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解答题第21 题 数列新定义及集合新定义（讲练测）
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..........................................................11
...........................................................13
...........................................................14
【典例】1．（2025·北京·三模）记集合
，
表示集合
中元素的个数.
(1)求
和
；
(2)求证：当
为奇数时，
；
(3)求
.
【典例】2．（2025·北京延庆·三模）已知数集
具有性质
:对
任意的
，
，使得
成立.
(1)分别判断数集
与
是否具有性质
，并说明理由;
(2)求证
;
(3)若
，求数集
中所有元素的和的最小值.
(4)请写出解三角形、三角函数、立体几何和概率统计模块中任意2 个公式.
【典例】3．（2025·北京海淀·三模）设
和M 均为正整数，
是两两不同的M 元集合
组成的集合序列，若存在
，使得
，就称Q 中存在“三叶草”，
并称
为Q 中的一片三叶草．
(1)若
，分别直接判断以下集合序列中是否存在三叶草，存在的请写出一片相应的三叶草：
，
；
(2)若
满足
，其中
，
，证明：Q 中不存在三叶草；
(3)若
，其中
，证明：Q 中一定存在三叶草．
【典例】4．（2025·北京·三模）已知整数数列
的项数均为m（m>2），且同时满足以下两个性
质：
①
；
②
记
(1)若m=3，且
，写出
的值；
(2)记
其中
表示集合A 中元素的最大
值.
（i）若
，
，求
的最大值；
（ii）当
时，若
，求Q 的最小值.
【典例】5．（2025·北京朝阳·二模）已知
是无穷正整数数列，且对任意的
，其中
表示有穷集合S 的元素个数．
(1)若
，求
的所有可能取值；
(2)求证：数列
中存在等于1 的项；
(3)求证：存在
，使得集合
为无穷集合．
【典例】6．（2025·北京·模拟预测）若有限数列A：
的各项均为正整数，且对
，都有
，则称数列A 具有性质P.将数列A 各项之和
记为
.
(1)分别判断下列两个数列
：1，6，2，4，3，
：1，2，3，4，5，…，10，是否具有性质P，并说
明理由.
(2)若数列A 具有性质P，且项数m 为6，求
的最小值.
(3)对具有性质P 且项数固定为m 的数列A，记
的最小值为
.判断是否存在正整数
使得
.若存在，求出所有的m；若不存在，请说明理由.
【典例】7．（2025·北京昌平·二模）设
为正整数，数列
是公差不为
的等差数列，
若从中去掉两项
和
后剩余的
项可被平均分为
组，且每组的个数都能构成等差数列，则称
数列
是
的可分数列．
(1)写出所有
，使得数列
是、
的可分数列；
(2)当
时，证明：数列
是
的可分数列；
(3)若数列
是
的可分数列，记所有满足条件的
的个数为
，求
的值．
【典例】8．（2025·北京·二模）已知
项数列
，对于给定
，定义
变换
：将数列
中的项
替换为，其余项均保持不变，记得到的新数列为
．其中，当
时，
；当
时，
；当
时，
．若将数列
再进行上述变
换
，记得到的新数列为
，重复操作，得到数列
，并
称
为第一次
变换，
为第二次
变换，
．
⋯
(1)若数列
：
，求数列
和
；
(2)设
为递增数列，对
进行有限次
变换后得到数列
．证明：
为递增数列；
(3)当第
次
变换前后两个数列的首项乘积为负数时，令
；否则
．对于给定的
项
数列
，进行2025 次
变换，证明：
．
【典例】9．（2025·北京东城·二模）已知有穷整数数列
，满足
.记集合
为
，或
，或
，
.若数列
，则称数列
是
的“恒元”.
(1)已知数列
，请写出
中所有满足
的数列；
(2)当
时，是否存在数列
满足
，且
是
的“恒元”?若存在，请写出一个满足
条件的数列
；若不存在，请说明理由；
(3)当数列
是
的“恒元”时，若
是
个连续正整数的一个排列，求数列
的项数
的最
大值.
