【微专题4：平面向量的基本运算和应用】
【高考定位】
平面向量是高考数学的核心工具性考点，兼具代数运算与几何直观双重属性，考查形式以选择题、填空题
为主，偶尔渗透于解答题（如三角函数、解析几何、立体几何综合题）中，分值占比5-12 分.
核心考查方向：①平面向量的线性运算（加减、数乘）及几何意义；②平面向量数量积的定义、坐标运算
及应用；③平面向量数量积的取值范围问题（结合函数、不等式）；④平面向量与其他知识的综合应用
（如与三角函数、解析几何、数列的结合）.命题趋势侧重“向量工具性”，强调利用向量运算解决几何
度量（长度、夹角）、位置关系（平行、垂直）问题，突出逻辑推理与数形结合能力的考查.
核心知识梳理
1.平面向量的线性运算基础
①加法：三角形法则（
，首尾相接，指向终点）、平行四边形法则（
，共起点，对角线）；性
质：
，
.
②减法：三角形法则（
，共起点，指向被减向量终点）；性质：
.
③数乘：
（
为实数），几何意义：伸缩向量；性质：
，
，
；共线定理：
，使得
（
）.
2.平面向量数量积基础
①定义：
（
为
与
的夹角，
）.
②坐标运算：若
，
，则
；夹角公式：
；
模
长
公
式
：
，
.
③性质：
；
；
.
【真题体验】
1．（2025·天津·高考真题）△ABC中，D 为AB 边中点，⃗CE = 1
3⃗CD ,⃗AB =⃗a,⃗AC =⃗b，则⃗AE =
（用⃗a，⃗b表示），若|⃗AE|=5，AE⊥CB，则⃗AE⋅⃗CD =
【答案】 1
6⃗a+ 2
3⃗b； −15
【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二.
【详解】如图，
因为⃗CE = 1
3⃗CD，所以⃗AE−⃗AC = 1
3 (⃗AD−⃗AC)，所以⃗AE = 1
3⃗AD + 2
3⃗AC．
因为D 为线段AB的中点，所以⃗AE = 1
6⃗AB+ 2
3⃗AC = 1
6⃗a+ 2
3⃗b；
又因为|⃗AE)=5, AE⊥CB，所以⃗AE
2=(
1
6⃗a+ 2
3⃗b)
2
= 1
36⃗a
2+ 2
9⃗a⋅⃗b+ 4
9⃗b
2=25，⃗
AE⋅⃗CB =(
1
6⃗a+ 2
3⃗b)⋅(⃗a−⃗b)= 1
6⃗a
2+ 1
2⃗a⋅⃗b−2
3⃗b
2=0，所以⃗a
2+3⃗a⋅⃗b= 4⃗b
2
所以⃗a
2+ 4⃗a⋅⃗b=180，
所以⃗AE⋅⃗CD =(
1
6⃗a+ 2
3⃗b)⋅(−⃗b+ 1
2⃗a)= 1
12⃗a
2+ 1
6⃗a⋅⃗b−2
3⃗b
2= 1
12 (⃗a
2+2⃗a⋅⃗b−8⃗b
2)
= 1
12(a⃗
2+2a⃗⋅b⃗−2a⃗
2−6a⃗⋅b⃗)= 1
12(−a⃗
2−4 a⃗⋅b⃗)=−15．
故答案为：1
6⃗a+ 2
3⃗b；−15.
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量⃗a=( x ,1),⃗b=( x −1,2 x),若⃗a⊥(⃗a−⃗b)，则|⃗a|=
【答案】❑√2
【分析】根据向量坐标化运算得⃗a−⃗b=(1,1−2 x)，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】⃗a−⃗b=(1,1−2 x)，因为⃗a⊥(⃗a−⃗b)，则⃗a⋅(⃗a−⃗b)=0，
则x +1−2 x =0，解得x =1.
则⃗a=(1,1)，则|⃗a|= ❑√2.
故答案为：❑√2.
3．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在
航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船
行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1 给出了部分风力等级、名称与风速大小的
对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2 所示（线段长度
代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（ ）
级数
名称
风速大小（单位：m/s)
2
轻风
1.6~3.3
3
微风
3.4~5.4
4
和风
5.5~7.9
5
劲风
8.0~10.7
A．轻风
B．微风
C．和风
D．劲风
【答案】A
【分析】结合题目条件和图2写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，
得出真风风速的大小，即可由图1得出结论.
【详解】由题意及图得，
视风风速对应的向量为：⃗n=(0,2)−(3,3)=(−3,−1)，
视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，
船速方向和船行风速的向量方向相反，
设真风风速对应的向量为⃗n1，船行风速对应的向量为⃗n2，
∴⃗n=⃗n1+⃗n2，船行风速：⃗n2=−[(3,3)−(2,0))=(−1,−3)，
∴⃗n1=⃗n−⃗n2=(−3,−1)−(−1,−3)=(−2,2)，
|⃗n1)=
❑√(−2)
2+2
2=2❑√2≈2.828，
∴由表得，真风风速为轻风，
故选：A.
4．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量⃗a=(x +1, x),⃗b=(x ,2)，则（ ）
A．“x =−3”是“⃗a⊥⃗b”的必要条件
B．“x =1+ ❑√3”是“⃗a//⃗b”的必要条件
C．“x =0”是“⃗a⊥⃗b”的充分条件
D．“x =−1+ ❑√3”是“⃗a//⃗b”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当⃗a⊥⃗b时，则⃗a⋅⃗b=0，
所以x⋅( x +1)+2 x =0，解得x =0或−3，即必要性不成立，故A 错误；
对C，当x =0时，⃗a=(1,0),⃗b=(0,2)，故⃗a⋅⃗b=0，
所以⃗a⊥⃗b，即充分性成立，故C 正确；
对B，当⃗a//⃗b时，则2( x +1)= x
2，解得x =1± ❑√3，即必要性不成立，故B 错误；
对D，当x =−1+ ❑√3时，不满足2( x +1)= x
2，所以⃗a//⃗b不成立，即充分性不立，故D 错误.
故选：C.
5．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量⃗a,⃗b满足|⃗a)=1,|⃗a+2⃗b)=2，且(⃗b−2⃗a)⊥⃗b，则|⃗b)=（ ）
A．1
2
B．
❑√2
2
C．
❑√3
2
D．1
【答案】B
【分析】由(⃗b−2⃗a)⊥⃗b得⃗b
2=2⃗a⋅⃗b，结合|⃗a)=1,|⃗a+2⃗b)=2，得1+ 4⃗a⋅⃗b+ 4⃗b
2=1+6⃗b
2= 4，由此即
可得解.
【详解】因为(⃗b−2⃗a)⊥⃗b，所以(⃗b−2⃗a)⋅⃗b=0，即⃗b
2=2⃗a⋅⃗b，
又因为|⃗a)=1,|⃗a+2⃗b)=2，
所以1+ 4⃗a⋅⃗b+ 4⃗b
2=1+6⃗b
2= 4，
从而|⃗b)=
❑√2
2
.
故选：B.
6．（2023·北京·高考真题）已知向量⃗a，⃗b满足⃗a+⃗b=(2,3),⃗a−⃗b=(−2,1)，则|⃗a|
2−|⃗b|
2=（ ）
A．−2
B．−1
C．0
D．1
【答案】B
【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【详解】向量⃗a,⃗b满足⃗a+⃗b=(2,3),⃗a−⃗b=(−2,1)，
所以|⃗a|
2−|⃗b|
2=(⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)=2×(−2)+3×1=−1.
故选：B
7．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则⃗EC ⋅⃗ED =（ ）
A．❑√5
B．3
C．2❑√5
D．5
【答案】B
【分析】方法一：以{⃗AB ,⃗AD)为基底向量表示⃗EC ,⃗ED，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，
利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求cos∠DEC，进而根据数量积的定义运算求解.
【详解】方法一：以{⃗AB ,⃗AD)为基底向量，可知|⃗AB)=|⃗AD)=2,⃗AB⋅⃗AD =0，
则⃗EC =⃗EB+⃗BC = 1
2⃗AB+⃗AD ,⃗ED =⃗EA +⃗AD =−1
2⃗AB+⃗AD，
所以⃗EC ⋅⃗ED =(
1
2⃗AB+⃗AD)⋅(−1
2⃗AB+⃗AD)=−1
4⃗AB
2+⃗AD
2=−1+ 4 =3；
方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
则E (1,0),C (2,2), D (0,2)，可得⃗EC =(1,2),⃗ED =(−1,2)，
所以⃗EC ⋅⃗ED =−1+ 4 =3；
方法三：由题意可得：ED = EC = ❑√5,CD =2，
在△CDE中，由余弦定理可得cos∠DEC = D E
2+C E
2−DC
2
2 DE⋅CE
=
5+5−4
2×❑√5×❑√5 = 3
5，
所以⃗EC ⋅⃗ED =|⃗EC)|⃗ED)cos∠DEC = ❑√5×❑√5× 3
5 =3.
故选：B.
8．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量⃗a=(3,1),⃗b=(2,2)，则cos⟨⃗a+⃗b,⃗a−⃗b)=（ ）
A．1
17
B．
❑√17
17
C．
❑√5
5
D．2❑√5
5
【答案】B
【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得|⃗a+⃗b),|⃗a−⃗b),(⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)，从而利用平面向量
余弦的运算公式即可得解.
【详解】因为⃗a=(3,1),⃗b=(2,2)，所以⃗a+⃗b=(5,3),⃗a−⃗b=(1,−1)，
则|⃗a+⃗b)=
❑√5
2+3
2= ❑√34 ,|⃗a−⃗b)= ❑√1+1= ❑√2，(⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)=5×1+3×(−1)=2，
所以cos⟨⃗a+⃗b,⃗a−⃗b)= (⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)
|⃗a+⃗b)|⃗a−⃗b)
=
2
❑√34×❑√2 =
❑√17
17 .
故选：B.
