微专题2 三角恒等变换与解三角形
近几年高考：1.利用三角恒等式及其变换对三角函数式化简、
求值是高考命题的热点,常以选择题、填空题的形式考查,难度
中档偏下. 2.利用三角恒等变换研究三角函数的性质,是高考常
见题型,多为中档题. 3.应用正弦定理、余弦定理解三角形是高
考的必考内容,主要考查边、角、面积、周长等的计算,既有选
择、填空题,也有解答题,难度为中档或偏下.
一、高考真题
1.(2025·新高考Ⅱ卷)已知0<α<π,cos α
2
=
❑√5
5
,则
sin (α −π
4)=( )
A.
❑√2
10
B.
❑√2
5
C.
3 ❑√2
10
D.7 ❑√2
10
2.(2024·全国甲卷)已知
cos α
cos α −sin α
=❑√3,则tan
(α + π
4)=( )
A.2❑√3+1
B.2❑√3-1
C.
❑√3
2
D.1-❑√3
3.(2025·新高考Ⅱ卷)在△ABC 中,BC=2,AC=1+❑√3,AB=❑√6,
则A=( )
A.45° B.60° C.120°
D.135°
4.(多选)(2025·新高考Ⅰ卷)已知△ABC 的面积为1
4
,若cos
2A+cos 2B+2sin C=2,cos Acos Bsin C=1
4
,则( )
A.sin C=sin 2A+sin 2B
B.AB=❑√2
C.sin A+sin B=
❑√6
2
D.AC2+BC2=3
5.(2024·新高考Ⅱ卷)已知α 为第一象限角,β 为第三象限角,
tan α+tan β=4,tan αtan β=❑√2+1,则sin(α+β)= .
6.(2024·新高考Ⅰ卷)记△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为
a,b,c,已知sin C=❑√2cos B,a2+b2-c2=❑√2ab.
(1)求B;
(2)若△ABC 的面积为3+❑√3,求c.
二．典型例题
1 化简、求值
例1 (1)
2cos 65°cos 15°
tan 15°cos 10°+sin 10°
的值为( )
A.2+ ❑√3
2
B.1
2
C.2−❑√3
2
D.3
2
(2)(2025·合肥模拟)已知tan α=2,则1+sin 2α
cos 2α
=( )
A.-1
3
B.-3 C.3
D.±3
训练1 (1)(2025·广东部分名校模拟)
tan 80°−tan 20°
1+
1
2cos 20°
的值为 .
(2)(2025·兰州诊断)已知α∈(
π
2 ,π),β∈(0, π
2),若
sin(α+β)=1
3
,cos β=
❑√3
3
,则cos α= .
2.求角问题
例2 (1)(2025·九江二模)已知α,β ∈(0, π
2),cos(α-β)=5
6
,tan
α·tan β=1
4
,则α+β= .
(2)已知α∈(
π
4 , π
2),且4cos α-tan (
π
2 −α)=❑√3,则α=
.
训练2 (1)(2025·盐城模拟)已知tan (β-α)=1
2
,tan α=-1
7
,α,β∈(0,π),则2β-α 的值是( )
A.-π
4
B.π
4
C.3 π
4
D.-3 π
4
(2)(2025·长春摸底)若α,β∈(
π
2 ,π),且(1-cos 2α)(1+sin β)=sin
2αcos β,则下列结论正确的是( )
A.2α+β=5 π
2
B.2α-β=3 π
4
C.α+β=7 π
4
D.α-β=π
2
3.利用正、余弦定理求边或角
例3 (1)(2025·广州模拟)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为
a,b,c,已知a=acos B+bcos A=1,
sin C=
❑√2
2
,则( )
A.b=1
B.b=❑√2
C.c=❑√2
D.c=❑√3
(2)(2025·安徽A10 名校联考)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分
别为a,b,c,若a=c,且sin
2B
sin
2 A
=2(1+❑√3sin B),则B=( )
A.π
3
B.2π
3
C.3 π
4
D.5 π
6
训练3 (1)(2025·赣州调研)在△ABC 中,AB=❑√7,AC=2,C=120°,
则sin A=( )
A.
❑√7
14
B.
❑√21
14
C.5 ❑√7
14
D.3 ❑√21
14
(2)(2025·烟台质检)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为
a,b,c.若2bcos C=a(2-c),且B=π
3
,则a=( )
A.1 B.❑√2 C.❑√3
D.2
4.三角形的面积问题
例4 在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,且asin Acos
B+bsin Acos A=❑√3acos C.
