【微专题4：平面向量的基本运算和应用】
【高考定位】
平面向量是高考数学的核心工具性考点，兼具代数运算与几何直观双重属性，考查形式以选择题、填空题
为主，偶尔渗透于解答题（如三角函数、解析几何、立体几何综合题）中，分值占比5-12 分.
核心考查方向：①平面向量的线性运算（加减、数乘）及几何意义；②平面向量数量积的定义、坐标运算
及应用；③平面向量数量积的取值范围问题（结合函数、不等式）；④平面向量与其他知识的综合应用
（如与三角函数、解析几何、数列的结合）.命题趋势侧重“向量工具性”，强调利用向量运算解决几何
度量（长度、夹角）、位置关系（平行、垂直）问题，突出逻辑推理与数形结合能力的考查.
核心知识梳理
1.平面向量的线性运算基础
①加法：三角形法则（
，首尾相接，指向终点）、平行四边形法则（
，共起点，对角线）；性
质：
，
.
②减法：三角形法则（
，共起点，指向被减向量终点）；性质：
.
③数乘：
（
为实数），几何意义：伸缩向量；性质：
，
，
；共线定理：
，使得
（
）.
2.平面向量数量积基础
①定义：
（
为
与
的夹角，
）.
②坐标运算：若
，
，则
；夹角公式：
；
模
长
公
式
：
，
.
③性质：
；
；
.
【真题体验】
1．（2025·天津·高考真题）△ABC中，D 为AB 边中点，⃗CE = 1
3⃗CD ,⃗AB =⃗a,⃗AC =⃗b，则⃗AE =
（用⃗a，⃗b表示），若|⃗AE|=5，AE⊥CB，则⃗AE⋅⃗CD =
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量⃗a=( x ,1),⃗b=( x −1,2 x),若⃗a⊥(⃗a−⃗b)，则|⃗a|=
3．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在
航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船
行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1 给出了部分风力等级、名称与风速大小的
对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2 所示（线段长度
代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（ ）
级数
名称
风速大小（单位：m/s)
2
轻风
1.6~3.3
3
微风
3.4~5.4
4
和风
5.5~7.9
5
劲风
8.0~10.7
A．轻风
B．微风
C．和风
D．劲风
4．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量⃗a=(x +1, x),⃗b=(x ,2)，则（ ）
A．“x =−3”是“⃗a⊥⃗b”的必要条件
B．“x =1+ ❑√3”是“⃗a//⃗b”的必要条件
C．“x =0”是“⃗a⊥⃗b”的充分条件
D．“x =−1+ ❑√3”是“⃗a//⃗b”的充分条件
5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量⃗a,⃗b满足|⃗a)=1,|⃗a+2⃗b)=2，且(⃗b−2⃗a)⊥⃗b，则|⃗b)=（ ）
A．1
2
B．
❑√2
2
C．
❑√3
2
D．1
6．（2023·北京·高考真题）已知向量⃗a，⃗b满足⃗a+⃗b=(2,3),⃗a−⃗b=(−2,1)，则|⃗a|
2−|⃗b|
2=（ ）
A．−2
B．−1
C．0
D．1
7．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则⃗EC ⋅⃗ED =（ ）
A．❑√5
B．3
C．2❑√5
D．5
8．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量⃗a=(3,1),⃗b=(2,2)，则cos⟨⃗a+⃗b,⃗a−⃗b)=（ ）
A．1
17
B．
❑√17
17
C．
❑√5
5
D．2❑√5
5
9．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量⃗a,⃗b,⃗c满足|⃗a)=|⃗b)=1,|⃗c)= ❑√2，且⃗a+⃗b+⃗c =⃗0，则
cos〈⃗a−⃗c ,⃗b−⃗c 〉=（ ）
A．−4
5
B．−2
5
C．2
5
D．4
5
10．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量⃗a=(1,1),⃗b=(1,−1)，若(⃗a+ λ⃗b)⊥(⃗a+ μ⃗b)，则（ ）
A．λ+ μ=1
B．λ+ μ=−1
C．λμ=1
D．λμ=−1
【热点题型1：平面向量的线性运算】
知识讲解与常考题型
题型分类
【核心归纳】
1.关键思路：线性运算的核心是“基底化”，即选取一组不共线的已知向量（如
、
）作为基底，
将所有未知向量转化为基底的线性组合；2.常用工具：三角形中线向量公式（
，
为
中点）、向量共线定理、分点向量公式（若
分
的比为
，则
）.
