重难点15 解三角形的最值和范围问题（举一反三专项训练）
【全国通用】
【题型1 三角形（四边形）面积的最值或范围问题】.........................................................................................2
【题型2 三角形边长的最值或范围问题】..............................................................................................................5
【题型3 三角形周长的最值或范围问题】..............................................................................................................8
【题型4 三角形的角的最值或范围问题】............................................................................................................11
【题型5 利用基本不等式求最值（范围）】.......................................................................................................14
【题型6 转化为三角函数求最值（范围）】.......................................................................................................16
【题型7 转化为其他函数求最值（范围）】.......................................................................................................19
【题型8 “坐标法”求最值（范围）】..................................................................................................................23
【题型9 与平面向量有关的最值（范围）问题】...............................................................................................28
1、解三角形的最值和范围问题
解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或
与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合考查，主
要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的
关键是建立起角与边的数量关系，复习时要加强这方面的训练，学会灵活求解.
知识点 三角形中的最值和范围问题
1．三角形中的最值（范围）问题的常见解题方法：
(1)利用正、余弦定理结合三角形中的不等关系求最值（范围）；
(2)利用基本不等式求最值（范围）；
(3)转化为三角函数求最值（范围）；
(4)转化为其他函数求最值（范围）；
(5)坐标法求最值（范围）.
2．三角形中的最值（范围）问题的解题策略：
(1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运用．
解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最
值（范围）．
(2)转化为三角函数求最值（范围）问题的解题策略
三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三
角函数的范围求出最值或范围.
(3)坐标法求最值（范围）求最值（范围）问题的解题策略
“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边角关
系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三
角函数、基本不等式等知识求其最值．
【题型1 三角形（四边形）面积的最值或范围问题】
【例1】（2025·江西萍乡·二模）在△ABC中，内角A , B , C所对的边分别为a, b, c，若
a=2, 5sin A
1+cos A + cos A
sin A =3，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．3
B．3
2
C．❑√3
D．2❑√3
【答案】A
【解题思路】首先利用三角函数的基本关系化简得sin A = 3
5 ,cos A = 4
5 ，再结合余弦定理以及基本不等式
知识得bc≤10，则三角形面积的最大值可求.
【解答过程】对5sin A
1+cos A + cos A
sin A =3进行化简，
通分可得
5sin
2 A +(1+cos A)cos A
(1+cos A)sin A
= 5−4 cos
2 A +cos A
(1+cos A)sin A
= −(4 cos A −5)(cos A +1)
(1+cos A)sin A
= −(4 cos A −5)
sin A
=3，
即5−4 cos A =3sin A，又sin
2 A +cos
2 A =1，解得sin A = 3
5 ,cos A = 4
5 ；
已知a=2，由余弦定理a
2=b
2+c
2−2bc cos A，可得4 =b
2+c
2−8
5 bc，
根据基本不等式b
2+c
2≥2bc（当且仅当b=c时取等号），
则4 =b
2+c
2−8
5 bc≥2bc−8
5 bc = 2
5 bc，可得bc≤10，
三角形面积S△ABC = 1
2 bc sin A = 3
10 bc≤3
10 ×10=3，当且仅当b=c时等号成立,
故选：A.
【变式1-1】（2025·辽宁·二模）在等边三角形ABC中，D、E、F 分别在边AB、BC 、AC上，且
DE = ❑√3, DF =2,∠≝=90
°．则三角形ABC面积的最大值是（ ）
A．7 ❑√3
3
B．2❑√3
C．7 ❑√3
D．6 ❑√3
【答案】A
【解题思路】结合已知，引入∠DEB =θ来表达∠FEC ,∠BDE ,∠CFE，且据勾股定理可求出EF =1，
则在△BDE和△ECF中，分别用正弦定理可表达BC，即可表达面积，从而分析最值.
【解答过程】设∠DEB =θ，
∴∠FEC =π
2 −θ ,∠BDE = 2π
3 −θ ,∠CFE =π
6 +θ，
∵∠≝=π
2 , DF =2, DE = ❑√3，
∴EF =1，
在△BDE中，
DE
sin∠DBE =
BE
sin∠BDE ，即
❑√3
sinπ
3
=
BE
sin(
2π
3 −θ)
，
∴BE =2sin(
2π
3 −θ)= ❑√3cosθ+sinθ，
同理，在△ECF中，EC = 2❑√3
3
sin(
π
6 +θ)=
❑√3
3 cosθ+sinθ，
∴△ABC的边长BC = BE + EC = ❑√3cosθ+sinθ+
❑√3
3 cosθ+sinθ = 2❑√21
3
sin(θ+φ)，
其中tan φ = 2❑√3
3
，
∵θ∈(0, π
2)∴θ+φ =π
2 时，BC取得最大值为2❑√21
3
，
∴S△ABC =
❑√3
4 BC
2≤
❑√3
4 × 28
3 = 7 ❑√3
3
.
故选：A.
【变式1-2】（2024·重庆·模拟预测）已知△ABC的内角A ,B ,C 所对应的边分别为a,b,c，若
a=1, c
b + b
c = 1+bc
bc
.
(1)求A；
(2)求△ABC面积的最大值.
【答案】(1)π
3
(2)
❑√3
4
【解题思路】（1）根据条件，得到b
2+c
2=bc +1，再利用余弦定理，即可求解；
（2）由（1）结果，利用基本不等式，得到bc≤1，再利用面积公式，即可求解.
【解答过程】（1）c
b + b
c = 1+bc
bc
，得到b
2+c
2=bc+1，
由余弦定理知，cos A = b
2+c
2−a
2
2bc
= b
2+c
2−1
2bc
= bc
2bc = 1
2，
因为A ∈(0,π)，所以A =π
3 ．
（2）bc +1=b
2+c
2≥2bc，得到bc≤1，当且仅当b=c =1取等，
所以S△ABC = 1
2 bcsin A ≤
❑√3
4 ，（当且仅当b=c =1取等）
故△ABC面积的最大值为
❑√3
4 ．
【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）记锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
bcos A = ❑√3−acos B，2asinC = ❑√3.
(1)求A.
(2)求△ABC面积的取值范围.
【答案】(1)A =π
6 ；
(2)(
3 ❑√3
8
,
❑√3
2 ).
【解题思路】（1）方法一：由余弦定理角化边求解；方法二：由正弦定理边化角求解.
（2）利用正弦定理得b= c sin B
sinC =
❑√3sin ( A +C)
sinC
=
❑√3
2tanC + 3
2
，结合△ABC为锐角三角形，求得
π
3 <C <π
2 ，进而求得3
2 <b<2，即可求解.
【解答过程】（1）方法一：由余弦定理，得b× b
2+c
2−a
2
2bc
= ❑√3−a× a
2+c
2−b
2
2ac
，解得c = ❑√3.
又2asinC = ❑√3，所以由正弦定理，得sin A = asinC
c
= 1
2.
又△ABC为锐角三角形，所以A =π
6 .
方法二：由题意知，bcos A =2asinC −acos B.
由正弦定理得sin Bcos A =2sin A sinC −sin A cos B，
所以sin Bcos A +cos Bsin A =2sin A sinC，
所以sin (B+ A)=2sin A sinC，即sinC =2sin A sinC；
又因为sinC ≠0，所以sin A = 1
2，又因为A ∈(0,π
2 )，所以A =π
6 .
（2）由正弦定理，得b= c sin B
sinC =
❑√3sin ( A +C)
sinC
=
❑√3sin A cosC + ❑√3cos A sinC
sinC
=
❑√3
2tanC + 3
2；
因为△ABC为锐角三角形，所以{
0<C <π
2
0<B = 5π
6 −C <π
2)
，
解得π
3 <C <π
2 ，所以tanC >❑√3，所以3
2 <b<2.
因为c = ❑√3，所以S△ABC = 1
2 bc sin A =
❑√3
4 b，所以3 ❑√3
8
<S△ABC<
❑√3
2 .
故△ABC面积的取值范围为(
3 ❑√3
8
,
❑√3
2 ).
【题型2 三角形边长的最值或范围问题】
【例2】（2025·江苏连云港·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若a=1，
bcos A =1+cos B，则边b 的取值范围为（ ）
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(0,2)
D．(2,3)
【答案】B
【解题思路】利用正弦定理边化角，再利用和差角的正弦推理得B =2 A，又由正弦定理得b=2cos A，根
据角A 的范围利用余弦函数性质求解值域即可求解.
【解答过程】由a=1，bcos A =1+cos B得，bcos A =a+acos B，
由正弦定理可得sin Bcos A =sin A +sin A cos B，即sin Bcos A −sin A cos B =sin A，
所以sin (B−A)=sin A，所以B−A = A或B−A + A =π（舍去），所以B =2 A，
由正弦定理得,b= asin B
sin A = sin2 A
sin A =2cos A，
而0< A <π,0<B =2 A <π，0<C =π−3 A <π，所以0< A <π
3 ，
所以1
2 <cos A <1，所以b=2cos A ∈(1,2)，所以b的取值范围为(1,2).
故选：B.
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知△ABC是锐角三角形，内角A，B，C 所对应的边分别为a，b，
c．若a
2−b
2=bc，则b
a+c 的取值范围是（ ）
A．(
❑√3
3 ,
❑√2
2 )
B．(2−❑√3,1)
C．(2−❑√3,❑√2−1)
D．(❑√2+1,❑√3+2)
【答案】C
【解题思路】由余弦定理和正弦定理，结合正弦和角公式得到sin B =sin( A −B)，结合△ABC为锐角三
角形，得到A =2B，故π
6 <B<π
4 ，再利用正弦定理得到b
a+c =
1
4 cos
2B+2cos B−1，求出取值范围即
可.
【解答过程】因为a
2−b
2=bc，得a
2=b
2+bc．
由余弦定理得a
2=b
2+c
2−2bc cos A，
所以b
2+bc =b
2+c
2−2bc cos A，即b=c−2bcos A．
由正弦定理得sin B =sinC −2sin Bcos A，
因为C =π−( A + B)，则sinC =sin( A + B)=sin A cos B+cos A sin B，
所以sin B =sin A cos B−cos A sin B，即sin B =sin( A −B)．
因为△ABC是锐角三角形，所以0< A <π
2 ，0<B<π
2 ，所以−π
2 < A −B<π
2 ．
又y =sin x在(−π
2 ,π
2 )上单调递增，所以B = A −B，则A =2B．
因为△ABC是锐角三角形，所以0<B<π
2 ，0< A =2B<π
2 ，0<C =π−3 B<π
2 ，
所以π
6 <B<π
4 ，
由正弦定理得b
a+c =
sin B
sin A +sinC =
sin B
sin 2B+sin(π−3 B) =
sin B
sin 2B+sin3 B
=
sin B
sin 2B+sin 2Bcos B+cos2Bsin B =
1
2cos B+2cos
2B+2cos
2B−1
=
1
4 cos
2B+2cos B−1，
令cos B =t，因为π
6 <B<π
4 ，所以t ∈(
❑√2
2 ,
❑√3
2 )．
y = 4 t
2+2t −1= 4(t + 1
4)
2
−5
4 在t ∈(
❑√2
2 ,
❑√3
2 )上单调递增，
当t =
❑√2
2 时，y =1+ ❑√2，当t =
❑√3
2 时，y =2+ ❑√3，
故b
a+c =
1
4t
2+2t −1
∈(
1
2+ ❑√3 ,
1
1+ ❑√2)=(2−❑√3,❑√2−1)
故选：C．
【变式2-2】（2025·山东德州·三模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知
2sin B =sin A +cos A tanC．
(1)求C；
(2)若2(a+b)=c
2，求△ABC的边c的最大值．
【答案】(1)C =π
3
(2)4．
【解题思路】（1）根据给定条件，利用和角的正弦化简求解.
（2）由（1）的结论，利用余弦定理及基本不等式求出最大值.
【解答过程】（1）由2sin B =sin A +cos A tanC，得2sin BcosC =sin A cosC +cos A sinC，
即2sin BcosC =sin( A +C )，又A + B+C =π，则sin( A +C )=sin B≠0，
于是cosC = 1
2，又0<C <π，所以C =π
3 .
（2）由（1）知C =π
3 ，由余弦定理，得c
2=a
2+b
2−2abcosC =(a+b)
2−3ab，
而2(a+b)=c
2，则2(a+b)=(a+b)
2−3ab，
因此(a+b)
2−2(a+b)=3ab≤3
4 (a+b)
2，解得a+b≤8，
当且仅当a=b时取等号，则c = ❑√2(a+b)≤4，
所以△ABC的边c的最大值为4.
