专题4.5 函数y=Asin(ωx+φ)（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 三角函数的图象变换】..............................................................................................................................2
【题型2 描述正（余）弦型函数图象的变换过程】.............................................................................................4
【题型3 由部分图象确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式】......................................................................................7
【题型4 图象与性质的综合应用】........................................................................................................................11
【题型5 函数的零点（方程的根）问题】...........................................................................................................16
【题型6 三角函数模型】........................................................................................................................................18
【题型7 函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用】................................................................................22
1、函数y=Asin(ωx+φ)
考点要求
真题统计
考情分析
(1) 结合具体实例，了解
y=Asin(ωx+φ)的实际意义；
能借助图象理解参数ω,φ,A
的意义，了解参数的变化对
函数图象的影响
(2)会用三角函数解决简单的
实际问题，体会可以利用三
角函数构建刻画事物周期变
化的数学模型
2023 年全国甲卷（文数）：
第12 题，5 分
2023 年全国甲卷（理数）：
第10 题，5 分
函数y=Asin(ωx+φ)是三角函数的重
要内容，也是高考的热点内容.从近几
年的高考情况来看，函数y=Asin(ωx+φ)
的图象变换以及由部分图象求函数的解
析式是高考考察的主要方向，试题主要
以选择题、填空题的形式呈现，难度不
高.
知识点
1 函数
y = A sin(
ωx
+ φ ) 的图象及变换
1．函数y=Asin(ωx+φ)的图象的作法
作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象常用如下两种方法：
(1)五点法作图：用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图，主要是通过变量代换，设z=ωx+φ，由z 取
来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；
(2)图象的变换法：由函数y=sin x 的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两种途径：“先平移后伸
缩”与“先伸缩后平移”.
2．三角函数的图象变换问题的求解方法
解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下：
(1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象；
(2)变同名：函数的名称要变得一样；
(3)选方法：即选择变换方法.
知识点
2 由部分图象确定函数解析式的解题方法
1．由部分图象确定函数解析式的方法
由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A 比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω 和
φ，常用如下两种方法：
(1)如果图象明确指出了周期T 的大小和“零点”坐标，那么由
即可求出ω；确定φ 时，若能求出
离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标
，则令
即可求出φ.
(2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω 和φ，若对
A，ω 的符号或φ 的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求.
知识点
3 三角函数图象、性质的综合应用的解题策略
1．研究函数y=Asin(ωx+φ)性质的技巧
研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ 视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.
2．函数的零点（方程的根）的问题的解题策略
函数的零点（方程的根）的个数可转化为两个函数图象的交点个数，据此进行求解即可.
3．三角函数模型
三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问
题，利用三角函数的有关知识解决问题.
【方法技巧与总结】
1．函数y=Asin(ωx+φ)+k 图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
2．由y= sinωx 到y=sin(ωx+φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移
个单位长度而非φ 个单位长度.
【题型1 三角函数的图象变换】
【例1】（2025·海南·模拟预测）先将函数f (x)=sin(4 x +π
4 )的图象向右平移1
2个最小正周期，再将所得
图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则g(x)=（ ）
A．sin(2 x−3π
4 )
B．sin(8 x−3π
4 )
C．sin(2 x + 3π
4 )
D．sin(8 x + 3π
4 )
【答案】A
【解题思路】求出函数f (x)的最小正周期，结合三角函数图象变换可求得函数g(x)的解析式.
【解答过程】函数f (x)=sin(4 x +π
4 )的最小正周期为T = 2π
4 =π
2 ，
将函数f (x)的图象向右平移1
2个最小正周期，可得到函数y =sin[4(x−π
4 )+π
4 )=sin(4 x−3π
4 )的图
象，
再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，
故g(x)=sin(
1
2 ⋅4 x−3π
4 )=sin(2 x−3π
4 ).
故选：A.
【变式1-1】（2025·山东临沂·二模）将函数f (x)=sin (2 x +φ),(|φ)<π
2 )的图象向左平移π
3 个单位长度
得到函数g(x)的图象．若g(x)的图象关于y轴对称，则φ =（ ）
A．−π
12
B．−π
6
C．π
3
D．π
6
【答案】B
【解题思路】根据题意写出g(x)的表达式，进一步列出关于φ ,k的式子即可求解.
【解答过程】由题意g(x)= f(x +π
3 )=sin(2 x +φ+2π
3 ),(|φ)<π
2 )是偶函数，
从而{
φ+2π
3 =π
2 + k π,k ∈Z
|φ)<π
2
)
，解得k =0,φ =−π
6 .
故选：B.
【变式1-2】（2025·江苏南京·二模）把函数y =cos x图象上所有点的横坐标变为原来的1
2倍（纵坐标不
变），再将图象上所有的点向右平移π
6 个单位长度，得到函数y = f (x)的图象，则f (x)=（ ）
A．cos(2 x−π
6) B．cos(2 x−π
3)
C．cos(
1
2 x−π
6)
D．cos(
1
2 x−π
12).
【答案】B
【解题思路】求出把函数y =cos x图象上所有点的横坐标变为原来的1
2倍（纵坐标不变）后的函数，求出
再将图象上所有的点向右平移π
6 个单位长度后的函数.
【解答过程】把函数y =cos x图象上所有点的横坐标变为原来的1
2倍（纵坐标不变）后的函数为y =cos2 x
，
再将图象上所有的点向右平移π
6 个单位长度后的函数为y =cos[2( x−π
6 )]=cos(2 x−π
3 ).
故选：B.
【变式1-3】（24-25 高一下·广东佛山·阶段练习）将函数y =sin x图象上各点的横坐标缩短到原来的1
2倍
（纵坐标不变），得到函数y = f (x)的图象.再将y = f (x)的图象向右平移π
6 个单位长度，得到y = g(x)的图
象，则函数g(x)的解析式为（ ）
A．g(x)=sin(
1
2 x−π
6 )
B．g(x)=sin(
1
2 x−π
12)
C．g(x)=sin(2 x−π
6 )
D．g(x)=sin(2 x−π
3 )
【答案】D
【解题思路】利用伸缩变换和平移变换即可求得.
【解答过程】函数y =sin x图象上各点的横坐标缩短到原来的1
2倍，得到f (x)=sin (2 x)，
再向右平移π
6 个单位长度，得到g(x)=sin[2(x−π
6 ))=sin(2 x−π
3 ).
故选：D.
【题型2 描述正（余）弦型函数图象的变换过程】
【例2】（2025·湖北恩施·模拟预测）要得到函数y =sin(2 x +π
4 )的图象，只要将函数
y =cos(2 x−5π
6 )的图象（ ）
A．向右平移7π
12 个单位
B．向左平移7π
12 个单位
C．向右平移7π
24 个单位
D．向左平移7π
24 个单位
【答案】D
【解题思路】先利用诱导公式将y =cos(2 x−5π
6 )化成y =sin(2 x−π
3 )，再利用平移变换即得结果.
【解答过程】因为y =cos(2 x−5π
6 )=cos(2 x−π
3 −π
2 )=sin(2 x−π
3 )，
由y =sin(2 x−π
3 )向左平移7π
24 ，即得y =sin[2( x + 7π
24 )−π
3 ]=sin(2 x +π
4 ).
故选：D.
【变式2-1】（2025·山西临汾·三模）为了得到函数y =cos(x−π
3 )的图象，只要把正弦函数上所有点
（ ）
A．向右平移π
6 个单位长度
B．向右平移π
3 个单位长度
C．向左平移π
3 个单位长度
D．向左平移π
6 个单位长度
【答案】D
【解题思路】利用函数图像的平移变换即可求解.
【解答过程】因为y =sin x =cos(x−π
2 )，所以将函数y =sin x的图像向左平移π
6 个单位长度得
y =cos(x−π
3 )，
故选：D.
【变式2-2】（2025·天津和平·二模）函数f (x)= A sin (ωx +φ)（A >0，ω>0，|φ)<π）的部分图象如图
所示，要得到y = ❑√2sin x的图象，只需将函数f (x)的图象上所有的点（ ）
A．横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），再向右平行移动π
3 个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），再向左平行移动2π
3 个单位长度
C．横坐标缩短到原来的1
2（纵坐标不变），再向右平行移动π
3 个单位长度
D．横坐标缩短到原来的1
2（纵坐标不变），再向左平行移动2π
3 个单位长度
【答案】A
【解题思路】由图象，根据正弦函数的图象与性质求得f ( x)= ❑√2sin(2 x +π
3 )，结合三角函数图象的平
移伸缩变换即可求解.
【解答过程】由图可知，A = ❑√2, T
4 =7π
12 −π
3 ，得T =π，
又T = 2π
|ω) ，由ω>0解得ω=2；
将点(π
3 ,0)代入f ( x)，得0= ❑√2sin(2×π
3 +φ)，
(π
3 ,0)在函数单调减区间上，则2×π
3 +φ=π+2k π，k ∈Z，
解得φ=2k π+π
3 ,k ∈Z，又|φ)<π，所以φ=π
3 ，.
得f ( x)= ❑√2sin(2 x +π
3 ).
将f ( x)的图象上所有的点横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），再向右平行移动π
3 个单位长度，
得y = ❑√2sin x的图象.
故选：A.
【变式2-3】（2025·浙江温州·二模）已知函数f (x)=sin x，g(x)=cos x，则两个函数的图象仅通过平移
就可以重合的是（ ）
A．y = f (x)−g(x)与y = f (x)
B．y =[f (x))
2−[g(x))
2与y = f (x)g(x)
C．y = f [f (x))与y = f [g(x))
D．y = f [f (x))与y = g[f (x))
【答案】C
【解题思路】分析可知，若两个正、余弦型函数的图象仅通过平移就可以重合，则这两个函数的振幅相
等，最小正周期也相等，可判断AB 选项；利用三角函数图象变换可判断CD 选项.