9．（2023·全国甲卷·高考真题）已知向量⃗a,⃗b,⃗c满足|⃗a)=|⃗b)=1,|⃗c)= ❑√2，且⃗a+⃗b+⃗c =⃗0，则
cos〈⃗a−⃗c ,⃗b−⃗c 〉=（ ）
A．−4
5
B．−2
5
C．2
5
D．4
5
【答案】D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为⃗a+⃗b+⃗c =⃗0,所以⃗a+⃗b=−⃗c,
即⃗a
2+⃗b
2+2⃗a⋅⃗b=⃗c
2,即1+1+2⃗a⋅⃗b=2,所以⃗a⋅⃗b=0.
如图,设⃗OA =⃗a,⃗OB =⃗b,⃗OC =⃗c,
由题知,OA =OB =1,OC = ❑√2,△OAB是等腰直角三角形,
AB 边上的高OD =
❑√2
2 , AD =
❑√2
2
,
所以CD =CO+OD = ❑√2+
❑√2
2 = 3 ❑√2
2
,
tan ∠ACD = AD
CD = 1
3 ,cos∠ACD =
3
❑√10,
cos〈⃗a−⃗c ,⃗b−⃗c 〉=cos∠ACB =cos2∠ACD =2cos
2∠ACD−1
=2×(
3
❑√10)
2
−1= 4
5 .
故选:D.
10．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量⃗a=(1,1),⃗b=(1,−1)，若(⃗a+ λ⃗b)⊥(⃗a+ μ⃗b)，则（ ）
A．λ+ μ=1
B．λ+ μ=−1
C．λμ=1
D．λμ=−1
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出⃗a+ λ⃗b，⃗a+ μ⃗b，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为⃗a=(1,1),⃗b=(1,−1)，所以⃗a+ λ⃗b=(1+ λ ,1−λ)，⃗a+ μ⃗b=(1+ μ,1−μ)，
由(⃗a+ λ⃗b)⊥(⃗a+ μ⃗b)可得，(⃗a+ λ⃗b)⋅(⃗a+ μ⃗b)=0，
即(1+ λ)(1+ μ)+(1−λ)(1−μ)=0，整理得：λμ=−1．
故选：D．
【热点题型1：平面向量的线性运算】
【核心归纳】
知识讲解与常考题型
题型分类
1.关键思路：线性运算的核心是“基底化”，即选取一组不共线的已知向量（如
、
）作为基底，
将所有未知向量转化为基底的线性组合；2.常用工具：三角形中线向量公式（
，
为
中点）、向量共线定理、分点向量公式（若
分
的比为
，则
）.
【易错提示】
1.混淆向量加法、减法的几何意义，尤其是三角形法则中“方向”（加法首尾相接，减法共起点指向被减
向量）；2.利用共线定理时，忽略“
”的前提条件；3.基底选择不当导致运算复杂，应优先选择共
起点或关联已知条件的向量作为基底.
（2025·四川成都·一模）在平行四边形ABCD中，BC⃗+3CE⃗= 0
→
，F是线段DE 的中点，
连接BD交AF于O，若⃗AO =m⃗AF，则m=（ ）
A．1
B．3
4
C．4
3
D．2
3
【答案】B
【分析】设BO
→
= λ BD
→
，以AB
→
, AD
→
为基底，分别用λ ,m表示AO
→
，建立方程组求解.
【详解】AF
→
= AD
→
+ DF
→
= AD
→
+ 1
2 DE
→
= AD
→
+ 1
2(DC
→
+CE
→)
= AD
→
+ 1
2 AB
→
−1
6 AD
→
= 5
6 AD
→
+ 1
2 AB
→
，
又因为AO
→
=m AF
→
，所以AO
→
= 5
6 m AD
→
+ 1
2 m AB
→
，
设BO
→
= λ BD
→
，则AO
→
= AB
→
+ λ BD
→
= AB
→
+ λ(AD
→
−AB
→)=(1−λ) AB
→
+ λ AD
→
，
所以{
1−λ = 1
2 m
λ = 5
6 m )
，解得{
m= 3
4
λ = 5
8)
，
故选：B.
（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）已知△ABC中，O是BC边上靠近B的三等分点，过
点O的直线分别交直线AB , AC于不同的两点M , N，设⃗AB =m⃗AM ,⃗AC =n⃗AN，其中m>0,n>0，则
1
m + 1
n的最小值是（ ）
经典例题
经典例题
A．4
B．3
2 + ❑√2
C．1+ 2❑√2
3
D．3+2❑√2
【答案】C
【分析】利用向量的线性运算，再结合三点共线的性质，即可得1
3 n+ 2
3 m=1，然后利用代换，结合基本
不等式即可求得最小值.
【详解】
由O是BC边上靠近B的三等分点，
可得：⃗OC =2⃗BO⇒⃗AC −⃗AO =2(⃗AO−⃗AB)⇒⃗AO = 1
3⃗AC + 2
3⃗AB，
又因为⃗AB =m⃗AM ,⃗AC =n⃗AN，所以⃗AO = 1
3 n⃗AN + 2
3 m⃗AM，
又因为M , N ,O三点共线，所以1
3 n+ 2
3 m=1
又因为m>0,n>0，
所以1
m + 1
n =(
1
m + 1
n)(
n
3 + 2m
3 )=1+ n
3m + 2m
3n ≥1+2❑√
n
3m ⋅2 m
3n =1+ 2❑√2
3
，
当且仅当n
3m = 2m
3n ，即m= 3(2−❑√2)
2
,n=3(❑√2−1)时取得等号，
所以1
m + 1
n的最小值为1+ 2❑√2
3
，
故选：C
（2025·四川内江·一模）已知向量⃗a=(1,2),⃗b=(1,1)，若⃗a−⃗b与⃗a+ λ⃗b共线，则λ =
（ ）
A．−1
B．1
C．2
D．−2
【答案】A
【分析】根据向量的坐标运算及向量共线求解.
【详解】⃗a−⃗b=(0,1)，⃗a+ λ⃗b=(1+ λ ,2+ λ)，
由⃗a−⃗b与⃗a+ λ⃗b共线，可得0×(2+ λ)−1×(1+ λ)=0，
解得λ =−1，
经典例题
故选：A
【规律方法总结】
1.解题模板：①确定基底（不共线的已知向量）；②利用线性运算性质（加减、数乘）将未知向量转化为
基底的线性组合；③对比系数求解参数或化简表达式；④验证结果的几何合理性.
2.技巧提炼：遇到中点、三等分点等分点问题，优先用“中线向量公式”“分点向量公式”简化运算；遇
到平行、共线问题，直接套用共线定理，转化为线性方程求解.
（2025·广东茂名·模拟预测）在平行四边形ABCD中，点E、F 分别是AD、DC
边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T 两点，⃗AT = λ⃗AC，λ =（ ）
A．1
6
B．2
3
C．1
3
D．5
6
【答案】B
【分析】方法一：设⃗CT = μ⃗CA，得到⃗CT =2 μ⃗CF + μ⃗CB，根据B，T，F 三点共线，得到方程，可得答
案；
方法二：根据△ARE∽△CRB，△ARE∽△CRB可得AR = RT =CT ,⃗AT = 2
3⃗AC.
【详解】方法一：设⃗CT = μ⃗CA = μ⃗CD + μ⃗CB =2 μ⃗CF + μ⃗CB，
且B，T，F 三点共线，
∴2 μ+ μ=1，解得μ= 1
3 ,∴⃗CT = 1
3⃗CA ,∴⃗AT = 2
3⃗AC；
方法二：AE // BC ,△ARE∽△CRB , AE
BC = 1
2 = AR
RC ，
所以AR = 1
3 AC，
同理DC // AB，△ATB∽△CTF , CT
TA = CF
AB = 1
2，
故CT = 1
3 AC，
所以AR = RT =CT ,⃗AT = 2
3⃗AC.
故选：B.
（2025·安徽·模拟预测）已知在△ABC中，点D 满足4⃗DB+3⃗DC =⃗0，设
AD⃗= λ AB⃗+ μ AC⃗(λ , μ∈R)，则λ+2 μ=（ ）
小试牛刀1
小试牛刀2
A．1
B．7
5
C．10
7
D．2
【答案】C
【分析】由平面向量基本定理结合4⃗DB+3⃗DC =⃗0，可得⃗BD = 3
7⃗BC ,⃗CD =−4
7⃗BC，再由⃗
AD = λ⃗AB+ μ⃗AC (λ , μ∈R)，即可求出λ+2 μ的值.
【详解】由4⃗DB+3⃗DC =⃗0，可得⃗BD = 3
7⃗BC ,⃗CD =−4
7⃗BC，
则⃗AD =⃗AB+⃗BD =⃗AB+ 3
7⃗BC , ⃗AD =⃗AC +⃗CD =⃗AC −4
7⃗BC ,
则2⃗AD =⃗AB+⃗AC −1
7⃗BC =⃗AB+⃗AC −1
7 (⃗AC −⃗AB)= 8
7⃗AB+ 6
7⃗AC
故⃗AD = 4
7⃗AB+ 3
7⃗AC，
所以λ+2 μ= 4
7 +2× 3
7 = 10
7
故选：C.
（24-25 高一下·四川南充·月考）如图，点D、E 分别在△ABC的边BC、AC 上.且⃗
BD =3⃗DC，⃗AE =2⃗EC，BE 与AD 交于点M，若⃗AM = λ⃗AB+ μ⃗AC，则λ−μ=（ ）
A．−4
11
B．4
11
C．−8
11
D．8
11
【答案】A
【分析】设⃗AM =m⃗AD⇒⃗AM = m
4⃗AB+ 3m
4⃗AC，根据⃗BM =n⃗BE = 2n
3⃗AC −n⃗AB，可得⃗
AM =⃗AB+⃗BM = 2n
3⃗AC +(1−n)⃗AB，再利用向量相等得到方程组，求m,n的值，再求λ，μ，λ−μ即可．
【详解】因为⃗BD =3⃗DC，所以⃗AD−⃗AB =3⃗AC −3⃗AD，
所以⃗AD = 1
4⃗AB+ 3
4⃗AC，
小试牛刀3
又⃗AE =2⃗EC = 2
3⃗AC，则⃗BE =⃗AE−⃗AB = 2
3⃗AC −⃗AB
设⃗AM =m⃗AD = m
4⃗AB+ 3m
4⃗AC，
设⃗BM =n⃗BE = 2n
3⃗AC −n⃗AB，
则⃗AM =⃗AB+⃗BM = 2n
3⃗AC +(1−n)⃗AB，
所以m
4⃗AB+ 3m
4⃗AC = 2n
3⃗AC +(1−n)⃗AB，
又因为⃗AB ,⃗AC不共线，
所以{
3m
4 = 2n
3
m
4 =1−n)
⇒{
n= 9
11
m= 8
11)
，
故⃗AM = 2n
3⃗AC +(1−n)⃗AB = 2
3 × 9
11⃗AC + 2
11⃗AB = 2
11⃗AB+ 6
11⃗AC，
所以λ= 2
11 , μ= 6
11，所以λ−μ=−4
11．
故选：A.
