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解答题第18 题 空间向量与立体几何（讲练测）
............................................................1
............................................................8
...........................................................10
...........................................................12
...........................................................14
..........................................................16
...........................................................17
...........................................................20
【典例】1．（2025·北京·三模）如图，在棱长为2 的正方体
中，M、E 分别是
、
的中点，点F 在线段
上，
平面
.
(1)证明：F 是
的中点；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
【典例】2．（2025·北京·模拟预测）在如图所示的多面体中，
，四边形
为矩形，
，
.
(1)求证：
平面
；
(2)
，平面
平面
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
【典例】3．（2025·北京海淀·二模）如图1，五边形
中，
．将三角形
沿
翻折，使得平面
平面
，
如图2．
(1)求证：
平面
；
(2)记直线
与平面
所成角为
．若
，求
的长．
【典例】4．（2025·北京·三模）如图，在四棱柱
中， 侧面
和底面
均
为菱形， 且
为
的中点，
与平面
交于点
，
(1) 求证:
为
的中点；
(2) 若平面
平面
，求二面角
的余弦值.
【典例】5．（2025·北京石景山·一模）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，且
，
，
，
，
，
为
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求二面角
的余弦值；
(3)点
在线段
上，直线
与平面
所成角的正弦值为
，求点
到平面
的距离.
【典例】6．（2025·北京丰台·二模）如图，在四棱柱
中，底面
与侧面
均为菱形，
平面
为
的中点，
与平面
交于点
．
(1)求证：
为
的中点；
(2)再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，判断在线段
上是否存在点
，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
？若存在，求
的值；若不存在，说明理由．
条件①：
；
条件②：
．
注：如果选择条件①，条件②分别解答，按第一个解答计分．
【典例】7．（2025·北京海淀·三模）在四棱锥
中，四边形
为边长为4 的正方形，
．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知．
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
所成角的余弦值．
条件①，平面
平面
；
条件②：
；
条件③，
．
【典例】8．（2025·北京海淀·三模）如图，在直角
中，
，点
、
分别在线段
、
上，且
，将
沿
折起到
的位置，使得二面角
的大小为
．
(1)设平面
与平面
的交线为
，请直接写出
与直线
的位置关系．
(2)若点
为线段
的靠近
点的三等分点
（ⅰ）求证：
平面
；
（ⅱ）求
与平面
所成角
的正弦值．
【典例】9．（2025·北京海淀·三模）如图（1），等腰直角三角形
的底边
，点
在线段
上，
于
，现将
沿
折起到
的位置（如图（2））．
(1)求证：
；
(2)若
，
，求直线
与平面
所成的角的正弦值；
(3)设平面
平面
，试判断与平面
的位置关系，并说明理由．
【典例】10．（2025·北京大兴·三模）如图，在三棱柱
中，
是边长为2 的正三角形，
且
．
(1)求证：四边形
是矩形；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求直线
与平面
所成角的正弦
值．
条件①：平面
平面
；
条件②：三棱柱
的体积为
；
条件③：三棱锥
是正四面体．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
11．（2025·北京门头沟·一模）如图，在正方体
中，
为
中点，
与平面
交于点
.
(1)求证：
为
的中点；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值.
12．（25-26 高三上·北京·月考）在三棱柱
中，侧面
为矩形，
平面
，
是棱
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
13．（25-26 高三上·北京顺义·月考）如图，在四棱锥
中，底面ABCD 是矩形，
底面
，且
，E 是
的中点，平面
与线段
交于点F.
(1)求证：
；
(2)若
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
14．（2025·北京大兴·三模）如图，矩形
，平面
平面
，
，平面ADF 与棱BE 交于点
．
(1)求证：
；
(2)求直线CF 与平面ADF 夹角的正弦值．
15．（25-26 高三上·北京·月考）四棱锥
中，
是
的中点.
(1)
为
的中点，
为
上一点，
面
，证明:
为
中点；
(2)若面
面
，面
面
，求:平面
与面
夹角的余弦值.
