2026 年高考数学·教考衔接
教材命题点探源
-------------------------------供2026 高考备考二轮、三轮复习及考前使用--------------------------
教考衔接四 解三角形
-----------------■高考命题·解读■---------------------
核心考点
五年考情
考点1.利用正余弦定理解三角形
2025 年 全国一卷；2025 年 全国二卷
2023 年 新课标Ⅰ卷；2021 年 新高考Ⅰ卷
考点2. 三角形的面积问题
2024 年 新课标Ⅰ卷
考点3. 三角形的周长问题
2024 年 新课标Ⅱ卷
考点13 解三角形的最值问题
2022 年 新高考Ⅰ卷
🎯【命题解读】（考前必看）
1.从题型和题量上看，一般是一个小(选择题或填空题)一大(解答题)，也有可能和其它内容综合命题.
①高考试题中主要考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用，
②在处理解三角形有关问题时，熟记公式是解决此类问题的前提，同时注意与三角函数性质有关问题中的应
用.
2.主要内容有：三角形正余弦定理求基本量运算是高考必考知识点，边角转化，最值问题与不等式相结合等
都是高考高频考点
🎯练教材-----必刷经典母题
【教材母题1】 （1）(人教A 版必修第二册P44·T1(2))在△ABC 中,已知a=5,b=2,C=π
3 ,求c.
（2）(人教A 版必修第二册P48·T2)
①在△ABC 中,已知a=2,c=2❑√3
3
,A=120°,求b 和C;
②在△ABC 中,已知b=2,A=45°,C=75°,求c.
（3）(人教A 版必修第二册P53·T10)你能用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积吗?
【🚀衔接高考】
（1）（一题多解）（2025·全国二卷）在△ABC 中，BC＝2，AC＝1＋，AB＝，则A＝（ ）
A．45° B．60° C．120° D．135°
（2）(2024·全国甲卷)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若B=π
3 ,b2=9
4 ac,则sin A+sin C=( )
A.2❑√39
13
B.
❑√39
13
C.
❑√7
2 D.3 ❑√13
13
（3）(2023·全国乙卷)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,若acos B-bcos A=c,且C=π
5 ,则B=( )
A. π
10 B.π
5
C.3 π
10 D.2π
5
（4）（一题多解）(2021·全国甲卷)在△ABC 中,已知B=120°,AC=❑√19,AB=2,则BC=( )
A.1 B.❑√2
C.❑√5 D.3
（5）(2020·全国Ⅲ卷)在△ABC 中,cos C=2
3,AC=4,BC=3,则cos B=( )
A.1
9 B.1
3 C.1
2 D.2
3
（6）(2021·全国乙卷)记△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,面积为❑√3,B=60°,a2+c2=3ac,则b= .
【🚀新题预测】
（1）（2026·四川广安模拟）已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，若
，
，
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
（2）（2026·山东枣庄模拟）在
中，内角
的对边分别为
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【教材母题2】 (人教A 版必修第二册P54·T22)已知a,b,c 分别为△ABC 三个内角A,B,C 的对边,且acos C+❑√3
asin C-b-c=0.
（1）求A;
（2）若a=2,则△ABC 的面积为❑√3,求b,c.
【🚀衔接高考】
（1）(2025·天津高考)在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知asin B=❑√3bcos A，c=2b+1，a=
❑√7.
①求A 的值；
②求c 的值；
③求sin (A+2B)的值.
（2）(2024·新高考Ⅰ卷)记△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知sin C=❑√2cos B,a2+b2-c2=❑√2ab.
①求B;
②若△ABC 的面积为3+❑√3,求c.
（3）(2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D 在边AC 上,BDsin
∠ABC=asin C.
①证明:BD=b.
②若AD=2DC,求cos ∠ABC.
（4）(2021·新高考Ⅱ卷)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边长分别为a,b,c,b=a+1,c=a+2.
①若2sin C=3sin A,求△ABC 的面积;
②是否存在正整数a,使得△ABC 为钝角三角形?若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.
（5）(2020·新高考Ⅰ卷)在①ac=❑√3,②csin A=3,③c=❑√3b 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中
的三角形存在,求c 的值;若问题中的三角形不存在,说明理由.
问题:是否存在△ABC,它的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且sin A=❑√3sin B,C=π
6 , ?
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
【教材母题3】 (人教B 版必修第四册P21·T10)已知锐角△ABC 中,sin(A+B)=3
5,sin(A-B)=1
5.
（1）求证:tan A=2tan B;
（2）若AB=3,求AB 边上的高.
【🚀衔接高考】
（一题多解） (2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC 中,A+B=3C,2sin(A-C)=sin B.
（1）求sin A;
（2）设AB=5,求AB 边上的高.
【🚀新题预测】
（2026·湖南衡阳检测）设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且cos C=a-c sin B
b
.
（1）求角B 的大小;
（2）若边AB 上的高为c
4 ,求cos C 的值.
【教材母题4】 (人教A 版必修第二册P49·例10)如图,AB 是底部B 不可到达的一座建筑物,A 为建筑物的最高点.
设计一种测量建筑物高度AB 的方法,并求出建筑物的高度.