【典例】10．（2025·北京丰台·二模）设数列
是
的一个排列．由
中连续项组
成的集合称作“
的长为的子列集”，其中
．任取不大于
的正整数
，当
时，若数列
的任意长为的子列集
和数列
的任意长为的子列集
，都有
，则称数列
为“好数列”．
(1)判断下列数列是否为“好数列”：
①1，3，5，2，4；②1，4，6，2，5，3．
(2)证明：由
的排列构成的所有“好数列”中，存在首项不超过
的“好数列”（
表示不
超过
的最大整数）；
(3)若数列
为“好数列”，求
的最大值．
11．已知集合
，1，2，
，
，集合
，记
的元素个数为
．若集合
中存在三个
元素
，
，
，使得
，则称
为“理想集”．
(1)若
，分别判断集合
，2，3，
，
，1，2，
是否为“理想集”，并说明理由；
(2)若
，写出所有的“理想集”
的个数并列举；
(3)若
，证明：集合T 必为“理想集”．
12．已知数列
，
，记集合
的元素个数为
.
(1)若
为1，2，4，8，12，写出集合
，并求
的值；
(2)若
为1，3，a，b，且
，求
和集合
；
(3)若数列
项数为，满足
，求证：“
”的充要条件是“
为等比
数列”.
13．对集合
，定义集合
，记
为有限集合
的元素个数．
(1)若
，求
；
(2)给定集合
的子集
，求集合
的元素个数；
(3)设
为有限集合，证明：
．
14．已知数列
的前
项和为
，若数列
满足
，则称数列
是“方特数列”.
(1)证明：数列
是“方特数列”；
(2)若数列
是“方特数列”，求
的取值范围；
(3)证明：当
时，数列
是“方特数列”.
15．已知无穷数列
中，
，记
，
，
．
(1)若
为2，0，2，4，2，0，2，4，…，是一个周期为4 的数列（即
，
），直接写出
，
，
，
的值；
(2)若
为周期数列，证明：存在
，使得当
时，
是常数．
16．（25-26 高三上·北京大兴·月考）给定无穷数列
，若无穷数列
满足：对任意
，都有
，则称
与
“接近”.
(1)设
是首项为1，公比为
的等比数列，
，判断数列
是否与
“接近”，并说明理
由；
(2)设数列
的前三项为：
，
，
，
是一个与
“接近”的数列，
求集合
的元素个数；
(3)设
是公差为d 的等差数列，若存在数列
满足：
与
“接近”，且对任意
，在
中至少有n 个为正数，求d 的取值范围.
17．（2025·北京海淀·二模）记
表示有穷集合
的元素个数．已知
是正整数，集合
．
若集合序列
满足下列三个性质，则称
是“平衡序列”：
①
，其中
；
②
⫋，其中
；
③对于中的任意两个不同元素
，都存在唯一的
，使得
．
(1)设
，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明）
(2)已知
且集合序列
是“平衡序列”，对于
，定义：
证明：
（i）当
时，
；
（ii）
．
18．（25-26 高三上·北京朝阳·期中）设
为正整数，若集合
满足如下三个条件，则
称
具有性质
：
①
都是元素个数为
的数集；
②对任意
，集合
的元素个数均为1；
③
.
(1)若集合
具有性质
，写出集合
；
(2)若集合
具有性质
，判断是否存在
使得
，并说明理由；
(3)若集合
具有性质
，求
的最大值.
