微专题7 三角函数与解三角形中的创
新问题
近几年高考：三角函数与解三角形的创新问题有两种类型:(1)
与三角函数、解三角形有关的新定义问题;(2)三角函数、解三
角形与其他知识的交汇创新问题,主要涉及平面几何、立体几
何、不等式、向量等知识.
一．典型例题
1.与三角函数有关的新定义问题
例1 已知定义域为R 的函数h(x)满足:对于任意的x∈R,都有
h(x+2π)=h(x)+h(2π),则称函数h(x)具有性质P.
(1)判断函数f(x)=2x,g(x)=cos x 是否具有性质P;(直接写出结论)
(2)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(
3
2 <ω< 5
2 ,|φ|< π
2),判断是否存
在ω,φ,使函数f(x)具有性质P?若存在,求出ω,φ 的值;若不存
在,说明理由;
(3)设函数f(x)具有性质P,且在区间[0,2π]上的值域为
[f(0),f(2π)].函数g(x)=sin(f(x)),满足g(x+2π)=g(x),且在区间
(0,2π)上有且只有一个零点.求证:f(2π)=2π.
训练1 (2025·武汉段考)对于分别定义在D1,D2上的函数
f(x),g(x)以及实数k,若任取x1∈D1,存在x2∈D2,使得
f(x1)+g(x2)=k,则称函数f(x)与g(x)具有关系M(k).其中x2称为x1
的像.
(1)若f(x)=2sin (2 x + π
3),x∈R;g(x)=3cos (3 x + π
6)
,x∈R,
判断f(x)与g(x)是否具有关系M(-6),并说明理由;
(2)若f(x)=2sin (2 x + π
3),x∈[0, π
3];g(x)=3
❑√3cos (3 x + π
6),x∈[0,π],且f(x)与g(x)具有关系M
(
5 ❑√3
2 ),求x1=π
6
的像;
(3)若f(x)=2sin (2 x + π
3),x∈[−π
4 , π
6];g(x)=-2sin 2x+asin
x+2,x∈R,且f(x)与g(x)具有关系M(5),求实数a 的取值范围.
2.与解三角形有关的新定义问题
例2 (2025·厦门调研)定义:如果三角形的一个内角恰好是另一
个内角的两倍,那么这个三角形叫做倍角三角形.如图,△ABC
的面积为S,三个内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且sin C=
2S
c
2−b
2.
(1)证明:△ABC 是倍角三角形;
(2)若c=9,当S 取最大值时,求tan B.
训练2 法国的拿破仑提出过一个几何定理:“以任意三角形的
三条边为边向外构造三个等边三角形,则这三个等边三角形的
外接圆圆心恰好是一个等边三角形的三个顶点”.在△ABC 中,
A=60°,以AB,BC,AC 为边向外作三个等边三角形,其外接圆圆
心依次为O1,O2,O3.
(1)求∠O1AO3;
(2)若△O1O2O3的面积为❑√3,求三角形中AB+AC 的最大值.
3.解三角形与其他知识的交汇
例3 在圆x2+y2=4 上任取一点T,过点T 作x 轴的垂线段TD,垂
足为D.当点T 在圆上运动时,线段TD 的中点Q 的轨迹是椭圆
C(当点T 经过圆与x 轴的交点时,规定点Q 与点T 重合).
(1)求该椭圆C 的方程;
(2)法国数学家加斯帕尔·蒙日发现:椭圆上任意两条互相垂直的
切线的交点,必在一个与椭圆同心的圆上,称此圆为该椭圆的
“蒙日圆”.若椭圆C 的左、右焦点分别为F1,F2,P 为椭圆C
上一动点,直线OP 与椭圆C 的蒙日圆相交于点M,N,求证:
| PM |·| PN |
|P F1|·| P F2|为定值.
训练3 (2025·石家庄模拟)点A 是直线PQ 外一点,点M 在直线
PQ 上(点M 与P,Q 两点均不重合),我们称如下操作为“由A 点
对PQ 施以视角运算”:若点M 在线段PQ 上,记(P,Q;M)=
APsin ∠PAM
AQsin ∠MAQ
;若点M 在线段PQ 外,记(P,Q;M)=-
APsin ∠PAM
AQ sin ∠MAQ
.
(1)若M 在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB 的延长线上,且
AB=2BM=2,由A1对AB 施以视角运算,求(A,B;M)的值;
(2)若M1,M2,M3,…,M n−1是△ABC 的边BC 的n(n≥2)等分点,
由A 对BC 施以视角运算,证明:(B,C;Mk)×(B,C;M n−k
)=1(k=1,2,3,…,n-1).
【精准强化练】
1.(2025·衡阳质检)“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提
出.该问题是:“在一个三角形内求作一点,使其与此三角形的三
个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答,
当△ABC 的三个内角均小于120°时,使得
∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O 即为费马点;当△ABC 有一
个内角大于或等于120°时,最大内角的顶点为费马点.试用以上
知识解决下面问题:
已知△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且cos
2B+cos 2C-cos 2A=1.
(1)求A;
(2)若bc=2,设点P 为△ABC 的费马点,求⃗PA·⃗PB+⃗PB·⃗PC+⃗
PC·⃗PA.
2.(2025·郑州调研)我们知道:对于函数y=f(x),如果存在一个非零
常数T,使得当x 取其定义域D 中的任意值时,有x+T∈D,且
f(x+T)=f(x)成立,那么函数y=f(x)叫做周期函数.对于一个周期函
数y=f(x),如果在它的所有周期中存在一个最小正数,那么这个
最小正数就叫做函数y=f(x)的最小正周期.对于定义域为R 的函
数h(x),若存在正常数T,使得sin(h(x))是以T 为周期的函数,则
称h(x)为正弦周期函数,且称T 为其正弦周期.
(1)验证g(x)=x+cos x
3
是以6π 为周期的正弦周期函数;
(2)已知函数f(x)=|sin x|-|cos x|是周期函数,请求出它的一个周期.
并判断此周期函数是否存在最小正周期,并说明理由;
(3)已知存在这样一个函数f(x),它是定义在R 上严格增函数,值
域为R,且f(x)是以T 为周期的正弦周期函数.若f(0)=-3 π
2
,f(T)=5 π
2
,且存在x0∈(0,T),使得f(x0)=π
2
,求f(2T)的值.