【热点题型2：平面向量的数量积】
【核心归纳】
1.数量积计算的两种核心方法：①定义法（已知模长、夹角时）：
；②坐标法（已
知向量坐标或可建立坐标系时）：
；2.模长与夹角的求解依赖数量积：模长是数量积的
开方（
），夹角是数量积与模长乘积的比值（
）.
【易错提示】
1.混淆数量积与模长的运算公式，如误将
（仅共线同向时成立）；2.计算夹角时忽略夹
角范围（
），导致余弦值符号错误；3.建立坐标系时，坐标原点或坐标轴选择不当，导致计算
复杂或出错.
【多选题】（2025 高三上·吉林长春·专题练习）已知向量⃗a=(1,❑√3)，⃗
b=(cosα ,sinα )，则下列结论正确的是（ ）
A．若⃗a ∥ ⃗b，则tanα = ❑√3
B．若⃗a⊥⃗b，则tanα =−
❑√3
3
C．若⃗a与⃗b的夹角为π
3 ，则|⃗a−⃗b)=3
经典例题
D．若⃗a与⃗b方向相反，则⃗b在⃗a上的投影向量的坐标是(−1
2 ,−
❑√3
2 )
【答案】ABD
【分析】选项A，用向量平行的坐标条件x1 y2−x2 y1=0，求tan α；选项B，用向量垂直的数量积为0 求
tan α.选项C，先由夹角求数量积，再用向量差的模长公式计算验证.选项D，先由相反向量得⃗b坐标，再用
投影向量公式计算验证.
【详解】选项A，若⃗a//⃗b，则1⋅sin α −❑√3⋅cosα =0，
即sin α = ❑√3cosα，(cosα ≠0)，得tan α=❑√3，所以A 正确。
选项B，若⃗a⊥⃗b，则⃗a⋅⃗b=1⋅cosα + ❑√3⋅sin α =0
即❑√3sin α =−cosα，得tan α =−1
❑√3 =−
❑√3
3 ，所以B 正确。
选项C，若⃗a与⃗b的夹角为π
3 ， |⃗a)=
❑√1
2+(❑√3)
2=2, |⃗b)=
❑√cos
2α +sin
2α =1
又因为|⃗a−⃗b)=
❑√|⃗a)
2+|⃗b)
2−2⃗a⋅⃗b，而⃗a⋅⃗b=|⃗a||⃗b|cosπ
3 =2×1× 1
2 =1，
代入得：|⃗a−⃗b)= ❑√4 +1−2×1= ❑√3≠3，所以C 错误。
选项D，若⃗a与⃗b方向相反，则⃗b=k⃗a(k <0)，且|⃗b|=1，⃗
b=k(1,❑√3)=(k ,k ❑√3)，由|⃗b|=
❑√k
2+3k
2=|2k |=1，得k =−1
2，
故⃗b=(−1
2 ,−
❑√3
2 )，⃗b在⃗a上的投影向量公式为：
(⃗
a⋅⃗b
|⃗a|
2)⃗a，计算⃗a⋅⃗b=1×(−1
2)+ ❑√3×(−
❑√3
2 )=−2，|⃗a|
2= 4，
代入得：−2
4 (1,❑√3)=(−1
2 ,−
❑√3
2 )，D 正确.
故选：ABD.
【多选题】（2025·广东深圳·模拟预测）已知平面向量⃗a=(1,3)，⃗b=(−2,1)，则
（ ）
A．|⃗a)= ❑√10
B．(2⃗a−⃗b)⊥⃗b
C．⃗a与⃗b的夹角为锐角
D．⃗a在⃗b上的投影向量为(−2
5 , 1
5)
【答案】ACD
【分析】A 利用向量的模的计算公式；B 利用数量积的运算律以及向量的坐标运算；C 利用公式
经典例题
cos⟨⃗a,⃗b)=⃗a⋅⃗b
|⃗a)⋅|⃗b)
；D 利用公式⃗
a⋅⃗b
|⃗b)
2 ⋅⃗b
【详解】因⃗a=(1,3)，则|⃗a)=
❑√1
2+3
2= ❑√10，故A 正确；
因⃗a⋅⃗b=1×(−2)+3×1=1，|⃗b)=
❑√(−2)
2+1
2= ❑√5，
则(2⃗a−⃗b)⋅⃗b=2⃗a⋅⃗b−⃗b
2=2−5≠0，故B 错误；
cos⟨⃗a,⃗b)=⃗a⋅⃗b
|⃗a)⋅|⃗b)
=
1
❑√10×❑√5 =
❑√2
10 >0，故C 正确；⃗
a在⃗b上的投影向量为⃗
a⋅⃗b
|⃗b)
2 ⋅⃗b= 1
5⃗b=(−2
5 , 1
5)，故D 正确.
故选：ACD
【多选题】（2025·河北衡水·模拟预测）在边长为3 的等边三角形ABC中，
CD
→
=2 DB
→
,BE
→
=2 EA
→
，则下列结论正确的是（ ）
A．AD
→
= 1
3 AB
→
+ 2
3 AC
→
B．AD
→
⋅CE
→
=−7
2
C．|DE
→)= ❑√3
D．DE
→
⋅CE
→
=|DE
→)
2
【答案】BCD
【分析】以AB
→
, AC
→
为基底，表示AD
→
,CE
→
, DE
→
，并通过数量积运算进行判断.
【详解】对于A：AD
→
= AB
→
+ BD
→
= AB
→
+ 1
3 BC
→
= AB
→
+ 1
3(AC
→
−AB
→)= 1
3 AC
→
+ 2
3 AB
→
，A 错误；
对于B：CE
→
= AE
→
−AC
→
= 1
3 AB
→
−AC
→
，所以
AD
→
·CE
→
=(
1
3 AC
→
+ 2
3 AB
→)·(
1
3 AB
→
−AC
→)= 1
9 AC
→
· AB
→
−1
3 AC
→
2+ 2
9 AB
→
2−2
3 AB
→
· AC
→
= 2
9 AB
→
2−1
3 AC
→
2−5
9 AC
→
· AB
→
= 2
9 ×9−1
3 ×9−5
9 ×3×3× 1
2 =−7
2，B 正确；
对于C：因为DE
→
= AE
→
−AD
→
= 1
3 AB
→
−(
1
3 AC
→
+ 2
3 AB
→)=−1
3 AB
→
−1
3 AC
→
，
所以DE
→
2= 1
9 AB
→
2+ 2
9 AB
→
· AC
→
+ 1
9 AC
→
2= 1
9 ×9+ 2
9 ×3×3× 1
2 + 1
9 ×9=3，
所以|DE
→)= ❑√3，C 正确；
对于D：DE
→
·CE
→
=(−1
3 AB
→
−1
3 AC
→)·(
1
3 AB
→
−AC
→)=−1
9 AB
→
2+ 1
3 AB
→
· AC
→
−1
9 AB
→
· AC
→
+ 1
3 AC
→
2
经典例题
=−1
9 AB
→
2+ 2
9 AB
→
· AC
→
+ 1
3 AC
→
2=−1
9 ×9+ 2
9 ×3×3× 1
2 + 1
3 ×9=3，D 正确.
故选：BCD.
【规律方法总结】
1.解题模板：①判断适用方法（定义法或坐标法）；②若用定义法，先求模长、夹角，代入数量积公式；
若用坐标法，先建立坐标系，写出向量坐标，再进行坐标运算；③根据需求求解模长（平方后转化为数量
积）、夹角（代入夹角公式）或判断垂直（数量积为0）.
2.技巧提炼：①遇到平面图形中的向量问题，优先建立坐标系（如以图形的顶点为原点，边为坐标轴），
将向量转化为坐标后运算，降低思维难度；②涉及“向量的平方”，直接转化为模长的平方（
），
这是数量积运算的核心转化技巧.
【多选题】（2025·河北·模拟预测）已知|a
→)=2|b
→)=2，且向量⃗a,⃗b的夹角为π
3 ，
下列说法正确的是（ ）
A．|⃗a+2⃗b)=2❑√5
B．(⃗a−4⃗b)⊥⃗a
C．向量⃗a−2⃗b和⃗a的夹角为π
2
D．若(λ a
→
+2b
→)//(a
→
−3 b
→)，则λ =−2
3
【答案】BD
【分析】通过向量的数量积公式a
→
· b
→
=|a)|b)cosθ以及向量模长公式|m)=
❑√m
→
2等进行计算和判断.
【详解】因为|a
→)=2|b
→)=2，且向量a
→
,b
→
的夹角为π
3 ，
对于选项A：
|a
→
+2b
→)=
❑√(a
→
+2b
→)
2
=
❑√a
→
2+ 4 b
→
2+ 4 a
→
· b
→
= ❑√4+ 4 + 4×2×1×cos π
3 =2❑√3，则A 错误；
对于选项B：
要使得(a
→
−4 b
→)⊥a
→
，则它们的数量积为0.