19．（25-26 高三上·北京·月考）已知数表
，
，
，若存
在
，使得
中至少有4 个元素大于
，则称A 为“大表”．
(1)若
，判断A 是否为“大表”，说明理由；
(2)若当
，
时，A 必为“大表”，求t 的最大值；
(3)若当
时，A 必为“大表”，求
的最小值．
20．（25-26 高三上·北京·月考）对于有限正整数数列
：
，若存在连续子列
和
符号序列
，使得
，其中
，则称数列
存在平衡连续子列．
(1)写出数列2，1，2，3 的一个平衡连续子列；
(2)设对任意正整数，定义函数
为满足
的非负整数，其中
为奇数，令
．求数列
并判断其是否存在平衡连续子列，说明理由；
(3)设数列
的每一项均为不大于
的正整数，证明：当
时，
存在平衡连续子列．
（建议用时：80 分钟）
21．（25-26 高三上·北京·月考）对在平面直角坐标系第一象限内的任意两点
，
作如下定义：
若
，那么称点
是点
的“下位点”.
(1)点
是点
的“下位点”吗？请简单说明理由.
(2)若点
是点
的“下位点”，试判断
，
，
之间的大小关系.
(3)设正整数
满足条件：对集合
内的每个
，总存在正整数
，使得点
是点
的“下位点”，且点
是点
的“下位点”，求正整数
的最小值.
22．（2025·北京·高考真题）已知集合
，从M 中选取n 个
不同的元素组成一个序列：
，其中
称为该序列的第i 项
，若
该序列的相邻项
满足：
或
，则称该序列为K 列．
(1)对于第1 项为
的K 列，写出它的第2 项．
(2)设
为K 列，且
中的项
满足：当i 为奇数时，
：当i 为偶数时，
.判断
，
能否同时为
中的项，并说明理由；
(3)证明：由M 的全部元素组成的序列都不是K 列．
23．（25-26 高三上·北京·月考）如果无穷数列
满足：
，
，使得
，则称数
列
是“
数列”.
(1)下列无穷数列中，是“
数列”的为 .（直接写出序号）
①
满足
，
，
；
②
满足
，
，
；
③
满足
，
，
；
(2)证明：若无穷等差数列
是“
数列”，则
且公差
；
(3)是否存在公比
为整数且各项均为正数的无穷等比数列
，使得
和
都是“
数列”（其中
的前
项和记为
）？若存在，求出所有符合题意的
；若不存在，说明理由.
24．（25-26 高三上·北京·月考）已知整数数列
满足
．
定义数列
，其中
，对
，
表示集合
的元素个数．
(1)对于下列数列
，分别写出其对应的
：
①
；②
；
(2)记
，证明：若
，则
；
(3)记
为
，当
时，记
为
．证明：
与
的各项对应相等．
（建议用时：80 分钟）
25．（25-26 高三上·北京·月考）设
，
为平面直角坐标系上的两点，其中
，令
，
，若
，且
，则称点B 为点A 的“相
关点”，记作：
.已知
（
）为平面上一个定点，平面上点列
满足：
，且点
的坐标为
，其中
.
(1)请问：点
的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆
的方程；若不在同一个圆上，说明理由；
(2)求证：若
与
重合，
一定为偶数；
(3)若
，且
，记
，求T 的最大值.
26．（2024·北京·三模）给定正整数
，设数列
是
的一个排列，对
，
表示以
为首项的递增子列的最大长度，
表示以
为首项的递减子列的最大长度.
(1)若
，
，
，
，
，求
和
；
(2)求证：
，
；
(3)求
的最小值.
27．（25-26 高三上·北京·月考）从任一数列
中，选取第项，第
项，
第
项（
）， 新数列
为
长度为
的子列.对于各项均不相同的数列
，其各项从
小到大按顺序排列为
（其中
是
的一个排列.定义集合：
，称集合
的元素个数为数列
的 “相邻计数”，记为
.
(1)对于数列
，直接写出它所有的 4 项子列
，使得
各项不同，且
；
(2)已知数列
，证明：对于
的任意一个连续 4 项子列
，都有
；
(3)已知数列
是
的一个排列，求证：
总存在长为 4050 项的
子列
，使得
.
28．（25-26 高三上·北京海淀·月考）如果无穷数列
满足如下两个性质，则称数列
为”好数列
“：
①
；
②集合
和
均为无限集.
对于任意”好数列“
，将性质②中集合
中的元素分别按照从小到大的次序排成数列
和
.
