重难点15 解三角形的最值和范围问题（举一反三专项训练）
【全国通用】
【题型1 三角形（四边形）面积的最值或范围问题】.........................................................................................2
【题型2 三角形边长的最值或范围问题】..............................................................................................................2
【题型3 三角形周长的最值或范围问题】..............................................................................................................3
【题型4 三角形的角的最值或范围问题】..............................................................................................................4
【题型5 利用基本不等式求最值（范围）】.........................................................................................................5
【题型6 转化为三角函数求最值（范围）】.........................................................................................................6
【题型7 转化为其他函数求最值（范围）】.........................................................................................................6
【题型8 “坐标法”求最值（范围）】....................................................................................................................7
【题型9 与平面向量有关的最值（范围）问题】.................................................................................................8
1、解三角形的最值和范围问题
解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或
与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合考查，主
要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的
关键是建立起角与边的数量关系，复习时要加强这方面的训练，学会灵活求解.
知识点 三角形中的最值和范围问题
1．三角形中的最值（范围）问题的常见解题方法：
(1)利用正、余弦定理结合三角形中的不等关系求最值（范围）；
(2)利用基本不等式求最值（范围）；
(3)转化为三角函数求最值（范围）；
(4)转化为其他函数求最值（范围）；
(5)坐标法求最值（范围）.
2．三角形中的最值（范围）问题的解题策略：
(1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运用．
解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最
值（范围）．
(2)转化为三角函数求最值（范围）问题的解题策略
三角形中最值(范围)问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用正弦定理边化角，利用三
角函数的范围求出最值或范围.
(3)坐标法求最值（范围）求最值（范围）问题的解题策略
“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边角关
系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三
角函数、基本不等式等知识求其最值．
【题型1 三角形（四边形）面积的最值或范围问题】
【例1】（2025·江西萍乡·二模）在△ABC中，内角A , B , C所对的边分别为a, b, c，若
a=2, 5sin A
1+cos A + cos A
sin A =3，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．3
B．3
2
C．❑√3
D．2❑√3
【变式1-1】（2025·辽宁·二模）在等边三角形ABC中，D、E、F 分别在边AB、BC 、AC上，且
DE = ❑√3, DF =2,∠≝=90
°．则三角形ABC面积的最大值是（ ）
A．7 ❑√3
3
B．2❑√3
C．7 ❑√3
D．6 ❑√3
【变式1-2】（2024·重庆·模拟预测）已知△ABC的内角A ,B ,C 所对应的边分别为a,b,c，若
a=1, c
b + b
c = 1+bc
bc
.
(1)求A；
(2)求△ABC面积的最大值.
【变式1-3】（2024·全国·模拟预测）记锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
bcos A = ❑√3−acos B，2asinC = ❑√3.
(1)求A.
(2)求△ABC面积的取值范围.
【题型2 三角形边长的最值或范围问题】
【例2】（2025·江苏连云港·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若a=1，
bcos A =1+cos B，则边b 的取值范围为（ ）
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(0,2)
D．(2,3)
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知△ABC是锐角三角形，内角A，B，C 所对应的边分别为a，b，
c．若a
2−b
2=bc，则b
a+c
的取值范围是（ ）
A．(
❑√3
3 ,
❑√2
2 )
B．(2−❑√3,1)
C．(2−❑√3,❑√2−1)
D．(❑√2+1,❑√3+2)
【变式2-2】（2025·山东德州·三模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知
2sin B =sin A +cos A tanC．
(1)求C；
(2)若2(a+b)=c
2，求△ABC的边c的最大值．
【变式2-3】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且
❑√3bcosB =acosC +ccos A．
(1)求tan B；
(2)若A ∈[
π
4 ,π
3 )，且a=1，求b+c的取值范围．
【题型3 三角形周长的最值或范围问题】
【例3】（2025·江西赣州·模拟预测）在锐角三角形ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
B =2 A，a=2，则△ABC的周长的取值范围是（ ）
A．(4 +2❑√2,6+2❑√3)
B．[4+2❑√2,6+2❑√3)
C．(4 +2❑√2,6+2❑√3)
D．[4+2❑√2,6+2❑√3)
【变式3-1】（24-25 高一下·福建莆田·期中）在锐角三角形ABC中，已知a，b，c分别是角A，B，C的对
边，且❑√3b=2asin B，a= ❑√3，则三角形ABC的周长的取值范围是（ ）
A．(3−❑√3,3 ❑√3)
B．(3−❑√3,3 ❑√3) C．(3+ ❑√3,3 ❑√3) D．
[3+ ❑√3,3 ❑√3)
【变式3-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）已知a,b,c分别为锐角△ABC三个内角A ,B ,C的对边，且
acosC + ❑√3asinC −b−c =0.