即(a
→
−4 b
→)⋅a
→
= 4−4×2×1×cos π
3 =0，则B 正确；
对于选项C：
因为cos< a
→
−2b
→
, a
→
>=(a
→
−2b
→)·(a
→)
|a
→
−2b
→)|a
→)
=
4−2×2×1×cos π
3
❑√4 + 4−4×2×1×cos π
3 ×2
= 2
4 = 1
2，则<⃗a−2⃗b,⃗a>=π
3
，则C
错误；
小试牛刀1
对于选项D：因为(λ a
→
+2b
→)//(a
→
−3 b
→)，
所以λ a
→
+2b
→
=k(a
→
−3 b
→)，解得λ =k =−2
3，则D 正确．
故选：BD．
（2025·广东·模拟预测）已知向量⃗a,⃗b满足|⃗a+⃗b)=|⃗a−⃗b)=2|⃗b)，则
cos⟨⃗a+⃗b,⃗b)= .
【答案】1
2/0.5
【分析】数形结合，利用向量的几何意义求解.
【详解】如图：
设⃗OA =⃗a，⃗OB =⃗b，作平行四边形OACB，则⃗OC =⃗a+⃗b，⃗BA =⃗a−⃗b，
因为|⃗a+⃗b)=|⃗a−⃗b)，即|⃗OC)=|⃗BA)，所以平行四边形OACB为矩形.
又|⃗OC)=2|⃗b)=2|⃗OB)，所以∠BOC =π
3 .
所以cos⟨⃗a+⃗b,⃗b)= cosπ
3 = 1
2.
故答案为：1
2
（2025·天津·二模）在△ABC中，点D 在边BC 上，且⃗BD = 1
3⃗BC，E 为线段AD
的中点.已知⃗AB =⃗a，⃗AC =⃗b，则⃗BE = （用⃗a，⃗b表示）；若|⃗a)=3，|⃗b)= 4，且⃗BE⋅⃗AD =−34
9 ，
则∠BAC = .
【答案】 ⃗BE =−2
3⃗a+ 1
6⃗b π
3 /60
∘
【分析】根据几何图形，结合向量的线性运算，即可用基底表示⃗BE，首先用基底表示⃗AD，再利用数量积
公式，求cos∠BAC，即可求解.
【详解】由条件可知，
小试牛刀2
小试牛刀3
⃗
BE = 1
2 (⃗BA +⃗BD)= 1
2⃗BA + 1
6⃗BC =−1
2⃗AB+ 1
6 (⃗AC −⃗AB)=−2
3⃗AB+ 1
6⃗AC,
所以⃗BE =−2
3⃗a+ 1
6⃗b；
由⃗BD = 1
3⃗BC，得⃗AD−⃗AB = 1
3 (⃗AC −⃗AB)，
得⃗AD = 2
3⃗AB+ 1
3⃗AC = 2
3⃗a+ 1
3⃗b，
所以⃗BE⋅⃗AD =(−2
3⃗a+ 1
6⃗b)⋅(
2
3⃗a+ 1
3⃗b)=−34
9 ，
得−4
9⃗a
2−1
9⃗a⋅⃗b+ 1
18⃗b
2=−34
9 ，且|⃗a)=3，|⃗b)= 4，
所以−4
9 ×9−1
9 ×3×4×cos∠BAC + 1
18 ×16=−34
9 ，
得cos∠BAC = 1
2,∠BAC ∈(0,π),所以∠BAC =π
3 .
故答案为：−2
3 a
→
+ 1
6 b
→
，π
3 .
【热点题型3：平面向量的综合应用】
【核心归纳】
1.与三角函数结合：利用向量平行、垂直的条件转化为三角函数的边角关系（如正弦定理、余弦定理），
或利用数量积表示三角函数表达式，求三角函数的最值、周期；2.与解析几何结合：用向量表示直线的方
向向量、法向量，或用向量垂直、平行的条件转化为直线、曲线的位置关系（如直线垂直斜率关系、点在
曲线上的条件）；3.与数列结合：将数列的项表示为向量的坐标，利用向量运算性质推导数列的通项公式
或前
项和公式.
【易错提示】
1.向量与其他知识结合时，混淆向量条件与代数条件的转化关系（如将向量平行的条件误用于垂直问题）；
2.忽略向量运算的几何意义，导致转化方向错误；3.计算过程中遗漏向量的方向信息，导致符号错误.
（25-26 高三上·陕西商洛·月考）已知⃗a=(sin x ,−❑√3),⃗b=(1,cos x),f ( x)=⃗a⋅⃗b−1．
(1)求f ( x)的最小正周期和对称轴方程；
(2)已知△ABC的内角C 满足f (C )=0，且点D 在线段AB 上，BD = BC =2,sin ∠ACD =
❑√3
3 求CD 的长．
【答案】(1)2π，x =−π
6 +k π,k ∈Z；
(2)4 ❑√3
3
.
【分析】（1）利用数量积的坐标表示及辅助角公式求出f ( x)，再利用正弦函数性质求解.
（2）由（1）及已知求出C，再利用诱导公式及等腰三角形性质求解.
经典例题
【详解】（1）由⃗a=(sin x ,−❑√3),⃗b=(1,cos x)，
得f ( x)=⃗a⋅⃗b−1=sin x−❑√3cos x−1=2sin( x−π
3 )−1，
所以f ( x)的最小正周期为2π，
由x−π
3 =−π
2 + k π,k ∈Z，得x =−π
6 + k π,k ∈Z，
所以f ( x)图象的对称轴为x =−π
6 +k π,k ∈Z.
（2）在△ABC中，由f (C )=0，得2sin(C −π
3 )−1=0，即sin(C −π
3 )= 1
2，
而0<C <π，即−π
3 <C −π
3 <2π
3 ，则C −π
3 =π
6 ，C =π
2 ，
由sin ∠ACD =
❑√3
3 ，得cos∠BCD =sin ∠ACD =
❑√3
3 ，而BD = BC =2，
所以CD =2BC cos∠BCD = 4 ❑√3
3
（2025·江苏·模拟预测）已知向量⃗a=(sin x ,
❑√3
2 ),⃗b=(cos(x +π
3 ), 1
2)，设函数
f ( x)=⃗a⋅⃗b.
(1)求f ( x)的最小正周期；
(2)若x∈[0,π
2 )，求f ( x)的最值和单调区间.
【答案】(1)π
(2)f ( x)的最小值为−
❑√3
4 ，最大值为1
2 ;f ( x)的单调递增区间为[0,π
12)，单调递减区间为[
π
12 ,π
2 )
【分析】（1）利用向量数量积得出函数关系式，再利用二倍角正弦与余弦公式化简前者得正弦型函数，
故可求周期；
（2）根据正弦函数的性质可求f ( x)的最值和单调区间.
【详解】（1）f ( x)=⃗a⋅⃗b=sin x⋅cos(x +π
3 )+
❑√3
4
=sin x⋅(cos x⋅1
2 −sin x⋅
❑√3
2 )+
❑√3
4 = 1
2 sin x cos x−
❑√3
2 sin
2 x +
❑√3
4
经典例题
= 1
4 sin 2 x +
❑√3
4 cos2 x = 1
2 sin(2 x +π
3 )，
故f ( x)的最小正周期为π.
（2）因为x∈[0,π
2 )，所以2 x +π
3 ∈[
π
3 , 4π
3 )，
所以当2 x +π
3 = 4π
3
，即x =π
2 时，f ( x)取得最小值，最小值为−
❑√3
4 ；
当2 x +π
3 =π
2 ，即x =π
12时，f ( x)取得最大值，最大值为1
2.
令π
3 ≤2 x +π
3 ≤π
2 ，即0≤x ≤π
12时，故f ( x)在[0,π
12)递增；
令π
2 ≤2 x +π
3 ≤4π
3
，即π
12 ≤x ≤π
2 时，故f ( x)在[
π
12 ,π
2 )递减.
综上，f ( x)的最小值为−
❑√3
4 ，最大值为1
2，
f ( x)的单调递增区间为[0,π
12)，单调递减区间为[
π
12 ,π
2 ).
（2025·湖北·模拟预测）已知点M (sin x cos x ,sin
2 x)，N (2,2❑√3)，O为坐标原点，
函数f (x)=⃗OM ⋅⃗ON
(1)求f (x)的解析式及最小正周期
(2)三角形ABC中，角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，AD为∠BAC的角平分线，AB =2 AC，BD =2.若
f ( A)=2❑√3，求△ACD的面积
【答案】(1)f (x)=2sin(2 x−π
3 )+ ❑√3，最小正周期为π
(2)
❑√3
2 或3
5
【分析】（1）根据向量数量积坐标运算、二倍角公式和辅助角公式可化简得到f (x)，根据正弦型函数最
小正周期求法可求得结果；
（2）由f ( A)=2❑√3，结合A的范围可求得A =π
3 或π
2 ；当A =π
3 时，根据余弦定理和勾股定理可证得
AC ⊥BC，根据角度关系可求得AC ,CD，进而求得S△ACD；当A =π
2 时，根据正弦定理可求得AD ,CD，
结合两角和差正弦公式和三角形面积公式可求得S△ACD.
【详解】（1）∵⃗OM =(sin x cos x ,sin
2 x)，⃗ON =(2,2❑√3)，
∴f (x)=⃗OM ⋅⃗ON =2sin x cos x +2❑√3sin
2 x =sin 2 x + ❑√3(1−cos2 x) =2sin(2 x−π
3 )+ ❑√3，
经典例题
则f (x)的最小正周期T =π.