【变式2-3】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且
❑√3bcosB =acosC +ccos A．
(1)求tan B；
(2)若A ∈[
π
4 ,π
3 )，且a=1，求b+c的取值范围．
【答案】(1)❑√2
(2)[
❑√2+
❑√3
3 ,❑√3+
❑√6
3 )
【解题思路】（1）由正弦定理边化角结合两角和的正弦以及同角的三角函数关系可得；
（2）由正弦定理边化角结合两角和的正弦表示出b+c，再结合正弦和正切的单调性求解即可；
【解答过程】（1）由正弦定理可得
a
sin A =
b
sin B =
c
sinC ，
因为❑√3bcosB =acosC +ccos A，所以❑√3sin BcosB =sin A cosC +sinC cos A =sin ( A +C)=sin B
，
因为B∈(0,π)，所以sin B>0，
所以cos B =
❑√3
3 ，sin B =
❑√1−cos
2B =
❑√6
3 ，
所以tan B = sin B
cos B = ❑√2.
（2）由正弦定理可得b= asin B
sin A =
❑√6
3sin A ，
c = asinC
sin A = sinC
sin A = sin ( A + B)
sin A
= sin A cos B+cos A sin B
sin A
=
❑√6
3 tan A +
❑√3
3 ，
所以b+c =
❑√6
3sin A +
❑√6
3 tan A +
❑√3
3 ，
因为sin A ,tan A在A ∈[
π
4 ,π
3 )均为单调递增，
所以b+c =
❑√6
3sin A +
❑√6
3 tan A +
❑√3
3 在A ∈[
π
4 ,π
3 )为单调递减，
所以当A =π
4 时，最大值为
❑√3+
❑√6
3 ；所以当A =π
3 时，最小值为
❑√2+
❑√3
3 ；
所以b+c的取值范围为[
❑√2+
❑√3
3 ,❑√3+
❑√6
3 ).
【题型3 三角形周长的最值或范围问题】
【例3】（2025·江西赣州·模拟预测）在锐角三角形ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
B =2 A，a=2，则△ABC的周长的取值范围是（ ）
A．(4 +2❑√2,6+2❑√3)
B．[4+2❑√2,6+2❑√3)
C．(4 +2❑√2,6+2❑√3)
D．[4+2❑√2,6+2❑√3)
【答案】A
【解题思路】将b,c表示为角的形式，结合三角恒等变换以及三角函数的值域等知识确定正确答案.
【解答过程】sin3 A =sin (2 A + A)=sin 2 A cos A +cos2 A sin A =2sin A cos
2 A +(2cos
2 A −1)sin A，
由正弦定理得
a
sin A =
b
sin B =
c
sinC ,
2
sin A =
b
sin 2 A =
c
sin ( A + B)，
2
sin A =
b
2sin A cos A =
c
sin3 A ，
由于sin A >0，
所以b= 4 cos A ,c = 2[2sin A cos
2 A +(2cos
2 A −1)sin A)
sin A
=8cos
2 A −2，
所以a+b+c =8cos
2 A + 4 cos A，
由于{
0< A <π
2
0<B<π
2
π
2 < A + B<π)
，所以{
0< A <π
2
0<2 A <π
2
π
2 <3 A <π)
，所以π
6 < A <π
4 ，
所以
❑√2
2 <cos A <
❑√3
2 ，则4<8cos
2 A <6,2❑√2<4 cos A <2❑√3，
函数y =8 x
2+ 4 x的开口向上，对称轴为x =−1
4 ，
所以a+b+c =8cos
2 A + 4 cos A ∈(4 +2❑√2,6+2❑√3).
故选：A.
【变式3-1】（24-25 高一下·福建莆田·期中）在锐角三角形ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对
边，且❑√3b=2asin B，a= ❑√3，则三角形ABC的周长的取值范围是（ ）
A．(3−❑√3,3 ❑√3)
B．(3−❑√3,3 ❑√3) C．(3+ ❑√3,3 ❑√3) D．
[3+ ❑√3,3 ❑√3)
【答案】C
【解题思路】
由正弦定理化简已知可得sin A，再由A是锐角，得到A =π
3 ，然后根据正弦定理和三角形内角和将周长用
A表示，结合三角恒等变化和三角函数图象即可求得范围.
【解答过程】因为❑√3b=2asin B，
根据正弦定理得，❑√3sin B =2sin A sin B，
因为B为锐角，所以sin B＞0，
所以❑√3=2sin A，即sin A =
❑√3
2 ，而A 为锐角，
所以A =π
3 ，
因为根据正弦定理
a
sin A =
b
sin B =
c
sinC =
❑√3
❑√3
2
=2
，
所以b=2sin B ,c =2sinC，
因为三角形周长为a+b+c = ❑√3+2sin B+2sinC，
又因为A =π
3 ，所以C = 2
3 π−B，
所以a+b+c = ❑√3+2sin B+2sin(
2
3 π−B)= ❑√3+2sin B+ ❑√3cos B+sin B =2❑√3sin(B+π
6 )+ ❑√3，
因为B∈(0,π
2 ),C ∈(0,π
2 )，即B∈(0,π
2 ), 2
3 π−B∈(0,π
2 )，
所以B∈(
π
6 ,π
2 )，
即B+π
6 ∈(
π
3 , 2
3 π)，sin(B+π
6 )∈(
❑√3
2 ,1)，
所以a+b+c∈(3+ ❑√3，3 ❑√3).
故选：C.
【变式3-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知a,b,c分别为锐角△ABC三个内角A ,B ,C的对边，且
acosC + ❑√3asinC −b−c =0.
(1)求A；
(2)若a=3；求△ABC周长的取值范围.
【答案】(1)π
3
(2)(3+3 ❑√3,9)
【解题思路】（1）由正弦定理边化角变形已知等式，再结合两角和的正弦，辅助角公式和诱导公式可
得；
（2）由正弦定理边化角和两角差的正弦得到b+c，再结合锐角范围和三角函数值域可得.
【解答过程】（1）∵acosC + ❑√3asinC −b−c =0.
∴由正弦定理得sin A cosC + ❑√3sin A sinC −sin B−sinC =0
在△ABC中，∵A + B+C =π,∴sin B =sin( A +C)=sin A cosC +cos A sinC
代入上式化简得：❑√3sin A sinC −cos A sinC −sinC =0
因为sinC ≠0，所以❑√3sin A −cos A =1，即2sin(A −π
6 )=1
∵A为锐角，∴A =π
3 .
（2）由正弦定理得2 R =
a
sin A =
c
sinC =
b
sin B =2❑√3,B+C = 2π
3
所以b+c =2 Rsin B+2 RsinC =2❑√3(sin B+sinC)=2❑√3[sin B+sin(
2π
3 −B))
=2❑√3(
3
2 sin B+
❑√3
2 cosB)=6sin(B+π
6 )，
∵△ABC是锐角三角形，∴0<B<π
2 ,0<C <π
2 ,0< 2π
3 −B<π
2 ，
∴π
6 <B<π
2 ,∴π
3 <B+π
6 < 2π
3 ，
即
❑√3
2 <sin(B+π
6 )≤1,∴3 ❑√3<b+c≤6,∴3+3 ❑√3<a+b+c≤9，
所以△ABC周长的取值范围为(3+3 ❑√3,9).
【变式3-3】（2025·湖南永州·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，c =1，
asin A −sinC
a−b
=sin( A +C )，a≠b.
(1)求△ABC的外接圆半径；
(2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC周长的取值范围.
【答案】(1)
❑√3
3
(2)(1+ ❑√3,3)
【解题思路】（1）根据正弦定理边角互化可得a
2+b
2−c
2=ab，即可由余弦定理求解，
（2）根据正弦定理以及三角恒等变换可得b+a=2sin(B+π
6 )，即可利用三角形的边角关系求解.
【解答过程】（1）由asin A −sinC
a−b
=sin( A +C )可得asin A −sinC
a−b
=sin( A +C )=sin B⇒a
2−c
a−b =b，
故a
2+b
2−c =ab，由于c =1，故a
2+b
2−c
2=ab
由余弦定理得cosC = a
2+b
2−c
2
2ab
= 1
2
由于C ∈(0,π)，所以C =π
3
，
sinC =
❑√3
2 ，根据2 R =
c
sinC 解得R =
❑√3
3 ，
所以△ABC的外接圆半径为
❑√3
3 .
（2）由（1）知，C =π
3
，B+ A =2π
3
，B≠π
3
，
由正弦定理有
c
sinC =
a
sin A =
b
sin B = 1
❑√3
2
= 2❑√3
3
，
所以b+a= 2❑√3
3
sin B+ 2❑√3
3
sin A = 2❑√3
3
sin B+ 2❑√3
3
sin(
π
3
+ B)
= 2❑√3
3
sin B+ 2❑√3
3 (
❑√3
2 cosB+ 1
2 sin B) = ❑√3sin B+cosB =2sin(B+π
6 )，
因为△ABC为锐角三角形，所以{
0<B<π
2
0<2π
3
−B<π
2
B≠π
3
)
，解得B∈(
π
6 ,π
3 )∪(
π
3
,π
2 ) ，
所以B+π
6 ∈(
π
3 ,π
2 )∪(
π
2
,2π
3 )，则2sin(B+π
6 )∈(❑√3,2)，
所以❑√3<b+a<2，则1+ ❑√3<a+b+c<3.
所以△ABC周长的取值范围为(1+ ❑√3,3).
【题型4 三角形的角的最值或范围问题】
【例4】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c．若a= ❑√3,b=2，
则B+C的取值范围是（ ）
A．[
2π
3 , 5π
6 )
B．[
2π
3 ,π)
C．[
5π
6 ,π)
D．(
π
2 , 5π
6 )
【答案】B
【解题思路】先根据边的关系求出c的范围，然后表示出cos A，求出其范围进而可得A的范围，则B+C
的取值范围可求.
【解答过程】根据三角形三边关系可得2−❑√3<c<2+ ❑√3，
即cos A = b
2+c
2−a
2
2bc
= 4+c
2−3
4 c
= c
2+1
4 c = 1
4(c + 1
c)，
由对勾函数y = x + 1
x 单调性可知，其在(2−❑√3,1)上单调递减，在(1,2+ ❑√3)单调递增；
即cos A = 1
4(c + 1
c)∈[
1
2 ,1)，可得A ∈(0,π
3 ],所以B+C ∈[
2π
3 ,π).
故选：B.
【变式4-1】（2025·河南许昌·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
a
cos A +
b
cos B = 8c
cosC
，则tan B+ tanC的最小值是（ ）
A．3
2
B．3 ❑√3
2
C．9
4
D．3 ❑√3
【答案】C
【解题思路】利用正弦定理化边为角，通过三角公式推出tan A tan B =9，再将tan B+ tanC转化，借助基
本不等式求最小值.
【解答过程】因为
a
cos A +
b
cos B = 8c
cosC ，由正弦定理得sin A
cos A + sin B
cos B = 8sinC
cosC ，
所以tan A + tan B =8 tanC.又因为C =π−( A + B)，
所以tan A + tan B =−8(tan A + tan B)
1−tan A tan B ，
所以1=
8
tan A tan B−1，即tan A tan B =9.所以tan A =
9
tan B ，
tanC = 1
8 (tan A + tan B)= 1
8 (tan B+
9
tan B )，
显然tan B必为正，否则tan B和tanC都为负，就两个钝角，
所以tan B+ tanC = tan B+ 1
8 (tan B+
9
tan B )= 9
8 tan B +
9
8 tan B ≥2❑√
9
8 tan B⋅
9
8 tan B = 9
4 ，
当且仅当9
8 tan B =
9
8 tan B ，即tan B =1，B =π
4 取等号，
所以tan B+ tanC的最小值是9
4 ，
故选：C.
【变式4-2】（2024·四川成都·模拟预测）记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c．若a=1，b=2，
则B+C的取值范围是（ ）
A．[
2π
3 , 5π
6 ) B．[
2π
3 ,π)
C．[
5π
6 ,π)
D．(
π
2 , 5π
6 )
【答案】C
【解题思路】先根据边的关系求出c的范围，然后表示出cos A，求出其范围，进而可得A的范围i，则
B+C的范围可求.
【解答过程】根据三角形三边关系可得|a−b)<c<a+b，即1<c<3，
又cos A = b
2+c
2−a
2
2bc
= 3+c
2
4 c = 1
4(
3
c +c)，
因为函数y = 3
x + x在(1,❑√3)上单调递减，在(❑√3,3)上单调递增，
所以(c + 3
c)min
= ❑√3+ 3
❑√3 =2❑√3，
又1+ 3
1 = 4,3+ 3
3 = 4，所以c + 3
c <4，
所以
❑√3
2 ≤cos A <1，又A为三角形的内角，
所以0< A ≤π
6 ，
所以5π
6 ≤B+C <π.
