微专题4 三角中的最值、范围
近几年高考：以三角函数、三角形为背景的最值及范围问题是
高考的热点,常用的方法主要有:函数的性质(如有界性、单调
性)、基本不等式、数形结合等.
一、高考真题
1.(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为
a,b,c,已知cos A
1+sin A
= sin 2B
1+cos 2B
.
(1)若C=2π
3
,求B;
(2)求a
2+b
2
c
2
的最小值.
二．典型例题
1.三角函数式的最值或范围
例1 （2025·吉林松原·模拟预测）已知向量
，其中
．
(1)若
，求
图象的对称轴；
(2)记
的最小正周期为
，将
的图象向左平移
个
单位长度得到
的图象，若
在区间
上单调递增，
求
的取值范围；
(3)已知△ABC为锐角三角形，内角
的对边分别为
，若
，求
的取值范围．
训练1 （2025·湖北·模拟预测）已知a,b,c分别为锐角
△ABC三个内角A ,B ,C的对边，满足
❑√3c⋅sin A −c⋅cos A = ❑√3a−b.
(1)求角C的大小；
(2)若△ABC的面积S = ❑√3b，求b的取值范围.
2.三角形中有关量的最值或范围
（1）、三角形面积的最值或范围
例2 (2025·郑州调研)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为
a,b,c,
已知b-ccos A=2acos Bcos C,其中C≠π
2
.
(1)求角B 的大小;
(2)若b2+3c2=12-5ac,求△ABC 面积的最大值.
（2）、与三角形周长或边长相关的最值或范围
例3 (2025·济宁模拟)在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别
为a,b,c,❑√3(acos C+ccos A)=
2bsin B.
(1)求角B 的值;
(2)若b=2❑√3,求a2+c2的取值范围.
（3）、与三角形的角或三角函数值相关的最值或范围
例4 (2025·武汉调研)在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为
a,b,c.若2a+bcos A-c=btan Bsin A.
(1)求B;
(2)若△ABC 为锐角三角形,求sin A +sin B
sin C
的取值范围.
训练2 (2025·杭州模拟)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为
a,b,c,且acos(B-C)+acos A-2❑√3csin Bcos A=0.
(1)求A;
(2)若△ABC 外接圆的直径为2❑√3,求2c-b 的取值范围.
【精准强化练习4】
1.(2025·安庆质检)已知函数f(x)=2sin x·
[cos (x−π
3)+cos x].
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)在[0, π
2]上的最大值,并求此时x 的值.
2.(2025·汕头调研)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为
a,b,c,❑√3asin B-bcos A=b.
(1)求角A 的大小;
(2)若a=2,求△ABC 面积的最大值.
3.(2025·邢台质检)在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为
a,b,c,已知2asin C-❑√3c=0.
(1)求A;
(2)求4sin B-4sin C 的取值范围.
4.(2025·衡阳模拟)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为
a,b,c,已知S 为△ABC 的面积且4❑√3S+3(b2-a2)=3c2.
(1)若b=2,求△ABC 外接圆的半径R;
(2)若△ABC 为锐角三角形,求a
2+b
2
c
2
的取值范围.