【解答过程】若两个正、余弦型函数的图象仅通过平移就可以重合，则这两个函数的振幅相等，最小正周
期也相等，
对于A 选项，f (x)−g(x)=sin x−cos x = ❑√2sin(x−π
4 )，
所以，函数y = f (x)−g(x)的振幅为❑√2，函数y = f (x)的振幅为1，
所以，这两个函数的振幅不相等，故y = f (x)−g(x)与y = f (x)的图象不能通过平移重合，A 错；
对于B 选项，[f (x))
2−[g(x))
2=sin
2 x −cos
2 x =−cos2 x，
f (x)g(x)=sin x cos x = 1
2 sin2 x，
函数y =[f (x))
2−[g(x))
2的振幅为1，函数y = f (x)g(x)的振幅为1
2，
所以，y =[f (x))
2−[g(x))
2与y = f (x)g(x)的图象不能通过平移重合，B 错；
对于C 选项，因为f [f (x))=sin (sin x)，f [g(x))=sin (cos x)=sin[sin(x +π
2 ))，
将函数y = f [f (x))的图象向左平移π
2 个单位长度可与函数y = f [g(x))的图象重合，C 对；
对于D 选项，g[f (x))=cos(sin x)=sin(sin x +π
2 )，
函数y = f [f (x))与y = g[f (x))的图象不能通过平移重合，D 错.
故选：C.
【题型3 由部分图象确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式】
【例3】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知函数f ( x)=2cos(ωx −φ)(ω>0,|φ|<π
2 )的部分图象如图所
示，则f(
4π
3 )=（ ）
A．−1
B．1
C．❑√3
D．−❑√3
【答案】B
【解题思路】根据函数图象得出周期进而得出ω=2，再根据点(
π
6 ,2)在图象上计算求出φ，最后结合特
殊值求解.
【解答过程】由题图可知，3T
4 = 11π
12 −π
6 = 3π
4 ，所以T =π，
又因为ω>0，所以ω= 2π
T
= 2π
π
=2．
又因为f(
π
6 )=2cos(2×π
6 −φ)=2，所以2×π
6 −φ=2k π,k ∈Z，
所以φ=π
3 −2k π,k ∈Z，又|φ|<π
2 ，令k =0，可得φ=π
3 ，
所以f ( x)=2cos(2 x−π
3 )，故f(
4π
3 )=2cos 7π
3 =1．
故选：B．
【变式3-1】（2025·广西南宁·模拟预测）在物理学中简谐运动可以用函数
f ( x)= A sin(ωx +φ)( A >0,ω>0,|φ|<π)来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数f ( x)的图象关于点(
π
6
,0)成中心对称
B．函数f ( x)的解析式可以为f ( x)=2cos(2 x−2π
3 )
C．函数f ( x)在[0,π]上的值域为[0,2]
D．若把f ( x)图象上所有点向右平移π
12 个单位，则所得函数是y =2sin(2 x +π
12)
【答案】B
【解题思路】利用图像求出函数f (x)的解析式，对于A 代入解析式即可判断，对于B 利用诱导公式即可判
断，对于C 利用x∈[0,π)，得2 x−π
6 ∈[−π
6 , 11π
6 )，即可求得f (x)的值域，进而即可判断，对于
D 利用图象的变换即可判断.
【解答过程】由图可知A =2, 3T
4 = 3
4 ⋅2π
ω = 3π
2ω =13π
12
−π
3
=3π
4
，所以T =π,ω=2，
且2×π
3
+φ=π
2
+2k π,k ∈Z，所以φ=−π
6
+2k π,k ∈Z，
又因为|φ|<π，所以只能k =0,φ=−π
6
，所以f ( x)=2sin(2 x−π
6 )，
对于A， f(
π
6 )=2sin(
π
3 −π
6 )=2sinπ
6
=1≠0，故A 错误；
对于B．f ( x)=2sin(2 x−π
6 )=2cos[
π
2 −(2 x−π
6 ))=2cos(
2π
3
−2 x)=2cos(2 x−2π
3 )，故B 正
确；
对于C， 0≤x ≤π⇒−π
6 ≤2 x−π
6 ≤11π
6
⇒−1≤sin(2 x−π
6 )≤1⇒f (x)∈[−2,2)，故C 错误；
对于D，若把f ( x)图象上所有点右平移π
12 个单位，则所得函数是
y =2sin[2⋅(x−π
12)−π
6 )=2sin(2 x−5π
12 )，故D 错误．
故选：B.
【变式3-2】（2025·四川自贡·三模）已知函数f (x)= A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ)<π
2 )的部分图象如
图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数y = f (x)的图象关于直线x =−π
6 对称
B．函数y = f (x)的图象关于点(−5π
12 ,0)对称
C．函数y = f (x)在[−2π
3 ,−π
6 )上单调递减
D．当x∈[0,π
4 )时，f (x)∈[1,2)
【答案】D
【解题思路】根据函数图象，求出函数f ( x)的解析式，代入检验法可判断AB；根据正弦函数的单调性可
判断C，根据三角函数的值域可判断D.
【解答过程】由图知A =2，T
4 =π
3 −π
12 =π
4 ，
所以T = 2π
|ω) =π，解得ω=2，
f ( x)过点(
π
12 ,2)，所以2sin(2×π
12 +φ)=2，
即sin(π
6 +φ)=1，又|φ)<π
2 ，所以φ=π
3 ，
所以f ( x)=2sin(2 x +π
3 )，
对于A：f (−π
6 )=2sin(−π
3 +π
3 )=0，
所以函数y = f (x)的图象关于点(−π
6 ,0)对称，故A错误；
对于B：f (−5π
12 )=2sin(−5π
6 +π
3 )=−2，
所以函数y = f (x)的图象关于直线x =−5π
12 对称，故B错误；
对于C：π
2 +2k π≤2 x +π
3 ≤3π
2 +2k π,k ∈Z，
π
6 +2k π≤2 x ≤7π
6 +2k π,k ∈Z，
所以π
12 +k π≤x ≤7π
12 +k π,k ∈Z，
取k =−1，得−11π
12 ≤x ≤−5π
12 ，
函数y = f (x)在[−2π
3 ,−5π
12 )上单调递减，故C错误；
对于D：x∈[0,π
4 )，所以2 x∈[0,π
2 )，所以2 x +π
3 ∈[
π
3 ,5π
6 )，
所以sin(2 x +π
3 )∈[
1
2 ,1)，所以f ( x)∈[1,2)，故D正确.
故选：D.
【变式3-3】（2025·天津红桥·一模）已知函数f (x)= A sin(ωx +φ)+ B(A >0,ω>0,|φ)<π
2 )的部分图象
如图所示，则下列正确个数有（ ）
①f (x)关于点(
π
6 ,3)对称；
②f (x)关于直线x =π
3 对称；
③f (x)在区间[
π
2 , 5π
6 )上单调递减；
④f (x)在区间(−5π
12 ,π
12)上的值域为[1,3)；
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【解题思路】先根据函数的图象确定函数的解析式，在逐项判断即可.
【解答过程】由函数的图象可知：A = 5−1
2
=2，B = 5+1
2
=3.
因为f (0)=2 ⇒ 2sin φ+3=2 ⇒ sin φ =−1
2，又|φ)<π
2 ，所以φ=−π
6 .
因为f(−π
6 )=1 ⇒ 2sin(−ωπ
6
−π
6 )+3=1 ⇒ sin(−ωπ
6
−π
6 )=−1，
所以−ωπ
6
−π
6 =−π
2 +2k π，k ∈Z.所以ω=2−12k，k ∈Z.
由图象可知：T
2 >π
6 ⇒ T >π
3 ，即2π
ω >π
3 ⇒ ω<6.
所以当k =0时，ω=2.
所以f (x)=2sin(2 x−π
6 )+3.
对①：因为f(
π
6 )=2sin(2×π
6 −π
6 )+3= 4，所以f (x)的图象不关于(
π
6 ,3)对称，①错误；
对②：因为f(
π
3 )=2sin(2×π
3 −π
6 )+3=5，所以f (x)的图象关于直线x =π
3 对称，②正确；
对③：当x∈[
π
2 , 5π
6 )时，2 x−π
6 ∈[
5π
6 , 3π
2 )，因为y =sin x在[
5π
6 , 3π
2 )上单调递减，所以函
数f (x)在[
π
2 , 5π
6 )上单调递减，③正确；
对④：当x∈(−5π
12 ,π
12)时，2 x−π
6 ∈(−π,0)，所以sin(2 x−π
6 )∈[−1,0)，所以f (x)∈[1,3)
，④正确.
故选：C.
【题型4 图象与性质的综合应用】
【例4】（2025·海南·模拟预测）已知函数f (x)=sin(ωx +π
3 )(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的距离
为π
2 , g(x)=sin(2 x + 2π
3 )，则（ ）
A．f (x)的最小正周期为2π
B．f (x)的图象关于点(
2π
3 ,0)对称
C．将g(x)的图象向左平移π
3 个单位长度可得到f (x)的图象
D．f (x)与g(x)的图象关于y轴对称
【答案】D
【解题思路】根据相邻对称轴之间的距离求出周期后可判断A 的正误，利用代入检验法可判断B 的正误，
利用平移变换的规律求出平移后图象对应的解析可判断C 的正误，利用坐标变换可判断D 的正误，
【解答过程】对于A，因为相邻对称轴之间的距离为π
2 ，故f (x)的最小正周期为2π
ω =2×π
2 =π，
故A 错误；
对于B，由A 可得ω=2，故f (x)=sin(2 x +π
3 )，
而f(
2π
3 )=sin(2×2π
3 +π
3 )=−
❑√3
2 ≠0，故f (x)的图象不关于点(
2π
3 ,0)对称，
故B 错误；
对于C，将g(x)的图象向左平移π
3 个单位长度后，
所得图象对应的解析式为y =sin(2 x + 2π
3 + 2π
3 )=sin(2 x + 4π
3 )=−sin(2 x +π
3 )≠f (x)，
故g(x)的图象左平移π
3 个单位长度得不到f (x)的图象，故C 错误；
对于D，g(x)=sin(2 x−π
3 +π)=−sin(2 x−π
3 )，
而f (−x)=sin(−2 x +π
3 )=−sin(2 x−π
3 )= g(x)，
所以f (x)与g(x)的图象关于y轴对称，故D 正确；
故选：D.