16．（25-26 高三上·北京·月考）如图，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，
与
相交于点O，平面
平面
，点E 在棱
上，
，
．
(1)求证：
；
(2)若
平面
，求平面
与平面
夹角的大小．
17．（2025·北京昌平·二模）如图，在四棱锥
中，底面
为平行四边形，
与
相交
于点
，平面
平面
，点
在棱
上，
．
(1)求证：
；
(2)再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面
与平面
夹角的大小．
条件①：
平面
；
条件②：
．
18．（2025·北京·二模）如图，在三棱锥
中，平面
平面
分别为
的中点．
(1)求证：平面
平面
；
(2)设
，从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面
与平面
夹角的余弦值．
条件①：
；
条件②：
；
条件③：
．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
19．（25-26 高三上·北京东城·月考）如图，在四棱锥
中，平面
平面ABCD，
，
，
，N 为棱BC 的中点．
(1)求证：
；
(2)在棱AM 上是否存在一点E，使得二面角
的大小为
?若存在，求出
的值；若不存在，
请说明理由．
20．（25-26 高三上·北京·月考）如图，在四棱锥
中，平面
平面
，
是等腰
三角形，
，E 是
的中点．
(1)求证：
；
(2)若底面
是梯形，
，
，
，
，求二面角
的
余弦值；
(3)在（2）的条件下，线段
上是否存在点Q，使得
平面
?若存在，求出
的值；若不存在，
请说明理由．
21．（25-26 高三上·北京海淀·月考）如图，在四棱锥
中，底面
为菱形，平面
平面
，
，E，F 分别为
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)若
，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角
的大
小.条件①：
；条件②：
.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
22．（25-26 高三上·北京·月考）如图，在直三棱柱
中，
，
，
点
分别为
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)在棱
上是否存在一点
，使得点
在平面
内？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.
23．（24-25 高三上·北京·月考）如图，在四棱锥
中，
，
，
，
，
，
是棱
上的点．
(1)若
，证明：
平面
；
(2)若平面
平面
，直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的长．
24．（2025·北京·模拟预测）已知三棱锥
，底面
是以
为直角顶点的等腰直角三角形，
平面
平面
，
是棱
的中点，
在棱
上，满足
平面
.
(1)求
的值；
(2)若
，
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
25．（25-26 高三上·北京·期中）四棱柱
中，底面
是边长为1 的正方形，侧面
是矩形，且平面
平面
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)设
，若平面
与平面
夹角的余弦值为
，求的值；
(3)在（2）的条件下，求点
到平面
的距离.
（建议用时：40 分钟）
26．（24-25 高三下·北京·开学考试）如图，在四棱锥
中，底面
为矩形，
，
是棱
的中点，
在棱
上，且
平面
，平面
平面
．
(1)求证：
是棱
的中点；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值．
27．（24-25 高三上·北京顺义·期末）如图，在直三棱柱
中，
，
分别为
，
的中
点．
(1)求证：
平面
；
(2)若
，
，
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
28．（25-26 高三上·北京·月考）正四棱柱
中，底面
的边长为2，
，P 为
上一点．
(1)若P 为
中点，求证：
平面
．
(2)若
，求证：
．
29．（25-26 高三上·北京·月考）如图，四边形
是正方形，
平面
，
，
，
，
分别为
，
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)在线段
上是否存在一点
，使平面
与平面
所成角为
？若存在，求出线段
的长；若
不存在，请说明理由．
30．（25-26 高三上·北京·期中）如图，四棱锥
的底面
是边长为
的菱形，
，
是棱
的中点，平面
与棱
交于点
．
(1)求证：
为棱
的中点；
(2)若平面
平面
，
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
（建议用时：40 分钟）
31．（25-26 高三上·北京丰台·期中）如图，在四棱锥
中，
是等边三角形，四边形
是直角梯形，
，
，
，
.
(1)证明：平面
平面
.