故选：C.
【变式4-3】（2025·湖北黄冈·模拟预测）在锐角△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，且
a−b
b
=
sinC
sin A +sin B ，则tan A tan B的取值范围为（ ）
A．(0,1)
B．(1,❑√3)
C．(1,+∞)
D．(❑√3,+∞)
【答案】C
【解题思路】利用正弦定理角化边，结合余弦定理可得c =b+2bcos A；利用正弦定理边化角整理可求得
A =2B，利用二倍角正切公式化简所求，可得关于tan
2B的函数的形式，结合B的范围可求得结果.
【解答过程】∵a−b
b
=
sinC
sin A +sin B ，∴由正弦定理得：a−b
b
=
c
a+b，即a
2−b
2=bc，
由余弦定理知：a
2=b
2+c
2−2bc cos A，∴b
2+bc =b
2+c
2−2bc cos A，
∴c
2=bc+2bc cos A，即c =b+2bcos A，
由正弦定理得：sinC =sin B+2sin Bcos A，
∴sinC =sin ( A + B)=sin A cos B+sin Bcos A =sin B+2sin Bcos A，
整理可得：sin A cos B−sin Bcos A =sin ( A −B)=sin B，
∵△ABC为锐角三角形，∴A ∈(0,π
2 )，B∈(0,π
2 )，∴A −B∈(−π
2 ,π
2 )，
∴A −B = B，即A =2B，
∴tan A tan B = tan2B tan B = 2tan
2B
1−tan
2B
，
∵{
0< A =2B<π
2
0<B<π
2
0<C =π−( A + B)=π−3 B<π
2)
，
∴π
6 <B<π
4 ，∴
❑√3
3 <tan B<1，∴1
3 <tan
2B<1，∴tan A tan B = 2tan
2B
1−tan
2B
=
2
1
tan
2B
−1，
∵1<
1
tan
2B
<3，∴0<
1
tan
2B
−1<2，∴
2
1
tan
2B
−1
>1
，
即tan A tan B的取值范围为(1,+∞).
故选：C.
【题型5 利用基本不等式求最值（范围）】
【例5】（24-25 高一下·湖北武汉·期中）在△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，∠ABC =120°
，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD =1，则4 a+c的最小值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】D
【解题思路】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式“1”的代换进行求解即可．
【解答过程】由题意得，S△ABC = S△ABD+ S△CBD，
即1
2 ac sin120° = 1
2 asin 60°+ 1
2 c sin 60°，
所以ac =a+c，得1
a + 1
c =1,a>0,c>0，
得4 a+c =(4 a+c)(
1
a + 1
c)= 4+ c
a + 4 a
c +1≥5+2❑√
c
a ⋅4 a
c =9，
当且仅当c
a = 4 a
c ，即c =3,a= 3
2时，4 a+c的最小值为9.
故选：D．
【变式5-1】（24-25 高三下·广东·开学考试）设△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，且
sin BcosC + ❑√3cos A +cos BsinC =0，AD为∠BAC的平分线且与BC 交于点D，AD = ❑√3，则△ABC
面积的最小值是（ ）
A．2❑√3
B．3 ❑√3
C．4 ❑√3
D．6 ❑√3
【答案】B
【解题思路】将已知条件sin BcosC + ❑√3cos A +cos BsinC =0化简可求得A的值，再利用三角形面积的
关系列出关于b,c的等式，最后利用基本不等式即可求解.
【解答过程】∵sin BcosC + ❑√3cos A +cos BsinC =0，
∴sin(B+C )+ ❑√3cos A =0，即sin A + ❑√3cos A =0，
∴tan A =−❑√3，∵A ∈(0,π)，∴A = 2π
3 ，
∵AD为∠BAC的平分线且与BC 交于点D，AD = ❑√3，
∴1
2 AD sin A
2 (b+c)= 1
2 bc sin A，即❑√3(b+c)=bc，
又∵❑√3(b+c)=bc≥2❑√3bc，解得bc≥12，当且仅当b=c时等号成立，
∴△ABC的面积S = 1
2 bc sin A =
❑√3
4 bc≥3 ❑√3，
∴△ABC的面积的最小值为3 ❑√3.
故选：B.
【变式5-2】（24-25 高一下·重庆九龙坡·阶段练习）已知△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，
c，且2bsin(A +π
6 )=a+c．
(1)求B 的大小；
(2)若点M 在线段AC上，∠ABM =∠CBM，BM = 4，求2a+c的最小值．
【答案】(1)B =π
3
(2)4 ❑√3+ 8 ❑√6
3
【解题思路】（1）在△ABC中，利用正弦定理边角互化，化简得到cos B = 1
2，所以B =π
3 ；
（2）利用面积关系可得a,c关系，然后利用基本不等式求最值.
【解答过程】（1）在△ABC中，由2bsin(A +π
6 )=a+c及正弦定理，得
2sin Bsin(A +π
6 )=sin A +sinC，
则❑√3sin Bsin A +sin Bcos A =sin A +sin ( A + B)=sin A +sin A cos B+cos A sin B，
整理得❑√3sin Bsin A =sin A +sin A cos B，
而sin A >0，则1+cos B = ❑√3sin B，两边平方得(1+cos B)
2=3sin
2B =3(1−cos B)(1+cos B)，
又0<B<π，所以cos B>−1，1+cos B>0，于是1+cos B =3(1−cos B)，解得cos B = 1
2，所以B =π
3 ．
（2）由（1）知∠ABC =π
3 ，由∠ABM =∠CBM，则∠ABM =∠CBM =π
6 ，
由S△ABC = S△BCM + S△ABM，BM = 4，则1
2 ac sinπ
3 = 1
2 a⋅4 sinπ
6 + 1
2 c⋅4 sinπ
6 ，
则❑√3ac = 4 a+ 4 c，即1
a + 1
c =
❑√3
4 ，
因此2a+c = 4
❑√3
(2a+c)(
1
a + 1
c)= 4
❑√3(3+ c
a + 2a
c )≥4
❑√3(3+2❑√
c
a ⋅2a
c )= 4 ❑√3+ 8 ❑√6
3
，
当且仅当c
a = 2a
c ，即c = ❑√2a= 4
3 (❑√3+ ❑√6)时等号成立，
所以2a+c的最小值为4 ❑√3+ 8 ❑√6
3
．
【变式5-3】（2025·江西新余·模拟预测）已知a、b、c分别为斜△ABC中角A、B、C的对边，
2a(sin A −sin B)cosC =asin A +bsin B−c sinC．
(1)求sin B
sin A ；
(2)已知△ABC的面积为❑√15b
2cosC，求c + 4
a 的最小值．
【答案】(1)1
2
(2)4
【解题思路】（1）由题意可知a
2+b
2−c
2≠0，由已知条件及正弦定理化简得出a=2b，再利用正弦定理
可求得sin B
sin A 的值；
（2）由三角形的面积公式结合同角三角函数的基本关系可求出cosC、sinC的值，利用余弦定理可得出
c =2b，然后利用基本不等式可求得c + 4
a 的最小值.
【解答过程】（1）因为2a(sin A −sin B)cosC =asin A +bsin B−c sinC，
由正弦定理得，2a(a−b)cosC =a
2+b
2−c
2，
即2a(a−b)× a
2+b
2−c
2
2ab
=a
2+b
2−c
2，
因为△ABC为斜三角形，所以a
2+b
2−c
2≠0，故a=2b，
由正弦定理可得sin B
sin A = b
a = 1
2．
（2）由（1）知，a=2b，所以S△ABC = 1
2 absinC =b
2sinC = ❑√15b
2cosC，
所以sinC = ❑√15cosC，
即sin
2C +cos
2C =(❑√15cosC)
2+cos
2C =16cos
2C =1，
因为0<C <π，则sinC >0，故sinC = ❑√15cosC >0，所以cosC = 1
4 ，
所以c
2=a
2+b
2−2abcosC =(2b)
2+b
2−2×2b×b× 1
4 = 4 b
2，则c =2b，
所以c + 4
a =2b+ 4
2b =2b+ 2
b ≥2❑√2b× 2
b = 4，
当且仅当2b= 2
b，即b=1时，c + 4
a 取最小值4．
【题型6 转化为三角函数求最值（范围）】
【例6】（2024·海南省直辖县级单位·一模）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
a=3，A =60°，则b的取值范围是（ ）
A．(0,6)
B．(0,2❑√3)
C．(❑√3,2❑√3)
D．(❑√3,6)
【答案】C
【解题思路】根据正弦定理得到b=2❑√3sin B，由△ABC为锐角三角形，得到30°<B<90°，结合三角函
数的单调性得到sin B∈(
1
2 ,1)，从而得解.
【解答过程】由正弦定理得
a
sin A =
b
sin B ，即b= asin B
sin A = 3sin B
sin 60° =2❑√3sin B，
又△ABC为锐角三角形，C =180°−A −B =120°−B，
又0°<B ,C <90°，则0°<120°−B<90°，
解得30°<B<90°，而当30°< x<90°时，y =sin x单调递增，
故sin B∈(
1
2 ,1)，所以b=2❑√3sin B∈(❑√3,2❑√3).
故选：C.
【变式6-1】（24-25 高三上·河北沧州·期中）在锐角△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已
知2b−c
cosC =
3
cos A 且a=3，则b+c的取值范围为（ ）
A．(3, 6)
B．(3, 6]
C．(3 ❑√3, 6]
D．(3 ❑√3, 6)
【答案】C
【解题思路】由题设等式，利用正弦定理化边为角与和角公式化简计算，求得A =π
3 ，利用正弦定理将所
求式整理化成正弦型函数，借助于锐角三角形，求得角B的范围，结合正弦函数的图象性质，即可求出其
范围.
【解答过程】由2b−c
cosC =
3
cos A 和a=3，可得2b−c
cosC =
a
cos A ，
由正弦定理，2sin B−sinC
cosC
= sin A
cos A ，即2sin Bcos A =sinC cos A +sin A cosC，
因sinC cos A +sin A cosC =sin( A +C )=sin B，故得sin B(2cos A −1)=0，
因△ABC是锐角三角形，故sin B>0，则有cos A = 1
2，从而，A =π
3 .
又由正弦定理，
b
sin B =
c
sinC =
a
sin A = 3
❑√3
2
=2❑√3
，
即得b=2❑√3sin B ,c =2❑√3sinC ,
于是b+c =2❑√3sin B+2❑√3sinC =2❑√3sin B+2❑√3sin(B+π
3 )
=2❑√3sin B+2❑√3( 1
2 sin B+
❑√3
2 cos B) =3 ❑√3sin B+3cos B =6sin(B+π
6 )，
由{
0<B<π
2
0< 2π
3 −B<π
2)
可得π
6 <B<π
2 ，
则π
3 <B+π
6 <2π
3 ，故
❑√3
2 <sin(B+π
6 )≤1，
故b+c的取值范围为(3 ❑√3, 6].
故选：C.
【变式6-2】（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）在△ABC中，角A ,B ,C的对边分别为a,b,c ,若
acosC + ❑√3asinC −b−c =0.
(1)求A；
(2)若△ABC是锐角三角形，c = 4，求△ABC面积的取值范围.
【答案】(1)A =π
3
(2)(2❑√3,8 ❑√3)
【解题思路】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换求解即可；
（2）利用正弦定理边角转化，结合三角恒等变换可得S△ABC =2❑√3+
6
tanC ，进而结合锐角三角形条件即
可求得π
6 <C <π
2 ，再根据正切函数的性质求解即可.
【解答过程】（1）由acosC + ❑√3asinC −b−c =0，
可知b=acosC + ❑√3asinC −c，
由正弦定理得sin B =sin ( A +C)=sin A cosC + ❑√3sin A sinC −sinC，
故sin A cosC +sinC cos A =sin A cosC + ❑√3sin A sinC −sinC，
则❑√3sin A sinC −sinC =sinC cos A，
因为C ∈(0,π)，所以sinC ≠0，
则❑√3sin A −1=cos A，则1= ❑√3sin A −cos A =2sin(A −π
6 )，
故sin(A −π
6 )= 1
2，得A −π
6 =π
6 +2k π或A −π
6 = 5π
6 +2k π，k ∈Z，
结合0< A <π，可得A =π
3 .
（2）由正弦定理可得b= csin B
sinC
= 4sin( A +C)
sinC
= 2sinC +2❑√3cosC
sinC
=2+ 2❑√3
tanC ，
故S△ABC = 1
2 bc sin A = ❑√3b=2❑√3+
6
tanC ，
因为△ABC为锐角三角形，故{
0< 2π
3 −C <π
2
0<C <π
2 )
，解得π
6 <C <π
2 ，
则tanC >
❑√3
3 ，所以2❑√3+
6
tanC ∈(2❑√3,8 ❑√3)，
故△ABC面积的取值范围是(2❑√3,8 ❑√3).