(1)求角C 的大小;
(2)若a=3,且⃗AB·⃗AC=1,求△ABC 的面积.
训练4 如图,在△ABC 中,点D 在边AC 上,且AB⊥BD.已知cos
A=2sin A
2 sin ∠ABC +C
2
,AB=❑√2.
(1)求角A 的大小;
(2)若△BCD 的面积为1
2
,求BC.
【精准强化练习2】
一、单选题
1.(2025·山东名校联考)已知sin (
π
6 +α)=
❑√2
3
,则
cos (2α + 4 π
3 )的值为( )
A.5
9
B.-5
9
C.1
3
D.-1
3
2.(2025·新乡模拟)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为
a,b,c 且a=7,b=3,c=5,则( )
A.△ABC 为锐角三角形
B.△ABC 为直角三角形
C.△ABC 为钝角三角形
D.△ABC 的形状无法确定
3.(2025·河南名校联考)已知α∈(0, π
4),cos (2α + 3 π
2 )=
8
17
,则tan α=( )
A.1
4
B.1
2
C.2
D.4
4.(2025·北京门头沟区模拟)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分
别为a,b,c,A=120°,a=❑√19,b-c=1,则△ABC 的面积为( )
A.3 ❑√3
2
B.3
2
C.3 ❑√3
4
D.3
4
5(2025·宁波调研)已知sin (
2π
7 +α)=1
5
,那么tan
(
3 π
14 −α)=( )
A.-1
5
B.±2❑√6 C.2❑√6
5
D.2❑√6
6.(2025·池州模拟)已知角α,β∈(0,π),tan (α+β)=1
2
,cos β=
7 ❑√2
10
,则角2α+β=( )
A.9 π
4
B.3 π
4
C.5 π
4
D.π
4
7.(2025·重庆段测)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为
a,b,c,且b2+c2+bc=a2.若b=❑√6,a=3❑√2sin B,则C=( )
A.π
4
B.π
6
C.π
8
D. π
12
8.(2025·西安模拟)在同一平面上有相距14 千米的A,B 两座炮
台,A 在B 的正东方向.某次演习时,A 向西偏北θ 方向发射炮弹,
B 则向东偏北θ 方向发射炮弹,其中θ 为锐角,观测回报两炮弹
皆命中18 千米外的同一目标,接着A 改向向西偏北θ
2
方向发射
炮弹,弹着点为18 千米外的点M,则B 炮台与弹着点M 的距离
为( )
A.7 千米 B.8 千米
C.9 千米 D.10 千米
二、多选题
9.(2025·昆明诊断)△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为
a,b,c,满足下列条件的三角形有两个解的是( )
A.c=54,b=39,C=120°
B.b=11,a=20,B=30°
C.a=2,b=6,A=30°
D.b=26,c=15,C=30°
10.(2025·清远质检)已知tan α-tan β=tan (α-β),其中α≠k π
2
(k∈Z)且β≠m π
2
(m∈Z),则下列结论一定正确的是( )
A.sin αsin β=0 B.sin(α-β)=0
C.cos(α-β)=0 D.sin 2α+cos 2β=1
11.(2025·湖南教研联盟联考)记△ABC 的内角A,B,C 的对边分
别为a,b,c,若c2=b(a+b),则( )
A.c<b B.C=2B
C.B∈(0, π
3) D.a
b
∈(0,3)
三、填空题
12.cos 70°−cos 20°
cos 65°
= .
13.已知cos (α + π
12)+cos (α + 7 π
12)=1
5
,则
cos (2α + 2π
3 )= .
14.(2025·武汉质检)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为
a,b,c,已知cos 2C-cos 2B+sin 2A=sin Asin B=1
2
,且△ABC 的面
积为❑√3,则边c 的值为 .
四、解答题
15.(2025·温州模拟)记△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为
a,b,c,已知2csin B=❑√2b.
(1)求角C 的大小;
(2)若tan A=tan B+tan C,a=2,求△ABC 的面积.
16.(2025·成都段考)已知a,b,c 分别为△ABC 三个内角A,B,C
的对边,acos C+❑√3asin C-b-c=0.
(1)求角A 的大小;
(2)若a=2,△ABC 的面积为❑√3,判断△ABC 的形状.