(1)求A；
(2)若a=3；求△ABC周长的取值范围.
【变式3-3】（2025·湖南永州·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，c =1，
asin A −sinC
a−b
=sin( A +C )，a≠b.
(1)求△ABC的外接圆半径；
(2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC周长的取值范围.
【题型4 三角形的角的最值或范围问题】
【例4】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c．若a= ❑√3,b=2，
则B+C的取值范围是（ ）
A．[
2π
3 , 5π
6 )
B．[
2π
3 ,π)
C．[
5π
6 ,π)
D．(
π
2 , 5π
6 )
【变式4-1】（2025·河南许昌·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
a
cos A +
b
cos B = 8c
cosC
，则tan B+ tanC的最小值是（ ）
A．3
2
B．3 ❑√3
2
C．9
4
D．3 ❑√3
【变式4-2】（2024·四川成都·模拟预测）记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c．若a=1，b=2，
则B+C的取值范围是（ ）
A．[
2π
3 , 5π
6 ) B．[
2π
3 ,π)
C．[
5π
6 ,π)
D．(
π
2 , 5π
6 )
【变式4-3】（2025·湖北黄冈·模拟预测）在锐角△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，且
a−b
b
=
sinC
sin A +sin B
，则tan A tan B的取值范围为（ ）
A．(0,1)
B．(1,❑√3)
C．(1,+∞)
D．(❑√3,+∞)
【题型5 利用基本不等式求最值（范围）】
【例5】（24-25 高一下·湖北武汉·期中）在△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，∠ABC =120°
，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD =1，则4 a+c的最小值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【变式5-1】（24-25 高三下·广东·开学考试）设△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，且
sin BcosC + ❑√3cos A +cos BsinC =0，AD为∠BAC的平分线且与BC 交于点D，AD = ❑√3，则△ABC
面积的最小值是（ ）
A．2❑√3
B．3 ❑√3
C．4 ❑√3
D．6 ❑√3
【变式5-2】（24-25 高一下·重庆九龙坡·阶段练习）已知△ABC中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，
c，且2bsin(A +π
6 )=a+c．
(1)求B 的大小；
(2)若点M 在线段AC上，∠ABM =∠CBM，BM = 4，求2a+c的最小值．
【变式5-3】（2025·江西新余·模拟预测）已知a、b、c分别为斜△ABC中角A、B、C的对边，
2a(sin A −sin B)cosC =asin A +bsin B−c sinC．
(1)求sin B
sin A
；
(2)已知△ABC的面积为❑√15b
2cosC，求c + 4
a
的最小值．
【题型6 转化为三角函数求最值（范围）】
【例6】（2024·海南省直辖县级单位·一模）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
a=3，A =60°，则b的取值范围是（ ）
A．(0,6)
B．(0,2❑√3)
C．(❑√3,2❑√3)
D．(❑√3,6)
【变式6-1】（24-25 高三上·河北沧州·期中）在锐角△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，已
知2b−c
cosC =
3
cos A
且a=3，则b+c的取值范围为（ ）
A．(3, 6)
B．(3, 6]
C．(3 ❑√3, 6]
D．(3 ❑√3, 6)
【变式6-2】（2025·黑龙江牡丹江·模拟预测）在△ABC中，角A ,B ,C的对边分别为a,b,c ,若
acosC + ❑√3asinC −b−c =0.
(1)求A；
(2)若△ABC是锐角三角形，c = 4，求△ABC面积的取值范围.
【变式6-3】（2025·安徽马鞍山·一模）记锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2
，bcos B = ❑√2sin 2B.
(1)求A；
(2)求(❑√3−1)b+ ❑√2c
的最大值.
