专题5.3 三角函数的图象与性质（举一反三复习讲义）
【全国通用】
命题规律
分析
1、三角函数的图象与性质
三角函数的图象与性质是高考的重点、热点内容，其中三角函数的图
象变换以及三角函数的周期性、对称性、奇偶性与单调性之间的关系是高
考考察的重心。从近几年的高考情况来看，三角函数的图象与性质为核心
高频考点，考查形式稳定且层次分明。
选择题、填空题聚焦三角函数的图象与性质、图象变换（平移、伸
缩）、解析式确定，题型基础，难度偏低；解答题中多与三角函数的性质
应用结合，涉及单调区间、最值、值域、参数求解，常融入三角恒等变
换、解三角形模块进行考察，凸显知识关联性，难度中等或偏下，二轮复
习时需要充分掌握三角函数的图象与性质，学会灵活求解。
高考真题
考点
2023 年
2024 年
2025 年
统计
三角函数的
图象与性质
新课标I 卷：第15
题，5 分
新课标Ⅱ卷：第16
题，5 分
全国甲卷（文数）：
第12 题，5 分
全国甲卷（理数）：
第10 题，5 分
全国乙卷（文数）：
第10 题，5 分
全国乙卷（理数）：
第6 题，5 分
新课标I 卷：第7
题，5 分
新课标Ⅱ卷：第6
题，5 分
新课标Ⅱ卷：第9
题，6 分
全国甲卷（文数）：
第13 题，4 分
全国一卷：第4 题，
5 分
全国二卷：第15
题，13 分
2026 年
命题预测
预测在2026 年全国卷高考数学中，三角函数的图象与性质的考情将继
续维持稳定态势。大概率仍然以选择题、填空题的形式进行考察，分值稳
定在5 分左右；也有可能在解答题中考查。选择、填空题核心考点聚焦三角
函数的图象交点问题、三角函数的性质问题以及图象变换问题，难度不
大；在解答题中主要考查三角函数的性质应用或与其他知识（如：解三角
形、导数等）结合考查，此时难度中等，侧重三角函数性质的熟练运用，
考查数形转化与知识综合运用能力。
知识点
1 三角函数的定义域与值域的求解策略
1．三角函数的定义域的求解思路
求三角函数的定义域通常要解三角不等式
( 组
) ，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.
2．求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：
(1)形如y=asinx+bcosx+c 的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c 的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y=asin2x+bsinx+c 的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c 的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t 的二次函数求值域(最值).
知识点
2 三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解策略
1．三角函数周期的一般求法
(1)公式法；
(2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期.
2．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略
(1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx+φ=
kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x 即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)
（或令ωx+φ=
kπ(k∈Z)），求x 即可.
(2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=
(k∈Z)），
求x 即可.
3．三角函数的奇偶性的判断方法
三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0，若
y=0 则为奇函数，若y 为最大或最小值则为偶函数.
若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=
kπ(k∈Z).
知识点
3 三角函数的单调性问题的解题策略
1．三角函数的单调区间的求解方法
求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只
需把ωx+φ 看作一个整体代入y=sinx 的相应单调区间内即可，注意要先把ω 化为正数.
2．已知三角函数的单调性求参数的解题思路
对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω 的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单
调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择
题，利用特值验证排除法求解更为简捷.
知识点
4 三角函数的图象变换问题
1．三角函数的图象变换问题的求解方法
解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下：
(1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象；
(2)变同名：函数的名称要变得一样；
(3)选方法：即选择变换方法.
知识点
5 由部分图象确定函数解析式的解题方法
1．由部分图象确定函数解析式的方法
由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A 比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω 和
φ，常用如下两种方法：
(1)如果图象明确指出了周期T 的大小和“零点”坐标，那么由
即可求出ω；确定φ 时，若能求出
离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标
，则令
即可求出φ.
(2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω 和φ，若对
A，ω 的符号或φ 的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求.
知识点
6 三角函数图象、性质的综合应用的解题策略
1．研究函数y=Asin(ωx+φ)性质的技巧
研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ 视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.
2．函数的零点（方程的根）的问题的解题策略
函数的零点（方程的根）的个数可转化为两个函数图象的交点个数，据此进行求解即可.
3．三角函数模型
三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问
题，利用三角函数的有关知识解决问题.
【方法技巧与总结】
1．对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是
个周期，相邻的对称中心与对称轴
之间的距离是
个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是
个周期.
2．与三角函数的奇偶性相关的结论
(1)若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=
(k∈Z)；若为奇函数，则φ=kπ(k∈Z).
(2)若y=Acos(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z)；若为奇函数，则φ=
(k∈Z).
(3)若y=Atan(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z).
3．三角函数的图象变换规律
(1)函数y=Asin(ωx+φ)+k 图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.
(2)由y= sinωx 到y=sin(ωx+φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移
个单位长度而非φ 个单位长度.
【题型1 求三角函数的定义域、值域（最值）】
【例1】（2025·重庆·模拟预测）已知函数f (x)=sin x +acos x的图象关于x =π
6 对称，则f (x)的最大值为
（ ）
A．2❑√3
3
B．❑√2
C．❑√3
D．2
【答案】D
【解题思路】利用辅助角公式化简函数f ( x)=
❑√a
2+1sin( x +φ)，又由函数的图象关于x =π
6 对称，得到
sinπ
6 +acosπ
6 =±
❑√a
2+1，计算即可求解.
【解答过程】由题意，函数f ( x)=sin x +acos x =
❑√a
2+1sin( x +φ)，
又由函数的图象关于x =π
6 对称，所以sinπ
6 +acosπ
6 =±
❑√a
2+1，
即a
2−2❑√3a+3=0，解得a= ❑√3，
即f ( x)=2sin( x +π
3 )，所以f (x)的最大值为2.
故选：D.
【变式1-1】（2025·河北·模拟预测）函数f (x)= 4 cos x sin(x−π
6 )在[0,π
2 )上的值域为（ ）
A．[−2,1)
B．[−3,1)
C．[−2,0)
D．[−1,1)
【答案】A
【解题思路】先运用差角公式，二倍角公式，辅助角公式化简函数表达式，再换元求解函数值域即可.
【解答过程】根据题意，
f (x)= 4 cos x sin(x−π
6 )= 4 cos x(
❑√3
2 sin x−1
2 cos x)=2❑√3sin x cos x−2cos
2 x，
根据倍角公式可得f (x)= ❑√3sin 2 x−(1+cos2 x)= ❑√3sin 2 x−cos2 x−1=2sin(2 x−π
6 )−1，
令t =2 x−π
6 ，因为x∈[0,π
2 )，则t =2 x−π
6 ∈[−π
6 , 5π
6 )，可得
f (x)=2sin(2 x−π
6 )−1∈[−2,1)，
故选：A.