【易错提示】
1.混淆向量加法、减法的几何意义，尤其是三角形法则中“方向”（加法首尾相接，减法共起点指向被减
向量）；2.利用共线定理时，忽略“
”的前提条件；3.基底选择不当导致运算复杂，应优先选择共
起点或关联已知条件的向量作为基底.
（2025·四川成都·一模）在平行四边形ABCD中，BC⃗+3CE⃗= 0
→
，F是线段DE 的中点，
连接BD交AF于O，若⃗AO =m⃗AF，则m=（ ）
A．1
B．3
4
C．4
3
D．2
3
（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知△ABC中，O是BC边上靠近B的三等分点，过
点O的直线分别交直线AB , AC于不同的两点M , N，设⃗AB =m⃗AM ,⃗AC =n⃗AN，其中m>0,n>0，则
1
m + 1
n的最小值是（ ）
A．4
B．3
2 + ❑√2
C．1+ 2❑√2
3
D．3+2❑√2
（2025·四川内江·一模）已知向量⃗a=(1,2),⃗b=(1,1)，若⃗a−⃗b与⃗a+ λ⃗b共线，则λ =
（ ）
A．−1
B．1
C．2
D．−2
【规律方法总结】
1.解题模板：①确定基底（不共线的已知向量）；②利用线性运算性质（加减、数乘）将未知向量转化为
基底的线性组合；③对比系数求解参数或化简表达式；④验证结果的几何合理性.
2.技巧提炼：遇到中点、三等分点等分点问题，优先用“中线向量公式”“分点向量公式”简化运算；遇
到平行、共线问题，直接套用共线定理，转化为线性方程求解.
（2025·广东茂名·模拟预测）在平行四边形ABCD中，点E、F 分别是AD、DC
边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T 两点，⃗AT = λ⃗AC，λ =（ ）
A．1
6
B．2
3
C．1
3
D．5
6
（2025·安徽·模拟预测）已知在△ABC中，点D 满足4⃗DB+3⃗DC =⃗0，设
经典例题
经典例题
经典例题
小试牛刀1
小试牛刀2
AD⃗= λ AB⃗+ μ AC⃗(λ , μ∈R)，则λ+2 μ=（ ）
A．1
B．7
5
C．10
7
D．2
（24-25 高一下·四川南充·月考）如图，点D、E 分别在△ABC的边BC、AC 上.且⃗
BD =3⃗DC，⃗AE =2⃗EC，BE 与AD 交于点M，若⃗AM = λ⃗AB+ μ⃗AC，则λ−μ=（ ）
A．−4
11
B．4
11
C．−8
11
D．8
11
【热点题型2：平面向量的数量积】
【核心归纳】
1.数量积计算的两种核心方法：①定义法（已知模长、夹角时）：
；②坐标法（已
知向量坐标或可建立坐标系时）：
；2.模长与夹角的求解依赖数量积：模长是数量积的
开方（
），夹角是数量积与模长乘积的比值（
）.
【易错提示】
1.混淆数量积与模长的运算公式，如误将
（仅共线同向时成立）；2.计算夹角时忽略夹
角范围（
），导致余弦值符号错误；3.建立坐标系时，坐标原点或坐标轴选择不当，导致计算
复杂或出错.
【多选题】（2025 高三上·吉林长春·专题练习）已知向量⃗a=(1,❑√3)，⃗
b=(cosα ,sinα )，则下列结论正确的是（ ）
A．若⃗a ∥ ⃗b，则tanα = ❑√3
B．若⃗a⊥⃗b，则tanα =−
❑√3
3
C．若⃗a与⃗b的夹角为π
3 ，则|⃗a−⃗b)=3
D．若⃗a与⃗b方向相反，则⃗b在⃗a上的投影向量的坐标是(−1
2 ,−
❑√3
2 )
小试牛刀3
经典例题
【多选题】（2025·广东深圳·模拟预测）已知平面向量⃗a=(1,3)，⃗b=(−2,1)，则
（ ）
A．|⃗a)= ❑√10
B．(2⃗a−⃗b)⊥⃗b
C．⃗a与⃗b的夹角为锐角
D．⃗a在⃗b上的投影向量为(−2
5 , 1
5)
【多选题】（2025·河北衡水·模拟预测）在边长为3 的等边三角形ABC中，
CD
→
=2 DB
→
,BE
→
=2 EA
→
，则下列结论正确的是（ ）
A．AD
→
= 1
3 AB
→
+ 2
3 AC
→
B．AD
→
⋅CE
→
=−7
2
C．|DE
→)= ❑√3
D．DE
→
⋅CE
→
=|DE
→)
2
【规律方法总结】
1.解题模板：①判断适用方法（定义法或坐标法）；②若用定义法，先求模长、夹角，代入数量积公式；
若用坐标法，先建立坐标系，写出向量坐标，再进行坐标运算；③根据需求求解模长（平方后转化为数量
积）、夹角（代入夹角公式）或判断垂直（数量积为0）.