（2）∵f ( A)=2sin(2 A −π
3 )+ ❑√3=2❑√3，∴sin(2 A −π
3 )=
❑√3
2 ，
∵A ∈(0,π)，∴2 A −π
3 ∈(−π
3 ,5π
3 )，则2 A −π
3 =π
3 或2π
3 ，
∴A =π
3 或π
2 ；
当A =π
3 时，∵AB =2 AC，∴BC
2= A B
2+ A C
2−2 AB⋅AC cos A =5 A C
2−4 A C
2cosπ
3 =3 A C
2，
∴A C
2+ BC
2= A B
2，∴AC ⊥BC，∴sin B = AC
AB = 1
2，∴B =π
6 ，
又AD为∠BAC的角平分线，∴∠DAB =∠CAD =∠B =π
6 ，∴AD = BD =2，
∴CD = AD⋅sin∠CAD =1，AC = AD⋅cos∠CAD = ❑√3，
∴S△ACD= 1
2 AC ⋅CD =
❑√3
2 ；
当A =π
2 时，∵tan B = AC
AB = 1
2，∴sin B =
❑√5
5 ，cos B = 2❑√5
5
，
∵AD为∠BAC的角平分线，∴∠BAD =∠CAD =π
4 ，
在△ABD中，由正弦定理得：AD =
BD
sin ∠BAD ⋅sin B = 2
❑√2
2
×
❑√5
5 = 2❑√10
5
，
∵sinC =cos B = 2❑√5
5
，∴在△ACD中，由正弦定理得：CD = AD
sinC ⋅sin ∠CAD =
2❑√10
5
2❑√5
5
×
❑√2
2 =1，
∵sin ∠CDA =sin (∠BAD+∠B)=sin ∠BAD cos B+cos∠BAD sin B
=
❑√2
2 × 2❑√5
5
+
❑√2
2 ×
❑√5
5 = 3 ❑√10
10
，
∴S△ACD= 1
2 AD⋅CD sin ∠CDA = 1
2 × 2❑√10
5
×1× 3 ❑√10
10
= 3
5.
综上所述：△ACD的面积为
❑√3
2 或3
5.
【规律方法总结】
1.解题模板：①识别结合模块（三角函数、解析几何等）；②将向量条件转化为对应模块的代数条件（如
向量垂直
数量积为0
代数方程）；③利用对应模块的知识求解问题；④验证结果与向量条件的一致
性.
2.技巧提炼：①向量与解析几何结合时，优先用向量的坐标运算，将几何条件转化为坐标方程；②向量与
三角函数结合时，利用向量数量积的定义转化为边角关系，辅助应用正、余弦定理；③遇到综合题时，先
分离向量条件，单独转化后再融入其他
（2025·江苏淮安·模拟预测）已知⃗m=(cos x ,−❑√3cos x),⃗n=(sin x ,cos x)，
f (x)=⃗m⋅⃗n．
(1)将函数y = f (x)的图象向左平移π
3 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标
不变，得到函数y = g(x)的图象，求函数g(x)的解析式；
(2)若f(
α
2)=−
❑√3
4 ,α ∈(0,π
2 )，求cosα．
【答案】(1)g(x)=sin(x +π
3 )−
❑√3
2
(2)
❑√13−3
8
【分析】（1）先利用向量数量积的坐标运算及降幂公式和辅助角公式得到y = f (x)的解析式，再利用三角
函数的平移及伸缩变换得到y = g(x)的解析式；
（2）根据y = f (x)的解析式求出sin(α −π
3 )=
❑√3
4 ，再利用同角关系求其余弦值cos(α −π
3 )=
❑√13
4
，
最后利用两角和的余弦公式求出cosα的值.
【详解】（1）f (x)=sin x⋅cos x−❑√3cos
2 x = 1
2 sin2 x−❑√3⋅1+cos2 x
2
=sin(2 x−π
3 )−
❑√3
2 .
将函数y = f (x)的图象向左平移π
3 个单位长度，则y =sin[2(x +π
3 )−π
3 )−
❑√3
2 =sin(2 x +π
3 )−
❑√3
2 ，
再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则有g(x)=sin(x +π
3 )−
❑√3
2 ．
小试牛刀1
（2）由题意得f(
α
2)=sin(α −π
3 )−
❑√3
2 =−
❑√3
4 ，所以
sin(α −π
3 )=
❑√3
4 .∵α ∈(0,π
2 ),∴α −π
3 ∈(−π
3 ,π
6 )，
∴cos(α −π
3 )= ❑√1−sin
2(α −π
3 )=
❑√13
4
cosα =cos[(α −π
3 )+π
3 )=cos(α −π
3 )⋅cosπ
3 −sin(α −π
3 )⋅sinπ
3
=
❑√13
4
⋅1
2 −
❑√3
4 ⋅
❑√3
2 =
❑√13−3
8
.
【多选题】（2025·四川达州·一模）在△ABC中，三个内角A ,B ,C对边分别为
a,b,c ,a=3,⃗BD =2⃗DC，
a
2c−b =cos A
cosB−2cosC ，则（ ）
A．2b=c
B．2B =C
C．⃗AD = 1
3⃗AB+ 2
3⃗AC
D．AD的范围为(0,4)
【答案】AC
【分析】A：利用正弦定理结合两角和的正弦公式，化简可得结果；B：假设成立后推出矛盾；C：根据向
量的线性运算求出结果；D：将C 的结果平方结合余弦定理可求解出AD关于b的表示，根据b的取值范围
可求解出结果.
【详解】
a
2c−b =cos A
cosB−2cosC 和正弦定理，可得
sin A
2sinC −sin B =cos A
cosB−2cosC ，
即sin A (cos B−2cosC)=cos A (2sinC −sin B)，
则sin A cos B−2sin A cosC =2sinC cos A −sin Bcos A，
所以sin A cos B+sin Bcos A =2sinC cos A +2sin A cosC，
则sin ( A + B)=2sin ( A +C)，即sin (π−C)=2sin (π−B)，
所以sinC =2sin B，由正弦定理，得c =2b，故A 正确；
假设2B =C成立，因为sinC =2sin B，所以sin2B =2sin B，
所以2sin Bcos B =2sin B，且B∈(0,π)，所以sin B>0，
所以cos B =1，且B∈(0,π)，此时B无解，假设错误，故B 错误；
因为⃗AD =⃗AB+⃗BD =⃗AB+ 2
3⃗BC =⃗AB+ 2
3 (⃗AC −⃗AB)= 1
3⃗AB+ 2
3⃗AC，故C 正确；
因为|⃗AD)
2=(
1
3⃗AB+ 2
3⃗AC)
2
= 1
9⃗AB
2+ 4
9⃗AC
2+ 4
9⃗AB⋅⃗AC，
所以|⃗AD)
2= 1
9 c
2+ 4
9 b
2+ 4
9 bc cos A，由余弦定理，b
2+c
2−2bc cos A =a
2=9，
小试牛刀2
所以|⃗AD)
2= 1
9 c
2+ 4
9 b
2+ 4
9 × b
2+c
2−9
2
= 2
3 b
2+ 1
3 c
2−2，
又因为c =2b，所以|⃗AD)
2= 2
3 b
2+ 1
3 ×4 b
2−2=2b
2−2，
由三角形性质可知{
b+3>c
b+c>3)，即{
b+3>2b
b+2b>3)，解得b∈(1,3)，
所以2b
2−2∈(0,16)，即|⃗AD)
2的范围为(0,16)，故AD的范围为(0,4)，故D 错误.
故选：AC.
【多选题】（2025·广东·模拟预测）已知向量⃗
a=(cosα ,sin β),⃗b=(cos β ,sinα ),⃗c =(cos(α −β),−1)，则下列说法正确的是（ ）
A．若α + β =π
2 ，则⃗a//⃗b
B．⃗c
2=1+(⃗a·⃗b)
2
C．⃗a·⃗c =⃗b·⃗c
D．⃗a
2+⃗b
2=2
【答案】ABD
【分析】当α + β =π
2 时，验证cosα sinα −sin β cos β =0是否成立，即可判断A；根据平面向量数量积
的坐标表示，验证⃗c
2=1+(⃗a·⃗b)
2是否成立，即可判断B；取α =0, β =π，验证⃗a·⃗c =⃗b·⃗c是否成立，即可
判断C；验证⃗a
2+⃗b
2=2是否成立，即可判断D.
【详解】若α + β =π
2 ，则cosα sinα −sin β cos β = 1
2
(sin2α −sin2 β)
= 1
2 [sin(π−2 β)−sin2 β)=0，所以⃗a//⃗b，故A 正确；
因为⃗a·⃗b=cosα cos β +sinα sin β =cos(α −β)，而⃗c
2=cos
2(α −β)+(−1)
2，
所以⃗c
2=1+(⃗a·⃗b)
2，故B 正确；
取α =0, β =π，则⃗a=(1,0),⃗b=(−1,0),⃗c =(−1,−1)，此时⃗a·⃗c =−1,⃗b·⃗c =1，⃗
a·⃗c≠⃗b·⃗c，故C 错误；
因为⃗a
2+⃗b
2=cos
2α +sin
2 β +cos
2 β +sin
2α =2，故D 正确.
故选：ABD.
一、单选题
1．（2025·江苏南通·三模）已知⃗e1，⃗e2为平面内一组基底，⃗AB =⃗e1+a⃗e2，⃗CB =⃗e1−4⃗e2，⃗
CD =5⃗e1+ 4⃗e2，若A，B，D 三点共线，则a 的值为（ ）
A．2
B．−2
C．0
D．1
小试牛刀3
课后针对训练
【答案】A
【分析】根据向量的减法运算求出⃗BD，再由共线向量定理求解即可.
【详解】AB⃗=e⃗1+ae⃗2，⃗BD =⃗CD−⃗CB =5⃗e1+ 4⃗e2−(⃗e1−4⃗e2)= 4⃗e1+8⃗e2= 4(⃗e1+2⃗e2)，
因为⃗AB与⃗BD共线，∴a=2，
故选：A．
2．（2025·福建漳州·模拟预测）已知平面内三点A (1,0),B (0,1),C (2,3)，则向量⃗AB在⃗AC上的投影向量
为（ ）
A．(
2
❑√10 ,
6
❑√10) B．(2,6)
C．(
1
10 , 3
10)
D．(
1
5 , 3
5)
【答案】D
【分析】求出⃗AB ,⃗AC，求出⃗AB⋅⃗AC即可求出向量⃗AB在⃗AC上的投影向量.
【详解】因为A (1,0),B (0,1),C (2,3)，
所以⃗AB =(−1,1),⃗AC =(1,3)，
所以AB⃗⋅AC⃗=2，|→
AC |= ❑√10，
所以向量⃗AB在⃗AC上的投影向量为⃗AB⋅⃗AC
|⃗AC |
2
⋅⃗AC =( 1
5 , 3
5 ).