【变式4-1】（2025·天津·一模）已知x =π
6
是函数f ( x)=2cos(2 x +φ)(|φ|<π
2 )图象的一个对称轴，
则下列说法错误的是（ ）
A．(
5π
12
,0)是函数f ( x)图象的一个对称中心
B．函数f ( x)的图象可由y =2sin2 x图象向左平移π
12 个单位长度得到
C．函数f ( x)在区间(
π
6 ,2π
3 )上单调递减
D．函数f ( x)在区间(−π
6 ,5π
6 )上有且仅有一个零点
【答案】D
【解题思路】根据题意，求得f ( x)=2cos(2 x−π
3 )，结合正弦型函数的图象与性质，逐项分析求解，即
可得到答案.
【解答过程】由x =π
6
是函数f ( x)=2cos(2 x +φ)图象的一个对称轴，
可得cos(2×π
6 +φ)=±1，可得π
3 +φ =k π,k ∈Z，即φ =k π−π
3 ,k ∈Z，
因为|φ)<π
2 ，所以φ =−π
3 ，所以f ( x)=2cos(2 x−π
3 )，
对于A 中，由f ( 5π
12 )=2cos(2× 5π
12 −π
3 )=2cosπ
2 =0，
所以(
5π
12
,0)是函数f ( x)图象的一个对称中心，所以A 正确；
对于B 中，将函数y =2sin 2 x图象向左平移π
12 个单位长度得到
y =2sin[2( x +π
12 )]=2sin(2 x +π
6 )=2cos(2 x +π
6 −π
2 )=2cos(2 x−π
3 )，所以B 正确；
对于C 中，由π
6 < x<2π
3
，可得0<2 x−π
3 <π，
因为函数y =cos x在(0,π)上单调递减，所以f ( x)在区间(
π
6 ,2π
3 )上递减，所以C 正确；
对于D 中，−π
6 < x<5π
6
，可得−2π
3 <2 x−π
3 < 4π
3
，
当2 x−π
3 =−π
2 时，即x =−π
12时，可得f (−π
12 )=0，即x =−π
12是f (x)的一个零点；
当2 x−π
3 =π
2 时，即x =5π
12 时，可得f (5π
12 )=0，即x =5π
12 是f (x)的一个零点，
所以函数f ( x)在(−π
6 ,5π
6 )上有两个零点，所以D 错误.
故选：D.
【变式4-2】（2025·天津滨海新·三模）已知函数f (x)= A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π
2 )的部分图象
如图所示，关于该函数有下列四个说法：
①f (x)在区间[
π
12 , 7π
12 )上单调递减
②f (x)的图象可由y =2sin2 x的图象向左平移π
6 个单位得到
③f (x)的对称轴为x = 5π
12 +k π(k ∈Z)
④f (x)在区间[0,π
2 )上的最小值为−❑√3
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解题思路】根据题中给定图象可得函数解析式，然后利用正弦函数的性质和图象变换对各个选项进行判
断即可．
【解答过程】由图可知，A =2, T
4 =π
3 −π
12 =π
4 ，即T =π，则ω= 2π
T
=2，
此时f ( x)=2sin(2 x +φ)，又f(
π
12)=2sin(
π
6 +φ)=2，
则π
6 +φ=π
2 +2k π，k ∈Z，即φ=π
3 +2k π，k ∈Z，
又0<φ<π
2 ，所以φ=π
3 ，则f ( x)=2sin(2 x +π
3 ).
对于①，当x∈[
π
12 , 7π
12 )时，2 x +π
3 ∈[
π
2 ,3π
2 )，
因为函数y =sin x在[
π
2 ,3π
2 )上单调递减，
所以f (x)在区间[
π
12 , 7π
12 )上单调递减，故①正确；
对于②，y =2sin2 x的图象向左平移π
6 得到y =2sin[2(x +π
6 ))=2sin(2 x +π
3 )，故②正确；
对于③，令2 x +π
3 =k π+π
2
(k ∈Z)，解得x = k π
2 +π
12
(k ∈Z)，
所以f (x)的对称轴为x = k π
2 +π
12
(k ∈Z)，故③错误；
对于④，当x∈[0,π
2 )时，2 x +π
3 ∈[
π
3 ,4π
3 )，则sin(2 x +π
3 )∈[−
❑√3
2 ,1)，
则2sin(2 x +π
3 )∈[−❑√3,2)，则f (x)在区间[0,π
2 )上的最小值为−❑√3，故④正确.
故选：C.
【变式4-3】（2025·天津·模拟预测）已知f (x)=sin
2(ωx +π
3 )−cos
2(ωx +π
3 )(ω>0)．给出下列判
断：
①若f (x1)=1,f (x2)=−1，且|x1−x2)min=π
2
，则ω=2；
②若f ( x)在[0,2π)恰有9 个零点，则ω的取值范围为[
53
24 , 59
24)；
③存在ω∈(0,2)，使得f ( x)的图象向右平移π
6 个单位长度后得到的图象关于y轴对称；
④若f ( x)在[−π
6 ,π
3 )上是增函数，则ω的取值范围为(0,1]．
其中，判断正确的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【解题思路】首先对函数进行化简，然后分别针对每个判断，利用三角函数的周期、零点、对称轴以及单
调性等性质和条件列出式子求解，判断正确性.
【解答过程】根据二倍角余弦公式cos2α =cos
2α −sin
2α，对f (x)=sin
2(ωx +π
3 )−cos
2(ωx +π
3 )进行
化简可得：
f (x)=−cos(2ωx + 2π
3 )=sin(2ωx +π
6 ).
对于①：
已知f ( x1)=1，f ( x2)=−1，且| x1−x2|min=π
2 ，则T
2 =π
2 ，T为函数f ( x)的周期.
根据正弦函数周期公式T = 2π
2ω =π
ω ，由T
2 =π
2 可得π
2ω =π
2 ，解得ω=1，所以①错误.
对于②：
令f (x)=sin(2ωx +π
6 )=0，则2ωx +π
6 =k π（k ∈Z），解得x = k π
2ω −π
12ω（k ∈Z）.
若f ( x)在[0,2π)恰有9 个零点，令k =1,2,⋯,9，则{
9 π
2ω −
π
12ω ≤2π
10 π
2ω −
π
12ω >2π)
.
解第一个不等式9π
2ω −π
12ω ≤2π：
54π−π
12ω
≤2π，53π
12ω ≤2π，53π≤24 ωπ，解得ω≥53
24 .
解第二个不等式10 π
2ω −
π
12ω >2π：
60 π −π
12ω
>2π，59 π
12ω >2π，59 π >24 ω π，解得ω< 59
24 .
所以ω的取值范围是[ 53
24 , 59
24 )，②正确.
对于③：
f ( x)的图象向右平移π
6 个单位长度后得到y =sin[2ω(x−π
6 )+π
6 )=sin(2ωx −ωπ
3
+π
6 )的图象.
若该图象关于y轴对称，则−ωπ
3
+π
6 =π
2 +k π（k ∈Z），
−ωπ
3 = π
3 +kπ，ω=−1−3k（k ∈Z）。
当k =−1时，ω=2，不存在ω∈(0,2)满足条件，所以③错误。
对于④：
令−π
2 +2k π≤2ωx +π
6 ≤π
2 +2k π（k ∈Z），解关于x的不等式得：
−π
3ω + k π
ω ≤x ≤π
6ω + k π
ω （k ∈Z）.
若f (x)在[−π
6 ,π
3 )上是增函数，则{
−π
3ω ≤−π
6
π
6ω ≥π
3 )
解第一个不等式−π
3ω ≤−π
6 得：1
3ω ≥1
6，3ω≤6，ω≤2；
解第二个不等式π
6ω ≥π
3 得：1
6ω ≥1
3，6ω≤3，ω≤1
2，又ω>0，
所以ω的取值范围是(0, 1
2)，④错误.
综上，只有②正确，正确的个数是1 个，答案是A.
故选：A.
【题型5 函数的零点（方程的根）问题】
【例5】（2025·陕西咸阳·模拟预测）将函数f (x)=2sin(ωx −π
8 )（ω>0）图象上所有点的横坐标缩短
为原来的1
3，再向左平移π
12ω个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)在(0,π)上恰有2 个零点，则ω
的最大值为（ ）
A．5
8
B．19
24
C．23
24
D．9
8
【答案】C
【解题思路】现根据三角函数变换法则求得g(x)=2sin(3ωx +π
8 )，结合正弦函数的性质列不等式求解
即可.
【解答过程】由题知，g(x)=2sin[3ω(x +π
12ω)−π
8 )=2sin(3ωx +π
8 ).
当0< x<π时，π
8 <3ωx +π
8 <3ωπ +π
8 ，
因为g(x)在(0,π)上恰有2 个零点，所以2π<3ωπ+π
8 ≤3π，解得5
8 <ω≤23
24 .
故选：C.