【🚀衔接高考】
（1）(2021·全国甲卷)2020 年12 月8 日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m).三角高
程测量法是珠峰高程测量方法之一,如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C 三点,且A,B,C 在同一水平面
上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C 点测得B 点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100;由B 点测得
A 点的仰角为45°,则A,C 两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为(❑√3≈1.732)( )
A.346
B.373
C.446
D.473
（2）(2021·全国乙卷)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高.如
图,点E,H,G 在水平线AC 上,DE 和FG 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG 称为“表
距”,GC 和EH 都称为“表目距”,GC 与EH 的差称为“表目距的差”,则海岛的高AB=( )
A.表高×表距
表目距的差+表高
B.表高×表距
表目距的差-表高
C.表高×表距
表目距的差+表距
D.表高×表距
表目距的差-表距
【🚀新题预测】
（1）（2026·江西景德镇模拟）如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它
包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当
正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角．圭面上日影长度最长
的那一天定为冬至，投影点为冬至线．日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线．已知景德镇冬至正
午太阳高度角为
，夏至正午太阳高度角为
，表高42 厘米，圭面上冬至线与夏至线之间的
距离为50 厘米，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
🎯读教材-----玩味阅读材料
【阅读1】通过阅读《阅读与思考——海伦和秦九韶》(人教A 版必修第二册P55)和《拓展阅读——秦九韶的
“三斜求积术”》(人教B 版必修第四册P11),可从中提炼出如下结论:
（1）(海伦公式)已知△ABC 的三个角A,B,C 的对边分别为a,b,c,设p=1
2(a+b+c),则三角形的面积S=
❑√p( p-a)( p-b)( p-c).
（2）(“三斜求积”公式)已知△ABC 的三个角A,B,C 的对边分别为a,b,c,则三角形的面积S=
❑√
1
4[c
2a
2-(
c
2+a
2-b
2
2
)
2
]
=❑√
1
4[a
2b
2-(
a
2+b
2-c
2
2
)
2
]
=❑√
1
4[b
2c
2-(
b
2+c
2-a
2
2
)
2
]
.
（3）“海伦公式”与“三斜求积”公式是等价的.
【🚀新题预测】
（1）（2025·安徽合肥11 月质量检测）（多选）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边a,b,c构成公差为1
的等差数列，最大角是最小角的2 倍,则（ ）
A. a= 4
B. △ABC的内切圆半径r =
❑√7
2
C. △ABC的外接圆半径R = 4 ❑√7
7
D. 以a-1,b-1,c -1为三边的三角形是直角三角形
（2）（一题多解）（2026·陕西西安1 月检测）已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且
acos C + ❑√3asin C -b-c =0.
①求A;
② 若a=2,则△ABC的面积为❑√3,求b,c.
🎯研教材-----深度探究思考
【探究1】射影定理(人教B 版必修第四册P10 例5,苏教版必修第二册P95T7 拓展)
在△ABC 中,求证:
（1）a=bcos C+ccos B;
（2）b=acos C+ccos A;
（3）c=acos B+bcos A.
【🚀新题预测】
（1） (2026·浙江绍兴三模)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c.若2bcos(B+C)-acos C=ccos A,则A 等
于( )
A.π
6
B.π
4
C.π
3
D.2π
3
（2）（一题多解）在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若△ABC 为锐角三角形,且满足
sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是( )
A.a=2b
B.b=2a
C.A=2B
D.B=2A
（3）(2026·济南模拟)已知a,b,c 分别为△ABC 三个内角A,B,C 的对边,且acos C+❑√3asin C=b,则A=( )
A.π
6
B.π
4
C.π
3
D.π
2
【探究2】角平分线定理(人教B 版必修第四册P6 例6)
如图所示,在△ABC 中,已知∠BAC 的角平分线AD 与边BC 相交于点D,求证: BD
DC = AB
AC .
【🚀新题预测】
(1) (2026·湛江模拟)在△ABC 中,已知sin(∠BAC-∠B)=sin B+sin C.
(1)求∠BAC.
(2)若AC=2AB,∠BAC 的平分线交BC 于点D,求cos∠ADB.
（2）（2026·福建厦门模拟）已知△ABC 中内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,A=60°,c=b+1,sin B=
❑√21
7
.
（1）求c 的值;
（2）设AD 是△ABC 的角平分线,求AD 的长.
【探究3】张角定理(北师大版必修第二册P131·T1)
如图,一条直线上有三点A,B,C,点C 在点A 与点B 之间,点P 是此直线外一点,设∠APC=α,∠BPC=β.求证:
sin(α + β)
PC
=sin α
PB +sin β
PA .
【🚀衔接高考】
(2023·全国甲卷)在△ABC 中,∠BAC=60°,AB=2,BC=❑√6,∠BAC 的角平分线交BC 于D,则AD= .
【探究4】中线长公式 (人教A 版必修第二册P53T15)
△ABC 的三边分别为a,b,c,边BC,CA,AB 上的中线分别记为ma,mb,mc,利用余弦定理证明ma=1
2
❑√2(b
2+c
2)-a
2,mb=
1
2
❑√2(a
2+c
2)-b
2,
mc=1
2
❑√2(a
2+b
2)-c
2.
【🚀衔接高考】
（一题多解） (2023·新高考Ⅱ卷节选)记△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知△ABC 面积为❑√3,D 为BC
的中点,且AD=1.若b2+c2=8,求b,c.