【题型7 转化为其他函数求最值（范围）】
【例7】（2024·陕西·模拟预测）在△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，已知
c =6,sin B
sin A = 6a−b
b
，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．19
2
B．21
2
C．12
D．15
【变式7-1】（24-25 高一下·湖南郴州·期末）在锐角△ABC中，角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，且
a
2=bcsin A +(b−c)
2，则2b
2+c
2
bc
的取值范围为（ ）
A．(
43
15 , 59
15)
B．[2❑√2, 43
15)
C．[2❑√2, 59
15)
D．［2❑√2,+∞）
【变式7-2】（2025·安徽合肥·模拟预测）已知在△ABC中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c 且满足
cos B−cos A
cos A
= 2c−(b+a)
a
．
(1)求角A 的大小；
(2)若△ABC为锐角三角形且a=2，求a
2+b
2
c
2
的取值范围．
【变式7-3】（2025·河北·模拟预测）如图，在△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，已知AD是
∠BAC的角平分线，且AD = bc
b+c
．
(1)求角A的值；
(2)若a=1，求AD长的最大值．
【题型8 “坐标法”求最值（范围）】
【例8】（2025·北京朝阳·一模）在△ABC中，CA =CB = ❑√5，AB = 4，点M 为△ABC所在平面内一点且⃗
AM ⋅⃗BC =0，则⃗AM ⋅⃗CM的最小值为（ ）
A．0
B．−16
25
C．−4
5
D．−16
5
【变式8-1】（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知平行四边形ABCD中， ∠ADC =60°，E，F分别为边
AB，BC的中点，若⃗DE⋅⃗DF =13，则四边形ABCD面积的最大值为（ ）
A．2
B．2❑√3
C．4
D．4 ❑√3
【变式8-2】（2024·江西南昌·三模）如图，在扇形OAB 中，半径OA = 4，∠AOB =90°，C 在半径OB
上，D 在半径OA 上，E 是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形BCDE 的周长的取值范围是（
）
A．(8,12)
B．(8 ❑√2,12)
C．(8,8 ❑√2)
D．(4,8 ❑√2)
【变式8-3】（2025·山西晋城·模拟预测）设△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，D是边BC的中
点，AD =1.
(1)若A =π
3
，求△ABC面积的最大值；
(2)若△ABC的面积为2❑√3且∠ADB =π
3
，求sin B的值;
(3)若BC = 4，求cos∠BAC的取值范围.
【题型9 与平面向量有关的最值（范围）问题】
【例9】（2024·湖北·一模）如图，在△ABC中，∠BAC =120
∘, AB =2, AC =1, D是BC边上靠近B点的
三等分点，E是BC边上的动点，则⃗AE⋅⃗CD的取值范围为（ ）
A．[−
❑√7
7 , 10
3 )
B．[−
❑√7
7 , 7
3)
C．[−4
3 , 10
3 )
D．[−4
3 , 7
3)
【变式9-1】（2025·江苏盐城·模拟预测）记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别是a,b,c，已知
(a+c)(sin A −sinC)+bsin B =asin B ,b+2a= 4 ,⃗CA =3⃗CD−2⃗CB，则线段CD长度的最小值为
（ ）
A．2
B．2❑√2
3
C．3
D．2❑√3
3
【变式9-2】（2025·安徽六安·模拟预测）已知平面向量⃗a，⃗b，⃗c满足|⃗a)=1，|⃗b)= ❑√3，⃗a⋅⃗b=−3
2
，
⟨⃗a−⃗c ,⃗b−⃗c)=30°，则|⃗c)的最大值等于（ ）
A．2❑√7
B．❑√7
C．2❑√3
D．3 ❑√3
【变式9-3】（2025·重庆九龙坡·三模）在 △ABC 中，角 A ，B，C 所对的边分别为 a，b，c ，已
知 (a+c)(sin A −sinC)+bsin B =asin B,b+2a= 4 ，若 ⃗CA +2⃗CB =3⃗CD
，则 |⃗CD) 的最小值为
（ ）
A．2❑√3
B．4
3
C．2❑√2
3
D．2❑√3
3
一、单选题
1．（2025·广东佛山·三模）在△ABC中，角A ，B，C的对边分别为a，b，c．已知A ＝120
∘，且A的
内角平分线AD＝❑√3，则△ABC面积的最小值为（ ）
A．2
B．2❑√3
C．3
D．3 ❑√3
2．（2025·山东聊城·二模）△ABC中，BC =2❑√3, A =60°，则⃗BA ⋅⃗BC的最大值为（ ）
A．6
B．3+2❑√3
C．12
D．6+ 4 ❑√3
3．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）在△ABC中，已知B =60
∘，最大边与最小边的比为
❑√3+1
2
，则△ABC的
最大角为（ ）