【变式5-1】（2025·甘肃庆阳·三模）已知函数f (x)=sin(
π
2 x +φ)(|φ)≤π
4 )，将y = f (x)图象上所有的
点向左平移2
3个单位长度后得到的曲线关于y轴对称，则下列结论正确的是（ ）
A．y = f (x)在(0,1)上为增函数
B．φ =π
8
C．y = f (x)在(−1,2)上有两个零点
D．y = f (x)在(−1,2)上有无数个零点
【答案】C
【解题思路】通过平移后的对称性确定φ =π
6 ，进而得到f (x)=sin(
π
2 x +π
6 )，再结合选项逐个判断即
可.
【解答过程】f (x)=sin(
π
2 x +φ)向左平移2
3个单位长度可得：g(x)=sin(
π
2 x +π
3 +φ)，
因为得到的曲线关于y轴对称，
所以π
3 +φ=π
2 +k π，(k ∈Z)，又|φ)≤π
4 ，
所以取k =0，可得φ=π
6 ，B 错，
所以f (x)=sin(
π
2 x +π
6 )，
对于A：因为f(
2
3)=sin(
π
2 × 2
3 +π
6 )=sinπ
2 =1，
所以f (x)的图象关于x = 2
3对称，所以f (x)在(0,1)上不单调，A 错误；
对于C，由π
2 x +π
6 =k π得函数f (x)的零点为x =2k −1
3 ,k ∈Z，
令−1<2k −1
3 <2，解得−1
3 <k < 7
6 ，
所以k =0,1，即f (x)在(−1,2)上有两个零点，C 正确；D 错误，
故选：C.
【变式5-2】（2024·全国·模拟预测）函数f (x)=2sin(2 x +φ)(−π
2 <φ<π
2 )的图像关于点(
π
3 ,0)中心
对称，将函数f (x)的图像向右平移π
3 个单位长度得到函数g(x)的图像，则函数g(x)在区间[−π,π)内的
零点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解题思路】正弦函数的图像与性质、三角函数图像的平移变换
【解答过程】∵函数f (x)的图像关于点(
π
3 ,0)中心对称，∴f(
π
3 )=2sin(
2π
3 +φ)=0，∴
2π
3 +φ=k π,k ∈Z,
又−π
2 <φ<π
2 ,∴φ =π
3 ，则f (x)=2sin(2 x +π
3 )．
将函数f (x)的图像向右平移π
3 个单位长度得到函数g(x)=2sin(2 x−π
3 )的图像,
令2 x−π
3 =k π,k ∈Z，得x =π
6 + k π
2 ,k ∈Z ,∴函数g(x)在区间[−π,π)内的零点有
x =−5π
6 , x =−π
3 , x =π
6 , x = 2π
3 ，共4 个.
故选：D．
【变式5-3】（2024·陕西安康·模拟预测）将函数f (x)=sin x的图象向左平移π
6 个单位长度，再将所得函
数图象上所有点的横坐标变为原来的1
ω (ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数
φ(x)={
x
2+2 x , x ≤0
g(x), x>0 )在(−∞,3π)上有5 个零点，则ω的取值范围是（ ）
A．[
17
18 , 23
18)
B．(
17
18 , 23
18)
C．[
11
18 , 17
18)
D．(
11
18 , 17
18)
【答案】A
【解题思路】先利用三角函数图象的变换得出g(x)=sin(ωx +π
6 )，再根据二次函数的性质得出g(x)在
(0,3π)上有3 个零点，法一、利用整体思想及正弦函数的性质得其零点为x =
−π
6 +k π
ω
，根据定义域取
k值计算即可；法二、利用整体思想得3π≤3ωπ+π
6 <4π，解不等式即可.
【解答过程】将函数f (x)=sin x的图像向左平移π
6 个单位长度，
得到函数y =sin(x +π
6 )，再将函数y =sin(x +π
6 )的横坐标变为原来的1
ω (ω>0)倍，
纵坐标不变，得到函数g(x)=sin(ωx +π
6 )，
所以φ(x)={
x
2+2 x , x ≤0
g(x), x>0 )，因为当x ≤0时，φ(x)= x
2+2 x有2 个零点，
所以要使φ(x)在(−∞,3π]上有5 个零点，则需g(x)在(0,3π)上有3 个零点.
法一：令sin(ωx +π
6 )=0，则ωx +π
6 =k π,k ∈Z，
解得x =
−π
6 +k π
ω
,k ∈Z，当k =1,2,3时，分别对应3 个零点，
则{
−π
6 + 4π
ω
>3π
−π
6 +3π
ω
≤3π)
，解得17
18 ≤ω< 23
18.故选A.
法二：因为x∈(0,3π)，所以ωx +π
6 ∈(
π
6 ,3ωπ+π
6 )，
所以3π≤3ωπ+π
6 <4π，则17
18 ≤ω< 23
18.
故选:A.
【题型6 三角函数模型】
【例6】（2024·四川凉山·三模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢
地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设置48
个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近位置进仓，转一周大约需要
30min．某游客坐上摩天轮的座舱10min 后距离地面高度约为（ ）
A．92.5m
B．87.5m
C．82.5m
D．(
55 ❑√3
2
+65)m
【答案】A
【解题思路】以轴心O为坐标原点，与地面平行的直线为x轴建立平面直角坐标系，根据题意，求得函数
f (x)=55sin(π
15 x−π
2 )+65，令t =10时，即可求解.
【解答过程】设座舱距离地面的最近的位置为点P，以轴心O为原点，与地面平行的直线为x轴建立平面直
角坐标系，如图所示，
设函数f (x)= A sin(ωx +φ)+b( A >0,ω>0,|φ)≤π
2 )表示游客离底面的高度，
因为摩天轮的最高点距离地面为120 m，直径为110 m，且转一周大约需要30min，
周期T =30，A +b=120,−A +b=10，所以A =55,b=65,ω= 2π
T
=π
15，
即f (x)=55sin(π
15 x +φ)+65，
当t =0min时，游客在点P(0,−55)，其中以OP为终边的角为−π
2 ，
所以f (x)=55sin(π
15 x−π
2 )+65，
当t =10时，可得f (10)=55sin(2π
3 −π
2 )+65=55sinπ
6 +65=92.5 m
所以，摩天轮的座舱t =10后距离地面高度约为92.5 m.
故选：A.
【变式6-1】（2025·陕西榆林·模拟预测）交流电的瞬时值随时间周期性变化，正负号表示电流方向的交替
变化.电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数I = A sin(ωt +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π
2 )的图象如图所
示，则当t = 1
200秒时，电流强度是（ ）
A．−5安
B．5 安
C．−5 ❑√3安
D．5 ❑√3安
【答案】D
【解题思路】通过函数的图象求出A ,T，然后利用周期公式求出ω，将点(
1
300 ,10)代入表达式，即可求
出φ的值，得到函数解析式，代入t = 1
200秒，即可求出电流强度.
【解答过程】由图象得，电流的最大值和最小值分别为10 和−10，可得A =10.
由周期T = 1
50 = 2π
ω 得ω=100π，
再将点(
1
300 ,10)代入I =10sin(100πt +φ)，得sin(
π
3 +φ)=1，
所以π
3 +φ =π
2 +2k π, φ =π
6 +2k π,k ∈Z.
因为0<φ<π
2 ，所以k =0时， φ =π
6 ，所以I =10sin(100πt +π
6 ).
将t = 1
200代入得，I =10sin(
π
2 +π
6 )=5 ❑√3.
故选：D.
【变式6-2】（2024·山西·模拟预测）某质点的位移y (cm )与运动时间x (s)的关系式为
y =sin(ωx +φ)(ω>0,φ∈(−π,π))，其图象如图所示，图象与y轴交点坐标为(0,−
❑√3
2 )，与直线
y = 1
2的相邻三个交点的横坐标依次为π
6 ，7π
18 ，5π
6 ，则下列说法正确的是（ ）
A．ω= 4
B．φ=−2π
3
C．质点在[1, 3
2)s内的位移图象为单调递减
D．质点在[0, 7π
18 )s内走过的路程为(3−❑√3)cm
【答案】C
【解题思路】根据正弦函数周期求ω=3判断A，根据特殊点求解φ判断B，根据正弦函数的单调性判断
C，根据正弦函数值域判断D.
【解答过程】由已知函数图象得，函数的周期T = 5π
6 −π
6 = 2π
3 ，所以ω= 2π
T
=3，故A 错误；
令y = f (x)，所以f (x)=sin(3 x +φ)，又f (0)=−
❑√3
2 ，所以sinφ =−
❑√3
2 ，
因为φ∈(−π,π)，所以φ=−π
3 或−2π
3 .
又f(
π
6 )= 1
2，所以sin(
π
2 +φ)=cosφ = 1
2，所以φ=−π
3 .故B 错误；
由已知得f (x)图象相邻的两条对称轴分别为直线x =
π
6 + 7π
18
2
= 5π
18
，x =
7π
18 +5π
6
2
= 11π
18
，
且f (x)在[
5π
18 , 11π
18 )内单调递减，因为[1, 3
2)⊆[
5π
18 , 11π
18 )，
所以f (x)在[1, 3
2)上单调递减，故C 正确；
由图象得该质点在[0, 7π
18 )s内的路程为[1−(−
❑√3
2 ))+ 1
2 = 3+ ❑√3
2
cm，故D 错误.
故选：C.
【变式6-3】（2024·四川成都·二模）筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，唐
陈廷章《水轮赋》：“水能利物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之程.始崩腾以电散，俄宛转以
风生.虽破浪于川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声.”如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分
钟转一圈，筒车的轴心O 距离水面的高度为2m.在筒车转动的一圈内，盛水筒P 距离水面的高度不低于4 m
的时间为（ ）
A．9 秒
B．12 秒
C．15 秒
D．20 秒
【答案】D
【解题思路】画出示意图，结合题意和三角函数值可解出答案.