【变式1-2】（25-26 高一上·全国·单元测试）在[0,2π)内，函数f (x)= ❑√1−2cos x +ln(sin x−
❑√2
2 )的
定义域是（ ）
A．(
π
4 ,π
3 )
B．(
3π
4 , 5π
3 )
C．[
π
3 , 3π
4 )
D．[
π
4 ,π
3 )
【答案】C
【解题思路】由题直接求函数定义域即可.
【解答过程】由题意得{
1−2cos x ≥0
sin x−
❑√2
2 >0
0≤x ≤2π )
，解得{
π
3 ≤x ≤5π
3
π
4 < x< 3π
4 )
，所以π
3 ≤x< 3π
4 ，
即在[0,2π)内，函数f (x)的定义域为[
π
3 , 3π
4 )．
故选：C.
【变式1-3】（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数f (x)=3cos(ωx +π
6 )(ω>0)的最小正周期为2π
3 ，则
f (x)在[−π
6 ,π
6 )上的最大值为（ ）
A．1
B．3
2
C．2
D．3
【答案】D
【解题思路】由周期公式求得ω，然后由换元法即可求解.
【解答过程】由题意T = 2π
ω = 2π
3 ，解得ω=3，x∈[−π
6 ,π
6 )⇒t =3 x +π
6 ∈[−π
3 ,2π
3 )，
所以f (x)=3cost ,t ∈[−π
3 ,2π
3 )的最大值为3.
故选：D.
【题型2 三角函数的图象识别与交点问题】
【例2】（2025·天津·二模）函数f ( x)=cos x +2cos2 x +3cos3 x的大致图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】利用定义法证明f ( x)为偶函数，根据f (0)=6，结合排除法即可求解.
【解答过程】f ( x)的定义域为R，
则f (−x)=cos(−x)+2cos(−2 x)+3cos(−3 x)=cos x +2cos2 x +3cos3 x = f ( x)，
所以f ( x)为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除C，D 选项；
又因为f (0)=6，故排除B 选项.
故选：A．
【变式2-1】（2025·广东广州·模拟预测）当x∈[0,2π)时，曲线y =sin x与y =3sin(2 x−π
4 )的交点个
数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【解题思路】当x∈[0,2π)时，画出曲线y =sin x与y =3sin(2 x−π
4 )的图象即可得解.
【解答过程】当x∈[0,2π)时，曲线y =sin x与y =3sin(2 x−π
4 )的图象如图所示，
由图可知，当x∈[0,2π)时，曲线y =sin x与y =3sin(2 x−π
4 )的交点个数为4.
故选：B.
【变式2-2】（24-25 高一下·四川成都·月考）函数y =sin x−1
x 部分图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解题思路】根据0附近的函数值即可排除BC；根据f(
π
2 )的符号即可排除D.
【解答过程】函数y = f (x)=sin x−1
x 的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称，
因为f (−x)=−sin x−1
x =−f (x)，所以函数f (x)为奇函数，
当x>0且x→0时，f (x)→−∞，故排除BC；
又f(
π
2 )=1−2
π >0，故排除D.
故选：A.
【变式2-3】（2025·河南郑州·二模）函数f (x)=2sin(2 x + π
6)与函数g(x)=log2 x的图象交点个数为
（ ）
A．3
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【解题思路】利用五点法作出三角型函数图象，再用两点法作出对数函数图象，即可通过图象观察交点个
数.
【解答过程】
通过五点法(
π
6 ,2),(
5π
12 ,0),(
2π
3 ,−2),(
11π
12 ,0),(
7π
6 ,2)作出周期函数f (x)的图象，
再通过两点法(1,0),(4,2)作出单调函数g(x)= log2 x的图象，
因为4∈(
7π
6 ,17π
12 )，所以通过图象可判断它们有3个交点，
故选：A.
【题型3 三角函数图象变换问题】
【例3】（2025·安徽·二模）已知函数f (x)=sin2 x +acos2 x的一个零点是π
6 ，为了得到y =2cos2 x的
图象，需要将函数y = f (x)的图象（ ）
A．向左平移5π
12 个单位长度
B．向左平移5π
6 个单位长度
C．向右平移π
12个单位长度
D．向右平移π
6 个单位长度
【答案】A
【解题思路】根据零点，代入可得a=−❑√3，再利用辅助角公式化简得f (x)=2sin(2 x−π
3 )，再根据平
移变换求解即可．
【解答过程】依题意，得f(
π
6 )=sinπ
3 +acosπ
3 = 1
2 a+
❑√3
2 =0，得a=−❑√3，
所以f (x)=sin2 x−❑√3cos2 x =2sin(2 x−π
3 )，
y =2cos2 x =2sin(2 x +π
2 )=2sin[2(x + 5π
12 )−π
3 )，
了得到y =2cos2 x的图象，需要将函数y = f (x)的图象,
需要将函数y = f (x)的图象向左平移5π
12 个单位长度．
故选：A．
【变式3-1】（2025·新疆·模拟预测）将函数f (x)= ❑√3sin 2 x +cos2 x的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度
后得到函数g(x)的图象.若f (x)与g(x)的图象关于点(
π
8 ,0)对称，则φ的最小值为（ ）
A．π
12
B．5π
12
C．π
6
D．7π
12
【答案】D
【解题思路】根据辅助角公式化简f (x)=2sin(2 x +π
6 )，进而得到g(x)=2sin(2 x +2φ+π
6 )，由f (x)
与g(x)的图象关于点(
π
8 ,0)对称可得f(
π
4 −x)=−g(x)，进而得到
2sin(
2π
3 −2 x)=−2sin(2 x +2φ+π
6 )，进而求解即可.
【解答过程】由f (x)= ❑√3sin 2 x +cos2 x =2sin(2 x +π
6 )，
则g(x)= f (x +φ)=2sin[2(x +φ)+π
6 )=2sin(2 x +2φ+π
6 )，
因为f (x)与g(x)的图象关于点(
π
8 ,0)对称，所以f(
π
4 −x)=−g(x)，
而f(
π
4 −x)=2sin[2(
π
4 −x)+π
6 )=2sin(
2π
3 −2 x)，
则2sin(
2π
3 −2 x)=−2sin(2 x +2φ+π
6 )，
即sin(2 x−2π
3 )=sin(2 x +2φ+π
6 )对于任意x∈R恒成立，
所以2 x +2φ+π
6 =2 x−2π
3 +2k π,k ∈Z，或2 x−2π
3 +2 x +2φ+π
6 =π+2k π,k ∈Z（舍
去），
则φ =−5π
12 +k π,k ∈Z，又φ>0，则φ的最小值为7π
12 .
故选：D.