【变式6-3】（2025·安徽马鞍山·一模）记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2
，bcos B = ❑√2sin 2B.
(1)求A；
(2)求(❑√3−1)b+ ❑√2c的最大值.
【答案】(1)A =π
4
(2)4 ❑√2
【解题思路】（1）根据二倍角公式化简，结合正弦定理可得角A；
（2）根据正弦定理进行边角互化，结合三角函数性质可得最值.
【解答过程】（1）由已知bcos B = ❑√2sin 2B，
即bcos B =2❑√2sin Bcos B，
又在△ABC中，B∈(0,π
2 )，
则cos B>0，
可得b=2❑√2sin B，即
b
sin B =2❑√2，
又由正弦定理可知
a
sin A =
b
sin B =
c
sinC =2❑√2，
即sin A =
a
2❑√2 =
❑√2
2 ，
又A ∈(0,π
2 )，
所以A =π
4 ；
（2）由（1）可得b=2❑√2sin B，c =2❑√2sinC，
则(❑√3−1)b+ ❑√2c =2(❑√6−❑√2)sin B+ 4 sinC，
又在△ABC中，sinC =sin ( A + B)=sin A cos B+cos A sin B =
❑√2
2 sin B+
❑√2
2 cos B，
即(❑√3−1)b+ ❑√2c =2(❑√6−❑√2)sin B+2❑√2sin B+2❑√2cos B
=2❑√6sin B+2❑√2cos B = 4 ❑√2sin(B+π
6 )，
由{
0<B<π
2
0< 3 π
4 −B<π
2 )
，π
4 <B<π
2
，则B+π
6 ∈(
5π
12 ,2π
3 )，
所以当B+π
6 =π
2 ，即B =π
3 时，(❑√3−1)b+ ❑√2c = 4 ❑√2sin(B+π
6 )取最大值为4 ❑√2.
【题型7 转化为其他函数求最值（范围）】
【例7】（2024·陕西·模拟预测）在△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，已知
c =6,sin B
sin A = 6a−b
b
，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．19
2
B．21
2
C．12
D．15
【答案】C
【解题思路】先利用正弦定理化边为角，可得出ab的关系，再利用余弦定理求出cosC，进而可得出sinC
，再根据三角形的面积公式结合二次函数的性质即可得解.
【解答过程】由sin B
sin A = 6a−b
b
，由正弦定理得b
a = 6a−b
b
，即(b−2a)(b+3a)=0，
所以b=2a，
由余弦定理得cosC = a
2+b
2−c
2
2ab
= 5a
2−36
4 a
2
，
所以sinC =
❑√1−cos
2C =
❑√
1−(5a
2−36)
2
16a
4
=
❑√−9a
4+360a
2−1296
4 a
2
，
所以S△ABC = 1
2 absinC =a
2⋅
❑√−9a
4+360a
2−1296
4 a
2
=
❑√−9(a
2−20)
2+2304
4
，
当a
2=20，即a=2❑√5时，S△ABC取得最大值12.
故选：C.
【变式7-1】（24-25 高一下·湖南郴州·期末）在锐角△ABC中，角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，且
a
2=bcsin A +(b−c)
2，则2b
2+c
2
bc
的取值范围为（ ）
A．(
43
15 , 59
15)
B．[2❑√2, 43
15)
C．[2❑√2, 59
15)
D．［2❑√2,+∞）
【答案】C
【解题思路】根据余弦定理，结合题意求出sin A、cos A的值，再用C表示B，求出b
c = sin B
sinC 的取值范
围，利用对勾函数的性质即可求出2b
2+c
2
bc
的取值范围．
【解答过程】解：△ABC中，由余弦定理得，a
2=b
2+c
2−2bc cos A，
由a
2=bcsin A +(b−c)
2，得bc sin A =2bc−2bc cos A，
化简得sin A +2cos A =2，
又A ∈(0,π
2 )，sin
2 A +cos
2 A =1，
所以sin A +2
❑√1−sin
2 A =2，
化简得5sin
2 A −4 sin A =0，
解得sin A = 4
5 ，或sin A =0（不合题意，舍去），
所以b
c = sin B
sinC = sin( A +C )
sinC
= sin A cosC +cos A sinC
sinC
=
4
5 tanC + 3
5，
由B+C =π−A，且B∈(0,π
2 )，π−A ∈(π
2 ,π)，解得
C ∈(π
2 −A ,π−A )∩(0,π
2 )=(π
2 −A ,π
2 )，
所以tanC >
1
tan A = 3
4 ，所以
1
tanC ∈(0, 4
3 )，
所以b
c ∈( 3
5 , 5
3 )，
设t = b
c ，其中t ∈( 3
5 , 5
3 )，
所以y = 2b
2+c
2
bc
= 2t
2+1
t
=2t + 1
t ≥2❑√2，当且仅当2t = 1
t 时，即t =
❑√2
2 时取最小值2❑√2，
由于3
5 <
❑√2
2 < 5
3，且函数f (t )=2t + 1
t 在( 3
5 ,
❑√2
2 ]上单调递减，函数y =2t + 1
t 在[
❑√2
2 , 5
3 )上单调递增，
又f ( 3
5 )=2× 3
5 + 5
3 = 43
15 ，f ( 5
3 )=2× 5
3 + 3
5 = 59
15，
所以y = 2b
2+c
2
bc
= 2t
2+1
t
=2t + 1
t ∈[2❑√2, 59
15 )．
故选：C．
【变式7-2】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知在△ABC中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c 且满足
cos B−cos A
cos A
= 2c−(b+a)
a
．
(1)求角A 的大小；
(2)若△ABC为锐角三角形且a=2，求a
2+b
2
c
2
的取值范围．
【答案】(1)A =π
3
(2)(1,7)
【解题思路】（1）根据正弦定理及两角和的正弦公式化简求解即可；
（2）由正弦定理可得b
2= 16
3 sin
2B，c
2= 16
3 sin
2C，进而化简可得a
2+b
2
c
2
=1+
❑√3
2 ⋅
1
tanC + 3
2 ⋅
1
tan
2C
，结合C的范围，可得0<
1
tanC <❑√3，设t =
1
tanC ，进而利用二次函数的性质求解即可.
【解答过程】（1）由cos B−cos A
cos A
= 2c−(b+a)
a
，则cos B
cos A = 2c−b
a
，
则acos B+bcos A =2c cos A，
根据正弦定理得，sin A cos B+sin Bcos A =sinC =2sinC cos A，
因为0<C <π，所以sinC ≠0，则cos A = 1
2，
又0< A <π，所以A =π
3
.
（2）由正弦定理得，
a
sin A =
b
sin B =
c
sinC = 2
❑√3
2
= 4 ❑√3
3
，
则b= 4 ❑√3
3
sin B，c = 4 ❑√3
3
sinC，
所以b
2= 16
3 sin
2B，c
2= 16
3 sin
2C，
则a
2+b
2
c
2
=
16
3 sin
2B+ 4
16
3 sin
2C
=
16sin
2(C +π
3 )+12
16sin
2C
=
16(
1
2 sinC +
❑√3
2 cosC)
2
+12
16sin
2C
= 16sin
2C +8 ❑√3sinC ⋅cosC +24 cos
2C
16sin
2C
=1+
❑√3
2 ⋅
1
tanC + 3
2 ⋅
1
tan
2C
，
因为△ABC为锐角三角形，所以{
0<C <π
2
0< 2π
3 −C <π
2)
，解得π
6 <C <π
2
，
则tanC >
❑√3
3 ，所以0<
1
tanC <❑√3，
设t =
1
tanC ，0<t <❑√3，
则a
2+b
2
c
2
= 3
2 t
2+
❑√3
2 t +1= 3
2(t +
❑√3
6 )
2
+ 7
8，
所以0<t <❑√3时，a
2+b
2
c
2
∈(1,7)．
【变式7-3】（2025·河北·模拟预测）如图，在△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，已知AD是
∠BAC的角平分线，且AD = bc
b+c ．
(1)求角A的值；
(2)若a=1，求AD长的最大值．
【答案】(1)2π
3
(2)
❑√3
6
【解题思路】（1）根据S△ABC = S△ABD+ S△ACD，利用三角形面积公式列出等式，即可求出角A；
（2）根据余弦定理，利用重要不等式求出bc的范围，通过换元，借助对勾函数在(1, 4
3)的单调性，即可
求出AD的最大值.
【解答过程】（1）设∠BAC =2θ，
∵S△ABC = S△ABD+ S△ACD，
∴1
2 bcsin2θ = 1
2 c⋅ADsinθ+ 1
2 b⋅ADsinθ，
∴2bccosθ =(c +b)⋅AD，
∵AD = bc
b+c ，∴cosθ = (c +b)⋅AD
2bc
= 1
2，
∵0<θ<π
2 ，∴θ =π
3 ，∴∠BAC =2θ = 2π
3 ；
（2）由余弦定理知cos A = b
2+c
2−a
2
2bc
=−1
2，
∵a=1，∴b
2+c
2=1−bc，
又∵b
2+c
2≥2bc ,∴bc≤1
3，当且仅当b=c时，等号成立．
∴A D
2=(
bc
b+c)
2
= (bc)
2
1+bc ，
令t =bc∈(0, 1
3)，则f (t )= A D
2= t
2
t +1 =t +1+ 1
t +1 −2，
令m=t +1∈(1, 4
3)，则f (m)= A D
2=m+ 1
m −2，
∵f (m)在(1, 4
3)上单调递增，∴A D
2≤4
3 + 1
4
3
−2= 1
12，
∴A Dmax=
❑√3
6 ，此时m= 4
3 ，即t = 1
3，即b=c =
❑√3
3 .
【题型8 “坐标法”求最值（范围）】
【例8】（2025·北京朝阳·一模）在△ABC中，CA =CB = ❑√5，AB = 4，点M 为△ABC所在平面内一点且⃗
AM ⋅⃗BC =0，则⃗AM ⋅⃗CM的最小值为（ ）
A．0
B．−16
25
C．−4
5
D．−16
5
【答案】C
【解题思路】以BC所在直线为x轴，以其上的高线为y轴建立平面直角坐标系，设出点M的坐标，写出各
个点坐标，利用数量积的坐标运算，求解问题.
【解答过程】在三角形ABC中，由余弦定理cosC = A C
2+ BC
2−A B
2
2 AC ×CB
= 5+5−16
2×❑√5×❑√5 =−3
5，故C为钝
角；
又⃗AM ⋅⃗BC =0，故M点在三角形ABC底边BC的高线上，
则以BC所在直线为x轴，以其上的高线为y轴建立平面直角坐标系如下所示：
又cos∠ACO =−cosC = 3
5，则sin∠ACO= 4
5 ，
故OA = AC ×sin ∠ACO = ❑√5× 4
5 = 4 ❑√5
5
，OC = AC ×cos∠ACO = ❑√5× 3
5 = 3 ❑√5
5
；
则A(0, 4 ❑√5
5 ),C(
3 ❑√5
5
,0),B( 8 ❑√5
5
,0)，设M (0,m),m∈R，⃗
AM =(0,m−4 ❑√5
5 ),⃗CM =(−3 ❑√5
5
,m)，
故⃗AM ⋅⃗CM =m(m−4 ❑√5
5 )=(m−2❑√5
5 )
2
−4
5 ≥−4
5 ，当且仅当m= 2❑√5
5
时取得等号；
也即⃗AM ⋅⃗CM的最小值为−4
5 .
故选：C.
【变式8-1】（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知平行四边形ABCD中， ∠ADC =60°，E，F分别为边
AB，BC的中点，若⃗DE⋅⃗DF =13，则四边形ABCD面积的最大值为（ ）
A．2
B．2❑√3
C．4
D．4 ❑√3
【答案】D
【解题思路】建立适当的平面直角坐标系，设DA =a, DC =c，写出各个点的坐标，将⃗DE⋅⃗DF =13转换
成条件等式a
2
2 + 5ac
8 + c
2
2 =13，结合平行四边形面积公式以及基本不等式即可求解.