【解答过程】假设A ,O ,B所在直线垂直于水面，且AB = 4米，如下示意图，
由已知可得OA =OB =2,OP =O P1= 4，
所以cos∠P1OB = OB
O P1
= 1
2 ⇒∠P1OB =60°，处在劣弧
´
P1 P1时高度不低于4米，
转动的角速度为360°
60 =6°/每秒，
所以水筒P 距离水面的高度不低于4 m的时间为120
6 =20秒，
故选：D.
【题型7 函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用】
【例7】（2025·河北邢台·三模）已知函数f ( x)=sin 2 x +acos2 x的图象过点(0,❑√3)，将f ( x)的图象向
右平移π
12个单位长度后，得到函数g( x)的图象，则g( x)的图象的对称轴为（ ）
A．x =π
3 + k π
2 ，k ∈Z
B．x =π
6 + k π
2 ，k ∈Z
C．x = 5π
6 +k π，k ∈Z
D．x = 13π
12 +k π，k ∈Z
【答案】B
【解题思路】根据题意先求a，再利用三角恒等变换化简，最后由图像的变换得g(x)即可求解.
【解答过程】因为函数f ( x)=sin 2 x +acos2 x的图象过点(0,❑√3)，所以a= ❑√3，
所以f ( x)=sin 2 x + ❑√3cos2 x =2(
1
2 sin 2 x +
❑√3
2 cos2 x)=2sin(2 x +π
3 )，
将其图象向右平移π
12个单位长度得到g( x)=2sin(2 x +π
6 )的图象，
令2 x +π
6 =π
2 +k π，k ∈Z，解得x =π
6 + k π
2 ，k ∈Z.
故选：B.
【变式7-1】（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数f ( x)=asin bx−cosbx(a>0,b>0)在区间(
π
18 , 2π
9 )
上单调递增，在区间(
2π
9 , 5π
9 )上单调递减，且f(
7 π
18)=0.若将f ( x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长
度后所得函数的图象关于y轴对称，则φ的最小值为（ ）
A．π
18
B．π
9
C．2π
9
D．π
3
【答案】C
【解题思路】由题意，利用辅助角公式得f ( x)=
❑√a
2+1sin(bx +θ)，其中tanθ =−1
a.根据题设知，
x = 2π
9 为f ( x)图象的一条对称轴，结合f(
7π
18 )=0可求得θ =−π
6 ，a= ❑√3，b=3，再根据
f ( x +φ)=2sin(3 x +3φ−π
6 )关于y轴对称，得到φ = 2π
9 + k1π
3
，k1∈Z，从而求得φ的最小值.
【解答过程】由题意，知f ( x)=asin bx−cosbx =
❑√a
2+1sin(bx +θ)，其中tanθ =−1
a.
因为f ( x)在区间(
π
18 , 2π
9 )上单调递增，在区间(
2π
9 , 5π
9 )上单调递减，
所以x = 2π
9 为f ( x)图象的一条对称轴，所以b× 2π
9 +θ =π
2 +2k π，k ∈Z.
又f(
7π
18 )=0，所以b× 7π
18 +θ =π+2k π，k ∈Z，解得θ =−π
6 +2k π，a= ❑√3，b=3，
所以f ( x)=2sin(3 x−π
6 ).将f ( x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后，
得到f ( x +φ)=2sin(3 x +3φ−π
6 )的图象.
由f ( x +φ)的图象关于y轴对称，得3φ−π
6 =π
2 (2k1+1)，k1∈Z，
所以φ= 2π
9 + k1π
3
，k1∈Z，
所以φ的最小值为2π
9 .
故选：C.
【变式7-2】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数f ( x)=sin
2(x +π
3 )+cos
2 x，g(x)=sin x.
(1)求函数f ( x)的最小正周期和对称中心；
(2)将函数f ( x)图象向右平移π
6 个单位，再将图象向下平移1 个单位，再将图象上每一点的横坐标不变，
纵坐标变为原来的8 ❑√3
3
倍得到函数ℎ( x)的图象，并设F (x)=ℎ(x)+t(g(x)+ g(x +π
2 )).若F( x)>0在
[0,π
2 )上有解，求实数t的取值范围.
【答案】(1)最小正周期为π，对称中心的坐标为(
k π
2 −π
6 ,1),k ∈Z
(2)(−2❑√2,+∞)
【解题思路】（1）通过三角恒等变换化简f (x)=1+
❑√3
2 sin(2 x +π
3 )，进一步由周期公式以及整体代入
法可得对称中心；
（2）通过化简得到F (x)= 4sin2 x +t (sin x +cos x)>0，分离参数可得
m>2❑√2[
1
sin(x +π
4 )
−2sin(x +π
4 ))
，进一步由换元法即可求解.
【解答过程】（1）f ( x)=
1−cos(2 x + 2π
3 )
2
+ 1+cos2 x
2
=
1+ 1
2 cos2 x +
❑√3
2 sin 2 x
2
+ 1+cos2 x
2
=1+
❑√3
4 sin 2 x + 3
4 cos2 x =1+
❑√3
2 sin(2 x +π
3 ) ，
则f (x)的最小正周期为：T =π，
∵2 x +π
3 =k π,k ∈Z，∴x = k π
2 −π
6 ,k ∈Z，
所以f (x)的对称中心的坐标为：(
k π
2 −π
6 ,1),k ∈Z；
（2）由题意可知，将函数f (x)=1+
❑√3
2 sin(2 x +π
3 )的图像向右平移π
6 个单位得到
y =1+
❑√3
2 sin(2( x−π
6 )+π
3 )=1+
❑√3
2 sin 2 x，
再向下平移1 个单位得到y =
❑√3
2 sin 2 x，
再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的8 ❑√3
3
倍得到ℎ( x)=
❑√3
2 × 8 ❑√3
3
sin 2 x = 4 sin 2 x
即ℎ( x)= 4sin2 x，
F (x)= 4sin2 x +t (sin x +cos x)>0，
∵x∈[0,π
2 ),∴sin x +cos x>0，
可得t > −4 sin 2 x
sin x +cos x =
4 cos(2 x +π
2 )
❑√2sin( x +π
4 )
=
2❑√2[1−2sin
2( x +π
4 )]
sin( x +π
4 )
=2❑√2[
1
sin(x +π
4 )
−2sin(x +π
4 ))
，
令m=sin(x +π
4 )∈[
❑√2
2 ,1)，
φ(m)=2❑√2(
1
m −2m)在[
❑√2
2 ,1]上单调递减，
所以φ(m)min=φ(1)=−2❑√2，
F (x)>0在[0,π
2 )上有解，需t >φ(m)min，
∴t >−2❑√2，
t的取值为(−2❑√2,+ ∞).
【变式7-3】（2024·山西·模拟预测）已知函数f ( x)=sin
4 x +2sin x cos x−cos
4 x.
(1)若α ∈(0,π
2 )，f(
α
2)=
❑√2
3 ，求cos(α +π
12)的值；
(2)将函数f ( x)的图象向右平移π
24 个单位长度，得到函数g( x)的图象，再将函数g( x)图象上各点的横坐
标变为原来的1
ω (ω>0)（纵坐标不变），得到函数ℎ( x)的图象，若ℎ( x)在区间[
π
4 ,π
2 )上没有零点，
求ω的取值范围.
【答案】(1)2❑√2−❑√3
6
(2)(0, 1
3)∪(
2
3 , 4
3)
【解题思路】（1）根据三角恒等变换化简函数表达式，进一步由题意得sin(α −π
4 )= 1
3、
cos(α −π
4 )= 2❑√2
3
，结合两角和的余弦公式即可求解；
（2）首先根据函数平移伸缩变换法则求得ℎ(x)的表达式，根据题意列出不等式组即可求解.
【解答过程】（1）由题意知f ( x)=sin
4 x +2sin x cos x−cos
4 x =sin 2 x +(sin
2 x−cos
2 x)(sin
2 x +cos
2 x)
=sin 2 x−cos2 x = ❑√2sin(2 x−π
4 )，
因为f(
α
2)= ❑√2sin(α −π
4 )=
❑√2
3 ，
所以sin(α −π
4 )= 1
3，令α −π
4 =t，则α =t +π
4 ，sint = 1
3，
因为α ∈(0,π
2 )，所以t ∈(−π
4 ,π
4 )，
由sin
2t +cos
2t =1，得cos
2t = 8
9，所以cost = 2❑√2
3
，
所以cos(α +π
12)=cos(t +π
4 +π
12)=cos(t +π
3 )=cost cosπ
3 −sin t sinπ
3
= 2❑√2
3
× 1
2 −1
3 ×
❑√3
2 = 2❑√2−❑√3
6
.
（2）将函数f ( x)的图象向右平移π
24 个单位长度，得到g( x)= ❑√2sin[2(x−π
24)−π
4)= ❑√2sin(2 x−π
3)
，
将函数g( x)图象上各点的横坐标变为原来的1
ω (ω>0)（纵坐标不变），
得到函数ℎ( x)= ❑√2sin(2ωx −π
3 ).
令ℎ( x)=0，得2ωx −π
3 =k π(k ∈Z )，解得x =π
6ω + k π
2ω (k ∈Z )，
又ℎ( x)在区间[
π
4 ,π
2 )上没有零点，所以{
π
6ω + k π
2ω <π
4
π
6ω + (k +1)π
2ω
>π
2
(k ∈Z))
，
解得2
3 +2k <ω< 4
3 +k，k ∈Z，又ω>0，
所以当k =−1时，0<ω< 1
3；当k =0时，2
3 <ω< 4
3 ，
即ω的取值范围是(0, 1
3)∪(
2
3 , 4
3).