【变式3-2】（2025·四川泸州·一模）把函数y =sin(2 x +π
3 )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，
纵坐标不变，再把所得图象向右平移π
3 个单位长度，得到图象对应的解析式为（ ）
A．y =−sin 4 x
B．y =sin(x−π
6 )
C．y =sin(x + 2π
3 )
D．y =sin x
【答案】D
【解题思路】利用三角函数图象变换规则，先对函数进行伸长变换，再对所得图象进行向右平移变换，最
终得出函数解析式．
【解答过程】若把函数y =sin(2 x +π
3 )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，
则需将x替换为x
2，即y =sin(2⋅x
2 +π
3 )=sin(x +π
3 )，
再把所得图象y =sin(x +π
3 )向右平移π
3 个单位长度，则需将x替换为x−π
3 ，
即y =sin[(x−π
3 )+π
3 )=sin x，
∴最终得到的函数解析式为y =sin x，故D 正确．
故选：D．
【变式3-3】（2025·河北邢台·三模）已知函数f ( x)=sin 2 x +acos2 x的图象过点(0,❑√3)，将f ( x)的图
象向右平移π
12个单位长度后，得到函数g( x)的图象，则g( x)的图象的对称轴为（ ）
A．x =π
3 + k π
2 ，k ∈Z
B．x =π
6 + k π
2 ，k ∈Z
C．x = 5π
6 +k π，k ∈Z
D．x = 13π
12 +k π，k ∈Z
【答案】B
【解题思路】根据题意先求a，再利用三角恒等变换化简，最后由图像的变换得g(x)即可求解.
【解答过程】因为函数f ( x)=sin 2 x +acos2 x的图象过点(0,❑√3)，所以a= ❑√3，
所以f ( x)=sin 2 x + ❑√3cos2 x =2(
1
2 sin 2 x +
❑√3
2 cos2 x)=2sin(2 x +π
3 )，
将其图象向右平移π
12个单位长度得到g( x)=2sin(2 x +π
6 )的图象，
令2 x +π
6 =π
2 +k π，k ∈Z，解得x =π
6 + k π
2 ，k ∈Z.
故选：B.
【题型4 由部分图象求函数的解析式】
【例4】（2025·江苏淮安·模拟预测）函数f (x)= A sin(ωx +φ)( A >0,ω>0,φ∈[0,2π))的图像如图所
示，则f (x)=（ ）
A．3sin(
1
4 x +π
4 )
B．3sin(
1
4 x−π
4 )
C．3sin(
π
4 x +π
4 )
D．3sin(
π
4 x−π
4 )
【答案】C
【解题思路】由图象的最值得到A的值，由两个零点求出ω，最后代入特殊点求得φ，即可得到函数解析
式.
【解答过程】观察图象可得函数f (x)的最大值为3，最小值为−3，又A >0，
所以A =3，
又∵3−(−1)= T
2 ，∴T =8，∴ω= 2π
T
=π
4 ，
因为x = 3+(−1)
2
=1时函数f (x)取最大值3，
所以π
4 ×1+φ =2k π + π
2 ，k ∈Z，又φ∈[0,2π )，
∴φ=π
4 ，
∴f (x)=3sin(
π
4 x +π
4 ).
故选：C.
【变式4-1】（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，将函数f (x)= 4 sin (ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)的图象向左
平移得到g(x)= 4 sin ωx的图象，其中点A 是g(x)图象上的最高点，N , M分别是f (x)，g(x)的图象与x 轴
的相邻交点（如图所示），若| MN |=| AM |，△AMN的面积为10，则f (x)=（ ）
A．4sin(
π
6 x−5π
6 )
B．4sin(
π
6 x + 5π
6 )
C．4sin(
π
3 x−π
3 )
D．4sin(
π
6 x−π
3 )
【答案】A
【解题思路】设图象向左平移最小θ(θ>0)个单位，得到ωθ+φ =0，再结合三角形△AMN的面积及
| MN |=| AM |，列出等式求解ω,φ即可.
【解答过程】函数f (x)= 4 sin (ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)的图象向左平移最小θ(θ>0)个单位得到
g(x)= 4 sin ωx，
则4 sin[ω(x +θ)+φ)= 4 sin (ωx +ωθ+φ)= 4 sin ωx，
又ω>0,|φ|<π，
所以ωθ+φ =0，即θ = −φ
ω ，
所以| MN |= −φ
ω ，
三角形△AMN的面积1
2 × −φ
ω ×4 =10，
即φ
ω =−5，
又函数的周期为2π
ω ，
所以| AM |= ❑√
16+(
π
2ω)
2
= −φ
ω ，联立φ
ω =−5，
解得：ω=π
6 ,φ=−5π
6 ，
所以f (x)= 4sin(
π
6 x−5π
6 )，
故选：A.
【变式4-2】（2025·江西吉安·模拟预测）如图函数f (x)= A sin(ωx +φ)(A ,ω>0,|φ)<π
2 )的图象过点
(0,−1),(
π
6 ,1),(
π
2 ,1)三点，则ω的值为（ ）
A．1
2
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解题思路】根据正弦型函数的对称性结合图象得一组相邻的对称中心与对称轴，从而确定函数f (x)的最
小正周期，即可得ω的值.
【解答过程】由图可知点(0,−1),(
π
6 ,1)的中点(
π
12 ,0)为函数f (x)的对称中心，
由于f (x)过(
π
6 ,1),(
π
2 ,1)，则直线x =π
3 为函数f (x)的对称轴，
则由图可得1
4 T =π
3 −π
12 =π
4 ，则最小正周期T =2π
ω =π，解得ω=2.
故选：C.
【变式4-3】（2025·天津滨海新区·三模）已知函数f (x)= A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π
2 )的部分图
象如图所示，关于该函数有下列四个说法：
①f (x)在区间[
π
12 , 7π
12 )上单调递减
②f (x)的图象可由y =2sin2 x的图象向左平移π
6 个单位得到
③f (x)的对称轴为x = 5π
12 +k π(k ∈Z)
④f (x)在区间[0,π
2 )上的最小值为−❑√3
以上四个说法中，正确的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解题思路】根据题中给定图象可得函数解析式，然后利用正弦函数的性质和图象变换对各个选项进行判
断即可．
【解答过程】由图可知，A =2, T
4 =π
3 −π
12 =π
4 ，即T =π，则ω= 2π
T
=2，
此时f ( x)=2sin(2 x +φ)，又f(
π
12)=2sin(
π
6 +φ)=2，
则π
6 +φ=π
2 +2k π，k ∈Z，即φ=π
3 +2k π，k ∈Z，
又0<φ<π
2 ，所以φ=π
3 ，则f ( x)=2sin(2 x +π
3 ).
