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4.6 函数y=Asin(ωx+φ)
【基础练】
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.用“五点法”作y=2cos x-1 在[0，2π]上的图象时，应取的五点为( )
A.(0，1)，(
π
2 ，0)，(π，-1)，(
3 π
2 ，0)，(2π，1)
B.(0，1)，(
π
2 ，-1)，(π，-3)，(
3 π
2 ，-1)，(2π，1)
C.(0，1)，(π，-3)，(2π，1)，(3π，-3)，(4π，1)
D.(0，1)，(
π
6 ，❑√3-1)，(
π
3 ，0)，(
π
2 ，-1)，(
2π
3 ，-2)
2.将函数f(x)=cos(4 x - π
3)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，
则g(x)的最小正周期是( )
A.π
2
B.π
C.2π
D.4π
3.(2024·新课标全国Ⅰ)当x∈[0，2π]时，曲线y=sin x 与y=2sin(3 x - π
6)的交点个数为( )
A.3
B.4
C.6
D.8
4.(2024·佛山模拟)若函数f(x)=sin(2 x + π
6)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，其图象与函数g(x)=cos
2x 的图象重合，则m 的值可以为( )
A.5 π
6
B.2π
3
C.π
3
D.π
6
5.(2025·广州模拟)如图，直线y=1 与函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A >0，ω>0，|φ|< π
2)的图象的三个相邻的交
点分别为B，C，D，且BC=π，CD=2π，则f(x)等于( )
A.2sin(
2
3 x + π
3)
B.2sin(
x
2 + π
4)
C.2❑√3
3
sin(
2
3 x + π
3)
D.2❑√3
3
sin(
x
2 + π
4)
6.(2025·包头模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A >0，ω>0，|φ|< π
2)的最大值为2，其图象上相邻的两条
对称轴之间的距离为π
2 ，且f(x)的图象关于点(- π
12 ，0)对称，则f(x)在区间[0，π
2]上的最小值为( )
A.-❑√3
B.-1
C.-2
D.0
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.(2024·昆明模拟)为得到函数y=6sin(2 x + π
3)的图象，只需要将函数y=6sin 2x 的图象( )
A.向左平移π
6 个单位长度
B.向左平移π
3 个单位长度
C.向右平移5 π
6 个单位长度
D.向右平移11π
6 个单位长度
8.(2024·曲靖模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A >0，ω>0，|φ|≤π
2)的部分图象如图所示，则( )
A.f(0)=-1
B.函数f(x)的最小正周期是2π
C.函数f(x)的图象关于直线x=π
3 对称
D.将函数f(x)的图象向左平移π
6 个单位长度以后，所得的函数图象关于原点对称
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.将函数f(x)=sin(2 x - π
3)的图象向左平移φ(0<φ< π
2)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)是奇函数，
则φ= .
10.摩天轮的主架示意图如图所示，其中O 为轮轴的中心，距地面42 m(即OM 长)，摩天轮的半径长为40
m，摩天轮逆时针旋转且每12 分钟转一圈.摩天轮上悬挂吊舱，点M 为吊舱的初始位置，经过10 分钟，吊
舱运动到点P 处，此时有AM=BP=2 m，则点P 距离地面的高度h 为 m.
四、解答题(共27 分)
11.(13 分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A >0，ω>0，- π
2 <φ< π
2)的最小正周期是π，且当x=π
6 时，f(x)取得
最大值2.
(1)求f(x)的解析式；(4 分)(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)；(4 分)
(3)函数f(x)的图象可由函数y=sin x 的图象经过怎样的变换得到？(5 分)
12.(14 分)降噪耳机主要有主动降噪耳机和被动降噪耳机两种.其中主动降噪耳机的工作原理是：先通过微型
麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的反向声波来抵消噪声(如图所示).
已知某噪声的声波曲线是f(x)=Asin(
2π
3 x +φ)(A>0，0≤φ<π)，其中振幅为2，且经过点(1，-2).