故选：D.
3．（2025·福建三明·模拟预测）已知⃗a=(2,1)，⃗b=(1,−2)，若( a
→
+λb
→
)//(3 a
→
- b
→
)，则λ=（ ）
A．1
3
B．−1
3
C．2
3
D．−2
3
【答案】B
【分析】利用向量线性运算的坐标表示求出⃗a+ λ⃗b和3⃗a−⃗b，再由向量共线的坐标表示列方程求解.
【详解】由⃗a=(2,1)，⃗b=(1,−2)，得⃗a+ λ⃗b=(2+ λ ,1−2 λ)，3⃗a−⃗b=(5,5)，
若( a
→
+λb
→
)//(3 a
→
- b
→
)，则5(2+ λ)=5(1−2 λ)，解得λ = −1
3.
故选：B.
4．（2024·福建福州·模拟预测）已知e⃗1,e⃗2是两个不共线的向量，若2 e
→
1+ λ e
→
2与μ e
→
1+ e
→
2是共线向量，则
（ ）
A．λ
μ =−2
B．λμ=−2
C．λ
μ =2
D．λμ=2
【答案】D
【分析】根据题意，由平面向量共线定理，列出方程，即可得到结果.
【详解】依题意，设2 e
→
1+ λ e
→
2=t(μ e
→
1+ e
→
2)，又e
→
1, e
→
2是两个不共线的向量，
所以tμ=2, λ =t，所以λμ=2．
故选：D
5．（2025·福建泉州·模拟预测）已知平面向量⃗e1、⃗e2的夹角为π
4 ，且满足|⃗e1)=|⃗e2)，则以下四个向量中模
长最大的是（ ）
A．1
2⃗e1+ 1
2⃗e2
B．1
3⃗e1+ 2
3⃗e2
C．2
5⃗e1+ 3
5⃗e2
D．1
4⃗e1+ 3
4⃗e2
【答案】D
【分析】考查函数f (λ)=|λ⃗e1+(1−λ)⃗e2)，其中0< λ≤1
2，利用平面向量数量积的运算性质可得出f (λ)的
表达式，结合二次函数的单调性可得出合适的选项.
【详解】考查函数f (λ)=|λ⃗e1+(1−λ)⃗e2)，其中0< λ≤1
2，
由平面向量数量积的定义可得e⃗1⋅e⃗2=|e⃗1)⋅|e⃗2)cosπ
4 =
❑√2
2 |e⃗1)
2
，
所以f (λ)=|λ⃗e1+(1−λ)⃗e2)=
❑√[ λ⃗e1+(1−λ)⃗e2)
2=
❑√λ
2⃗e1
2+2 λ(1−λ)⃗e1⋅⃗e2+(1−λ)
2⃗e2
2
=
❑√λ
2⃗e1
2+ ❑√2 λ(1−λ)⃗e1
2+(1−λ)
2⃗e1
2=|⃗e1)
❑√(2−❑√2) λ
2+(❑√2−2) λ+1，
由二次函数的基本性质可知，函数f (λ)在(0, 1
2)上单调递减，
又因为0< 1
4 < 1
3 < 2
5 < 1
2，故四个选项中，D 选项中向量的模长最大.
故选：D.
6．（2024·福建漳州·模拟预测）在△ABC中，D是边BC上一点，且BD =2 DC , E是AC的中点，记⃗
AC =⃗m,⃗AD =⃗n，则⃗BE =（ ）
A．5
3⃗n−3⃗m
B．7
2⃗n−3⃗m
C．7
2⃗m−3⃗n
D．5
2⃗m−3⃗n
【答案】D
【分析】根据平面向量的线性运算法则进行运算即可.
【详解】⃗BE =⃗AE−⃗AB = 1
2⃗AC −(⃗AC +⃗CB)
=−1
2⃗AC −3⃗CD =−1
2⃗AC −3(⃗AD−⃗AC)
= 5
2⃗AC −3⃗AD = 5
2⃗m−3⃗n，
故选：D．
7．（2024·湖南·二模）设⃗OA =(1,0),⃗OB =(0,2)，对满足条件|⃗OC −⃗OA −⃗OB)=2|⃗OA −⃗OB)的点
C (x , y),|x−2 y +m)+|x−2 y −7)的值与x , y无关，则实数m的取值范围为（ ）
A．(−∞,−7)
B．[13,+∞)
C．(13,+ ∞)
D．(−∞,−7)∪[13,+∞)
【答案】B
【分析】先根据平面向量的坐标表示得出C 点轨迹，结合直线与圆的位置关系计算即可.
【详解】易知⃗OC −⃗OA −⃗OB =(x −1, y −2),2(⃗OA −⃗OB)=(2,−4)，所以(x −1)
2+( y −2)
2=20，
即C 点轨迹为(1,2)为圆心，2❑√5为半径的圆，
易知(1,2)到直线l2: x−2 y −7 =0的距离为d =|1−2×2−7)
❑√1
2+(−2)
2 =2❑√5，
即该圆与直线l2相切，
若|x−2 y +m)+|x−2 y −7)的值与x , y无关，
则该圆在两平行直线l1: x−2 y +m=0,l2: x−2 y −7 =0之间，
所以(1,2)到直线l1: x−2 y +m=0的距离为d =|1−2×2+m)
❑√1
2+(−2)
2 ≥2❑√5⇒|m−3)≥10，
由图可知m≥13.
故选：B
8．（2024·福建三明·三模）函数f ( x)=sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，其中A ,B两
点为图象与x 轴的交点，C为图象的最高点，且△ABC是等腰直角三角形，若⃗OB =−3⃗OA，则向量⃗AO在
向量⃗AC上的投影向量的坐标为（ ）
A．(−1
4 ,−1
4 )
B．( 1
4 , 1
4 )
C．(−1
2 ,−1
2 )
D．( 1
2 , 1
2 )
【答案】B
【分析】首先求出|⃗AB)=π
ω ，过点C作CD⊥AB于点D，由△ABC是等腰直角三角形，表示出
A ,B ,C , D的坐标，由f ( x)最大值为1，即可求出ω，根据投影向量计算公式计算即可．
【详解】1
2 T = 1
2 × 2π
ω =π
ω ，则|⃗AB)=π
ω ，过点C作CD⊥AB于点D，
因为△ABC是等腰直角三角形，所以|AD)=|BD)=|CD),∠CAD =π
4 ，
因为⃗OB =−3⃗OA，所以A =(−π
4 ω ,0),B(3π
4 ω ,0), D(π
4 ω ,0),C(π
4 ω ,π
2ω )，
因为f ( x)最大值为1，所以π
2ω =1，解得ω=π
2 ，
所以A =(−1
2 ,0), D( 1
2 ,0),C( 1
2 ,1)，则⃗AO =( 1
2 ,0),⃗AC =(1,1)，
则⃗AO在⃗AC上的投影向量的坐标为：|⃗AO)cos∠CAD⋅⃗AC
|⃗AC)
= 1
2 ×
❑√2
2 ×
❑√2
2 (1,1)=( 1
4 , 1
4 )，
故选：B．
9．（2025·福建福州·模拟预测）已知向量⃗a=(1,0)，⃗b=(−1,❑√3).若⟨⃗c ,⃗a⟩=⟨⃗c ,⃗b⟩，则⃗c可能是（ ）
A．2⃗a−⃗b
B．⃗a+⃗b
C．2⃗a+⃗b
D．❑√3⃗a+⃗b
【答案】C
【分析】由题意可得向量的位置，根据向量单位化以及加法的几何意义，结合共线定理，可得答案.
【详解】由⟨⃗c ,⃗a⟩=⟨⃗c ,⃗b⟩，则⃗c平行于⟨⃗a,⃗b⟩平分线所在的直线，
所以⃗c = λ(⃗
a
|⃗a|+⃗b
|⃗b|)= λ(⃗a+ 1
2⃗b)，当λ =2时，⃗c =2⃗a+⃗b.
且不存在使得λ(a
→
+ 1
2 b
→)等于2 a
→
−b
→
, a
→
+ b
→
,❑√3 a
→
+ b
→.
故选：C.
10．（23-24 高三上·全国·月考）设平面向量⃗a=(1,3)，|⃗b|=2，且|⃗a−⃗b|= ❑√10，则(2 a
→
+ b
→
)·( a
→
−b
→
)=
（ ）
A．1
B．14
C．❑√14
D．❑√10
【答案】B
【分析】根据⃗a=(1,3)，求出|⃗a|,把|⃗a−⃗b|= ❑√10两边平方，可求得⃗a⋅⃗b=2，把所求展开即可求解.
【详解】因为⃗a=(1,3)，所以|⃗a|= ❑√10,又|⃗b|=2，
则|⃗a−⃗b|
2=⃗a
2−2⃗a⋅⃗b+⃗b
2=14−2⃗a⋅⃗b=10,
所以⃗a⋅⃗b=2，
则(2 a
→
+ b
→
)·( a
→
−b
→
)=2a⃗
2−a⃗⋅b⃗−b⃗
2
=20−2−4 =14，
故选：B.
11．（2024·福建泉州·模拟预测）若平面向量⃗a，⃗b满足|⃗a)=|⃗b)，且t = 1
2时，|⃗a−t⃗b)取得最小值，则
⟨⃗a,⃗b)=（ ）
A．0
B．π
3
C．π
2
D．2π
3
【答案】B
【分析】设⃗OA =⃗a，⃗OB =⃗b，根据向量减法的几何意义，可得线段OB 的中点C 满足AC ⊥OA，即可求
得⃗a，⃗b的夹角.
【详解】设⃗OA =⃗a，⃗OB =⃗b，则|⃗a−t⃗b)为直线OB 上的点C 与点A 之间的距离，
由t = 1
2时，|⃗a−t⃗b)取得最小值，得C 为线段OB 的中点且AC ⊥OA，
由于|⃗a)=|⃗b)，所以〈⃗a,⃗b 〉=∠AOC =π
3 .