2.技巧提炼：①遇到平面图形中的向量问题，优先建立坐标系（如以图形的顶点为原点，边为坐标轴），
将向量转化为坐标后运算，降低思维难度；②涉及“向量的平方”，直接转化为模长的平方（
），
这是数量积运算的核心转化技巧.
【多选题】（2025·河北·模拟预测）已知|a
→)=2|b
→)=2，且向量⃗a,⃗b的夹角为π
3 ，
下列说法正确的是（ ）
A．|⃗a+2⃗b)=2❑√5
B．(⃗a−4⃗b)⊥⃗a
C．向量⃗a−2⃗b和⃗a的夹角为π
2
D．若(λ a
→
+2b
→)//(a
→
−3 b
→)，则λ =−2
3
（2025·广东·模拟预测）已知向量⃗a,⃗b满足|⃗a+⃗b)=|⃗a−⃗b)=2|⃗b)，则
cos⟨⃗a+⃗b,⃗b)= .
（2025·天津·二模）在△ABC中，点D 在边BC 上，且⃗BD = 1
3⃗BC，E 为线段AD
的中点.已知⃗AB =⃗a，⃗AC =⃗b，则⃗BE = （用⃗a，⃗b表示）；若|⃗a)=3，|⃗b)= 4，且⃗BE⋅⃗AD =−34
9 ，
经典例题
经典例题
小试牛刀1
小试牛刀2
小试牛刀3
则∠BAC = .
【热点题型3：平面向量的综合应用】
【核心归纳】
1.与三角函数结合：利用向量平行、垂直的条件转化为三角函数的边角关系（如正弦定理、余弦定理），
或利用数量积表示三角函数表达式，求三角函数的最值、周期；2.与解析几何结合：用向量表示直线的方
向向量、法向量，或用向量垂直、平行的条件转化为直线、曲线的位置关系（如直线垂直斜率关系、点在
曲线上的条件）；3.与数列结合：将数列的项表示为向量的坐标，利用向量运算性质推导数列的通项公式
或前
项和公式.
【易错提示】
1.向量与其他知识结合时，混淆向量条件与代数条件的转化关系（如将向量平行的条件误用于垂直问题）；
2.忽略向量运算的几何意义，导致转化方向错误；3.计算过程中遗漏向量的方向信息，导致符号错误.
（25-26 高三上·陕西商洛·月考）已知⃗a=(sin x ,−❑√3),⃗b=(1,cos x),f ( x)=⃗a⋅⃗b−1．
(1)求f ( x)的最小正周期和对称轴方程；
(2)已知△ABC的内角C 满足f (C )=0，且点D 在线段AB 上，BD = BC =2,sin ∠ACD =
❑√3
3 求CD 的长．
（2025·江苏·模拟预测）已知向量⃗a=(sin x ,
❑√3
2 ),⃗b=(cos(x +π
3 ), 1
2)，设函数
f ( x)=⃗a⋅⃗b.
(1)求f ( x)的最小正周期；
(2)若x∈[0,π
2 )，求f ( x)的最值和单调区间.
（2025·湖北·模拟预测）已知点M (sin x cos x ,sin
2 x)，N (2,2❑√3)，O为坐标原点，
函数f (x)=⃗OM ⋅⃗ON
(1)求f (x)的解析式及最小正周期
(2)三角形ABC中，角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，AD为∠BAC的角平分线，AB =2 AC，BD =2.若
f ( A)=2❑√3，求△ACD的面积
【规律方法总结】
1.解题模板：①识别结合模块（三角函数、解析几何等）；②将向量条件转化为对应模块的代数条件（如
向量垂直
数量积为0
代数方程）；③利用对应模块的知识求解问题；④验证结果与向量条件的一致
性.
