③：
的图象经过
点
．
(1)确定
的解析式；
(2)将
纵坐标不变横坐标变为原来的2 倍，再将图像向右平移
个单位，然后横坐标不变纵坐标变为
原来的
，就得到了
的图像，令
，求
的最大值及取得最大值时
的值
（建议用时：40 分钟）
26．（25-26 高三上·北京·月考）在
中，
.
(1)求
的值；
(2)再从条件 ①、条件 ②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
存在且唯一，求
的面积.
条件①：
；条件②：
；条件③：
.
27．（24-25 高三上·北京海淀·月考）在
中，角
的对边分别为
，
．
(1)求角
的大小；
(2)若
，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使
存在且唯一，求
的面积．
条件①：
；
条件②：
边上的中线长为
；
条件③：
．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
28．（25-26 高三上·北京·月考）已知函数
的一部分图像如图所示.
其中
点是图像与
轴的交点，
点横坐标
，且
.
(1)求
的解析式：
(2)将
的图像向左平移
个单位得到
的图像，令函数
，求
的单调递减
区间，和
在
上的值域.
29．（25-26 高三上·北京延庆·月考）已知函数
，从条件①､条件②､条件
③这三个条件中选择一个作为已知，使函数
存在.
(1)求
的值；
(2)求
在区间
上的最大值和最小值.
条件①：
；
条件②：
是奇函数；
条件③：
是
的一个零点.
注：如果选择的条件不符合要求，得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
30．（25-26 高三上·北京海淀·月考）在
中，
（为
的面积）.
(1)求
；
(2)从下面三个条件中选择两个作为已知，使得
存在，求
的周长.
条件①：
；条件②：
；条件③：
边上的中线等于
.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分.
（建议用时：50 分钟）
31．（25-26 高三上·北京·开学考试）在
中，
.
(1)求
；
(2)若
，并在条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
存在且唯一确
定，求
的面积.
条件①：
；
条件②：
；
条件③：设CD 为AB 边上的高，
.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分.
32．（25-26 高三上·北京·月考）在
中，
分别为角
的对边，
，且
.
(1)求角
的大小；
(2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使
存在且唯一确定，求
的
面积.
条件①：
为锐角；条件②：
；条件③：
.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个
解答计分.
33．（2025·北京西城·一模）在
中，
．
(1)求
的值；
(2)若
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
存在，求
边上的高．
条件①：
；
条件②：
；
条件③：
．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
34．（2025·北京通州·一模）设函数
(1)若
，求
的值.
(2)已知
在区间
上单调递增，
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择
一个作为已知，使函数
存在，求
，
的值.
条件①：
在区间
上单调递减；
条件②：
；
条件③：
为函数
图象的一条对称轴.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分，
35．（2025·北京朝阳·二模）已知函数
．
(1)求
的最小正周期和单调递增区间；
(2)设函数
，再从条件①、条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使
函数
存在且唯一，求
在区间
上的最大值和最小值．
条件①：
在区间
上单调递增；
条件②：
的最大值为
；
条件③：
为偶函数．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
（建议用时：50 分钟）
36．（2025·北京延庆·一模）在
中，
，
.
(1)求b；
(2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使
为锐角三角形，并求
的面积.
条件①：
；条件②：AB 边上中线的长为
；条件③：
.
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
37．（25-26 高三上·北京丰台·开学考试）在
中，
，
.
(1)求
；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
存在，求
的面积.
条件①：
；
条件②：
；
条件③：
.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分.
38．（25-26 高三上·北京东城·月考）设
的内角
的对边分别为
，且
．
(1)求角
大小；
(2)再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求
的面积．
条件①：
，
；
条件②：
，
；
条件③：
边上的高
，
．
39．（25-26 高三上·北京·月考）函数
.
(1)若
，求
及
的单调递增区间；
(2)
在
上单调递增，且存在
，使
在
至少有3 个零点，再从条件①、条件②、
条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数
存在唯一确定，求
的最小正周期.
条件①:
；
条件②:
；
条件③:
.
注:如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，第一个解答
计分.
40．（2025·北京·三模）在△ABC 中,
(1)求∠B；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC 存在且唯一，求△ABC 的周
长.
条件①:
；
条件②：△ABC 的面积为
；
条件③：AC 边上的高等于
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分.
（建议用时：60 分钟）
41．（25-26 高三上·北京东城·月考）在
中，
.
(1)求角
的大小；
(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使
存在且唯一确定，并求出
边上的中线的长度．
条件①．
的周长为
；条件②．
；条件③．
边上的高线长为1．注：如果选择的条
件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
42．（2025·北京朝阳·一模）在
中，
(1)求c 的值；
(2)已知
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
存在且唯一，
求
的周长．
条件①：
；
条件②：AB 边上的高为
；
条件③：
．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
43．（25-26 高三上·北京·月考）在
中，
，
．
(1)求A；
(2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使得
存在且唯一，求BC 边上的高h．
条件①：
；条件②：
；条件③：
．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
44．（25-26 高三上·北京·月考）已知函数
.从条件①条件②
､
､
条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数
存在且唯一确定.
(1)求
的值；
(2)若不等式
在区间
内有解，求
的取值范围.
条件①：
；
条件②：
图象关于
对称，且在区间
有且只有一个最大值和一个最小值；
条件③：
在区间
内无极值点，且
恒成立.
注：如果选择的条件不符合要求，得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
45．（24-25 高三下·北京·月考）已知函数
（
，
）的最小正周期为T.从
下列四个条件中选择两个作为已知，使函数
存在且唯一确定，并回答下面两个问题.
(1)直接写出
和
的值，并求
的对称轴.
(2)当
时，若曲线
与直线
恰有一个公共点，求m 的取值范围.
条件①：
的图象可由
的图象平移得到；
条件②：
在区间
上单调递增；
条件③：
；
条件④：
.