对于①，当x∈[
π
12 , 7π
12 )时，2 x +π
3 ∈[
π
2 ,3π
2 )，
因为函数y =sin x在[
π
2 ,3π
2 )上单调递减，
所以f (x)在区间[
π
12 , 7π
12 )上单调递减，故①正确；
对于②，y =2sin2 x的图象向左平移π
6 得到y =2sin[2(x +π
6 ))=2sin(2 x +π
3 )，故②正确；
对于③，令2 x +π
3 =k π+π
2
(k ∈Z)，解得x = k π
2 +π
12
(k ∈Z)，
所以f (x)的对称轴为x = k π
2 +π
12
(k ∈Z)，故③错误；
对于④，当x∈[0,π
2 )时，2 x +π
3 ∈[
π
3 ,4π
3 )，则sin(2 x +π
3 )∈[−
❑√3
2 ,1)，
则2sin(2 x +π
3 )∈[−❑√3,2)，则f (x)在区间[0,π
2 )上的最小值为−❑√3，故④正确.
故选：C.
【题型5 三角函数的单调性问题】
【例5】（2025·陕西西安·二模）已知函数f (x)=sin(ωx −π
4 )(ω>0),f (x)在[0,π
4 )上单调，则ω的最
大值为（ ）
A．5
2
B．3
C．2
D．7
2
【答案】B
【解题思路】法一：由−π
2 +2k π≤ωx−π
4 ≤π
2 +2k π，求得单调增区间，再结合集合包含关系即可
求解，法二：由x∈[0,π
4 )得到ωx −π
4 ∈[−π
4 ,π
4 ω−π
4 )，再结合集合包含关系即可求解.
【解答过程】方法一：由正弦函数的单调性，令−π
2 +2k π≤ωx−π
4 ≤π
2 +2k π，
解得−π
4 ω + 2k π
ω
≤x ≤3π
4 ω + 2k π
ω
，k ∈Z
又f (x)在[0,π
4 )单调，
所以当k =0时，[0,π
4 )⊆[−π
4 ω , 3π
4 ω)，即π
4 ≤3π
4 ω ，
解得ω≤3，所以ω的最大值为3.
方法二：x∈[0,π
4 ),ωx −π
4 ∈[−π
4 ,π
4 ω−π
4 ),f (x)在[0,π
4 )单调，
故[−π
4 ,π
4 ω−π
4 )⊆[−π
2 ,π
2 )∴π
4 ω−π
4 ≤π
2 ,ω≤3，
所以ω的最大值为3.
故选：B.
【变式5-1】（2025·陕西汉中·三模）函数f (x)=cos(2 x−π
6 )的一个单调递减区间为（ ）
A．(
π
2 , 3π
2 )
B．(0,π)
C．(
π
12 , 7π
12 )
D．(
π
3 , 5π
6 )
【答案】C
【解题思路】利用整体代入法结合余弦函数的性质可求单调减区间.
【解答过程】由2k π<2 x−π
6 <2k π+π,k ∈Z，得k π+π
12 < x<k π+7π
12 ,k ∈Z，
故f (x)的单调减区间为(k π+π
12 ,k π+7π
12 ),k ∈Z，
对比各选项，只有C 符合.
故选：C.
【变式5-2】（2025·辽宁·二模）已知函数f ( x)=cos(ωx +π
6 )(ω>0)在区间(
π
2 , 3π
2 )上单调，则ω的
取值范围为（ ）
A．(
5
9 ,1)
B．[
5
9 ,1)
C．(0, 5
9)
D．(0, 5
9)
【答案】D
【解题思路】结合题设和函数的周期公式可得0<ω≤1，再根据余弦函数的性质可得3ωπ
2
+π
6 ≤π，进
而求解即可.
【解答过程】由题可知f ( x)的最小正周期为T = 2π
ω ，因为f ( x)在区间(
π
2 , 3π
2 )上单调，
所以1
2 T ≥3π
2 −π
2 =π，则π
ω ≥π，解得0<ω≤1，
当x∈(
π
2 , 3π
2 )时，ωx +π
6 ∈(
ωπ
2
+π
6 , 3ωπ
2
+π
6 )，
且ωπ
2
+π
6 ∈(
π
6 , 2π
3 )，3ωπ
2
+π
6 ∈(
π
6 , 5π
3 )，
所以3ωπ
2
+π
6 ≤π，解得ω≤ 5
9，结合0<ω≤1，得ω的取值范围为(0, 5
9)．
故选：D．
【变式5-3】（2025·湖南·一模）下列函数中，f (x)为周期函数，且在区间(
π
6 , π
4)上单调递减的是
（ ）
A．f (x)=sin|x)+1
B．f (x)=|sin2 x)+2
C．f (x)=cos|3 x)+3
D．f (x)=|cos4 x)+ 4
【答案】C
【解题思路】由f (x)在区间(
π
6 ,π
4 )上的单调性可排除ABD，根据函数的周期性和在区间(
π
6 ,π
4 )上的
单调性即可确定C 正确.
【解答过程】对于A：当x∈(
π
6 ,π
4 )时，f (x)=sin x +1，函数在(
π
6 ,π
4 )上显然单调递增，故A 错
误；
对于B：当x∈(
π
6 ,π
4 )时，sin2 x>0，则f (x)=sin 2 x +2在(
π
6 ,π
4 )上显然单调递增，故B 错误；
对于D：x∈(
π
6 ,π
4 )时，2π
3 <4 x<π，则cos 4 x<0，f (x)=−cos 4 x + 4.该函数在(
π
6 , π
4)单调递增，
故D 错误；
对于C：x∈(
π
6 ,π
4 )时，π
2 <3 x< 3 π
4 ，则f ( x)=cos3 x +3在(
π
6 ,π
4 )上单调递减，且为最小正周期
是2π
3 的周期函数，故C 正确.
故选：C.
【题型6 三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】
【例6】（2025·上海普陀·一模）下列函数中，周期为π的奇函数是（ ）
A．y =|sin x)
B．y =cos
2 x−sin
2 x
C．y =cos(
π
2 −x)
D．y =sin2 x
1+cos2 x
【答案】D
【解题思路】利用三角函数的周期公式及奇函数的定义，结合诱导公式和二倍角公式逐项分析即可求解.
【解答过程】对于A，根据y = f (x)=|sin x)图象可知T =π，函数的定义域为R，
f (−x)=|sin (−x))=|sin x)= f (x)，
所以f (x)以π为周期的偶函数，故A 错误；
对于B，y = f (x)=cos
2 x−sin
2 x =cos2 x，T = 2π
2 =π，函数的定义域为R，
f (−x)=cos
2(−x)−sin
2(−x)=cos
2 x−sin
2 x = f (x)，所以f (x)以π为周期的偶函数，故B 错误；
对于C，y = f (x)=cos(
π
2 −x)=sin x，T = 2π
1 =2π，函数的定义域为R，
f (−x)=sin (−x)=−sin x =−f (x)，
所以f (x)以2π为周期的奇函数，故C 错误；
对于D，y = f (x)=sin2 x
1+cos2 x =2sin x cos x
1+2cos
2 x−1
=2sin x cos x
2cos
2 x
= tan x，函数的定义域为
{x) x≠k π+π
2 ,k ∈Z)关于原点对称，
且f (−x)= tan (−x)=−tan x =−f (x)，
所以f (x)以π为周期的奇函数，故D 正确.