2.技巧提炼：①向量与解析几何结合时，优先用向量的坐标运算，将几何条件转化为坐标方程；②向量与
三角函数结合时，利用向量数量积的定义转化为边角关系，辅助应用正、余弦定理；③遇到综合题时，先
分离向量条件，单独转化后再融入其他
（2025·江苏淮安·模拟预测）已知⃗m=(cos x ,−❑√3cos x),⃗n=(sin x ,cos x)，
f (x)=⃗m⋅⃗n．
经典例题
经典例题
经典例题
小试牛刀1
(1)将函数y = f (x)的图象向左平移π
3 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标
不变，得到函数y = g(x)的图象，求函数g(x)的解析式；
(2)若f(
α
2)=−
❑√3
4 ,α ∈(0,π
2 )，求cosα．
【多选题】（2025·四川达州·一模）在△ABC中，三个内角A ,B ,C对边分别为
a,b,c ,a=3,⃗BD =2⃗DC，
a
2c−b =cos A
cosB−2cosC ，则（ ）
A．2b=c
B．2B =C
C．⃗AD = 1
3⃗AB+ 2
3⃗AC
D．AD的范围为(0,4)
【多选题】（2025·广东·模拟预测）已知向量⃗
a=(cosα ,sin β),⃗b=(cos β ,sinα ),⃗c =(cos(α −β),−1)，则下列说法正确的是（ ）
A．若α + β =π
2 ，则⃗a//⃗b
B．⃗c
2=1+(⃗a·⃗b)
2
C．⃗a·⃗c =⃗b·⃗c
D．⃗a
2+⃗b
2=2
一、单选题
1．（2025·江苏南通·三模）已知⃗e1，⃗e2为平面内一组基底，⃗AB =⃗e1+a⃗e2，⃗CB =⃗e1−4⃗e2，⃗
CD =5⃗e1+ 4⃗e2，若A，B，D 三点共线，则a 的值为（ ）
A．2
B．−2
C．0
D．1
2．（2025·福建漳州·模拟预测）已知平面内三点A (1,0),B (0,1),C (2,3)，则向量⃗AB在⃗AC上的投影向量
为（ ）
A．(
2
❑√10 ,
6
❑√10) B．(2,6)
C．(
1
10 , 3
10)
D．(
1
5 , 3
5)
3．（2025·福建三明·模拟预测）已知⃗a=(2,1)，⃗b=(1,−2)，若( a
→
+λb
→
)//(3 a
→
- b
→
)，则λ =（ ）
A．1
3
B．−1
3
C．2
3
D．−2
3
4．（2024·福建福州·模拟预测）已知e⃗1,e⃗2是两个不共线的向量，若2 e
→
1+ λ e
→
2与μ e
→
1+ e
→
2是共线向量，则
（ ）
A．λ
μ =−2
B．λμ=−2
C．λ
μ =2
D．λμ=2
小试牛刀2
小试牛刀3
课后针对训练
5．（2025·福建泉州·模拟预测）已知平面向量⃗e1、⃗e2的夹角为π
4 ，且满足|⃗e1)=|⃗e2)，则以下四个向量中模
长最大的是（ ）
A．1
2⃗e1+ 1
2⃗e2
B．1
3⃗e1+ 2
3⃗e2
C．2
5⃗e1+ 3
5⃗e2
D．1
4⃗e1+ 3
4⃗e2
6．（2024·福建漳州·模拟预测）在△ABC中，D是边BC上一点，且BD =2 DC , E是AC的中点，记⃗
AC =⃗m,⃗AD =⃗n，则⃗BE =（ ）
A．5
3⃗n−3⃗m
B．7
2⃗n−3⃗m
C．7
2⃗m−3⃗n
D．5
2⃗m−3⃗n
7．（2024·湖南·二模）设⃗OA =(1,0),⃗OB =(0,2)，对满足条件|⃗OC −⃗OA −⃗OB)=2|⃗OA −⃗OB)的点
C (x , y),|x−2 y +m)+|x−2 y −7)的值与x , y无关，则实数m的取值范围为（ ）
A．(−∞,−7)
B．[13,+∞)
C．(13,+ ∞)
D．(−∞,−7)∪[13,+∞)
8．（2024·福建三明·三模）函数f ( x)=sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，其中A ,B两
点为图象与x 轴的交点，C为图象的最高点，且△ABC是等腰直角三角形，若⃗OB =−3⃗OA，则向量⃗AO在
向量⃗AC上的投影向量的坐标为（ ）
A．(−1
4 ,−1
4 )
B．( 1
4 , 1
4 )
C．(−1
2 ,−1
2 )
D．( 1
2 , 1
2 )
