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解答题专题01 三角函数与解三角形
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【典例】1．（2025·江苏·一模）已知函数
.
(1)求函数
的单调递增区间；
(2)若
，
，求
的值.
【典例】2．（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知函数
条件①：
的最小正周期为
；
条件②：
为奇函数；
条件③：
图象的一条对称轴为
；
从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知条件，使
的解析式唯一确定，回答下列问题．
(1)求
的解析式；
(2)设函数
，当
时，求函数
的值域.
【典例】3．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知
，
．
(1)将函数
的图象向左平移
个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的
倍，纵坐标
不变，得到函数
的图象，求函数
的解析式；
(2)若
，求
．
【典例】4．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，
的面积为
，
．
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
的周长．
【典例】5．（2025·山东日照·一模）在
中，角
的对边分别为
，且
．
(1)求角
；
(2)若
为边
上一点，且
，求
的值．
【典例】6．（24-25 高三上·江苏·期末）已知在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且
．
(1)求角B 的大小；
(2)若b＝3，
，求△ABC 的面积S．
【典例】7．（2025·江苏南通·一模）已知
的三边
所对的角分别为
．
(1)求证：
；
(2)若
，求
的取值范围．
【典例】8．（2025·江苏南通·二模）在
中，
，
，分别是内角
，
，
的对边，
．
(1)求角
的大小；
(2)设
为边
上一点，若
，且
，求
面积的最小值．
【典例】9．（2025·江苏淮安·模拟预测）在
中，a，b，c 为角A，B，C 的对边，
．
(1)求
；
(2)已知
．
①若
，求
；
②求
的取值范围．
【典例】10．（24-25 高三下·江苏南京·月考）在
中，角A、B、C 所对的边为a、b、c，且
．
(1)若
，求角C 的正切值；
(2)求
的取值范围．
11．（2025·江苏·模拟预测）已知向量
，设函数
.
(1)求
的最小正周期；
(2)若
，求
的最值和单调区间.
12．（24-25 高三上·江苏·期末）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)求角C 的大小；
(2)若
，
，求
的面积
13．（2025·江苏淮安·模拟预测）已知在
中，
，
.
(1)求角
的大小及
的值；
(2)设
，求三角形
的面积.
14．（2025·江苏苏州·模拟预测）△ABC 中，角A、B、C 的对边为a，b，c，已知
，且
.
(1)求角A 的大小；
(2)若
，求△ABC 的周长的值.
15．（24-25 高三上·江苏苏州·期末）记
的内角
的对边分别为
，已知
，
为边
上一点，
．
(1)求
；
(2)若
平分
，求
．
16．（24-25 高三上·江苏南通·期末）在
中，已知
.
(1)求
；
(2)若
为
的平分线，
面积为14，求
.
17．（2025·江苏·三模）已知
为锐角三角形，角
、
、
的对边分别为
、
、，
，
.
(1)求
的取值范围；
(2)求
的内切圆半径的最大值.
18．（2025·江苏南通·三模）在锐角
中，内角
、
、
的对边分别为
、
、，面积为，满
足
．
(1)求证：
；
(2)求
的取值范围．
19．（25-26 高三上·江苏无锡·期中）已知向量
，
，设函数
．
(1)若
，
，求
的值；
(2)将函数
的图象上所有的点向右平移
个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来
的
倍（纵坐标不变），得到函数
的图象．若函数
的图象关于直线
对称，求
在
上的最大值和最小值．
20．（25-26 高三上·江苏南京·期中）已知
的内角
的对边分别为
，且
.
(1)求
；
(2)若
的面积为
，且
，求
的最小值.
21．（25-26 高三上·江苏南通·期中）在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
.
(1)求证：
；
(2)设
边上的中点为D.
（ⅰ）若
，
，求
；
（ⅱ）记
，求
的最大值.
22．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知函数
，其中
.
(1)若函数
在区间
内恰有2 个极值点，求
的取值范围；
(2)当
时，在
中，角
所对的边分别为
，且
，求边
的取值范围.
23．（25-26 高三上·江苏常州·月考）已知向量
，记函数
．
(1)求函数
在
上的取值范围；
(2)若
为偶函数，求
的最小值；
(3)若
在区间
上单调递增，求的取值范围．
24．（25-26 高三上·江苏南通·期中）已知函数
，
，直线
和
点
是
图象的一组相邻的对称轴和对称中心.
(1)求
；
(2)设函数
，
，求
的零点和单调递增区间.