对任意
，令
，称
为”好数列“
的相对位置数列.
(1)分别写出下列”好数列“
的相对位置数列：
（i）
；
（ii）
；
(2)证明：对任意”好数列“
是无限集；
(3)已知”好数列“
满足
，且对任意
，都有
，证明：
（i）对任意
；
（ii）不存在
，使得
.
（建议用时：80 分钟）
29．（25-26 高三上·北京通州·期中）设有序数阵
，集合
，
（其中
）．若
满足：①
；②
，则称
为集合
的覆盖数阵．
(1)若
为
的覆盖数阵，求
的值；
(2)当
时，写出所有的
的取值，使得
为
的覆盖数阵．
(3)设有序数阵
的个数为
，若
为
的覆盖数阵，求证：
．
30．（25-26 高三上·北京顺义·期中）对于数列
：
，
，…，
，定义变换
，
将数列
变换成数列
：
，
，…，
，
，记
，
，
.对于数列
：
，
，…，
与
：
，
，…，
，定义
.若数列
：
，
，…，
满足
，则称数列
为
数列.
(1)若
：
，1，
，1，1，
，写出
，并求
；
(2)对于任意给定的正整数
，是否存在
数列
，使得
？若存在，写出一个数列
，
若不存在，说明理由：
(3)若
数列
满足
，求数列
的个数.
31．（24-25 高三下·北京·月考）对任意的非空数集A，定义：
，其中
表示非空数集X 中所有元素的乘积，特别地，如果
，规定
．
(1)若
，
，请直接写出集合
和
；
(2)若
，其中
是正整数，求集合
中元素个数的最大值和最小值，
并说明理由；
(3)若
，其中
是正实数，求集合
中元素个数的最小值，
并说明理由.
32．（24-25 高三下·北京·开学考试）已知数列
，记集合
.
(1)若数列
为
，数列
为
，分别写出集合
；
(2)若
，是否存在
，使得
？若存在，求出一组符合条件的
；若不存在，说明
理由；
(3)若
，把集合
中的元素从小到大排列，得到的新数列为
，若
，求
的最
大值.
（建议用时：80 分钟）
33．（25-26 高三上·北京顺义·月考）已知
为有穷正整数数列，若存在
，使得
，其中
，则称
为连续可归零数
列.
(1)判断
和
是否为连续可归零数列？并说明理由；
(2)对任意的正整数，记
，其中
表示数集S 中最大的数.令
，
①求
和
；
②求证：数列
不是连续可归零数列；
34．（25-26 高三上·北京·月考）已知含有n 个元素的正整数集
（
）
具有性质P：对任意不大于
（其中
）的正整数k，存在数集A 的一个子集，使
得该子集所有元素的和等于k．
(1)写出
，
的值；
(2)证明：“
，
，…，
成等差数列”的充要条件是“
”；
(3)若
，求当n 取最小值时
的最大值．
35．（25-26 高三上·北京延庆·月考）已知数列
，定义：
.从
中
选取第项第
､
项､
第
､
项
，则称数列
为
的长度为
的子列.
若
为
的一个排列，则称数列
具有性质
.
(1)已知
，若数列
是数列
的长度为5 的子列，写出
的最大值和最小值；
(2)已知数列
具有性质
，且存在唯一的长度为3 的子列
，使得
，求
的
最小值；
(3)已知数列
具有性质
，且
为偶数，求
的最大值，并直接写出当
取得最大值时
数列
的个数.
36．（25-26 高三上·北京·开学考试）已知
为给定的正整数，
．数列
，
，
若对于任意的
，
，都有
，则称
互为逆序数列．
(1)已知
，分别判断下面数列是否为
的逆序数列，并说明理由．
①
；②
．
(2)若
，数列
为等差数列，其前
项和为
，
，
．数列
与数列
互为逆序数列，求数列
的公差
的取值范围；
(3)对于固定的正整数
，
，总有
，
，且数列
互为
逆序数列，求
的最大值．