9．（2025·福建福州·模拟预测）已知向量⃗a=(1,0)，⃗b=(−1,❑√3).若⟨⃗c ,⃗a⟩=⟨⃗c ,⃗b⟩，则⃗c可能是（ ）
A．2⃗a−⃗b
B．⃗a+⃗b
C．2⃗a+⃗b
D．❑√3⃗a+⃗b
10．（23-24 高三上·全国·月考）设平面向量⃗a=(1,3)，|⃗b|=2，且|⃗a−⃗b|= ❑√10，则(2a
→
+ b
→
)·(a
→
−b
→
)=
（ ）
A．1
B．14
C．❑√14
D．❑√10
11．（2024·福建泉州·模拟预测）若平面向量⃗a，⃗b满足|⃗a)=|⃗b)，且t = 1
2时，|⃗a−t⃗b)取得最小值，则
⟨⃗a,⃗b)=（ ）
A．0
B．π
3
C．π
2
D．2π
3
12．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知△ABC 是边长为1 的正三角形，⃗AN = 1
3⃗NC , P是BN 上一点且⃗
AP =m⃗AB+ 2
9⃗AC，则⃗AP⋅⃗AB =（ ）
A．2
9
B．1
9
C．2
3
D．1
13．（24-25 高一下·福建泉州·期中）已知平面向量⃗a，⃑b，且|⃗a|=)⃗b)=2，⃗a⋅⃗b=2，向量⃑c满足
|⃗c−⃗a−⃗b|= 1
2)⃗a−⃗b)，则|c
→
−λ b
→)(λ∈R)的最小值为（ ）
A．❑√2−1
B．❑√3−1
C．❑√3
D．❑√2
14．（23-24 高一下·云南昆明·期中）在△ABC中，S△ABC =
❑√3
6⃗AB⋅⃗AC =
❑√3
2 ,sin B =cos A sinC , P为
线段AB上的动点，且⃗CP = x⃗CA
|⃗CA)
+ y⃗CB
|⃗CB)，则
❑√3
x + 1
y 的最小值为（）
A．4
B．2❑√3
C．2
D．❑√3
二、多选题
15．（2025·福建南平·三模）已知向量⃗a,⃗b满足|⃗a)=1, |⃗b)=2，则（ ）
A．当⃗a⋅⃗b=−1时，⃗a与⃗b的夹角为π
3
B．当|⃗a−⃗b)=2时，⃗a在⃗b上的投影向量为1
8⃗b
C．|⃗a+⃗b)+|⃗a−⃗b)的最大值为2❑√5
D．|⃗a+⃗b)+|⃗a−⃗b)的最小值为4
16．（2024·福建厦门·三模）已知等边△ABC的边长为4，点D，E 满足⃗BD =2⃗DA，⃗BE =⃗EC，AE与CD
交于点O，则（ ）
A．⃗CD = 2
3⃗CA + 1
3⃗CB
B．⃗BO⋅⃗BC =8
C．⃗CO =2⃗OD
D．|⃗OA +⃗OB+⃗OC |= ❑√3
17．（24-25 高一下·广东广州·期中）如图，在等边△ABC中，AB =3，点O 在边BC上，且⃗OC =2⃗BO．
过点O 的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，⃗AB =m⃗AM，⃗AC =n⃗AN．则以下选项正确的是
（ ）
A．⃗AO = 2
3⃗AB+ 1
3⃗AC
B．cos〈⃗OA ,⃗OC 〉=
❑√7
14
C．m+n=3
D．1
m + 2
n的最小值是8
3
三、填空题
18．（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数f (x)= A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ)<π
2 )的部分图象如图所
示，y = f (x)的图象与y轴交于点C，且D (5,0)，B (2, A)，⃗BC ⋅⃗CD =0，则f (4)= ．
四、解答题
19．（24-25 高一下·山东青岛·月考）已知向量⃗a=(cos x , cos x),⃗b=(❑√3sin x , −cos x)，函数
f (x)=⃗a⋅⃗b+1.
(1)求函数f (x)的最小正周期及函数f (x)图象的对称轴；
(2)当f (α )=−3
10，且−π
6 <α <π
3 时，求sin(2α +π
6 )的值.
20．（2025·福建宁德·三模）在△ABC中，角A ,B ,C的对边分别为⃗a,⃗b,⃗c.设向量⃗
m=(❑√3cos A ,cos A +sin A)，⃗n=(2sin A ,cos A −sin A)，记f ( A)=⃗m⋅⃗n, A ∈[
π
4 , 3π
4 ).
(1)求函数f ( A)的最大值；
(2)若f ( A)=1,a= ❑√3,cosBcosC =−1
4 ，求△ABC的面积.