25．（25-26 高三上·江苏扬州·月考）定义在
上的函数
．
(1)当
时，求函数
的值域；
(2)当
时，若
在
处取最大值．
①求
；
②关于
的方程
在区间
上有两解
，
，求
的值．
（40 分钟）
26．（2025·江苏·模拟预测）在
中，内角
、
、
的对边分别为
、
、，且
.
(1)求角
；
(2)若
是锐角三角形，且
，求
的取值范围.
27．（24-25 高一下·广东·期中）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
.
(1)求B；
(2)已知D 为边AB 上的一点，且
.
（ⅰ）若
，
，求AC 的长；
（ⅱ）求
的取值范围.
28．（2025·江苏镇江·模拟预测）已知
的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，点P 满足
．
(1)若
，求
；
(2)若
，
的周长为4，
①求证：
；
②求
面积的最大值．
29．（2025·江苏苏州·模拟预测）记
的内角
所对的边分别是
，已知
.
(1)证明：
；
(2)若
，求
.
30．（2025·江苏·模拟预测）在
中，角
的对边分别为
，
．
(1)若
，求
的周长；
(2)若
的内切圆、外接圆半径分别为
，求
的取值范围．
（40 分钟）
31．（2025·江苏连云港·模拟预测）在
中，点
在边
上，
，
，
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求
．
32．（2025·江苏泰州·模拟预测）（1）在
中，已知
，
若
最长边的长为
，求最短边的长.
（2）在
中，
，点D 在BC 的延长线上，
，
，
，求AD 的长.
33．（2025·重庆·二模）在
中，角
所对的边分别
，且
.
(1)求角
的值；
(2)若
为锐角三角形，且
，求
面积的取值范围.
34．（25-26 高三上·江苏南通·月考）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)求
.
(2)若
在AB 上，CD 平分
.
（i）若
，求BD；
（ii）若
在AC 上，BE 平分
，且
，求
.
35．（25-26 高三上·江苏扬州·期中）在
中，角
的对边分别为
的面积为.已
知
.
(1)若
，求
的值；
(2)若
，求
的最小值；
(3)若
.分别在边
上，且
，求
面积的最小值.
（40 分钟）
36．（25-26 高三上·江苏南京·开学考试）已知在锐角
中，
，
为
边上一点，且
平分
．
(1)求
的值；
(2)若
，求
的值．
37．（2025·江苏泰州·一模）在
，已知
，
.
(1)求B；
(2)若
为
的平分线，
的面积为14，求
.
38．（2025·江苏南京·二模）记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知
.
(1)求
；
(2)若
，
，求
.
39．（2025·江苏镇江·模拟预测）记
的内角
的对边分别为
，已知
.
(1)求
；
(2)若
，且
，求
的面积.
40．（2025·江苏苏州·三模）在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，
的面积和周
长分别为，
，且
．
(1)若
，
，求
；
(2)若
且
，求的最大值．
（60 分钟）
41．（23-24 高三上·江苏无锡·月考）在
中，
，且
，
，
为
内
一点，
．
(1)若
，求
的长；
(2)若
，求
．
42．（2025·江苏·一模）在
中，角
所对的边分别为
，且
．
(1)求
；
(2)若
，
，
为
的中点，求
．
43．（2025·江苏宿迁·二模）记
的内角
、
、
所对边分别为
、
、，面积为，且
．
(1)证明：
；
(2)若
，
边上的高为
，求
．
44．（2025·江苏南京·一模）在
中，角
，
，
对应边为
，
，，满足
．
(1)已知
，若
在
上，且
，求
的最大值；
(2)延长
至点
，使得
．若
，求
的大小．
45．（2025·江苏泰州·二模）在
中，角A、B、C 的对边分别是a、b、c．已知
，
为
常数．
(1)若
，
，求
面积的最大值；
(2)若
，
，求
的值．
46．（24-25 高一下·山西·期中）已知
的内角
的对边分别为
，且
．
(1)求
；
(2)若
，求
的面积．
47．（24-25 高一下·河南·期中）已知
分别为
三个内角
的对边，且
.
(1)求
；
(2)若
，且
的面积为
，求
的周长.
48．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在
中，
，点
在边
上，且
，且
．
(1)记
，求
的取值范围；
(2)若
的面积为
，求
的最小值．
49．（2025·江苏盐城·模拟预测）在
中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求B；
(2)若
，求
的内切圆的半径的最大值．
50．（25-26 高三上·江苏盐城·期中）已知向量
，
，记函数
.
(1)求函数
的对称中心；
(2)将函数
图象上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2 倍，得到函数
的图象，若
，求
的值.