故选：D.
【变式6-1】（2025·江西新余·模拟预测）已知函数f (x)=sin (π−cos x)，则下列结论不正确的是（ ）
A．f (x)是偶函数
B．f (x)的单调递增区间为[2k π−π,2k π)(k ∈Z)
C．f (x)是周期为π的周期函数
D．f (x)的图象关于点(
π
2 ,0)对称
【答案】C
【解题思路】化简函数f (x)的解析式，利用函数奇偶性的定义可判断A 选项；利用复合函数的单调性可判
断B 选项；利用函数周期性的定义可判断C 选项；利用函数对称性的定义可判断D 选项.
【解答过程】由题知，f (x)=sin (cos x)，且该函数的定义域为R，
∵f (−x)=sin[cos(−x)]=sin (cos x)= f (x)，∴f (x)是偶函数，故结论A 正确；
∵u=cos x的单调递增区间为[2k π−π,2k π)(k ∈Z)，值域为[−1,1)，
y =sinu在区间[−1,1)上单调递增，∴f (x)的单调递增区间为[2k π−π,2k π)(k ∈Z)，故B 选项正
确；
∵f (x +π)=sin[cos(x +π))=sin (−cos x)=−sin (cos x)≠f (x)，
∴f (x)不是周期为π的周期函数，故C 选项错误；
∵f (π−x)=sin[cos(π−x))=sin (−cos x)=−sin (cos x)=−f (x)，
∴f (x)的图象关于点(
π
2 ,0)对称，故D 正确，
故选：C．
【变式6-2】（2025·江苏盐城·模拟预测）若函数f (x)=tan(ωx +φ)(ω>0,φ>0)的图象与直线y =a的两个
相邻交点之间的距离为π
2 ，且f(x +π
12)为奇函数，则φ的最小值为（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
【答案】B
【解题思路】依题意可得f (x)的最小正周期T =π
2 ，即可求出ω，从而表示出f(x +π
12)的解析式，再根据
其奇偶性求出φ．
【解答过程】因为函数f ( x)= tan(ωx +φ)(ω>0,φ>0)的图象与直线y =a的两个相邻交点之间的距离为
π
2 ，
所以f (x)的最小正周期T =π
2 ，又T =π
ω =π
2 ，所以ω=2，
所以f ( x)= tan(2 x +φ)，则f(x +π
12)= tan(2 x +φ+π
6 )，又f(x +π
12)为奇函数且φ>0，
所以φ+π
6 = k π
2 (k ∈N
*)，所以φ=−π
6 + k π
2 (k ∈N
*)，
所以φ的最小值为π
3 ．
故选：B．
【变式6-3】（2025·海南·模拟预测）已知函数f (x)=sin(ωx +π
3 )(ω>0)图象的相邻两条对称轴之间的
距离为π
2 ,g(x)=sin(2 x + 2π
3 )，则（ ）
A．f (x)的最小正周期为2π
B．f (x)的图象关于点(
2π
3 ,0)对称
C．将g(x)的图象向左平移π
3 个单位长度可得到f (x)的图象
D．f (x)与g(x)的图象关于y轴对称
【答案】D
【解题思路】根据相邻对称轴之间的距离求出周期后可判断A 的正误，利用代入检验法可判断B 的正误，
利用平移变换的规律求出平移后图象对应的解析可判断C 的正误，利用对称性可判断D 的正误.
【解答过程】对于A，因为相邻对称轴之间的距离为π
2 ，故最小正周期为2π
ω =2×π
2 =π，
故A 错误；
对于B，由A 可得ω=2，故f (x)=sin(2 x +π
3 )，
而f(
2π
3 )=sin(2×2π
3 +π
3 )=−
❑√3
2 ≠0，故f (x)的图象不关于点(
2π
3 ,0)对称，
故B 错误；
对于C，将g(x)的图象向左平移π
3 个单位长度后，
所得图象对应的解析式为y =sin(2 x + 2π
3 + 2π
3 )=sin(2 x + 4π
3 )=−sin(2 x +π
3 )≠f (x)，
故g(x)的图象左平移π
3 个单位长度得不到f (x)的图象，故C 错误；
对于D，g(x)=sin(2 x−π
3 +π)=−sin(2 x−π
3 )，
而f (−x)=sin(−2 x +π
3 )=−sin(2 x−π
3 )= g(x)，
所以f (x)与g(x)的图象关于y轴对称，故D 正确；
故选：D .
【题型7 三角函数的零点问题】
【例7】（2025·陕西榆林·模拟预测）设函数f (x)=sinωx在区间(0,π)上恰有2 个极值点､1 个零点，则ω
的取值范围是（ ）
A．(
3
2 ,2)
B．(
3
2 ,2)
C．[−2,−3
2)∪(
3
2 ,2)
D．(−2,−3
2)∪(
3
2 ,2)
【答案】C
【解题思路】根据正弦函数的图像和性质进行求解即可.
【解答过程】x∈(0,π)，
若ω>0，则ωx ∈(0,ωπ).
要使得f (x)在区间(0,π)上恰有2 个极值点、1 个零点，
则3π
2 <ωπ≤2π，解得3
2 <ω≤2.
若ω<0，则ωx ∈(ωπ,0).
要使f (x)在区间(0,π)上恰有2 个极值点、1 个零点，
则−2π≤ωπ<−3π
2 ，解得−2≤ω<−3
2.
故ω的取值范围是[−2,−3
2)∪(
3
2 ,2).
故选：C.
【变式7-1】（2025·辽宁·模拟预测）设ω>0，已知函数f (x)=sin (ωsin x)在区间(0,π)内恰有2025 个零
点，则ω=（ ）
A．1010π
B．1011π
C．1012π
D．1013π
【答案】D
【解题思路】根据题意由正弦函数的零点结合图象可得.
【解答过程】令f (x)=0，得ωsin x =k π，k ∈Z，所以sin x = k π
ω ，k ∈Z，
又x∈(0,π)，所以0<sin x ≤1，所以0< k π
ω ≤1，k ∈Z，
所以ω≥k π，k ∈N
∗，
由题可得方程sin x = k π
ω (k ∈N
∗)有2025 个根，
即曲线y =sin x与直线y = k π
ω ，k ∈N
∗在区间(0,π)内共有2025 个交点.