(1)求该噪声声波曲线的解析式f(x)以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式g(x)；(6 分)
(2)先将函数f(x)图象上各点的横坐标变为原来的π
3 倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π
6 个单位
长度，得到函数h(x)的图象.若锐角θ 满足h(θ)=-10
13，求sin 2θ 的值.(8 分)
【提升练】
13.(多选)(2024·泉州模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0)是偶函数，将f(x)的图象向左平移π
6 个单位长度，
再将图象上各点的横坐标变为原来的2 倍(纵坐标不变)，得到g(x)的图象.若曲线y=g(x)的两个相邻对称中
心之间的距离为2π，则( )
A.ω=2
B.g(x)的图象关于直线x=-π
3 对称
C.g(x)的图象关于点(
2π
3 ，0)对称
D.若f(π)=-2，则g(x)在区间[0，π]上的最大值为❑√3
14.函数f(x)=xsin 2πx-1 在区间(0，3］上的零点个数为( )
A.6
B.5
C.4
D.3
15.(2025·南通模拟)已知函数f(x)=
❑√3 π
6
sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)的部分图象如图中实线所示，圆C 与f(x)图
象交于M，N 两点，且M 在y 轴上，则圆C 的半径为 .
16.已知函数f(x)=|asin ωx+bcos ωx+c|(a，b，ω>0)的部分图象如图所示，则a= .
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答案精析
1.B [∵y=2cos x-1，∴最小正周期T=2π.由“五点法”作图可知，应描出的五个点的横坐标分别是0
，π
2 ，π，3 π
2 ，2π.代入解析式可得点的坐标分别为(0，1)，(
π
2 ，-1)，(π，-3)，(
3 π
2 ，-1)，(2π，
1)，故B 正确.]
2.B [方法一 由题意得g(x)
=cos(
1
2 ×4 x - π
3)=cos(2 x - π
3)，
所以T=2π
2 =π.
方法二 原函数f(x)=cos(4 x - π
3)的最小正周期为2π
4 ，将图象上各点的横坐标伸长到原来的2 倍后最小正
周期变为2π
4 ×2=π.]
3.C [因为函数y=sin x 的最小正周期T=2π，
函数y=2sin(3 x - π
6)的最小正周期T1=2π
3 ，所以在[0，2π]上，函数y=2sin(3 x - π
6)有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，
由图可知，两函数图象有6 个交点.]
4.D [由题可得f(x+m)=
sin(2 x +2m+ π
6)的图象与函数g(x)=cos 2x 的图象重合，
则f(m)=sin(2m+ π
6)=g(0)=1，
即2m+π
6 =π
2 +2kπ，k∈Z，
解得m=π
6 +kπ，k∈Z，故m 的值可以为π
6 .]
5.A [方法一 因为BC=π，CD=2π，
所以相邻两对称轴间的距离为π
2 +π=3 π
2 ，
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即最小正周期T=3π，
所以ω=2π
3 π =2
3 ，
又因为点(- π
2 ，0)在f(x)的图象上，
所以Asin[
2
3 ×(- π
2)+φ]=0，
即sin(φ - π
3)=0，
结合图象可知φ-π
3 =2kπ，k∈Z，
所以φ=π
3 +2kπ，k∈Z，
又|φ|<π
2 ，所以φ=π
3 .
易知点C 的横坐标为-π
2 +T
4 +π
2 =3 π
4 ，
则C(
3 π
4 ，1)，
所以Asin(
2
3 × 3 π
4 + π
3)=1，则A=2，
所以f(x)=2sin(
2
3 x + π
3).
方法二 因为BC=π，CD=2π，所以相邻两对称轴间的距离为π
2 +π=3 π
2 ，即最小正周期T=3π，所以ω=2π
3 π
=2
3 ，排除B，D；
当x=0 时，代入f(x)=2sin(
2
3 x + π
3)，可得f(0)=❑√3>1，满足题意，代入f(x)=2❑√3
3
sin(
2
3 x + π
3)，可得f(0)=
2❑√3
3
×
❑√3
2 =1，不符合题意，故A 正确，C 错误.]
6.B [∵f(x)=Asin(ωx+φ)(A >0，ω>0，|φ|< π
2)的最大值为2，∴A=2，
又f(x)的图象上相邻的两条对称轴之间的距离为π
2 ，
∴T
2 = π
ω=π
2 ，∴ω=2，
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∴f(x)=2sin(2x+φ).
又f(x)的图象关于点(- π
12 ，0)对称，
∴2×(- π
12)+φ=kπ(k∈Z)，
∴φ=kπ+π
6 (k∈Z)，
又|φ|<π
2 ，∴φ=π
6 ，
∴f(x)=2sin(2 x + π
6)，
又x∈[0，π
2]，
∴2x+π
6 ∈[
π
6 ，7 π
6 ]，
∴f(x)=2sin(2 x + π
6)的值域为[-1，2].∴f(x)在区间[0，π
2]上的最小值为-1.]