【解答过程】以点D为原点，DA所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设DA =a, DC =c，
则D (0,0), A (a,0),C(
c
2 ,
❑√3c
2 ),B(a+ c
2 ,
❑√3
2 c), E(a+ c
4 ,
❑√3c
4 ), F(
a+c
2
,
❑√3c
2 )，
所以⃗DE =(a+ c
4 ,
❑√3c
4 ),⃗DF =(
a+c
2
,
❑√3c
2 )，
所以⃗DE⋅⃗DF =(a+ c
4)⋅a+c
2
+ 3c
2
8 = a
2
2 + 5ac
8 + c
2
2 =13，
从而13= a
2
2 + 5ac
8 + c
2
2 ≥2❑√(
ac
2 )
2
+ 5ac
8 = 13ac
8
，即ac≤8，等号成立当且仅当a=c =2❑√2，
四边形ABCD面积的表达式为S =2⋅1
2 ⋅ac⋅
❑√3
2 =
❑√3ac
2
，
从而S =
❑√3ac
2
≤4 ❑√3，等号成立当且仅当a=c =2❑√2，
所以四边形ABCD面积的最大值为4 ❑√3.
故选：D.
【变式8-2】（2024·江西南昌·三模）如图，在扇形OAB 中，半径OA = 4，∠AOB =90°，C 在半径OB
上，D 在半径OA 上，E 是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形BCDE 的周长的取值范围是（
）
A．(8,12)
B．(8 ❑√2,12)
C．(8,8 ❑√2)
D．(4,8 ❑√2)
【答案】A
【解题思路】由于点E 在弧上运动，引入恰当的变量∠AOE =2θ，从而表达∠ABE =θ，再利用正弦定
理来表示边，来求得周长关于角θ的函数，然后求出取值范围；也可以建立以圆心为原点的坐标系，同样
设出动点坐标E (4 cos2θ ,4 sin 2θ)，用坐标法求出距离，然后同样把周长转化为关于角θ的函数，进而求
出取值范围.
【解答过程】
（法一）如图，连接OE，AB．设∠AOE =2θ，则∠BOE =π
2 −2θ，∠ABE =θ，
故∠OBE =θ+π
4 ．在△OBE中，由正弦定理可得
BE
sin(
π
2 −2θ)
=
OE
sin(θ+π
4 )
，
则BE =
OE sin(
π
2 −2θ)
sin(θ+π
4 )
=
OE sin(2θ+π
2 )
sin(θ+π
4 )
= 8cos(θ+π
4 )．
在Rt△ODE中，由正弦定理可得
DE
sin2θ = OE
sinπ
2
，则DE =OE sin 2θ = 4 sin 2θ．
平行四边形BCDE的周长为2(BE + DE)=16cos(θ+π
4 )+8sin 2θ =16cos(θ+π
4 )−8cos(2θ+π
2 )
=−16cos
2(θ+π
4 )+16cos(θ+π
4 )+8=−16[cos(θ+π
4 )−1
2)
2
+12．
因为0<2θ<π
2 ，所以0<θ<π
4 ，所以π
4 <θ+π
4 <π
2 ，所以0<cos(θ+π
4 )<
❑√2
2 ，
所以0≤[cos(θ+π
4 )−1
2)
2
< 1
4 ，则8<−16[cos(θ+π
4 )−1
2)
2
+12≤12，
即平行四边形BCDE 的周长的取值范围是(8,12)．
（法二）以O 为原点，OB，OA所在直线分别为x，y 轴，建立平面直角坐标系．
设∠BOE =2θ，则E (4 cos2θ ,4 sin 2θ)，θ∈(0,π
4 )，
从而DE = 4 cos2θ，OD = 4 sin2θ，OC = 4−4 cos2θ，
DC =
❑√OC
2+O D
2=
❑√(4−4 cos2θ)
2+(4 sin 2θ)
2=8sinθ，
故平行四边形BCDE的周长为2(DE + DC)=2(4 cos2θ+8sinθ)=−16(sinθ−1
2)
2
+12．
因为0<θ<π
4 ，所以0<sinθ<
❑√2
2 ，所以0≤(sinθ−1
2)
2
< 1
4 ，
则8<−16(sinθ−1
2)
2
+12≤12，即平行四边形BCDE的周长的取值范围是(8,12)．
故选：A.
【变式8-3】（2025·山西晋城·模拟预测）设△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，D是边BC的中
点，AD =1.
(1)若A =π
3 ，求△ABC面积的最大值；
(2)若△ABC的面积为2❑√3且∠ADB =π
3 ，求sin B的值;
(3)若BC = 4，求cos∠BAC的取值范围.
【答案】(1)
❑√3
3
(2)
❑√39
26
(3)(−1,−3
5 ]
【解题思路】（1）将△ABC放在坐标系中，D为原点，设B(−a
2 ,0),C(
a
2 ,0)，A (x , y)，利用
cos A =⃗
AB⋅⃗AC
|⃗AB)⋅|⃗AC)
= 1
2，即可求得x
2=−3
16 a
2−3
a
2 + 5
2，得到a
2的范围，利用面积公式表示出三角形的
面积，即可求得最大值；
（2）由D是BC中点，所以△ABD的面积是△ABC面积的一半，即可求得BD的长，利用余弦定理求出
AB的长，即可利用正弦定理求出sin B；
（3）以D为原点建立坐标系，设A (x , y)，利用向量数量积的变形，表示出cos∠BAC，即可求得结果.
【解答过程】（1）如图，将△ABC放在坐标系中，D为原点，
设B(−a
2 ,0),C(
a
2 ,0)，A (x , y)，
因为AD =1，所以x
2+ y
2=1，
又⃗AB =(−a
2 −x ,−y),⃗AC =(
a
2 −x ,−y)，
所以cos A =⃗
AB⋅⃗AC
|⃗AB)⋅|⃗AC)
=
x
2−a
2
4 + y
2
❑√x
2+ax + a
2
4 + y
2×
❑√x
2−ax + a
2
4 + y
2
= 1
2，
解得x
2=−3
16 a
2−3
a
2 + 5
2 ≥0，
即3a
4−40a
2+ 48≤0，即(a
2−12)(3a
2−4)≤0，又1−a
2
4 >0，
可得4
3 ≤a
2≤4，
又△ABC面积S = 1
2|⃗AB)|⃗AC)sin A =
❑√3
2 (1−a
2
4 )，
所以当a
2= 4
3 时，△ABC面积的最大，且为
❑√3
3 .
（2）在△ABD中，△ABD的面积为1
2|AD)⋅|BD)sin∠ADB =
❑√3
8 a，
因为D是BC中点，所以△ABD的面积是△ABC面积的一半，
即
❑√3
8 a= ❑√3，所以a=8，|BD)= a
2 = 4，
由余弦定理得，A B
2= A D
2+ B D
2−2 AD⋅BD⋅cosπ
3 =13，
所以AB = ❑√13，
由正弦定理得，
AB
sinπ
3
= AD
sin B ，即
❑√13
❑√3
2
=
1
sin B ，
所以sin B =
❑√39
26 .
（3）如图，以D为原点，建立坐标系，
则B (−2,0),C (2,0), D (0,0)，设A (x , y)，则x
2+ y
2=1，
又⃗AB =(−2−x ,−y),⃗AC =(2−x ,−y)，
所以⃗AB⋅⃗AC = x
2−4 + y
2=−3，
又|⃗AB)⋅|⃗AC)=
❑√(x +2)
2+ y
2⋅
❑√(x −2)
2+ y
2=
❑√25−16 x
2，
所以cos∠BAC =⃗AB⋅⃗AC
|⃗AB)|⃗AC)
=
−3
❑√25−16 x
2，
因为x∈(−1,1)，所以x
2∈[0,1),16 x
2∈[0,16),−16 x
2∈(−16,0]，
所以❑√25−16 x
2∈(3,5]，
−3
❑√25−16 x
2 ∈(−1,−3
5 ]，
即cos∠BAC的取值范围为(−1,−3
5 ].
【题型9 与平面向量有关的最值（范围）问题】
【例9】（2024·湖北·一模）如图，在△ABC中，∠BAC =120
∘, AB =2, AC =1, D是BC边上靠近B点的
三等分点，E是BC边上的动点，则⃗AE⋅⃗CD的取值范围为（ ）
A．[−
❑√7
7 , 10
3 ) B．[−
❑√7
7 , 7
3)
C．[−4
3 , 10
3 )
D．[−4
3 , 7
3)
【答案】C
【解题思路】先用余弦定理求出|⃗BC)，再将向量用基底⃗AC ,⃗AB表示，借助向量运算性质计算即可.
【解答过程】由cos∠BAC =|⃗AB|
2+)⃗AC |
2−|⃗BC |
2
2|⃗AB)|⃗AC)
=−1
2，解得|⃗BC)= ❑√7.
设⃗CE = λ⃗CB ,0≤λ≤1，
则⃗AE⋅⃗CD =(⃗AC +⃗CE)⋅⃗CD =(⃗AC + λ⃗CB)⋅2
3⃗CB = 2
3⃗AC ⋅⃗CB+ 2
3 λ⃗CB
2= 2
3⃗AC ⋅(⃗AB−⃗AC)+ 14
3 λ
= 2
3⃗AC ⋅⃗AB−2
3⃗AC
2+ 14
3 λ =−4
3 + 14
3 λ∈[−4
3 , 10
3 ).
故选：C.
【变式9-1】（2025·江苏盐城·模拟预测）记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别是a,b,c，已知
(a+c)(sin A −sinC)+bsin B =asin B ,b+2a= 4 ,⃗CA =3⃗CD−2⃗CB，则线段CD长度的最小值为
（ ）
A．2
B．2❑√2
3
C．3
D．2❑√3
3
【答案】D
【解题思路】由正弦定理得到a
2+b
2−c
2=ab，再通过余弦定理得到C = π
3 ，对向量式整理得⃗
CD = 1
3⃗CA + 2
3⃗CB，通过平方，将向量关系转化为数量关系即⃗CD
2= 1
9 b
2+ 4
9 a
2+ 2
9 ab，利用基本不等式
即可求解.
【解答过程】由(a+c)(sin A −sinC )+bsin B =asin B及正弦定理，
得(a+c)(a−c)+b
2=ab，即a
2+b
2−c
2=ab，
由余弦定理得，cosC = a
2+b
2−c
2
2ab
= 1
2，∵C ∈(0,π )，∴C = π
3 ．
由⃗CA =3⃗CD−2⃗CB，⃗CD = 1
3⃗CA + 2
3⃗CB，
两边平方，得⃗CD
2= 1
9⃗CA + 4
9⃗CA ⋅⃗CB+ 4
9⃗CB
2
即⃗CD
2= 1
9 b
2+ 4
9 a
2+ 4
9 abcosC
= 1
9 b
2+ 4
9 a
2+ 2
9 ab = 1
9
(b+2a)
2−2
9 ab
≥1
9
(b+2a)
2−1
9(
b+2a
2 )
2
= 1
12
(b+2a)
2，
当且仅当{
b=2a
b+2a= 4)，即{
a=1
b=2)时取等号，即⃗CD
2≥1
12 (b+2a)
2= 4
3 ，
∴线段CD 长度的最小值为2❑√3
3
．
故选：D．
【变式9-2】（2025·安徽六安·模拟预测）已知平面向量⃗a，⃗b，⃗c满足|⃗a)=1，|⃗b)= ❑√3，⃗a⋅⃗b=−3
2
，
⟨⃗a−⃗c ,⃗b−⃗c)=30°，则|⃗c)的最大值等于（ ）
A．2❑√7
B．❑√7
C．2❑√3
D．3 ❑√3
【答案】A
【解题思路】由∠AOB =150° ,∠ACB =30°，即点A ,O ,B ,C四点共圆，再利用余弦定理、正弦定理求
解即可.
【解答过程】设⃗OA =⃗a,⃗OB =⃗b,⃗OC =⃗c，
由|⃗a)=1，|⃗b)= ❑√3，⃗a⋅⃗b=−3
2，则cos∠AOB =−
❑√3
2 ，
所以∠AOB =150°，又⟨⃗a−⃗c ,⃗b−⃗c)=30°，所以∠ACB =30°，
即点A ,O ,B ,C四点共圆，要使|⃗c)最大，即|⃗OC)为圆的直径，
在△AOB中，由余弦定理可得A B
2=O A
2+O B
2−2OA ×OB×cos∠AOB =7，
即AB = ❑√7，又由正弦定理可得2 R =
AB
sin ∠AOB =2❑√7，
即|⃗c)的最大值为2❑√7，
故选：A.
【变式9-3】（2025·重庆九龙坡·三模）在 △ABC 中，角 A ，B，C 所对的边分别为 a，b，c ，已
知 (a+c)(sin A −sinC)+bsin B =asin B,b+2a= 4 ，若 ⃗CA +2⃗CB =3⃗CD ，则 |⃗CD) 的最小值为
（ ）
A．2❑√3
B．4
3
C．2❑√2
3
D．2❑√3
3
【答案】D
【解题思路】根据正余弦定理化简已知条件得cosC = 1
2，即可求得C =π
3 ，由向量模的运算法则得
|⃗CD)= 1
3
❑√(⃗CA +2⃗CB)
2
，结合数量积定义及运算律，利用基本不等式求解最值即可.