(2)线段
上是否存在点E，使得直线
与平面
所成角的正弦值为
？若存在，求
的值；若不存
在，请说明理由.
32．（25-26 高三上·北京西城·月考）如图，在五面体
中，四边形
是矩形，平面
平面
，
是正三角形，
，
，
．
(1)求证：
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)求点
到平面
的距离．
33．（2025 高三·全国·专题练习）如图 1，在平行四边形
中，
，
，
.
现将
沿着
翻折至
， 使得点
到达点
的位置且平面
平面
（如图
2），点
是线段
的中点，点
在线段
上.求证: 平面
平面
.
34．（2025 高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，点
在线段
上且满足
，点
在线段
上且满足
.
(1)证明：
；
(2)若
，求
的值.
35．（25-26 高三上·北京平谷·月考）如图，
平面
，
，
，
为
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求二面角
的余弦值.
(3)点
到平面
的距离
（建议用时：50 分钟）
36．（25-26 高三上·北京朝阳·期中）如图，在四棱锥
中，
与
均为等腰直角三
角形，
，
.
(1)若
为
的中点，求证：
平面
；
(2)若
平面
.
（i）求平面
与平面
夹角的余弦值；
（ii）求点
到平面
的距离.
37．（24-25 高三下·北京·月考）如图，在四棱锥
中，底面
为正方形，
，
，
(1)求证：
平面
；
(2)M 为线段CD 的中点，求二面角
的余弦值.
38．（24-25 高三下·北京朝阳·月考）如图，在四棱锥
中，底面
是平行四边形，
平面
，平面
平面
，点
为线段
的中点，
，直线
与平面
所成的
角为
.
(1)若点
为线段
的中点，求证：
平面
；
(2)求二面角
的余弦值；
(3)求点
到平面
的距离．
39．（24-25 高三下·北京·月考）如图，在四棱锥
中，底面
是边长为2 的菱形，
，
，
为
中点，
为
上一点，且满足
．
(1)设平面
平面
，求证：
；
(2)若已知点
到平面
的距离2．从条件①，条件②中选择一个作为已知．求直线
与平面
所成角的正弦值.
条件①：平面
平面
；
条件②：
；
40．（24-25 高三下·北京顺义·月考）如图1 所示，在等腰梯形
，
，
，垂足为
，
，
，将
沿
折起到
的位置，如图2 所示，点
为棱
上一个动
点．
(1)求证：
；
(2)若平面
平面
；
（i）求直线
与平面
所成角的正弦值；
（ii）在棱
上是否存在点
，使
平面
，若存在，求出
的值，若不存在，请说明理由．
（建议用时：60 分钟）
41．（24-25 高三上·北京石景山·期末）如图，在四棱锥
中，
平面
，四边形
是边长为1 的正方形，
是
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求证：
；
(3)若直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的长度.
42．（25-26 高三上·北京·月考）如图，在正方体
中，
为
的中点.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)若正方体的棱长为2，求点
到平面
的距离.
43．（25-26 高三上·北京东城·期中）在四棱锥
中，底面
是边长为2 的正方形，
，
分别是
中点，
与平面
交于点
，
.
(1)证明：
是
的中点；
(2)求平面
与平面
夹角的大小；
(3)求点
到平面
的距离.
44．（25-26 高三上·北京·开学考试）如图，在四棱锥
中，
是边长为4 的等边三角形，
四边形BCFG 为菱形，
，平面
平面BCFG，D 为棱AB 的中点，记平面ABC 和平面
AFG 的交线为l.
(1)证明：
；
(2)在线段CG（不含端点）上是否存在一点E，使得直线DE 与平面ACF 所成角的正弦值为
？若存在，
求E 的位置；若不存在，请说明理由.
45．（24-25 高三下·北京·月考）如图在三棱柱
中，
是等边三角形，
．
(1)求证：
；
(2)若
，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，
（i）求二面角
的大小；
（ii）四棱锥
的体积为________．（结论不要求证明）
条件①：
；
条件②：平面
平面
．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