7.ACD [A 中，向左平移π
6 个单位长度，可得y=6sin[2(x + π
6)]=6sin(2 x + π
3)的图象，A 正确；
B 中，向左平移π
3 个单位长度，可得y=6sin[2(x + π
3)]=6sin(2 x + 2π
3 )的图象，B 不正确；
C 中，向右平移5 π
6 个单位长度，可得y=6sin[2(x - 5 π
6 )]=6sin(2 x - 5 π
3 )=6sin(2 x +2π - 5 π
3 )=6sin
(2 x + π
3)的图象，C 正确；
D 中，向右平移11π
6 个单位长度，可得y=6sin[2(x - 11π
6 )]=6sin(2 x - 11π
3 )=6sin(2 x + 4 π - 11π
3 )=6sin
(2 x + π
3)的图象，D 正确.]
8.AC [根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A >0，ω>0，|φ|≤π
2)的部分图象可得A=2，3
4 ×2π
ω =7 π
12 +
π
6 ，解得ω=2，又f (- π
6)=-2，可得2×(- π
6)+φ=-π
2 +2kπ，k∈Z，
又|φ|≤π
2 ，解得φ=-π
6 ，
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所以f(x)=2sin(2 x - π
6)，可得f(0)=2sin(- π
6)=-1，故A 正确；
可得f(x)的最小正周期为2π
2 =π，故B 不正确；
令x=π
3 ，则f (
π
3)=2sin(2× π
3 - π
6)=2，为最大值，可得函数f(x)的图象关于直线x=π
3 对称，故C 正确；
将函数f(x)的图象向左平移π
6 个单位长度后，可得y=2sin(2 x + π
6)的图象，可得所得的函数图象不关于原
点对称，故D 错误.]
9.π
6
解析 将函数f(x)的图象向左平移φ 个单位长度，得到函数g(x)
=sin[2( x +φ)- π
3]的图象，
因为函数g(x)是奇函数，
所以g(0)=sin(2φ - π
3)=0，
则2φ-π
3 =kπ，k∈Z，
则φ=π
6 +k π
2 ，k∈Z，
因为0<φ<π
2 ，所以φ=π
6 .
10.20
解析 以M 为坐标原点，MO 所在直线为y 轴，与MO 垂直的直线为x 轴，建立平面直角坐标系如图所示，
设点B 的方程为y=Asin(ωt+φ)+k，
依题意得{
A + k =82，
- A + k =2，
解得{
A = 40，
k = 42，
又因为T=12=2π
ω ，
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所以ω=π
6 ，
此时y=40sin(
π
6 t +φ)+42，
又当t=0 时，y=2，
所以40sin φ+42=2，
sin φ=-1，φ=-π
2 ，
所以y=40sin(
π
6 t - π
2)+42
=-40cos π
6 t+42，
所以当t=10 时，
y=-40cos(
π
6 ×10)+42=22，
所以点P 距离地面的高度h=22-2=20(m).
11.解 (1)因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω=2.
又因为当x=π
6 时，f(x)取得最大值2，所以A=2，
同时2×π
6 +φ=2kπ+π
2 ，k∈Z，
即φ=2kπ+π
6 ，k∈Z，
因为-π
2 <φ<π
2 ，所以φ=π
6 ，
所以f(x)=2sin(2 x + π
6).
(2)因为x∈[0，π]，
所以2x+π
6 ∈[
π
6 ，13 π
6 ].
列表如下：
2x+π
6
π
6
π
2
π
3 π
2
2π
13 π
6
x
0
π
6
5 π
12
2π
3
11π
12
π
f(x)
1
2
0
-2
0
1
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描点、连线得图象如图所示，
(3)将y=sin x 的图象上的所有点向左平移π
6 个单位长度，得到函数y=sin(x + π
6)的图象，再将y=sin(x + π
6)
的图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2(纵坐标不变)，得到函数y=sin(2 x + π
6)的图象，再将y=sin
(2 x + π
6)上所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍(横坐标不变)，得到f(x)=2sin(2 x + π
6)的图象.