故选：B
12．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知△ABC 是边长为1 的正三角形，⃗AN = 1
3⃗NC , P是BN 上一点且
⃗
AP =m⃗AB+ 2
9⃗AC，则⃗AP⋅⃗AB =（ ）
A．2
9
B．1
9
C．2
3
D．1
【答案】A
【分析】根据题意得⃗AP =m⃗AB+ 8
9⃗AN，由P ,B , N三点共线求得m= 1
9，利用向量数量积运算求解即可.
【详解】由⃗AN = 1
3⃗NC，得⃗AN = 1
4⃗AC，且⃗AP =m⃗AB+ 2
9⃗AC =m⃗AB+ 8
9⃗AN，
而P ,B , N三点共线，则m+ 8
9 =1，即m= 1
9，
所以⃗AP = 1
9⃗AB+ 2
9⃗AC，
所以⃗AP⋅⃗AB =(
1
9⃗AB+ 2
9⃗AC)⋅⃗AB = 1
9 + 2
9 ×cos60° = 2
9.
故选：A.
13．（24-25 高一下·福建泉州·期中）已知平面向量⃗a，⃑b，且|⃗a|=)⃗b)=2，⃗a⋅⃗b=2，向量⃑c满足
|⃗c−⃗a−⃗b|= 1
2)⃗a−⃗b)，则|c
→
−λ b
→)(λ∈R)的最小值为（ ）
A．❑√2−1
B．❑√3−1
C．❑√3
D．❑√2
【答案】B
【分析】由题设可得⟨⃗a，⃗b)=π
3 ，又|⃗a|=)⃗b)=2，易知|⃗a−⃗b)=2，|⃗a+⃗b)=2❑√3，将问题转化为平面点
线距离关系：向量(⃗a+⃗b)的终点为圆心，1 为半径的圆上的点到向量b
→
所在射线的距离最短，即可求
|⃗c−λ⃗b)(λ∈R)的最小值.
【详解】∵|a
→
|=)b
→)=2，而，
∴cos⟨⃗a,⃗b)= 1
2，又⟨⃗a,⃗b)∈[0,π)，即⟨⃗a，⃗b)=π
3 ，
又|⃗a−⃗b)=
❑√(⃗a−⃗b)
2=
❑√⃗a
2−2⃗a⋅⃗b+⃗b
2=
❑√2
2−2×2+2
2=2，
|⃗a+⃗b)=
❑√(⃗a+⃗b)
2=
❑√⃗a
2+2⃗a⋅⃗b+⃗b
2=
❑√2
2+2×2+2
2=2❑√3，
∴|⃗c−(⃗a+⃗b)|= 1
2)⃗a−⃗b|=1，
若OA
→
= a
→
,OB
→
= b
→
,OE
→
= a
→
+ b
→
,OC
→
= c
→
，则BA
→
= a
→
−b
→
, EC
→
= c
→
−(a
→
+ b
→
)，
∴C在以E为圆心，1 为半径的圆上，若OD
→
= λ b
→
，则DC
→
= c
→
−λ b
→
，
∴问题转化为求C在圆E上的哪一点时，使|DC
→)最小，又∠EOD =π
6 ，
∴当且仅当E ,C , D三点共线且ED⊥OD时，|DC
→)最小为OE⋅sinπ
6 −1= ❑√3−1.
故选：B.
14．（23-24 高一下·云南昆明·期中）在△ABC中，S△ABC =
❑√3
6⃗AB⋅⃗AC =
❑√3
2 ,sin B =cos A sinC , P为
线段AB上的动点，且⃗CP = x⃗CA
|⃗CA)
+ y⃗CB
|⃗CB)，则
❑√3
x + 1
y 的最小值为（）
A．4
B．2❑√3
C．2
D．❑√3
【答案】A
【分析】由sin B =cos A sinC推得C =π
2 ；再由S△ABC =
❑√3
6⃗AB⋅⃗AC =
❑√3
2 求得A =π
6 ，AC = ❑√3
AB =2,BC =1，最后由⃗CP = x⃗CA
|⃗CA)
+ y⃗CB
|⃗CB)和平面向量基本定理可推得x
❑√3 + y
1 =1,利用常值代换法即可
求得所求式的最小值.
【详解】因B =π−( A +C )，则sin B =sin( A +C )，由sin B =cos A sinC，
可得sin A cosC +sinC cos A =cos A sinC，即sin A cosC =0，
∵sin A >0,∴cosC =0,∴C =π
2 ，
又∵S△ABC = 1
2 AB⋅AC ⋅sin A =
❑√3
6⃗AB⋅⃗AC =
❑√3
6 AB⋅AC ⋅cos A ,
解得tan A =
❑√3
3 ,因0< A <π，故A =π
6 ，
又∵S△ABC = 1
2 AB⋅AC ⋅sin A =
❑√3
2 ，解得AC ⋅AB =2❑√3,
又sin B =sinπ
3 = AC
AB =
❑√3
2 ，所以AC = ❑√3，AB =2,BC =1，
又∵⃗CP = x⃗CA
|⃗CA)
+ y⃗CB
|⃗CB)，即⃗CP = x
❑√3⃗CA + y⃗CB ,
因P为线段AB上的动点，即A ,B , P共线，∴x
❑√3 + y
1 =1,且x>0, y >0，
∴
❑√3
x + 1
y =(
❑√3
x + 1
y)(
x
❑√3 + y
1)=
❑√3 y
x
+
x
❑√3 y +2≥2❑√
❑√3 y
x
⋅
x
❑√3 y +2= 4，
当且仅当x = ❑√3 y =
❑√3
2 时，等号成立.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于，将各个条件分别化简，得出关于三角形的边长和夹角，代入
向量等式，利用平面向量基本定理即得x
❑√3 + y
1 =1,最后运用常值代换法即可求得最值.
二、多选题
15．（2025·福建南平·三模）已知向量⃗a,⃗b满足|⃗a)=1, |⃗b)=2，则（ ）
A．当⃗a⋅⃗b=−1时，⃗a与⃗b的夹角为π
3
B．当|⃗a−⃗b)=2时，⃗a在⃗b上的投影向量为1
8⃗b
C．|⃗a+⃗b)+|⃗a−⃗b)的最大值为2❑√5
D．|⃗a+⃗b)+|⃗a−⃗b)的最小值为4
【答案】BCD
【分析】由题意可求得cos⟨⃗a,⃗b)=−1
2，可求夹角判断A；由题意可得⃗a⋅⃗b= 1
2，可求得投影向量着判断
B；设⃗a,⃗b的夹角为θ，可求得|⃗a+⃗b)+|⃗a−⃗b)= ❑√5+ 4 cosθ+ ❑√5−4 cosθ，进而可求得最大值，最小值可
判断CD.
【详解】当⃗a⋅⃗b=−1时，可得cos⟨⃗a,⃗b)= |⃗a⋅⃗b)
|⃗a)⋅|⃗b)
= −1
1×2 =−1
2，又0≤⟨⃗a,⃗b)≤π，所以⟨⃗a,⃗b)=2π
3 ，故
A 错误；
由|⃗a−⃗b)=2，可得⃗a
2−2⃗a⋅⃗b+⃗b
2= 4，又|⃗a)=1, |⃗b)=2，所以1
2−2⃗a⋅⃗b+2
2= 4，
所以⃗a⋅⃗b= 1
2，所以⃗a在⃗b上的投影向量为⃗a⋅⃗b
|⃗b)
2 ⋅⃗b=
1
2
2
2⃗b= 1
8⃗b，故B 正确；
设⃗a,⃗b的夹角为θ，
所以|⃗a+⃗b)=
❑√⃗a
2+2⃗a⋅⃗b+⃗b
2= ❑√5+ 4 cosθ，|⃗a−⃗b)=
❑√⃗a
2−2⃗a⋅⃗b+⃗b
2= ❑√5−4 cosθ，
所以|⃗a+⃗b)+|⃗a−⃗b)= ❑√5+ 4 cosθ+ ❑√5−4 cosθ，
设y = ❑√5+ 4 cosθ+ ❑√5−4 cosθ，所以
y
2=5+ 4 cosθ+2
❑√25−16cos
2θ+5−4 cosθ =10+2
❑√25−16cos
2θ，
因为0≤θ≤π，所以−1≤cosθ≤1，所以0≤cos
2θ≤1，
当cos
2θ =0时，ymax
2
=10+10=20，所以ymax
❑=2❑√5，故C 正确；
当cos
2θ =1时，ymin
2 =10+6=16，所以ymin
❑= 4，故D 正确.
故选：BCD.
16．（2024·福建厦门·三模）已知等边△ABC的边长为4，点D，E 满足⃗BD =2⃗DA，⃗BE =⃗EC，AE与CD
交于点O，则（ ）
A．⃗CD = 2
3⃗CA + 1
3⃗CB
B．⃗BO⋅⃗BC =8
C．⃗CO =2⃗OD
D．|⃗OA +⃗OB+⃗OC |= ❑√3
【答案】ABD
【分析】根据向量的线性运算，向量共享定理的推论，得出O为AE中点，O为CD上靠近点D的四等分点，
对选项进行判断，得出答案.