【解答过程】因为(a+c)(sin A −sinC)+bsin B =asin B，所以由正弦定理得
(a+c)(a−c)+b⋅b=a⋅b，
即a
2+b
2−c
2=ab，由余弦定理得cosC = a
2+b
2−c
2
2ab
= 1
2，又C ∈(0,π)，所以C =π
3 ，
由⃗CA +2⃗CB =3⃗CD知⃗CD = 1
3⃗CA + 2
3⃗CB，b+2a= 4 ,
所以|CD)=|⃗CD)= ❑√(
1
3⃗CA + 2
3⃗CB)
2
= 1
3
❑√(⃗CA +2⃗CB)
2= 1
3
❑√⃗CA
2+ 4⃗CB
2+ 4⃗CA ⋅⃗CB
= 1
3
❑√b
2+ 4 a
2+ 4 b⋅a⋅cosπ
3 = 1
3
❑√(b+2a)
2−b⋅2a ≥1
3
❑√
(b+2a)
2−(b+2a)
2
4
= 1
3
❑√4
2−4
2
4 = 2❑√3
3
，
当且仅当b=2a=2即时等号成立，
所以线段CD长度的最小值为2❑√3
3
.
故选：D.
一、单选题
1．（2025·广东佛山·三模）在△ABC中，角A ，B，C的对边分别为a，b，c．已知A ＝120
∘，且A的
内角平分线AD＝❑√3，则△ABC面积的最小值为（ ）
A．2
B．2❑√3
C．3
D．3 ❑√3
【答案】D
【解题思路】思路一：由正弦定理、三角形面积公式可得面积关于θ的函数即可求解；思路二：由角平分
线性质、等面积法以及基本不等式得bc≥12，结合三角形面积公式即可得解.
【解答过程】解法1：设∠ADB =θ(
π
3 <θ< 2π
3 )，则∠ADC =π−θ ,∠B = 2π
3 −θ ,∠C =θ−π
3
在△ABD中，由正弦定理
AB
sin∠ADB =
AD
sin∠B ，故AB =
❑√3sinθ
sin(
2π
3 −θ)
；
在△CBD中，由正弦定理
AC
sin∠ADC =
AD
sin∠C ，故AC =
❑√3sinθ
sin(θ−π
3 )
；
∴S = 1
2 AB⋅AC sin A =
3 ❑√3sin
2θ
4sin(
2π
3 −θ)sin(θ−π
3 )
=
3 ❑√3sin
2θ
sin
2θ−3cos
2θ
= 3 ❑√3sin
2θ
4sin
2θ−3
=
3 ❑√3
4−
3
sin
2θ
，当sinθ =1，即θ =90°时，面积最小值3 ❑√3．
解法2：由角平分线性质可知，S△ABC = S△ADC+ S△ADB，所以有
1
2 ×bc×sin120° = 1
2 ×b× AD×sin60°+ 1
2 ×c× AD×sin60°，
化简得：❑√3(b+c)=bc≥2❑√3⋅❑√bc，即bc≥12，当且仅当b=c =2❑√3时，等号成立．
故而S△ABC≥
❑√3
4 ×12=3 ❑√3．
故选：D.
2．（2025·山东聊城·二模）△ABC中，BC =2❑√3, A =60°，则⃗BA ⋅⃗BC的最大值为（ ）
A．6
B．3+2❑√3
C．12
D．6+ 4 ❑√3
【答案】D
【解题思路】根据正弦定理可得△ABC在以半径为2的圆上，由向量线性运算得
BA
→
⋅BC
→
= BC
→
·(BO
→
+OA
→)，根据向量运算几何意义，计算即可求解.
【解答过程】由正弦定理可得，
a
sin A = 2❑√3
❑√3
2
= 4 =2 R
，
所以△ABC在以半径为R =2的圆O上，
则BA
→
⋅BC
→
= BC
→
·(BO
→
+OA
→)
由向量数量积几何意义及垂径定理可知：BA
→
⋅BC
→
= 1
2 BC
→
2+ BC
→
·OA
→
≤6+(BC
→
·OA
→)max
当OA
→
与BC
→
同向时，BC
→
·OA
→
有最大值为4 ❑√3，
所以BA
→
⋅BC
→
的最大值为6+ 4 ❑√3.
故选：D.
3．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）在△ABC中，已知B =60
∘，最大边与最小边的比为
❑√3+1
2
，则△ABC的
最大角为（ ）
A．60
∘
B．75
∘
C．90
∘
D．105
∘
【答案】B
【解题思路】根据正弦定理、余弦定理求解即可.
【解答过程】法一：直接验证排除：若最大角为60
∘，则三角形为等边三角形，排除A；
若最大角为90
∘，则最大边与最小边的比值为2，排除C；
利用在直角三角形中最大边与最小边的比值为2，
可知钝角三角形中大于2，排除D．
法二：不妨令a=1+ ❑√3,c =2，则b
2=(1+ ❑√3)
2+ 4−4×(1+ ❑√3)cos60
∘=6，
∴cos A = 6+ 4−(1+ ❑√3)
2
4 ❑√6
=
❑√6−❑√2
4
，△ABC的最大角A =75
∘；
法三：不妨令a
c =
❑√3+1
2
，由正弦定理得sin A
sinC =
❑√3+1
2
，
即sin(C +60
∘)
sinC
=
1
2 sinC +
❑√3
2 cosC
sinC
=
❑√3+1
2
，
∴tanC =1，C = 45
∘，A =75
∘．
故选：B.
4．（2025·河北·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若A ,B∈(0,π
2 )，
c =asin B，则tanC的取值范围是（ ）
A．[−4
3 ,−1)
B．[−4
3 ,−1)
C．(1, 4
3)
D．[1, 4
3)
【答案】C
【解题思路】由题意得tan A + tan B = tan A tan B，令u= tan A ,v = tan B，得tanC =
1
1−1
uv
，故只需求出
uv的取值范围即可得解.
【解答过程】因为c =asin B，所以sinC =sin ( A + B)=sin A sin B，
sin A cos B+cos A sin B =sin A sin B，
即tan A + tan B = tan A tan B，设u= tan A ,v = tan B，
因为A ,B∈(0,π
2 )，所以u+ v =uv ,(u,v >0)，解得u=
v
v −1 >0，则v >1，
从而uv = v
2
v −1 = (v −1+1)
2
v −1
= v −1+
1
v −1 +2,v >1，由对勾函数性质可知，
uv = v −1+
1
v −1 +2的取值范围是[4 ,+ ∞)，
从而tanC =−tan ( A + B)=−tan A + tan B
1−tan A tan B =
uv
uv −1 =
1
1−1
uv
，
故所求范围为(1, 4
3).
故选：C.
5．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在△ABC中，∠BAC =π
3 ,⃗AD =⃗DB , P为CD上一点，且满足⃗
AP =m⃗AC + 1
3⃗AB，若S△ABC =2❑√3，则|⃗AP)的最小值是（ ）
A．2
B．4
C．2❑√6
3
D．8
3
【答案】C
【解题思路】设⃗CP = λ⃗CD，从而得到⃗AP = 1
2 λ⃗AB+(1−λ)⃗AC，结合已知有λ= 2
3 ,m= 1
3，应用三角形面
积公式得|⃗AB)⋅|⃗AC)=8，最后由向量数量积的运算律、基本不等式求向量模长的最值.
【解答过程】设⃗CP = λ⃗CD，则⃗
AP =⃗AC +⃗CP =⃗AC + λ⃗CD =⃗AC + λ(
1
2⃗AB−⃗AC)= 1
2 λ⃗AB+(1−λ)⃗AC = 1
3⃗AB+m⃗AC，
所以{
1
2 λ= 1
3
m=1−λ)
，解得λ = 2
3 ,m= 1
3，
S△ABC = 1
2|⃗AB)⋅|⃗AC)sin∠BAC =
❑√3
4 |⃗AB)⋅|⃗AC)=2❑√3，则|⃗AB)⋅|⃗AC)=8，
|⃗AP)
2=(
1
3⃗AB+ 1
3⃗AC)
2
= 1
9⃗AB
2+ 1
9⃗AC
2+ 2
9⃗AB⋅⃗AC
= 1
9|⃗AB)
2+ 1
9|⃗AC)
2+ 2
9|⃗AB)⋅|⃗AC)cos∠BAC ≥2❑√
1
9|⃗AB)
2⋅1
9|⃗AC)
2+ 1
9|⃗AB)⋅|⃗AC)
= 1
3|⃗AB)⋅|⃗AC)= 8
3 ，当且仅当|⃗AB)=|⃗AC)=2❑√2时，等号成立，
∴|⃗AP)的最小值为2❑√6
3
．
故选：C.
6．（2025·浙江·三模）在锐角△ABC中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
2bsin B+C
2
= ❑√5asin ( A +C)，则c
b的取值范围为（ ）
A．(
2
5 , 4
3)
B．(
2
5 , 5
3)
C．[
3
5 , 4
3)
D．(
3
5 , 5
3)
【答案】D
【解题思路】根据三角形内角和与诱导公式将已知条件转化为边角的三角函数关系，利用正弦定理由边化
角，使用二倍角公式进行恒等变换以及利用同角的三角函数关系求出∠A的三角函数值，再利用正弦定理
和同角的三角函数关系根据∠B的范围求出结果.
【解答过程】由2bsin B+C
2
= ❑√5asin ( A +C)得2bsin π −A
2
= ❑√5asin B，即2bcos A
2 = ❑√5asin B，即
2sin Bcos A
2 = ❑√5sin A sin B，又0<B< π
2 ，故sin B>0，
故2cos A
2 = ❑√5sin A =2❑√5sin A
2 cos A
2 ，
因为0< A < π
2 ，所以sin A
2 =
❑√5
5 ，故cos A
2 = 2❑√5
5
，得sin A = 4
5 ，cos A = 3
5，
因为c
b = sinC
sin B = sin ( A + B)
sin B
=
4
5 cos B+ 3
5 sin B
sin B
=
4
5 tan B + 3
5
，
因为0<B< π
2 ，0<π −( A + B)< π
2 ，所以π
2 −A <B< π
2 ，
故tan B>tan(
π
2 −A)=
1
tan A = 3
4 ，所以tan B∈(
3
4 ,+∞)，所以c
b ∈(
3
5 , 5
3)，
故选D．
7．（2025·全国·模拟预测）在△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，已知∠BAC = 5π
6 ，边BC
上一点D使得AD =2，且∠BAD =π
6 ，则❑√3b+c的最小值为（ ）
A．2❑√3
B．4 ❑√3
C．8 ❑√3
D．8
【答案】C
【解题思路】先根据S△ABC = S△BAD+ S△CAD建立等式，再结合基本等式计算即可求解.
【解答过程】因为∠BAC = 5π
6 ,∠BAD =π
6 ，所以∠CAD = 2π
3 ，
因为S△ABC = S△BAD+ S△CAD，
即1
2 bcsin 5π
6 = 1
2 c⋅AD⋅sinπ
6 + 1
2 b⋅ADsin 2π
3 ，即bc
2 = ❑√3b+c，
所以❑√3b+c =
❑√3
6 ⋅❑√3b⋅c≤
❑√3
6 (
❑√3b+c
2 )
2
，
故❑√3b+c≥8 ❑√3，当且仅当❑√3b=c = 4 ❑√3时，等号成立.
故选：C.
8．（2024·四川成都·模拟预测）设锐角△ABC的三个内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，且c =2,B =2C
，则a+b的取值范围为 （ ）
A．(2,10)
B．(2+2❑√2,10)
C．(2+2❑√2,4+2❑√3)
D．(4 +2❑√3,10)
【答案】C
【解题思路】根据正弦定理，转化为三角函数，化简后换元，根据二次函数的单调性求范围即可.
【解答过程】在△ABC中，由B =2C可得A =π−3C，
由正弦定理
a
sin (π−3C) =
b
sin 2C =
c
sinC 得：
a+b= 2(sin3C +sin 2C)
sinC
= 2(sinC cos2C +cosC sin 2C +2sinC cosC)
sinC
=2(4 cos
2C +2cosC −1)
又△ABC为锐角三角形，所以{
0< A =π−3C <π
2
0<B =2C <π
2
0<C <π
2 )
，解得π
6 <C <π
4 ，
令t =cosC ∈(
❑√2
2 ,
❑√3
2 )，则a+b=2(4 t
2+2t −1),t ∈(
❑√2
2 ,
❑√3
2 )，
因为y = 4t
2+2t −1在t ∈(
❑√2
2 ,
❑√3
2 )时单调递增，
所以1+ ❑√2< y <2+ ❑√3，则a+b∈(2+2❑√2,4+2❑√3).