12.解 (1)由已知可得A=2，
由f(1)=2sin(
2π
3 +φ)=-2，
可得sin(
2π
3 +φ)=-1，
所以2π
3 +φ=3 π
2 +2kπ(k∈Z)，
得φ=5 π
6 +2kπ(k∈Z)，
因为0≤φ<π，则φ=5 π
6 ，
故f(x)=2sin(
2π
3 x + 5 π
6 )，
g(x)=-f(x)=-2sin(
2π
3 x + 5 π
6 ).
(2)将函数f(x)图象上各点的横坐标变为原来的π
3 倍，纵坐标不变，可得到函数y=2sin(2 x + 5 π
6 )的图象，再
将所得函数图象向右平移π
6 个单位长度，可得函数h(x)的图象，则h(x)=2sin[2(x - π
6)+ 5 π
6 ]=2cos 2x，
因为h(θ)=2cos 2θ=-10
13 ，
则cos 2θ=- 5
13 ，
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因为0<θ<π
2 ，则0<2θ<π，
故sin 2θ=❑√1-co s
22θ=12
13.
13.BCD [函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0)是偶函数，故φ=kπ+π
2 (k∈Z)，当k=0 时，φ=π
2 ，当k=1 时，φ=3 π
2 ，
将函数f(x)的图象向左平移π
6 个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2 倍(纵坐标不变)，得到
g(x)=Asin(
1
2 ωx + ω π
6 +φ)的图象，
由于函数g(x)的两个相邻的对称中心的距离为2π，故T=4π=
2π
1
2 ω
，解得ω=1，故A 错误；
所以函数f(x)=Asin(x+φ)=Acos x 或f(x)=-Acos x，
g(x)=Asin(
1
2 x + π
6 +φ)
=Acos(
1
2 x + π
6)或
g(x)=-Acos(
1
2 x + π
6)，
当x=-π
3 时，g(- π
3)=±A，故B 正确；
当x=2π
3 时，g(
2π
3 )=0，故函数g(x)的图象关于点(
2π
3 ，0)对称，故C 正确；
当f(π)=-2 时，A=-2 或A=2，
故f(x)=2cos x，
故g(x)=2cos(
1
2 x + π
6)，当x∈[0，π]时，1
2x+π
6 ∈[
π
6 ，2π
3 ]，函数在该区间上单调递减，故函数的最大
值为g(0)=2×
❑√3
2 =❑√3，
故g(x)在[0，π]上的最大值为❑√3，故D 正确.]
14. C
[函数f(x)=xsin 2πx-1 在(0，3］上零点的个数即方程xsin 2πx-1=0 在(0，3］上根的个数，方程xsin 2πx-1=0
化简可得sin 2πx=1
x .
在同一平面直角坐标系中作出函数y=sin 2πx 与函数y=1
x 的图象如图所示，
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由图可知，在区间(0，3］上，两函数图象有4 个交点，故函数f(x)=xsin 2πx-1 在区间(0，3］上的零点个数
为4.]
15.5 π
12
解析 因为点M，N 关于点C 对称，
所以xC=1
2×2π
3 =π
3 ，
函数f(x)的最小正周期T 满足T
2 =π
3 -(- π
6)，解得T=π，
即2π
ω =π，所以ω=2.
由图象可得f(x)的最大值点为
1
2(- π
6 + π
3)= π
12 ，
所以2× π
12+φ=π
2 +2kπ，k∈Z，
结合0<φ<π，取k=0 得φ=π
3 ，
则f(x)=
❑√3 π
6
sin(2 x + π
3).
因此可得OM=f(0)=
❑√3 π
6
sin π
3 =π
4 ，所以圆C 的半径r=❑√O M
2+OC
2=❑√(
π
4)
2
+(
π
3)
2
=5 π
12 .
16. ❑√2
解析 由题意得f(x)=|asin ωx+bcos ωx+c|=|❑√a
2+b
2sin(ωx+φ)+c|，其中tan φ=b
a，
由题图可知，❑√a
2+b
2+c=3，-❑√a
2+b
2+c=-1，
所以c=1，❑√a
2+b
2=2，
①
又5 π
8 -π
8 =1
2T，
所以T=π，则ω=2π
T =2，
因为其中一条对称轴为直线x=π
8 ，
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所以2×π
8 +φ=π
2 +2kπ，k∈Z，
则φ=π
4 +2kπ，k∈Z，
所以tan φ=1，即a=b，
②
联立①②，解得a=❑√2.