【详解】
对于A 选项，⃗CD =⃗CA +⃗AD =⃗CA + 1
3⃗AB =⃗CA + 1
3 (⃗CB−⃗CA)= 2
3⃗CA + 1
3⃗CB，故A 正确；
对于B 选项，因为△ABC为等边三角形，⃗BE =⃗EC，E为中点，所以AE⊥BC，
所以AO⊥BC，即⃗AO⋅⃗BC =0，所以⃗BO⋅⃗BC =(⃗BA +⃗AO)⋅⃗BC
=⃗BA ⋅⃗BC +⃗AO⋅⃗BC =⃗BA ⋅⃗BC =|⃗BA)|⃗BC)cos60° = 4×4× 1
2 =8，故B 正确；
对于C 选项，设⃗CO = λ⃗CD，
由（1）得⃗CD = 2
3⃗CA + 1
3⃗CB = 2
3⃗CA + 2
3⃗CE，所以⃗CO = 2 λ
3⃗CA + 2 λ
3⃗CE，
又O , A , E三点共线，所以2 λ
3 + 2 λ
3 =1，解得λ= 3
4 ，所以O为CD上靠近点D的四等分点，故C 错误；
对于D，⃗AE = 1
2⃗AC + 1
2⃗AB = 1
2⃗AC + 3
2⃗AD，设⃗AE =t⃗AO，则t⃗AO = 1
2⃗AC + 3
2⃗AD，
所以⃗AO = 1
2t⃗AC + 3
2t⃗AD，又O ,C , D三点共线，所以1
2t + 3
2t =1，解得t =2，
所以O为AE中点，所以⃗OA +⃗OB+⃗OC =⃗OA +(⃗OB+⃗OC)=⃗OA +2⃗OE =⃗OE = 1
2⃗AE，故D 正确，
故选：ABD.
17．（24-25 高一下·广东广州·期中）如图，在等边△ABC中，AB =3，点O 在边BC上，且⃗OC =2⃗BO．
过点O 的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，⃗AB =m⃗AM，⃗AC =n⃗AN．则以下选项正确的是
（ ）
A．⃗AO = 2
3⃗AB+ 1
3⃗AC
B．cos〈⃗OA ,⃗OC 〉=
❑√7
14
C．m+n=3
D．1
m + 2
n的最小值是8
3
【答案】ABD
【分析】利用基底{⃗AB ,⃗AC }表示向量⃗AO判断A；利用数量积的运算律及夹角公式求解判断B；利用共线
向量定理推论求解判断C；利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断D.
【详解】对于A，由⃗OC =2⃗BO，得⃗AC −⃗AO =2(⃗AO−⃗AB)，则⃗AO = 2
3⃗AB+ 1
3⃗AC，A 正确；
对于B，令⃗AB =⃗a,⃗AC =⃗b，在等边△ABC中，⃗a⋅⃗b=3×3×cos60
∘= 9
2，
由选项A 得|⃗AO|= 1
3
❑√(2⃗a+⃗b)
2= 1
3
❑√4⃗a
2+⃗b
2+ 4⃗a⋅⃗b= 1
3
❑√4×9+9+ 4× 9
2 = ❑√7，⃗
OC = 2
3⃗BC = 2
3 (⃗AC −⃗AB)= 2
3 (⃗b−⃗a)，⃗OA =−1
3 (2⃗a+⃗b)，|⃗OC |=2，⃗
OA ⋅⃗OC = 2
9 (2⃗a+⃗b)⋅(⃗a−⃗b)= 2
9 (2⃗a
2−⃗a⋅⃗b−⃗b
2)= 2
9 (2×9−9
2 −9)=1，
因此cos〈⃗OA ,⃗OC 〉=⃗
OA ⋅⃗OC
|⃗OA ||⃗OC |
=
1
❑√7×2 =
❑√7
14 ，B 正确；
对于C，由选项A 知，⃗AO = 2
3⃗AB+ 1
3⃗AC，而⃗AB =m⃗AM，⃗AC =n⃗AN，
则⃗AO = 2m
3⃗AM + n
3⃗AN，而M ,O , N共线，因此2m
3 + n
3 =1，即2m+n=3，C 错误；
对于D，由选项C 知，1
3 (2m+n)=1,m>0,n>0，1
m + 2
n = 1
3 (2m+n)( 1
m + 2
n )
= 1
3 (4+ n
m + 4 m
n )≥1
3 (4 +2❑√
n
m ⋅4 m
n )= 8
3，当且仅当n=2m时取等号，D 正确.
故选：ABD
三、填空题
18．（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数f (x)= A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ)<π
2 )的部分图象如图所
示，y = f (x)的图象与y轴交于点C，且D (5,0)，B (2, A)，⃗BC ⋅⃗CD =0，则f (4)= ．
【答案】❑√10
【分析】根据B、D 点横坐标可确定周期得出ω，再把D (5,0)代入可求φ的值，利用⃗BC ⋅⃗CD =0得到A 即
可求解.
【详解】由题干图象可知T
4 =5−2=3，则T =12，所以ω= 2π
T
=π
6 ，所以f (x)= A sin (
π
6 x +φ)，
由f (5)= A sin(
5π
6 +φ)=0，得5π
6 +φ =2k π+π，k ∈Z，即φ=π
6 +2k π，k ∈Z，
因为|φ)<π
2 ，所以φ=π
6 ，则f (x)= A sin(
π
6 x +π
6 )．
又f (0)= A sinπ
6 = A
2 ，则C(0, A
2)，又⃗BC = (−2,−A
2)，⃗CD =(5,−A
2)，
BC⃗⋅CD⃗=−10+ A
2
4 =0，解得A =2❑√10（负根舍去），
所以f (x)=2❑√10sin(
π
6 x +π
6 )，所以f (4)= ❑√10．
故答案为：❑√10.
四、解答题
19．（24-25 高一下·山东青岛·月考）已知向量⃗a=(cos x , cos x),⃗b=(❑√3sin x , −cos x)，函数
f (x)=⃗a⋅⃗b+1.
(1)求函数f (x)的最小正周期及函数f (x)图象的对称轴；
(2)当f (α )=−3
10，且−π
6 <α <π
3 时，求sin(2α +π
6 )的值.
【答案】(1)最小正周期为π，对称轴为x = k π
2 +π
3 ,k ∈Z
(2)3 ❑√3−4
10
【分析】（1）先求函数的解析式，利用性质可得答案；
（2）根据条件求出sin(2α −π
6 )，cos(2α −π
6 )，结合角之间的关系可求答案.
【详解】（1）因为⃗a=(cos x , cos x),⃗b=(❑√3sin x , −cos x)，
所以⃗a⋅⃗b= ❑√3sin x cos x−cos
2 x =
❑√3
2 sin 2 x−1
2 cos2 x−1
2
=sin(2 x−π
6 )−1
2，所以f (x)=sin(2 x−π
6 )+ 1
2.
最小正周期为π，令2 x−π
6 =k π+π
2 ,k ∈Z,得x = k π
2 +π
3 ,k ∈Z，
即f (x)图象的对称轴为x = k π
2 +π
3 ,k ∈Z.
（2）由f (α )=−3
10得sin(2α −π
6 )=−4
5 ，
因为−π
6 <α <π
3 ，所以2α −π
6 ∈(−π
2 ,π
2 )，所以cos(2α −π
6 )= ❑√
1−sin
2(2α −π
6 )= 3
5；
sin(2α +π
6 )=sin(2α −π
6 +π
3 ) = 1
2 sin(2α −π
6 )+
❑√3
2 cos(2α −π
6 )
= 1
2 ×(−4
5)+
❑√3
2 × 3
5 = 3 ❑√3−4
10
.
20．（2025·福建宁德·三模）在△ABC中，角A ,B ,C的对边分别为⃗a,⃗b,⃗c.设向量⃗
m=(❑√3cos A ,cos A +sin A)，⃗n=(2sin A ,cos A −sin A)，记f ( A)=⃗m⋅⃗n, A ∈[
π
4 , 3π
4 ).
(1)求函数f ( A)的最大值；
(2)若f ( A)=1,a= ❑√3,cosBcosC =−1
4 ，求△ABC的面积.
【答案】(1)❑√3
(2)
❑√3
4
【分析】（1）由数量积的定义、二倍角的正弦公式化简和辅助角公式f ( A)，再由三角函数的性质即可得
出答案；
（2）法一：先求出A，由两角和的余弦公式求出sin BsinC = 1
4 ，由正弦定理求出bc，再由三角形的面积
公式即可得出答案；法二：先求出A，由两角差的余弦公式，二倍角公式化简cos BcosC =−1
4 可求得
tan 2B =
❑√3
3 ，由此可求出B ,C，再由正弦定理和三角形的面积公式即可得出答案.
【详解】（1）因为⃗m=(❑√3cos A ,cos A +sin A )，⃗n=(2sin A ,cos A −sin A )
所以f ( A )=⃗m⋅⃗n =2❑√3sin A cos A +cos
2 A −sin
2 A
= ❑√3sin 2 A +cos2 A =2sin(2 A +π
6 )
又因为A ∈[
π
4 , 3π
4 )，所以2 A +π
6 ∈[
2π
3 , 5π
3 )，
所以sin(2 A +π
6 )∈[−1,
❑√3
2 )，
所以f ( A )max= f (π
4 )= ❑√3.
（2）法一：由（1）知若f ( A )=2sin(2 A +π
6 )=1，
因为A ∈[
π
4 , 3π
4 )，所以A =π
3 ，
因为cos A =−cos(B+C )=−cos BcosC +sin BsinC = 1
2，
所以sin BsinC = 1
4 ，因为a= ❑√3,sin A =
❑√3
2 ，
由正弦定理知
a
sin A =
b
sin B =
c
sinC ，
所以sin B = b
2 ,sinC = c
2，所以bc =1，
所以S
△ABC
❑= 1
2 bc sin A =
❑√3
4
.
解法二：由（1）知f ( A )=2sin(2 A +π
6 )=1.
因为A ∈[
π
4 , 3π
4 )，所以A =π
3 ，
因为cos BcosC =−1
4 ，所以cos Bcos(
2π
3 −B)=−1
4 ，
cos B⋅(−1
2 cos B+
❑√3
2 sin B)=−1
4 ，
−1
2 cos
2B+
❑√3
2 sin Bcos B =−1
4 ，
2cos
2B−2❑√3sin Bcos B =1，
1+cos2B−❑√3sin 2B =1，所以tan 2B =
❑√3
3
又因为B∈(0, 2π
3 )，所以{
B =π
12
C = 7π
12 )
或{
B = 7π
12
C =π
12 )
，
由正弦定理知
a
sin A =
b
sin B =
c
sinC ，
所以b=2sin B ,c =2sinC，
S△ABC = 1
2 bc sin A =2sin A sin BsinC =
❑√3
4
.