当k =1时，sin x =π
ω ，
当k =2时，sin x = 2π
ω ，
当k =3时，sin x = 3π
ω ，…，
由题意及曲线y =sin x在区间(0,π)内的图象可知方程sin x = k π
ω
(k =1,2,⋅⋅⋅,1012)分别有两个不同实
根，且各根均不同，所以需1013π
ω
=1，所以ω=1013π.
故选：D.
【变式7-2】（2025·湖南益阳·三模）函数f ( x)=cos2 x−sin x在(−2π,2π)内的零点之和为（ ）
A．−π
B．−2π
C．−π
2
D．0
【答案】A
【解题思路】由题意有f ( x)=cos2 x−sin x =−2(sin x + 1
4)
2
+ 9
8 ，令f (x)=0，解得sin x =−1或sin x = 1
2
，作出y =sin x在x∈(−2π,2π)的图像，利用数形结合即可求解.
【解答过程】由题意有f ( x)=cos2 x−sin x =1−2sin
2 x−sin x =−2(sin x + 1
4)
2
+ 9
8 ，
令f (x)=0，有−2(sin x + 1
4)
2
+ 9
8 =0，即(sin x + 1
4)
2
= 9
16 ，
解得sin x =−1或sin x = 1
2，
作出y =sin x在x∈(−2π,2π)的图像，
则y = 1
2与y =sin x的交点的横坐标为x1, x2, x4, x5，x1< x2< x4< x5，
y =−1与y =sin x的交点横坐标为x3, x6，x3< x6，
由图可知x1+ x2=2×(−3π
2 )=−3π，x4+ x5=2×π
2 =π，x3=−π
2 , x6= 3π
2 ，
所以x1+ x2+ x3+ x4+ x5+ x6=−3π+(−π
2 )+π+ 3π
2 =−π，
故选：A.
【变式7-3】（2025·辽宁·二模）将函数f ( x)=sin x的图像先向右平移π
3 个单位长度，再把所得函数图像
上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的1
ω (ω>0)倍，得到函数g( x)的图像．已知函数g( x)在
[0,π
2 )上有两个零点，则ω的取值范围为（ ）
A．[
8
3 , 14
3 )
B．[
7
3 , 14
3 )
C．[
8
3 , 13
3 )
D．[
7
3 , 13
3 )
【答案】A
【解题思路】先根据平移伸缩得到函数的解析式，再根据g( x)在[0,π
2 )上有两个零点列出不等式组，解
出取值范围即可．
【解答过程】由题可知，g( x)=sin(ωx −π
3 )，
当x∈[0,π
2 )时，ωx −π
3 ∈[−π
3 , ωπ
2
−π
3 )，
因为函数g( x)在[0,π
2 )上有两个零点，
所以π≤ωπ
2
−π
3 <2π，解得8
3 ≤ω< 14
3 ，
故选：A．
【题型8 三角函数与三角恒等变换的综合应用】
【例8】（2025·四川德阳·模拟预测）已知函数f (x)=2sin x +cos x，x∈R，则f (x)的最大值与最小正
周期分别为（ ）
A．3，2π
B．3，π
C．❑√5，2π
D．❑√5，π
【答案】C
【解题思路】根据辅助角公式，对函数进行化简，进而根据正弦函数性质，求出函数最大值与最小正周期.
【解答过程】由题意得f (x)=2sin x +cos x = ❑√5(
2❑√5
5
sin x +
❑√5
5 cos x)= ❑√5sin (x +φ)，其中tan φ= 1
2
，
则f (x)最大值为❑√5，最小正周期为2π.
故选：C.
【变式8-1】（2025·四川自贡·一模）若函数f ( x)= ❑√3sin ωx +cosωx(ω>0)满足f ( x +π)= f ( x)，且在
(0,π
6 )没有零点，则ω的最大值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【解题思路】利用辅助角公式化简函数f ( x)，再利用指定区间上无零点及周期情况列式求解.
【解答过程】函数f ( x)= ❑√3sin ωx +cosωx =2sin(ωx +π
6 )，当x∈(0,π
6 )时，
ωx +π
6 ∈(π
6 , ωπ+π
6
)，
由函数f ( x)在(0,π
6 )没有零点，得ωπ+π
6
≤π，解得ω≤5，
由f ( x +π)= f ( x)，得π是函数f ( x)的周期，则π=k ⋅2π
ω ,k ∈N
∗，
解得ω=2k ,k ∈N
∗，所以当k =2时，ω取得最大值4.
故选：A.
【变式8-2】（2025·河北·一模）将函数 f (x)=sinωx + ❑√3cosωx(ω>0)的图象向右平移π
3 个单位长
度，得到的图象关于y轴对称，则ω的最小值为（ ）
A．7
2
B．5
2
C．3
2
D．1
2
【答案】B
【解题思路】化简f (x)=2sin(ωx +π
3 )，由三角函数的图象变换，得到g(x)=2sin(ωx +π
3 −ωπ
3
)，
结合y = g(x)的图象关于y轴对称，求得ω=−1
2 −3k ,k ∈Z，进而得到答案.
【解答过程】由函数f (x)=sinωx + ❑√3cosωx =2sin(ωx +π
3 )，
将函数f (x)的图象向右平移π
3 个单位长度，
得到g(x)=2sin[ω( x−π
3 )+π
3 ]=2sin(ωx +π
3 −ωπ
3
)，
因为y = g(x)的图象关于y轴对称，可得π
3 −ωπ
3
=π
2 +k π,k ∈Z，
解得ω=−1
2 −3k ,k ∈Z，
又因为ω>0，所以ω的最小值为5
2.
故选：B.
【变式8-3】（2025·全国·模拟预测）已知函数f (x)=sinωx +a⋅cosωx(a>0,ω>0)的最小正周期为π
，最小值为−❑√2，则（ ）
A．f (x)的图象关于直线x =−π
4 对称
B．f (x)的图象关于点(−π
4 ,0)对称
C．先将y = ❑√2sin x上的点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再将图象向左平移π
8 个单位可得
到f (x)的图象
D．先将y = ❑√2sin x向左平移π
8 个单位，再将图象上的点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变可
得f (x)的图象
【答案】C
【解题思路】先利用辅助角公式化简函数解析式，根据周期与最值求出ω,a的值，即得函数解析式
f (x)= ❑√2sin(2 x +π
4 )，根据正弦函数的图象对称性和平移伸缩变换的规律即可对各选项逐一判断.