一、单选题
1．（2025·湖南长沙·三模）将函数f ( x)=sin(ωx +π
3 )(ω>0)的图象向左平移π
6 个单位得到的函数图象
关于y轴对称，则ω的值可以为（ ）
A．1
2
B．1
C．2
D．5
【答案】B
【解题思路】利用三角函数平移规律得到函数y =sin(ωx +π
6 ω+π
3 )，由函数图象关于y轴对称，推出
函数为偶函数，求得ω=1+6 k(k ∈Z )，结合选项即得.
【解答过程】函数f ( x)=sin(ωx +π
3 )(ω>0)的图象向左平移π
6 个单位得到的函数为：
y =sin(ωx +π
6 ω+π
3 )，
依题意，函数y =sin(ωx +π
6 ω+π
3 )是偶函数，故π
6 ω+π
3 =π
2 +k π(k ∈Z )，
解得ω=1+6k(k ∈Z )，又ω>0，结合选项，可得ω可以取1．
故选：B.
2．（2024·北京·模拟预测）将y =sin x的图象变换为y =sin(3 x−π
6 )的图象，下列变换正确的是（ ）
A．将图象上点的横坐标变为原来的1
3倍，再将图象向右平移π
6 个单位
B．将图象上点的横坐标变为原来的3 倍，再将图象向右平移π
18 个单位
C．将图象向右平移π
6 个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的1
3倍
D．将图象向右平移π
6 个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的3 倍
【答案】C
【解题思路】根据三角函数的图象变换进行选择.
【解答过程】由y =sin x的图象变换为y =sin(3 x−π
6 )的图象，有以下两种思路：
（1）先将y =sin x的图象向右平移π
6 个单位，得y =sin(x−π
6 )的图象，
再把所得函数图象上任一点的横坐标变为原来的1
3，纵坐标不变，
得y =sin(3 x−π
6 )的图象，故C 正确，D 错误；
（2）先将y =sin x的图象上任一点的横坐标变为原来的1
3，纵坐标不变，
得y =sin3 x的图象，再把所得函数图象向右平移π
18个单位，
得y =sin3(x−π
18) =sin(3 x−π
6 )的图象，故AB 错误.
故选：C.
3．（2025·广东佛山·三模）将函数f (x)= 4 cos(2 x +π
3 )的图象向右平移π
3 个单位长度，得到函数g(x)
的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．g(x)是奇函数
B．g(x)的图象关于直线x =π
12对称
C．g(x)在[−π
6 ，π
3 )上的值域为[−2，4) D．g(x)在[0，π
2 )上单调递增
【答案】C
【解题思路】首先根据平移规律求函数g(x)的解析式，根据奇函数的性质，判断A，利用代入法，判断
BCD.
【解答过程】由题意知g(x)= 4cos(2 x−π
3 ),g(x)不是奇函数，故A 错误．
g(
π
12)= 4cos(−π
6 )=2❑√3≠± 4 ,g(x)不关于直线x =π
12对称，故B 错误．
由x∈[−π
6 ,π
3 )，得2 x−π
3 ∈[−2π
3 ,π
3 )，则4cos(2 x−π
3 )∈[−2,4)，故C 正确．
当x∈[0,π
2 )时，2 x−π
3 ∈[−π
3 , 2π
3 )，而y =cos x在[−π
3 , 2π
3 )上不单调，
所以g(x)在[0,π
2 )上不单调，故D 错误．
故选：C.
4．（2025·河南·模拟预测）将函数f ( x)= ❑√3sin 2 x−cos2 x图象上所有点的横坐标变为原来的1
ω (ω>0)
，纵坐标不变，得到函数g( x)的图象，若g( x)在(0,π
3 )上单调，则ω的取值范围为（ ）
A．(0,1]
B．(0, 1
2)
C．[1,+ ∞)
D．[
1
2 ,+ ∞)
【答案】A
【解题思路】利用正弦函数的单调性来确定参数ω的取值范围.
【解答过程】f ( x)= ❑√3sin 2 x−cos2 x =2sin(2 x−π
6 )，则g( x)=2sin(2ωx −π
6 )．
由0< x<π
3 ，得−π
6 <2ωx−π
6 < 2ωπ
3
−π
6 ．
因为g( x)在(0,π
3 )上单调，所以2ωπ
3
−π
6 ≤π
2 ，得0<ω≤1．
故选：A.
5．（2025·陕西咸阳·模拟预测）音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是
每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某条葫芦曲线的方程为
|y)=(2−1
2[
2 x
π ))|sinωx)(0≤x ≤2π)，其中[x)表示不超过x的最大整数，如[−2.1)=−3,1<ω≤3且
ω∈Z，且经过点M(
5
4 π,1)，则该条葫芦曲线与直线x = 5
3 π交点的纵坐标为（ ）
A．±
❑√3
2
B．±
❑√2
2
C．±
❑√3
4
D．±
❑√2
4
【答案】C
【解题思路】将点M(
5
4 π,1)代入葫芦曲线的方程可得ω=2，再代入x = 5
3 π即可得解.
【解答过程】将点M(
5
4 π,1)代入葫芦曲线的方程可得(2−1
2[
5
2))|sin 5π
4 ω)=1，即|sin 5π
4 ω)=1
，
由0<ω≤3，ω∈Z，可得ω=2，因此曲线方程为|y)=(2−1
2[
2 x
π ))|sin2 x)，
当x = 5
3 π时，可得
|y)=(2−1
2[
2× 5
3 π
π
))|sin(2× 5
3 π))=(2−1
2[
10
3 ))|sin 10
3 π)= 1
2|sin 4π
3 )=
❑√3
4
，
所以交点的纵坐标为±
❑√3
4 .
故选：C.
6．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，将函数f (x)= 4 sin (ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)的图象向左平移得到
g(x)= 4 sin ωx的图象，其中点A 是g(x)图象上的最高点，N , M分别是f (x)，g(x)的图象与x 轴的相邻交
点（如图所示），若| MN |=| AM |，△AMN的面积为10，则f (x)=（ ）
A．4sin(
π
6 x−5π
6 )
B．4sin(
π
6 x + 5π
6 )
C．4sin(
π
3 x−π
3 )
D．4sin(
π
6 x−π
3 )
【答案】A
【解题思路】设图象向左平移最小θ(θ>0)个单位，得到ωθ+φ =0，再结合三角形△AMN的面积及
| MN |=| AM |，列出等式求解ω,φ即可.
【解答过程】函数f (x)= 4 sin (ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)的图象向左平移最小θ(θ>0)个单位得到
g(x)= 4 sin ωx，
则4 sin[ω(x +θ)+φ)= 4 sin (ωx +ωθ+φ)= 4 sin ωx，
又ω>0,|φ|<π，
所以ωθ+φ =0，即θ = −φ
ω ，
所以| MN |= −φ
ω ，
三角形△AMN的面积1
2 × −φ
ω ×4 =10，
即φ
ω =−5，
又函数的周期为2π
ω ，
所以| AM |= ❑√
16+(
π
2ω)
2
= −φ
ω ，联立φ
ω =−5，
解得：ω=π
6 ,φ=−5π
6 ，
所以f (x)= 4sin(
π
6 x−5π
6 )，
故选：A.
7．（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）函数f ( x)=2sin(2ωx +π
3 )(0<ω<1)的图象如图所示，将其向左
平移π
6 个单位长度，得到y = g( x)的图象，则下列说法错误的是（ ）
A．ω= 1
2
B．函数f ( x)的图象关于点(−π
3 ,0)对称
C．函数y = g( x)的图象关于直线x =π
4 对称
D．函数y = g(2 x +π
3 )在[−π
9 ,π
9 )上单调递减
【答案】C
【解题思路】利用函数f ( x)的图象过点(
π
6 ,2)，代入解析式中即可求得ω的值，判断A 选项；根据ω的
值可写出函数f ( x)的解析式，再写出对称中心即可判断B 选项；通过图象平移得到y = g( x)的解析式，进
而可求得对称轴，判断C 选项；利用y = g( x)的解析式写出y = g(2 x +π
3 )的解析式，可判断单调性.
【解答过程】对于A 选项，由图可知，函数f ( x)的图象过点(
π
6 ,2)，
∴f(
π
6 )=2sin(
ωπ
3
+π
3 )=2，∴sin(
ωπ
3
+π
3 )=1，
∴ωπ
3
+π
3 =π
2 +2k π,k ∈Z，解得ω= 1
2 +6k ,k ∈Z，
∵0<ω<1，∴ω= 1
2，故A 正确；
对于B 选项，f ( x)=2sin(x +π
3 )，令x +π
3 =k π,k ∈Z，则x =−π
3 + k π,k ∈Z，
∴f (x)的图象关于(−π
3 +k π,0) (k ∈Z)对称，
当k =0时，函数f (x)关于(−π
3 ,0)对称，故B 正确；
对于C 选项，将f (x)向左平移π
6 个单位长度，得到g(x)=2sin(x +π
6 +π
3 )=2sin(x +π
2 )=2cos x，
则g(x)的对称轴为x =k π,k ∈Z，故C 错误；
对于D 选项，函数y = g(2 x +π
3 )=2cos(2 x +π
3 )，
当x∈[−π
9 ,π
9 )时，2 x +π
3 ∈[
π
9 ,5π
9 )⊆[0,π)，
∴函数y = g(2 x +π
3 )在[−π
9 ,π
9 )上单调递减，故D 正确.
故选：C.
8．（2025·辽宁大连·模拟预测）将函数f ( x)=2sin(2 x +π
6 )图象上所有点的横坐标变为原来的2 倍，纵
坐标不变，得到函数g( x)的图象，则（ ）
A．g( x)的最小正周期为4π
B．g(x +π
3 )为奇函数
C．g(x−π
2 )在(
π
3 , 2π
3 )上单调递增D．函数y = f ( x)−g( x)在[0,2π]上有6 个零点
【答案】C
【解题思路】首先根据题意先求出图象变换后的函数解析式，然后根据正弦函数余弦函数的性质对选项逐
一判断.