故选：C.
二、多选题
9．（2025·浙江宁波·模拟预测）记△ABC内角A ，B，C的对边分别是a，b，c，已知b
2+c
2=2a
2，则
下列选项正确的是（ ）
A．2bccos A =a
2
B．角A的最大值为π
3
C．tan A =tan BtanC
tan B+tanC
D．ab
c
2 的取值范围是(3 ❑√3−5，3 ❑√3+5)
【答案】ABD
【解题思路】对于A 利用余弦定理即可判断，对于B 利用余弦定理和均值不等式即可判断，对于C 由已知
有1
tan A =
1
tan B +
1
tanC 得cos A
sin A = cos B
sin B + cosC
sinC ，最后利用余弦定理和正弦定理即可判断，对于D 令
b= xc (x>0)代入 b
2+c
2=2a
2有a=
❑√
x
2+1
2
c，由三角不等式有x
2+1−2 x< x
2+1
2
< x
2+1+2 x，解出x的
范围，又ab
c
2 =
❑√2
2
❑√x
4+ x
2，利用二次函数即可求解，进而判断D.
【解答过程】对于A：由余弦定理有cos A = b
2+c
2−a
2
2bc
，所以
2bc cos A =2bc⋅b
2+c
2−a
2
2bc
=b
2+c
2−a
2=a
2⇔b
2+c
2=2a
2，故A 正确；
对于B：由余弦定理得cos A = b
2+c
2−a
2
2bc
= a
2
2bc ，由基本不等式有2a
2=b
2+c
2≥2bc，当b=c =a时，即
A =π
3 时等号成立，所以cos A = a
2
2bc ≥a
2
2a
2 = 1
2，所以角A的最大值为π
3 ，故B 正确；
对于C：由tan A =tan BtanC
tan B+tanC 有1
tan A =
1
tan B +
1
tanC ⇒cos A
sin A = cos B
sin B + cosC
sinC ，
所以cos A
sin A = cos BsinC +cosC sin B
sin BsinC
= sin (B+C)
sin BsinC =
sin A
sin BsinC ，
所以sin
2 A =sin BsinC cos A ⇒a
2=bc cos A =bc⋅b
2+c
2−a
2
2bc
= b
2+c
2−a
2
2
，
即2a
2=b
2+c
2−a
2⇒3a
2=b
2+c
2，与题干不符，故C 错误；
对于D：令b= xc (x>0)代入 b
2+c
2=2a
2有a=
❑√
x
2+1
2
c，由|b−c)<a<b+c有
b
2−2bc +c
2<a
2<b
2+2bc +c
2
得x
2+1−2 x< x
2+1
2
< x
2+1+2 x解得2−❑√3< x<2+ ❑√3，
所以ab
c
2 = x
❑√
x
2+1
2
=
❑√2
2
❑√x
4+ x
2=
❑√2
2
❑√(x
2+ 1
2)
2
−1
4
，由2−❑√3< x<2+ ❑√3，
所以 3 ❑√3−5< ab
c
2 <3 ❑√3+5，即ab
c
2 的取值范围是(3 ❑√3−5，3 ❑√3+5)，故D 正确.
故选：ABD.
10．（2025·四川·三模）已知在△ABC中，角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，若
a= 4 ,sin B+sinC =2sin A，则（ ）
A．△ABC的周长为12
B．角A的最大值为π
3
C．△ABC的面积最小值为2❑√3
D．△ABC的面积最大值为4 ❑√3
【答案】ABD
【解题思路】根据正弦定理得b+c =2a=8可判断A；利用基本不等式得bc≤16，再由余弦定理得
cos A ≥1
2
可判断B；根据S△ABC = 1
2 bc sin A，当角A接近0 时，△ABC的面积也接近0 可判断C；由
cos A ≥1
2
得sin A在A =π
3 时取得最大值，可判断D．
【解答过程】对于A，由a= 4 ,sin B+sinC =2sin A根据正弦定理得
b+c =2a=8,△ABC的周长为a+b+c =12，选项A 正确；
对于B，因为bc≤(
b+c
2 )
2
=16，由余弦定理cos A = b
2+c
2−a
2
2bc
= (b+c)
2−a
2
2bc
−1= 24
bc −1≥1
2
，
因为A ∈(0,π ),cos A ≥1
2，当且仅当b=c等号成立，所以A ∈(0, π
3)，选项B 正确；
对于C，S△ABC = 1
2 bc sin A，当角A接近0 时，△ABC的面积也接近0，所以选项C 错误；
对于D，S△ABC = 1
2 bc sin A，由A ∈(0,π ),cos A ≥1
2得sin A在A =π
3 时取得最大值，
故S△ABC在b=c = 4 , A =π
3 时取得最大值4 ❑√3，选项D 正确．
故选：ABD.
11．（2025·安徽·模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A =60°，∠BAC的平
分线AD交BC于D，AD =2，则下列说法正确的是（ ）
A．4 b+c的最小值为6 ❑√3
B．BD
CD =sin B
sinC
C．1
BD + 1
CD 的最大值是❑√3
D．△ABC的周长的取值范围是[4 ❑√3,+ ∞)
【答案】ACD
【解题思路】A 应用等面积法及三角形面积公式可得1
b + 1
c =
❑√3
2
，再应用基本不等式“1”的代换求最值；
B 应用正弦定理及∠BAD =∠CAD即可判断；C 由正弦定理及已知得
1
BD + 1
CD =sin B+sinC = ❑√3sin (B+30°)，即可求最值；D 应用余弦定理及基本不等式得b+c≥8
❑√3
、
a=
❑√(b+c)
2−2❑√3(b+c)，即可求周长范围.
【解答过程】A：由等面积法有S△ABC = S△ABD+ S△ACD，即
1
2 bc sin∠BAC = 1
2 AD⋅c sin∠BAD+ 1
2 AD⋅bsin∠CAD，
由AD =2，A =∠BAC =60°，∠BAC的平分线AD交BC于D，
所以
❑√3
2 bc =b+c，即1
b + 1
c =
❑√3
2 ，
所以4 b+c = 2
❑√3 ⋅(4 b+c)( 1
b + 1
c )= 2
❑√3 ⋅(5+ 4 b
c + c
b )≥2
❑√3 ⋅(5+2❑√
4 b
c ⋅c
b )=6 ❑√3，
当且仅当b= ❑√3,c =2❑√3时取等号，故4 b+c的最小值为6 ❑√3，故A 对；
B：在△ABD中
BD
sin∠BAD = AD
sin B ，在△ACD中
CD
sin∠CAD = AD
sinC ，
由∠BAC的平分线AD交BC于D，即∠BAD =∠CAD，故BD
CD = sinC
sin B ，故B 错；
C：由A =∠BAC =60°，则BD = AD sin∠BAD
sin B
=
1
sin B ，CD = AD sin∠CAD
sinC
=
1
sinC ，
所以1
BD + 1
CD =sin B+sinC =sin B+sin(120°−B)= 3
2 sin B+
❑√3
2 cos B = ❑√3sin(B+30°)，
又0°<B<120°，即B =60°时，1
BD + 1
CD 的最大值是❑√3，故C 对；
D：由A 分析有
❑√3
2 bc =b+c≥2❑√bc，则bc≤(b+c)
2
4
，故b+c≤
❑√3(b+c)
2
8
，
所以b+c≥8
❑√3，当且仅当b=c = 4
❑√3时取等号，
由a
2=b
2+c
2−2bc cos∠BAC =(b+c)
2−3bc =(b+c)
2−2❑√3(b+c)，
所以a=
❑√(b+c)
2−2❑√3(b+c)，故三角形周长为b+c +
❑√(b+c)
2−2❑√3(b+c)，
令t =b+c≥8
❑√3，则周长L=t +
❑√t
2−2❑√3t =t +
❑√(t −❑√3)
2−3在[ 8
❑√3 ,+∞)上单调递增，
所以L≥8
❑√3 + ❑√
( 8
❑√3 )
2
−2❑√3× 8
❑√3 = 8
❑√3 + 4
❑√3 = 4 ❑√3，即周长范围是[4 ❑√3,+∞)，故D 对.
故选：ACD.
三、填空题
12．（2025·湖北武汉·三模）已知锐角△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，若A =π
3 ,a≥b，则
b
2+c
2
bc
的取值范围为
.
【答案】[2, 5
2)
【解题思路】正弦定理边角转换，将原式转化为关于角的式子，根据已知信息求出角B的取值范围，利用
角的关系，将变量都转化为角B，根据角B的取值范围求出原式的取值范围.
【解答过程】在锐角△ABC中，由{
0<B≤π
3
0< 2π
3 −B< π
2)
，有π
6 <B≤π
3 ，
法一：有余弦定理知，a
2=b
2+c
2−2bc cos A，所以b
2+c
2=a
2+2bc cos A，
所以b
2+c
2
bc
= a
2+2bc cos A
bc
= a
2
bc +2cos A = a
2
bc +1，
由正弦定理得a
2
bc =
sin
2 A
sin BsinC =
3
4
sin Bsin(
2π
3 −B)
=
3
2sin(2B−π
6)+1
，
又π
6 <B≤π
3 ，所以sin(2B−π
6)∈(
1
2 ,1)，所以a
2
bc ∈[1, 3
2)，
所以b
2+c
2
bc
的取值范围为[2, 5
2).
法二：由正弦定理知，c
b =sinC
sin B =
sin(
2π
3 −B)
sin B
=
❑√3
2 cosB+ 1
2 sin B
sin B
=
❑√3
2tan B + 1
2
，
又π
6 <B≤π
3 ，从而1≤c
b <2，故2≤b
c + c
b < 5
2，所以b
2+c
2
bc
的取值范围为[2, 5
2).
故答案为：[2, 5
2).
13．（2025·福建厦门·三模）锐角△ABC中，角A ,B ,C所对应的边分别为a,b,c，满足a
2=b(b+c)，
a+b=3，则△ABC的周长的取值范围为
.
【答案】(3 ❑√2,3 ❑√3)
【解题思路】由题意得A =2B，结合正弦定理得a+b+c =3+ 12cos
2B−3
2cos B+1 ，根据△ABC是锐角三角形求
出cos B的取值范围，通过换元法即可求解.
【解答过程】因为a
2=b(b+c)，a
2=b
2+c
2−2bc cos A，所以bc =c
2−2bc cos A，故b=c−2bcos A，
所以sin B =sinC −2sin Bcos A =sin ( A + B)−2sin Bcos A =sin A cos B−sin Bcos A，
即sin B =sin ( A −B)，
因为A ,B∈(0,π)，所以A −B∈(−π,π)，sin B =sin ( A −B)>0，
所以A −B∈(0,π)，故B = A −B或B+ A −B =π（舍），即A =2B，
由正弦定理可得
a+b
sin A +sin B =
3
sin A +sin B =
c
sinC ，
所以a+b+c =3+
3sinC
sin A +sin B =3+ 3sin ( A + B)
sin A +sin B =3+ 3(sin A cos B+cos A sin B)
sin A +sin B
=3+ 3(sin 2Bcos B+cos2Bsin B)
sin 2B+sin B
=3+ 6sin Bcos
2B+3(2cos
2B−1)sin B
2sin Bcos B+sin B
=3+ 12cos
2B−3
2cos B+1
，
因为△ABC是锐角三角形，所以{
0<B<π
2
0<2B<π
2
0<C =π−3 B<π
2)
，解得π
6 <B<π
4 ，
令t =2cos B+1∈(❑√2+1,❑√3+1)，
则a+b+c =3+ 12cos
2B−3
2cos B+1 =3+
12(
t −1
2 )
2
−3
t
=3+3t −6=3t −3∈(3 ❑√2,3 ❑√3)，
所以△ABC的周长的取值范围为(3 ❑√2,3 ❑√3).
故答案为：(3 ❑√2,3 ❑√3).
14．（2025·河北衡水·模拟预测）已知△ABC为等腰三角形，点D 为腰AC 上靠近顶点A 的三等分点，BD
长为2，则该三角形面积的最大值为
．
【答案】9
4
【解题思路】设AD = x ,BC =2 y，利用cos∠ADB+cos∠CDB =0得出y
2=3−3 x
2，即可求出
S△ABC =3
❑√(4 x
2−1)(1−x
2)，进而求一元二次函数的最值即可.