【解答过程】f (x)=sinωx +a⋅cosωx =
❑√a
2+1sin(ωx +φ)，其中tanφ =a，
因为函数的最小正周期为π，ω>0，则2π
ω =π，解得ω=2，
又函数的最小值为−❑√2，所以❑√a
2+1= ❑√2，因a>0，则可得a=1，
所以f (x)=sin2 x +cos2 x = ❑√2sin(2 x +π
4 )．
对于A，因为f (−π
4 )= ❑√2sin(−π
4 )=−1≠± ❑√2，即函数图象不关于直线x =−π
4 对称，故A 错误；
对于B，因为f (−π
4 )= ❑√2sin(−π
4 )=−1≠0，即函数图象不关于点(−π
4 ,0)对称，故B 错误；
对于C，将y = ❑√2sin x上的点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，可得y = ❑√2sin2 x的图象，
再将图象向左平移π
8 个单位可得到y = ❑√2sin2( x +π
8 )= ❑√2sin(2 x +π
4 )即函数f (x)的图象，故C 正
确；
对于D，将y = ❑√2sin x向左平移π
8 个单位，可得y = ❑√2sin( x +π
8 )的图象，再将图象上点的横坐标变
为原来的一半，纵坐标不变，可得y = ❑√2sin(2 x +π
8 )的图象，而不是函数f (x)的图象，故D 错误.
故选：C．
考点一 三角函数的图象与性质
一、单选题
1．（2025·全国一卷·高考真题）已知点(a,0)(a>0)是函数y =2tan(x−π
3 )的图象的一个对称中心，则
a 的最小值为（ ）
A．π
6
B．π
3
C．π
2
D．4π
3
【答案】B
【解题思路】根据正切函数的对称中心的结论求解.
【解答过程】根据正切函数的性质，y =2tan( x−π
3 )的对称中心横坐标满足x−π
3 = k π
2 ,k ∈Z，
即y =2tan( x−π
3 )的对称中心是(
π
3 + k π
2 ,0),k ∈Z，
即a=π
3 + k π
2 ,k ∈Z，
又a>0，则k =0时a最小，最小值是π
3 ，
即a=π
3 .
故选：B.
2．（2025·北京·高考真题）设函数f ( x)=sin ωx +cosωx(ω>0)，若f ( x +π)= f ( x)恒成立，且f ( x)在
[0,π
4 )上存在零点，则ω的最小值为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．3
【答案】C
【解题思路】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解.
【解答过程】函数f ( x)=sin ωx +cosωx = ❑√2sin(ωx +π
4 )(ω>0)，
设函数f ( x)的最小正周期为T，由f ( x +π)= f ( x)可得kT =π,(k ∈N
∗)，
所以T = 2π
ω =π
k ,(k ∈N
∗)，即ω=2k ,(k ∈N
∗)；
又函数f ( x)在[0,π
4 )上存在零点，且当x∈[0,π
4 )时，ωx +π
4 ∈[
π
4 ,πω
4
+π
4 )，
所以πω
4
+π
4 ≥π，即ω≥3；
综上，ω的最小值为4.
故选：C.
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当x∈[0,2π ]时，曲线y =sin x与y =2sin(3 x−π
6)的交点个数为
（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【解题思路】画出两函数在[0,2π)上的图象，根据图象即可求解
【解答过程】因为函数y =sin x的最小正周期为T =2π，
函数y =2sin(3 x−π
6 )的最小正周期为T = 2π
3 ，
所以在x∈[0,2π)上函数y =2sin(3 x−π
6 )有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：
由图可知，两函数图象有6 个交点.
故选：C.
4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数f ( x)=a( x +1)
2−1，g( x)=cos x +2ax，当x∈(−1,1)时，
曲线y = f ( x)与y = g( x)恰有一个交点，则a=（ ）
A．−1
B．1
2
C．1
D．2
【答案】D
【解题思路】解法一：令F (x)=a x
2+a−1,G (x)=cos x，分析可知曲线y = F( x)与y =G( x)恰有一个交
点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得a=2，并代入检验即可；解法二：令
h(x)= f ( x)−g(x), x∈(−1,1)，可知h(x)为偶函数，根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0，即
可得a=2，并代入检验即可.
【解答过程】解法一：令f ( x)= g(x)，即a( x +1)
2−1=cos x +2ax，可得a x
2+a−1=cos x，
令F (x)=a x
2+a−1,G (x)=cos x，
原题意等价于当x∈(−1,1)时，曲线y = F( x)与y =G( x)恰有一个交点，
注意到F (x),G (x)均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，
可得F (0)=G (0)，即a−1=1，解得a=2，
若a=2，令F (x)=G (x)，可得2 x
2+1−cos x =0
因为x∈(−1,1)，则2 x
2≥0,1−cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，
可得2 x
2+1−cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，
则方程2 x
2+1−cos x =0有且仅有一个实根0，即曲线y = F( x)与y =G( x)恰有一个交点，
所以a=2符合题意；
综上所述：a=2.
解法二：令h(x)= f ( x)−g(x)=a x
2+a−1−cos x , x∈(−1,1)，
原题意等价于h(x)有且仅有一个零点，
因为h(−x)=a(−x)
2+a−1−cos(−x)=a x
2+a−1−cos x =h(x)，
则h(x)为偶函数，
根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0，
即h(0)=a−2=0，解得a=2，
若a=2，则h(x)=2 x
2+1−cos x , x∈(−1,1)，
又因为2 x
2≥0,1−cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，
可得h(x)≥0，当且仅当x =0时，等号成立，
即h(x)有且仅有一个零点0，所以a=2符合题意；
故选：D.
5．（2023·全国甲卷·高考真题）函数y = f (x)的图象由函数y =cos(2 x +π
6 )的图象向左平移π
6 个单位长
度得到，则y = f (x)的图象与直线y = 1
2 x−1
2的交点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解题思路】先利用三角函数平移的性质求得f (x)=−sin 2 x，再作出f (x)与y = 1
2 x−1
2的部分大致图
像，考虑特殊点处f (x)与y = 1
2 x−1
2的大小关系，从而精确图像，由此得解.
【解答过程】因为y =cos(2 x +π
6 )向左平移π
6 个单位所得函数为
y =cos[2(x +π
6 )+π
6 )=cos(2 x +π
2 )=−sin2 x，所以f (x)=−sin 2 x，
而y = 1
2 x−1
2显然过(0,−1
2)与(1,0)两点，
作出f (x)与y = 1
2 x−1
2的部分大致图像如下，
考虑2 x =−3π
2 ,2 x = 3π
2 ,2 x =7π
2 ，即x =−3π
4 , x = 3π
4 , x =7π
4 处f (x)与y = 1
2 x−1
2的大小关系，
当x =−3π
4 时，f(−3π
4 )=−sin(−3π
2 )=−1，y = 1
2 ×(−3π
4 )−1
2 =−3π+ 4
8
<−1；
当x = 3π
4 时，f(
3π
4 )=−sin 3π
2 =1，y = 1
2 × 3π
4 −1
2 = 3π−4
8
<1；
当x =7π
4 时，f(
7π
4 )=−sin 7π
2 =1，y = 1
2 × 7π
4 −1
2 = 7π−4
8
>1；
所以由图可知，f (x)与y = 1
2 x−1
2的交点个数为3.