【解答过程】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2 倍，纵坐标不变，得到：
g(x)=2sin(2· 1
2 x + π
6)=2sin(x + π
6).
根据正弦函数的性质可知，最小正周期T =2π，所以A 错误.
g(x + π
3)=2sin(x + π
3 + π
6)=2sin(x + π
2)=2cos x，则g(x + π
3)为偶函数，所以B 错误.
g(x−π
2)=2sin(x−π
2 + π
6)=2sin(x−π
3)，
当π
3 < x< 2π
3 时，0< x−π
3 < π
3 ，此时函数g(x−π
2)单调递增，所以C 正确.
y = f (x)−g(x)=2sin(2 x + π
6)−2sin(x + π
6)，令y =0，则
sin(2 x + π
6)−sin(x + π
6)=0，化简得：sin(2 x + π
6)=sin(x + π
6).
所以2 x + π
6 = x + π
6 +2k π ,k ∈Z或x + π
6 +2 x + π
6 = π +2k π ,k ∈Z.
解得x =2k π ,k ∈Z或x = 2π
9 + 2kπ
3
,k ∈Z.
k =0时，x =0或x = 2π
9 ；k =1时，x =2π或8 π
9 ；k =2时，x = 14 π
9
.
所以y在[0,2π )上有5 个零点，所以D 错误.
故选：C.
二、多选题
9．（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数f ( x)= A sin(ωx +φ)( A >0,ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所
示，则（ ）
A．ω=2
B．φ=π
3
C．直线x = 17π
12 是函数f ( x)图象的一条对称轴
D．f ( x)在[−π
6 ,π
4 )的值域为[−1,2]
【答案】ACD
【解题思路】根据函数图象可确定A ,ω的值，利用特殊点代入函数解析式确定φ，即可得到函数解析式，
判断A，B；将x = 17π
12 代入验证，可判断C；利用正弦函数的值域可判断D.
【解答过程】由图象知A =2 ， 2π
ω =2(5π
12 +π
12 ) 解得ω=2 ，A 正确；
将x =−π
12代入f (x)中得2sin(2×−π
12 +φ)=2，则 −2×π
12 +φ=2k π+π
2 (k ∈Z)，
因为0<φ<π, φ =2π
3
,∴f ( x)=2sin(2 x +2π
3 ) ，B 错误；
将x =17π
12 代入f (x)中得2sin(2×17π
12 +2π
3 )=2sin21π
6
=2sin9π
6 =−2，直线x = 17π
12 是函数
f ( x)图象的一条对称轴，C 正确；
因为x∈[−π
6 ,π
4 ),2 x + 2π
3 ∈[
π
3 ,7π
6 )，所以sin(2 x +2π
3 )∈[−1
2 ,1)，
即f ( x)=2sin(2 x +2π
3 )∈[−1,2)，D 正确，
故选：ACD.
10．（2025·福建·模拟预测）已知函数f (x)=sinωx −❑√3cosωx (ω>0)的最小正周期为π，则（ ）
A．f (x)的最小值为−2
B．f (x)在(−π
12 ,π
6 )上单调递增
C．直线x =π
6 是f (x)的图象的对称轴
D．f (x)的图象可由y =2cos2 x的图象向左平移7π
12 个单位得到
【答案】ABD
【解题思路】利用正弦型函数的基本性质可求出函数f (x)的解析式，利用正弦型函数的最值可判断A 选
项；利用正弦型函数的单调性可判断B 选项；利用正弦型函数的对称性可判断C 选项；利用三角函数图象
变换可判断D 选项.
【解答过程】因为f (x)=sinωx −❑√3cosωx =2sin(ωx −π
3 )，最小正周期为π，所以ω=2，
即f (x)=2sin(2 x−π
3 ).
对于A，由于−1≤sin(2 x−π
3 )≤1，所以f (x)=2sin(2 x−π
3 )的最小值为−2，A 正确；
对于B，当x∈(−π
12 ,π
6 )时，(2 x−π
3 )∈(−π
2 ,0)，
所以f (x)在(−π
12 ,π
6 )上单调递增，B 正确；
对于C，因为x =π
6 时，f(
π
6 )=0，所以C 不正确；
对于D，由y =2cos[2(x + 7π
12 ))=2cos(2 x + 7π
6 )
=−2cos(2 x +π
6 )=2sin[(2 x +π
6 )−π
2 )=2sin(2 x−π
3 )，所以D 正确.
故选：ABD.
11．（2025·山东泰安·模拟预测）将函数f ( x)=3sin(
2π
3 −2 x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2，
纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的为（ ）
A．函数y = f(x−π
6 )为偶函数
B．直线x = 19
24 π是函数g(x)图象的一条对称轴
C．若x∈(0,π
4 )，则g(x)的值域为(−3 ❑√3
2
,3)
D．[−17π
24 ,−11π
24 )是函数g(x)的一个单调递减区间
【答案】BC
【解题思路】首先根据三角函数的变换规则得到g(x)的解析式，再根据余弦函数的性质一一判断即可.
【解答过程】因为函数f ( x)=3sin(
2π
3 −2 x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2倍，纵坐标不变，
得到函数g( x)的图象，所以g( x)=3sin(
2π
3 −4 x)=3cos(4 x−π
6 ).
对于A：ℎ( x)= f(x−π
6 )=3sin[
2π
3 −2(x−π
6 ))=3sin (π−2 x)=3sin 2 x，
因为ℎ(−x)=3sin (−2 x)=−3sin 2 x =−ℎ(x)，所以函数ℎ( x)= f(x−π
6 )为奇函数，故A 不正确；
对于B: g(
19
24 π)=3cos(4× 19
24 π−π
6 )=−3，
所以当x = 19
24 π时，函数g( x)有最小值，所以直线x = 19
24 π是函数g( x)图象的一条对称轴，故B 正确；
对于C: g( x)=3cos(4 x−π
6 )，由x∈(0,π
4 )，则4 x−π
6 ∈(−π
6 , 5π
6 )，
cos(4 x−π
6 )∈(−
❑√3
2 ,1)，
所以g( x)∈(−3 ❑√3
2
,3)，故C 正确；
故于D：当x∈[−17π
24
,−11π
24 )时，4 x−π
6 ∈[−3π,−2π)，
因为函数y =3cos x在[−π,0)上单调递增，所以在[−3π,−2π)上也单调递增，
所以[−17π
24 ,−11π
24 )是函数g( x)的一个单调递增区间，故D 不正确.
故选：BC.
三、填空题
12．（2025·上海·三模）如图是函数f (x)= A sin(ωx +φ)(A ,ω>0,|φ)<π
2 )的图象，则ω的值为 .
【答案】2
【解题思路】由函数的图象可求得最小正周期为T =π，进而可求得ω.
【解答过程】因为f (x)的图象过点(0,−1),(
π
6 ,1),(
π
2 ,1)，所以T
2 =π
2 ，所以T =π，
所以2π
ω =π，解得ω=2.
故答案为：2.
13．（2025·上海浦东新·模拟预测）把函数y =cos x图象上所有点的横坐标变为原来的1
2倍（纵坐标不
变），再将图象上所有的点向右平移π
6 个单位长度，得到函数y = f (x)的图像，则f (x)= .
【答案】cos(2 x−π
3 )
【解题思路】根据三角函数图象的伸缩以及平移变换规律，即可求得答案.
【解答过程】函数y =cos x图象上所有点的横坐标变为原来的1
2倍（纵坐标不变），可得y =cos2 x，
再将图象上所有的点向右平移π
6 个单位长度，可得y =cos2(x−π
6 )=cos(2 x−π
3 )，
即f (x)=cos(2 x−π
3 )
故答案为：cos(2 x−π
3 ).
14．（24-25 高三下·上海静安·期中）设某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数近似满足
y =ℎ+ A sin (ωt +φ)．根据某一天的测量，港口水的深度在早上3 点达到最大值18 米，之后持续减少，
并在上午9 点达到最小值14 米．则该港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数的近似表达式为
．
【答案】y =2sinπ
6 t +16
【解题思路】根据函数的最值求出ℎ, A和周期，进而可求出ω，再利用待定系数法求出φ即可.
【解答过程】由题意可知{
ℎ+ A =18
ℎ−A =14)，解得{
ℎ=16
A =2 )，
T
2 =6，所以T = 2π
ω =12，所以ω=π
6 ，
所以y =16+2sin(
π
6 t +φ)，
又当t =3时，函数取得最大值18，
所以sin(
π
2 +φ)=1，所以π
2 +φ =π
2 +2k π,k ∈Z，所以φ =2k π,k ∈Z，
所以y =16+2sin(
π
6 t +2k π)=2sinπ
6 t +16.
故答案为：y =2sinπ
6 t +16.
四、解答题
15．（2025·云南昆明·模拟预测）小明同学用“五点法”作函数f (x)= A cos(ωx +φ)(ω>0,|φ)<π
2 )在某
一周期内的图象时，列表并填入部分数据如下表：
x
π
3
4π
3
7π
3
ωx +φ
0
π
2
π
3π
2
2π
f (x)
0
−2
0
2
(1)求f (x)的解析式，并说明函数y = f (x)的图象由y =2cos x的图象经过怎样的变换得到？
(2)解不等式f (x)≤1.
【答案】(1)f (x)=2cos(
1
2 x +π
3 )，答案见解析
(2)[4 k π,4 k π+ 8π
3 ),k ∈Z.