【解答过程】设AD = x ,BC =2 y，则CD =2 x , AB =3 x，
在△ADB中利用余弦定理得，cos∠ADB = x
2+ 4−9 x
2
4 x
= 1−2 x
2
x
，
在△CDB中利用余弦定理得，cos∠CDB = 4 x
2+ 4−4 y
2
8 x
= x
2−y
2+1
2 x
，
因∠ADB+∠CDB =π，
则cos∠ADB+cos∠CDB = 1−2 x
2
x
+ x
2−y
2+1
2 x
= 3−3 x
2−y
2
2 x
=0，
则y
2=3−3 x
2，
因等腰△ABC底边BC上的高为❑√9 x
2−y
2=
❑√12 x
2−3，
则S△ABC = 1
2 ⋅2 y ⋅
❑√12 x
2−3=
❑√(12 x
2−3)(3−3 x
2)=3
❑√(4 x
2−1)(1−x
2)，
故当x
2= 5
8，即x =
❑√10
4
，y = 3 ❑√2
4
时，S△ABC取最大值9
4 .
故答案为：9
4 .
四、解答题
15．（2025·海南·模拟预测）在△ABC中，角A , B , C所对应的边分别为a, b, c且满足
c sin A
b−acosC = ❑√3
．
(1)求A的大小；
(2)角A的平分线AD与边BC相交于点D，且AD = ❑√3，求2b+3c的最小值．
【答案】(1)A =π
3
(2)5+2❑√6
【解题思路】（1）利用正弦定理以及两角和差的正弦公式化简即可；
（2）根据S△ABC = S△ABD+ S△ACD得出1
b + 1
c =1，再结合基本不等式即可求解.
【解答过程】（1）由
c sin A
b−acosC = ❑√3得❑√3b−❑√3a cosC =c sin A，
由正弦定理得❑√3sin B−❑√3sin A cosC =sinC sin A，
因为A + B+C =π，所以❑√3sin ( A +C)−❑√3sin A cosC =sinC sin A，
即❑√3sin A cosC + ❑√3cos A sinC −❑√3sin A cosC =sinC sin A，
即sinC (❑√3cos A −sin A)=0，
因为sinC ≠0，所以❑√3cos A −sin A =0，
若cos A =0，则sin A =0矛盾，故cos A ≠0，所以tan A = ❑√3，
而0< A <π，所以A =π
3 ．
（2）因角A的平分线为AD，则∠BAD =∠CAD =π
6 ，
因S△ABC = S△ABD+ S△ACD，且AD = ❑√3，则1
2 ×❑√3bsinπ
6 + 1
2 ×❑√3c sinπ
6 = 1
2 bc sinπ
3 ，
∴
❑√3
4 b+
❑√3
4 c =
❑√3
4 bc，∴1
b + 1
c =1，
则(2b+3c)(
1
b + 1
c)= 2b
c + 3c
b +5≥5+2❑√
2b
c ⋅3c
b =5+2❑√6，
当且仅当¿，即{
b= 2+ ❑√6
2
c = 3+ ❑√6
3 )
时取等号．
所以2b+3c的最小值为5+2❑√6．
16．（2025·山东泰安·模拟预测）已知△ABC的角A ,B ,C对边分别为a,b,c，❑√3acosB =bsin A.
(1)求角B的大小.
(2)设点D是AC的中点，若BD = ❑√3，求a+c的取值范围.
【答案】(1)π
3
(2)(2❑√3,4 ]
【解题思路】（1）由正弦定理边化角，进而可得tan B = ❑√3，可求B；
（2）延长BD到E，满足DE = BD，连接AE，CE，在Δ BAE中，由余弦定理化简整理得到
ac =(a+c)
2−12，结合基本不等式，求得a+c≤4，再由三角形的性质，即可求得a+c的取值范围.
【解答过程】（1）∵❑√3acosB =bsin A，∴❑√3acosB−bsin A =0，
∴由正弦定理可得：❑√3sin A cos B−sin Bsin A =0，
∵A ∈(0,π),∴sin A ≠0，∴❑√3cos B−sin B =0, 即tan B = ❑√3，
∵B∈(0,π)，∴B =π
3 ．
（2）如图，延长BD到E，满足DE = BD，连接AE，CE，
则ABCE为平行四边形，且BE =2❑√3,∠BAE = 2π
3 , AB =c , AE = BC =a，
在△BAE中，由余弦定理得(2❑√3)
2=a
2+c
2−2ac cos 2π
3 ，
即a
2+c
2+ac =12，可得(a+c)
2−ac =12，即ac =(a+c)
2−12，
由基本不等式得：ac =(a+c)
2−12≤( a+c
2
)
2
，
即3
4 (a+c)
2≤12，即(a+c)
2≤16，可得a+c≤4，
（当且仅当a=c =2取等号号），
又由AE + AB>BE，即a+c>2❑√3，
故a+c的取值范围是(2❑√3,4 ].
17．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）在平面四边形ABCD中，BC ⊥CD，AD = ❑√2，∠ACD =30°，
∠CAD = 45°.
(1)求AC的长.
(2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围.
【答案】(1)❑√3+1
(2)2❑√3+3
4
<S△ABC<2❑√3+3
【解题思路】（1）在△ACD中求出∠ADC，然后利用正弦定理可求出AC的长；
（2）先求出∠ACB =60°，然后由△ABC为锐角三角形，求出角B的范围，再利用正弦定理表示出BC，
从而可表示出△ABC面积，化简后结合角B的范围可求得结果.
【解答过程】（1）在△ACD中，∠ACD =30°，∠CAD = 45°，则
∠ADC =180°−∠ACD−∠CAD =180°−30°−45° =105°，
由正弦定理得
AC
sin∠ADC =
AD
sin∠ACD ，
AC
sin105° =
❑√2
sin30° ，
所以AC =2❑√2sin105°，
因为sin105° =sin(60°+ 45°)=sin 60° cos 45°+cos60° sin 45°
=
❑√3
2 ×
❑√2
2 + 1
2 ×
❑√2
2 =
❑√6+ ❑√2
4
，
所以AC =2❑√2×
❑√6+ ❑√2
4
= ❑√3+1；
（2）因为BC ⊥CD，∠ACD =30°，所以∠ACB =60°，
所以∠BAC =120°−B，
因为△ABC为锐角三角形，所以{
0°<∠BAC <90°
0°<B<90° )，
即{
0°<120°−B<90°
0°<B<90°
)，解得30°<B<90°，
在△ABC中，由正弦定理得
BC
sin∠BAC = AC
sin B ，
则BC = AC sin ∠BAC
sin B
= (❑√3+1)sin(120°−B)
sin B
= (❑√3+1)(sin120° cos B−cos120° sin B)
sin B
=
(❑√3+1)(
❑√3
2 cos B+ 1
2 sin B)
sin B
=
❑√3+1
2
(
❑√3
tan B +1)，
所以S△ABC = 1
2 AC ⋅BC sin ∠ACB = 1
2 ×(❑√3+1)×
❑√3+1
2
(
❑√3
tan B +1)sin 60°
= (❑√3+1)
2
4
×
❑√3
2 (
❑√3
tan B +1)
= 2❑√3+3
4
(
❑√3
tan B +1)，
因为30°<B<90°，所以tan B>tan30° =
❑√3
3 ，
所以0<
❑√3
tan B <3，所以1<
❑√3
tan B +1<4，
所以2❑√3+3
4
< 2❑√3+3
4
(
❑√3
tan B +1)<2❑√3+3，
即2❑√3+3
4
<S△ABC<2❑√3+3.
18．（2025·福建泉州·模拟预测）△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，且
acos(B−C)=(2❑√3c sin B−a)cos A.
(1)求A；
(2)若a=2❑√3，求△ABC的面积与周长的比值的最大值.
【答案】(1)π
3
(2)1
2
【解题思路】（1）首先将原等式利用和差倍角的余弦公式以及正弦定理进行化简，得到关于角A的三角函
数，进而可求得角A的值.
（2）首先根据余弦定理求得关于b,c的等式，然后求三角形ABC的面积和周长，化简S
L的表达式，利用
基本不等式和三角形的边长性质求得b+c的范围，进而可求得S
L的最大值.
【解答过程】（1）因为acos(B−C)=(2❑√3c sin B−a)cos A，所以
acos(B−C)+acos A =2❑√3c sin Bcos A.
因为cos A =−cos(B+C)，所以acos(B−C)−acos(B+C)=2❑√3c sin Bcos A.
所以a[cos BcosC +sin BsinC −(cos BcosC −sin BsinC))=2❑√3c sin Bcos A.
化简得：asin BsinC = ❑√3c sin Bcos A
根据正弦定理得：sin A sin BsinC = ❑√3sinC sin Bcos A.
因为0<B<π ,0<C <π，所以sin B≠0,sinC ≠0，
所以sin A = ❑√3cos A.解得tan A = ❑√3，又0< A <π，所以A = π
3 .
（2）由（1）知A = π
3 又a=2❑√3，
则△ABC的面积为S = 1
2 bc sin A =
❑√3
4 bc，△ABC的周长为L=2❑√3+b+c，
所以S
L =
❑√3
4 bc
2❑√3+b+c
.
由余弦定理得：(2❑√3)
2=b
2+c
2−2bc cos π
3 ，化简得12=b
2+c
2−bc =(b+c)
2−3bc，
所以bc = (b+c)
2−12
3
.
又bc≤(
b+c
2 )
2
，所以
(b+c)
2−12
3
≤(
b+c
2 )
2
，
化简得(b+c)
2≤48，所以b+c≤4 ❑√3，
所以S
L =
❑√3
4 bc
2❑√3+b+c =
❑√3
4 × (b+c)
2−12
3
2❑√3+b+c
=
❑√3
12 × (b+c)
2−12
2❑√3+b+c
.
令b+c =t，则2❑√3<t ≤4 ❑√3，
所以S
L =
❑√3
12 × (b+c)
2−12
2❑√3+b+c =
❑√3
12 × t
2−12
2❑√3+t =
❑√3
12 × (t +2❑√3)(t −2❑√3)
2❑√3+t
=
❑√3
12 (t −2❑√3)，
所以当t = 4 ❑√3时，S
L取最大值为
❑√3
12 (4 ❑√3−2❑√3)= 1
2.
19．（2025·江苏南通·三模）在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，满足
2S =(b
2−a
2)sin B．
(1)求证：B =2 A；
(2)求2acosB−3b
2a
的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)[−17
8 , 1−3 ❑√3
2
)
【解题思路】（1）由三角形的面积公式、余弦定理、正弦定理以及两角和、差的正弦公式得出
sin(B−A)=sin A，结合正弦函数的单调性可证得结论成立；
（2）利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出2acosB−3b
2a
=2cos
2 A −3cos A −1，根据△ABC为锐
角三角形求出角A的取值范围，即可得出cos A的取值范围，然后利用二次函数的基本性质可求得
2acosB−3b
2a
的取值范围．
【解答过程】（1）由2S =(b
2−a
2)sin B得2× 1
2 acsin B =(b
2−a
2)sin B，即ac =b
2−a
2，
由余弦定理得：b
2=a
2+c
2−2accosB，即b
2−a
2=c
2−2accosB =ac，
化简得：c−2acosB =a，
由正弦定理有：sinC −2sin A cosB =sin ( A + B)−2sin A cos B =sin A，
即sin A cosB+cos A sin B−2sin A cosB =sin A，化简得：sin(B−A)=sin A，
因为0< A <π
2 ，0<B<π
2 ，所以−π
2 <B−A <π
2 ，
因为正弦函数y =sin x在(−π
2 ,π
2 )上单调递增，故B−A = A，即B =2 A.
（2）由正弦定理得2acosB−3b
2a
=cosB−3sin B
2sin A =cos2 A −3sin2 A
2sin A =cos2 A −6sin A cos A
2sin A
=2cos
2 A −3cos A −1，
因为△ABC为锐角三角形，则{
0< A <π
2
0<B =2 A <π
2
0<C =π−3 A <π
2)
，解得π
6 < A <π
4 ，则
❑√2
2 <cos A <
❑√3
2 ，
令t =cos A，则目标式为f (t )=2t
2−3t −1，其中
❑√2
2 <t <
❑√3
2 ，
所以函数f (t )在(
❑√2
2 , 3
4)上单调递减，在(
3
4 ,
❑√3
2 )上单调递增，
则f (t )min= f(
3
4)=−17
8 ，
因为f(
❑√3
2 )= 1−3 ❑√3
2
，f(
❑√2
2 )=−3 ❑√2
2
，故f(
❑√2
2 )<f(
❑√3
2 )，
故当f(
❑√3
2 )= 1−3 ❑√3
2
时，−17
8 ≤f (t )< 1−3 ❑√3
2
.
因此，2acosB−3b
2a
的取值范围是[−17
8 , 1−3 ❑√3
2
).