故选：C.
6．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数f ( x)=sin(ωx +φ),(ω>0)在区间(
π
6 , 2π
3 )单调递增，直线
x =π
6 和x = 2π
3 为函数y = f (x)的图像的两条相邻对称轴，则f(−5π
12 )=（ ）
A．−
❑√3
2
B．−1
2
C．1
2
D．
❑√3
2
【答案】D
【解题思路】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入x =−5 π
12 即可得到答案.
【解答过程】因为f ( x)=sin(ωx +φ)在区间(
π
6 , 2π
3 )单调递增，
所以T
2 = 2π
3 −π
6 = π
2 ，且ω>0，则T = π，ω= 2π
T =2，
当x = π
6 时，f (x)取得最小值，则2⋅π
6 +φ=2k π −π
2 ，k ∈Z，
则φ=2k π −5 π
6 ，k ∈Z，不妨取k =0，则f ( x)=sin(2 x−5 π
6 )，
则f(−5 π
12)=sin(−5 π
3 )=
❑√3
2 ，
故选：D.
二、多选题
7．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数f ( x)=sin 2 x和g( x)=sin(2 x−π
4 )，下列说法中正确的有
（ ）
A．f ( x)与g( x)有相同的零点
B．f ( x)与g( x)有相同的最大值
C．f ( x)与g( x)有相同的最小正周期
D．f ( x)与g( x)的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【解题思路】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.
【解答过程】A 选项，令f ( x)=sin 2 x =0，解得x = k π
2 ,k ∈Z，即为f ( x)零点，
令g( x)=sin(2 x−π
4 )=0，解得x = k π
2 +π
8 ,k ∈Z，即为g( x)零点，
显然f ( x),g( x)零点不同，A 选项错误；
B 选项，显然f ( x)max = g( x)max =1，B 选项正确；
C 选项，根据周期公式，f ( x), g( x)的周期均为2π
2 =π，C 选项正确；
D 选项，根据正弦函数的性质f ( x)的对称轴满足2 x =k π+π
2 ⇔x = k π
2 +π
4 ,k ∈Z，
g( x)的对称轴满足2 x−π
4 =k π+π
2 ⇔x = k π
2 + 3π
8 ,k ∈Z，
显然f ( x),g( x)图像的对称轴不同，D 选项错误.
故选：BC.
三、填空题
8．（2024·全国甲卷·高考真题）函数f (x)=sin x−❑√3cos x在[0,π)上的最大值是
．
【答案】2
【解题思路】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.
【解答过程】f (x)=sin x−❑√3cos x =2sin(x−π
3 )，当x∈[0,π)时，x−π
3 ∈[−π
3 , 2π
3 )，
当x−π
3 =π
2 时，即x =5π
6 时，f (x)max =2.
故答案为：2.
9．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数f (x)=cosωx −1(ω>0)在区间[0,2π)有且仅有3 个零点，则
ω的取值范围是
．
【答案】[2,3)
【解题思路】令f ( x)=0，得cosωx =1有3 个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【解答过程】因为0≤x ≤2π，所以0≤ωx ≤2ωπ，
令f ( x)=cosωx −1=0，则cosωx =1有3 个根，
令t =ωx，则cost =1有3 个根，其中t ∈[0,2ωπ]，
结合余弦函数y =cost的图像性质可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3，
故答案为：[2,3).
10．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数f (x)=sin (ωx +φ)，如图A，B 是直线y = 1
2与曲线y = f (x)的
两个交点，若|AB)=π
6 ，则f (π)=
．
【答案】−
❑√3
2
【解题思路】设A(x1, 1
2),B(x2, 1
2)，依题可得，x2−x1=π
6 ，结合sin x = 1
2的解可得，
ω(x2−x1)= 2π
3 ，从而得到ω的值，再根据f(
2
3 π)=0以及f (0)<0，即可得f ( x)=sin(4 x−2
3 π)，进
而求得f (π)．
【解答过程】设A(x1, 1
2),B(x2, 1
2)，由|AB)=π
6 可得x2−x1=π
6 ，
由sin x = 1
2可知，x =π
6 +2k π或x =5π
6 +2k π，k ∈Z，由图可知，
ω x2+φ−(ω x1+φ)= 5
6 π−π
6 = 2π
3 ，即ω(x2−x1)= 2π
3 ，∴ω= 4．
因为f(
2
3 π)=sin(
8π
3 +φ)=0，所以8π
3 +φ =k π，即φ =−8
3 π+ k π，k ∈Z．
所以f ( x)=sin(4 x−8
3 π+k π)=sin(4 x−2
3 π+k π)，
所以f (x)=sin(4 x−2
3 π)或f (x)=−sin(4 x−2
3 π)，
又因为f (0)<0，所以f ( x)=sin(4 x−2
3 π)，∴f (π)=sin(4π−2
3 π)=−
❑√3
2 ．
故答案为：−
❑√3
2 ．
四、解答题
11．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数f ( x)=cos(2 x +φ)(0≤φ<π),f (0)= 1
2．
(1)求φ;
(2)设函数g( x)= f ( x)+ f(x−π
6 )，求g( x)的值域和单调区间．
【答案】(1)φ=π
3
(2)答案见解析
【解题思路】（1）直接由题意得cosφ = 1
2 ,(0≤φ<π)，结合余弦函数的单调性即可得解；
（2）由三角恒等变换得g(x)= ❑√3cos(2 x +π
6 )，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数g(x)的单
调区间.
【解答过程】（1）由题意f (0)=cosφ= 1
2 ,(0≤φ<π)，所以φ =π
3 ；
（2）由（1）可知f (x)=cos(2 x +π
3 )，
所以g(x)= f (x)+ f(x−π
6 )=cos(2 x +π
3 )+cos2 x
= 1
2 cos2 x−
❑√3
2 sin 2 x +cos2 x = 3
2 cos2 x−
❑√3
2 sin 2 x = ❑√3cos(2 x +π
6 )，
所以函数g(x)的值域为[−❑√3,❑√3)，
令2k π≤2 x +π
6 ≤π+2k π,k ∈Z，解得−π
12 + k π≤x ≤5π
12 +k π,k ∈Z，
令π+2k π≤2 x +π
6 ≤2π+2k π,k ∈Z，解得5π
12 +k π≤x ≤11π
12 +k π,k ∈Z，
所以函数g(x)的单调递减区间为[−π
12 + k π,5π
12 + k π),k ∈Z，
函数g(x)的单调递增区间为[
5π
12 + k π,11π
12 +k π),k ∈Z.