【解题思路】（1）由五点作图，构造等式，A =2,{
π
3 ω+φ =π
2
4π
3
ω+φ =π)
，求解即可，结合伸缩平移变换即可
求解；
（2）由余弦函数的单调性得到2k π+π
3 ≤1
2 x +π
3 ≤2k π+ 5π
3 ,k ∈Z，即可求解.
【解答过程】（1）由表格知A =2,{
π
3 ω+φ =π
2
4π
3
ω+φ =π)
，解得ω= 1
2 ,φ =π
3 ，
所以f (x)=2cos(
1
2 x +π
3 ).
先把函数y =2cos x的图象向左平移π
3 个单位，得到y =2cos(x +π
3 )的图象；
然后使曲线上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2 倍，
得到函数f (x)=2cos(
1
2 x +π
3 )的图象.
（2）由（1）可得2cos(
1
2 x +π
3 )≤1，
解得cos(
1
2 x +π
3 )≤1
2，
所以2k π+π
3 ≤1
2 x +π
3 ≤2k π+ 5π
3 ,k ∈Z，
解得4 k π≤x ≤4 k π+ 8π
3 ,k ∈Z，
所以不等式f (x)≤1的解集为[4 k π,4 k π+ 8π
3 ),k ∈Z.
16．（2025·全国·二模）已知函数f (x)=sin(ωx +φ)(ω>0,π
2 <φ<π)的部分图象如图所示，图象与y
轴的交点为(0,
❑√3
2 )，且f (x)在区间(0,π)上恰有一个极大值和一个极小值.
(1)求φ的值及ω的取值范围；
(2)若ω是整数，将f (x)的图象向右平移11π
24 个单位长度得到g(x)的图象，求
ℎ(x)= g(x−π
8 )+ g(
1
2 x +π
8 )的最大值.
【答案】(1)φ=2π
3 ，ω∈(
11
6 ,17
6 )；
(2)2
【解题思路】（1）将(0,
❑√3
2 )代入解析式，求出φ=2π
3 ，并求出ωx +2π
3 ∈(
2π
3 ,ωπ+2π
3 )，数形
结合得到不等式，求出ω的取值范围；
（2）在（1）基础上，得到ω=2，求出平移后的解析式，得到ℎ(x)=2(sin x + 1
4)
2
−9
8，结合
sin x∈[−1,1)求出最大值.
【解答过程】（1）将(0,
❑√3
2 )代入解析式得sinφ =
❑√3
2 ，
又π
2 <φ<π，故φ =2π
3 ，又ω>0，当x∈(0,π)时，ωx +2π
3 ∈(
2π
3 ,ωπ+2π
3 )，
因为f (x)在区间(0,π)上恰有一个极大值和一个极小值，
故ωπ+2π
3 ∈(
5π
2 ,7π
2 )，解得ω∈(
11
6 ,17
6 )；
（2）ω是整数，又ω∈(
11
6 ,17
6 )，故ω=2，所以f (x)=sin(2 x +2π
3 )，
f (x)的图象向右平移11π
24 个单位长度得到g(x)=sin(2 x−11π
12 +2π
3 )=sin(2 x−π
4 )，
所以ℎ(x)= g(x−π
8 )+ g(
1
2 x +π
8 )=sin(2 x−π
4 −π
4 )+sin[2(
1
2 x +π
8 )−π
4 )，
=sin(2 x−π
2 )+sin x =−cos2 x +sin x =2sin
2 x +sin x−1=2(sin x + 1
4)
2
−9
8 ，
又sin x∈[−1,1)，故当sin x =1，即x =π
2 +2k π,k ∈Z时，
ℎ(x)=2(sin x + 1
4)
2
−9
8 取得最大值，最大值为2×(1+ 1
4)
2
−9
8 =2.
17．（2024·山西·模拟预测）已知函数f (x)= A sin(ωx +φ)( A >0,ω>0,0≤φ<π)的部分图象如图所示.
(1)求函数f (x)的解析式及其对称轴方程；
(2)由函数f (x)的图象经过怎样的平移变换能得到函数g(x)=sin(x +π
6 )的图象？当x∈[0,π
2 )时，求
g(x)的值域.
【答案】(1)f ( x)=sin x，对称轴方程为x =π
2 +k π,k ∈Z
(2)将函数f (x)的图象向左平移π
6 个单位，[
1
2 ,1)
【解题思路】（1）结合图象，由f (x)的最大值与周期求得A ,ω，再代入特殊点求得φ，从而求得f (x)的解
析式，进而求得其对称轴方程；
（2）利用三角函数图象的平移规则解决第一问，再利用整体法，结合正弦函数的性质，求得g(x)的值
域，从而得解.
【解答过程】（1）由图象与A >0知，A =1，设f (x)的最小正周期为T，
则1
4 T =π
2 −0=π
2 ，又ω>0，则T =2π= 2π
ω ，解得ω=1，
则f (x)=sin (x +φ)，又f (x)的图象经过点(
π
2 ,1)，故得sin(
π
2 +φ)=1，
则π
2 +φ =π
2 +2k π,k ∈Z，故φ =2k π,k ∈Z，又0≤φ<π，得φ =0，
所以f ( x)=sin x，故其对称轴方程为x =π
2 +k π,k ∈Z.
（2）将函数f ( x)=sin x的图象向左平移π
6 个单位
可得g(x)=sin(x +π
6 )的图象，
当x∈[0,π
2 )时，π
6 ≤x +π
6 ≤2π
3 ，
所以1
2 ≤sin(x +π
6 )≤1，即g(x)的值域为[
1
2 ,1).
18．（2024·海南·模拟预测）已知函数f (x)= A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ)<π
2 )的部分图象如图所示，
点P(0,−1)，Q(
7π
12 ,0)
(1)求f (x)的解析式；
(2)将f (x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2 倍，再将所得图象向左平移π
3 个单位长
度，得到g(x)的图象，求g(x)在区间[−π
2 ,0)上的最值.
【答案】(1)f (x)=2sin(2 x−π
6 )
(2)最小值为−❑√3，最大值为1
【解题思路】（1）由图象可得A =2，代入P(0,−1)求出φ =−π
6 ，由Q(
7π
12 ,0)，结合图象可得
7πω
12
−π
6 =π，求出ω=2，求出函数解析式；
（2）根据伸缩和平移变换得到g(x)=2sin(x +π
6 )，整体法求出函数在[−π
2 ,0)上的最值.
【解答过程】（1）由图象知A =2.
因为f (x)的图象过点P(0,−1)，所以2sinφ =−1，
又|φ)<π
2 ，所以φ =−π
6 ，所以f (x)=2sin(ωx −π
6 ).
又f (x)的图象过点Q(
7π
12 ,0)，由“五点作图法”可得7πω
12
−π
6 =π，
所以ω=2.所以f (x)=2sin(2 x−π
6 ).
（2）由题意知g(x)=2sin[(x +π
3 )−π
6 )=2sin(x +π
6 )，
当x∈[−π
2 ,0)时，x +π
6 ∈[−π
3 ,π
6 )，
所以sin(x +π
6 )∈[−
❑√3
2 , 1
2)，
则2sin(x +π
6 )∈[−❑√3,1)，
所以g(x)在区间[−π
2 ,0)上的最小值为−❑√3，最大值为1.
19．（2025·北京石景山·一模）已知函数f (x)= A sin (ωx +φ)（其中A >0，ω>0，|φ)<π
2 ）．从条件
①、条件②、条件③这三个条件中选出两个作为已知，使得函数f (x)唯一确定．
(1)求函数f (x)的解析式；
(2)求函数f (x)在[0,π
2 )上的最大值和最小值．
条件①：f(
π
6 )=1；
条件②：(
π
12 ,0)是y = f (x)的对称中心；
条件③：y = f (x)可以由函数y =sin 2 x + ❑√3cos2 x平移得到．
注：如果选择的条件不符合要求，得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答．按第一个解答计分．
【答案】(1)f (x)=2sin(2 x−π
6 )
(2)最大值为2，最小值为−1
【解题思路】（1）分析易得要使函数f (x)唯一确定，则必须要选③，选①③或选②③，进而根据正弦函
数的性质求解即可；
（2）根据正弦函数的性质求解即可；
【解答过程】（1）①，由f(
π
6 )=1，得A sin(
πω
6
+φ)=1；
②，由(
π
12 ,0)是y = f (x)的对称中心，得A sin(
πω
12 +φ)=0，
则πω
12 +φ =k π，k ∈Z；
③，由y =sin 2 x + ❑√3cos2 x =2sin(2 x +π
3 )，
因为f (x)= A sin (ωx +φ)可以由函数y =2sin(2 x +π
3 )平移得到，
则A =2，ω=2.
由上述可知，要使函数f (x)唯一确定，则必须要选③.
选①③，由上述可知，A =2，ω=2，A sin(
πω
6
+φ)=1，
则2sin(
π
3 +φ)=1，即sin(
π
3 +φ)= 1
2，
所以π
3 +φ=π
6 +2k π或5π
6 +2k π，k ∈Z，
则φ=−π
6 +2k π或π
2 +2k π，k ∈Z，
又|φ)<π
2 ，则φ =−π
6 ，即f (x)=2sin(2 x−π
6 ).
选②③，由上述可知，A =2，ω=2，πω
12 +φ=k π，k ∈Z，
则π
6 +φ =k π，k ∈Z，即φ =−π
6 + k π，k ∈Z，
又|φ)<π
2 ，则φ =−π
6 ，即f (x)=2sin(2 x−π
6 ).
（2）由x∈[0,π
2 )，得2 x−π
6 ∈[−π
6 ,5π
6 )，
则sin(2 x−π
6 )∈[−1
2 ,1)，则2sin(2 x−π
6 )∈[−1,2)，
所以函数f (x)在[0,π
2 )上的最大值为2，最小值为−1.