A．60
∘
B．75
∘
C．90
∘
D．105
∘
4．（2025·河北·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若A ,B∈(0,π
2 )，
c =asin B，则tanC的取值范围是（ ）
A．[−4
3 ,−1)
B．[−4
3 ,−1)
C．(1, 4
3)
D．[1, 4
3)
5．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，在△ABC中，∠BAC =π
3 ,⃗AD =⃗DB , P为CD上一点，且满足⃗
AP =m⃗AC + 1
3⃗AB，若S△ABC =2❑√3，则|⃗AP)的最小值是（ ）
A．2
B．4
C．2❑√6
3
D．8
3
6．（2025·浙江·三模）在锐角△ABC中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
2bsin B+C
2
= ❑√5asin ( A +C)，则c
b
的取值范围为（ ）
A．(
2
5 , 4
3)
B．(
2
5 , 5
3)
C．[
3
5 , 4
3)
D．(
3
5 , 5
3)
7．（2025·全国·模拟预测）在△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，已知∠BAC = 5π
6
，边BC
上一点D使得AD =2，且∠BAD =π
6
，则❑√3b+c的最小值为（ ）
A．2❑√3
B．4 ❑√3
C．8 ❑√3
D．8
8．（2024·四川成都·模拟预测）设锐角△ABC的三个内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，且c =2,B =2C
，则a+b的取值范围为 （ ）
A．(2,10)
B．(2+2❑√2,10)
C．(2+2❑√2,4+2❑√3)
D．(4 +2❑√3,10)
二、多选题
9．（2025·浙江宁波·模拟预测）记△ABC内角A ，B，C的对边分别是a，b，c，已知b
2+c
2=2a
2，则
下列选项正确的是（ ）
A．2bccos A =a
2
B．角A的最大值为π
3
C．tan A =tan BtanC
tan B+tanC
D．ab
c
2 的取值范围是(3 ❑√3−5，3 ❑√3+5)
10．（2025·四川·三模）已知在△ABC中，角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，若
a= 4 ,sin B+sinC =2sin A，则（ ）
A．△ABC的周长为12
B．角A的最大值为π
3
C．△ABC的面积最小值为2❑√3
D．△ABC的面积最大值为4 ❑√3
11．（2025·安徽·模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A =60°，∠BAC的平
分线AD交BC于D，AD =2，则下列说法正确的是（ ）
A．4 b+c的最小值为6 ❑√3
B．BD
CD =sin B
sinC
C．1
BD + 1
CD
的最大值是❑√3
D．△ABC的周长的取值范围是[4 ❑√3,+ ∞)
三、填空题
12．（2025·湖北武汉·三模）已知锐角△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，若A =π
3 ,a≥b，则
b
2+c
2
bc
的取值范围为
.
13．（2025·福建厦门·三模）锐角△ABC中，角A ,B ,C所对应的边分别为a,b,c，满足a
2=b(b+c)，
a+b=3，则△ABC的周长的取值范围为
.
14．（2025·河北衡水·模拟预测）已知△ABC为等腰三角形，点D 为腰AC 上靠近顶点A 的三等分点，BD
长为2，则该三角形面积的最大值为
．
四、解答题
15．（2025·海南·模拟预测）在△ABC中，角A , B , C所对应的边分别为a, b, c且满足
c sin A
b−acosC = ❑√3
．
(1)求A的大小；
(2)角A的平分线AD与边BC相交于点D，且AD = ❑√3，求2b+3c的最小值．
16．（2025·山东泰安·模拟预测）已知△ABC的角A ,B ,C对边分别为a,b,c，❑√3acosB =bsin A.
(1)求角B的大小.
(2)设点D是AC的中点，若BD = ❑√3，求a+c的取值范围.
17．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）在平面四边形ABCD中，BC ⊥CD，AD = ❑√2，∠ACD =30°，
∠CAD = 45°.
(1)求AC的长.
(2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围.
18．（2025·福建泉州·模拟预测）△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，且
acos(B−C)=(2❑√3c sin B−a)cos A.
(1)求A；
(2)若a=2❑√3，求△ABC的面积与周长的比值的最大值.
19．（2025·江苏南通·三模）在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，满足
2S =(b
2−a
2)sin B．
(1)求证：B =2 A；
(2)求2acosB−3b
2a
的取值范围．
