专题4.3 三角恒等变换（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 两角和与差的三角函数公式】..................................................................................................................4
【题型2 两角和与差的三角函数公式的逆用及变形】.........................................................................................4
【题型3 辅助角公式的运用】..................................................................................................................................5
【题型4 二倍角公式及其应用】..............................................................................................................................5
【题型5 三角函数式的化简】..................................................................................................................................5
【题型6 给角求值型问题】......................................................................................................................................6
【题型7 给值求值型问题】......................................................................................................................................6
【题型8 给值求角型问题】......................................................................................................................................7
【题型9 半角公式、万能公式及应用】..................................................................................................................7
【题型10 三角恒等变换的综合应用】....................................................................................................................8
1、三角恒等变换
考点要求
真题统计
考情分析
(1)会推导两角差的余弦公式
(2)会用两角差的余弦公式推
导出两角差的正弦、正切公
式
(3)掌握两角和与差的正弦、
余弦、正切公式，并会简单
应用
(4) 能运用两角和与差的正
弦、余弦、正切公式推导二
倍角的正弦、余弦、正切公
式，并进行简单的恒等变换
2023 年新课标I 卷：第8 题，5 分
2023 年新课标Ⅱ卷：第7 题，5 分
2024 年新课标I 卷：第4 题，5 分
2024 年新课标Ⅱ卷：第13 题，5
分
2025 年全国一卷：第11 题，6 分
2025 年全国二卷：第8 题，5 分
三角恒等变换是三角函数的重
要工具，是高考数学的热点、重点
内容.从近几年的高考情况来看，
主要考察三角函数的化简求值、三
角函数的变换等内容，一般以单选
题、多选题、填空题的形式出现，
试题难度中等或偏下；但在有关三
角函数的解答题中有时也会涉及到
三角恒等变换、合并化简，此时试
题难度中等，复习时需要同学熟练
运用公式，灵活变换.
知识点
1 三角恒等变换思想
1．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换、辅助角公式
(1)角的代换
代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用尤为
突出.
常用的角的代换形式：
①α=(α+β)-β；
②α=β-(β-α)；
③
；
④
；
⑤
；
⑥
.
(2)常值代换
用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中要
特别注意的是“1”的代换.
(3)辅助角公式
通过应用公式
[或
将形如asinα
+bcosα (a,b 都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数
[或
].这
种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个三角函数，这种恒等变换称
为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式.
知识点
2 二倍角公式
1．二倍角公式
二倍角的正弦、余弦、正切公式
函数
公式
β=α
简记符号
正弦
sin2α =2sinαcosα
S(α+β)
S2α
余弦
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α
C(α+β)
C2α
正切
T(α+β)
T2α
2．二倍角公式的变形应用
(1)倍角公式的逆用
①
：
，
，
.
②
：
.
③
：
.
(2)配方变形
.
(3)因式分解变形
.
(4)升幂公式
；
.
知识点
3 三角恒等变换的应用技巧
1．两角和与差的三角函数公式的应用技巧
(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.
2．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形
运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如
和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓
展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.
3．辅助角公式的运用技巧
对asinx+bcosx 化简时，辅助角的值如何求要清楚.
4．角的变换问题的解题策略：
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个"已知角"的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把
“所求角”变成“已知角”.
(3) 常见的角变换：
，
，
，
，
等.
知识点
4 三角恒等变换几类问题的解题策略
1．给值求值问题的解题思路
给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相
应角的三角函数值，代入即可.
2．给角求值问题的解题思路
给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间
总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得
解.
3．给值求角问题的解题思路
给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.
4．三角恒等变换的综合应用的解题策略
三角恒等变换的综合应用的求解策略主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为
f(x)=Asin(ωx+φ)+b 的形式再研究其性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征，注意利用整体思想解
决相关问题.
【方法技巧与总结】
1．
.
2．降幂公式：
，
.
3．
，
，
.
【题型1 两角和与差的三角函数公式】
【例1】（2025·广东·模拟预测）已知cos(α + β)= 1
3 ,cosα cos β = 1
2
，则cos(α −β)=（ ）
A．2
3
B．−2
3
C．1
3
D．−1
3
【变式1-1】（2025·河北石家庄·模拟预测）已知sin(α + β)=2cos(α −β)，tan α + tan β = 4
3
，则
tan α ⋅tan β =（ ）
A．3
B．−3
C．1
3
D．−1
3
【变式1-2】（2025·全国·模拟预测）已知sin(θ+π
6 )=
❑√3
3 （−2π
3 ≤θ≤π
3 ），则sin(θ+π
3 )=（ ）
A．3−❑√6
6
B．3+ ❑√6
6
C．
❑√6
3
D．
❑√3
3
【变式1-3】（2025·全国·模拟预测）已知sin (α + β)=2sin α sin β，tan α tan β =−2，则tan (α + β)=
（ ）
A．−4
3
B．4
3
C．−2
D．2
【题型2 两角和与差的三角函数公式的逆用及变形】
【例2】（2025·云南·模拟预测）下列选项中，值为❑√3的是（ ）
A．4 sin15° cos15°
B．2(cos 46° cos16°−sin 46° sin16°)
C．1+ tan15°
1−tan15°
D．8cos10° cos20° cos 40°
【变式2-1】（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）sin160°cos10°+cos20°cos80° =（ ）
A．
❑√3
2
B．−
❑√3
2
C．1
2
D．−1
2
【变式2-2】（2025·湖南·模拟预测）已知α ∈(0,π
2 ), β ∈(0,π
2 )，且tanα +tan β =
1
cos β
，则
（ ）
A．2 β −α =π
2
B．2 β +α =π
2
C．2α −β =π
2
D．2α + β =π
2
【变式2-3】（2025·陕西安康·模拟预测）计算：tan20°+tan 40°+ ❑√3tan20°tan 40° =（ ）
A．
❑√3
3
B．1
C．2❑√3
3
D．❑√3
【题型3 辅助角公式的运用】
【例3】（2025·吉林·模拟预测）函数f (x)=2sin
2(x−π
4)+ ❑√3cos2 x的最小正周期为（ ）
A．2π
B．4π
3
C．π
D．2
3 π
【变式3-1】（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知❑√3cosα −sin α =1，则cos(2α +π
3 )=（ ）
A．−
❑√3
2
B．−1
2
C．1
2
D．
❑√3
2
【变式3-2】（2025·广东湛江·二模）若函数f ( x)=3sin x +2cos x在[0,α ]上单调递增，则当α取得最大值
时，cosα =（ ）
A．−3 ❑√13
13
B．−2❑√13
13
C．3 ❑√13
13
D．2❑√13
13
【变式3-3】（2025·山东济宁·一模）若函数f ( x)=2sin x +cos x−❑√3, x∈(0,π)的两个零点分别为x1
和x2，则cos( x1−x2)=（ ）
A．−2
5
B．−1
5
C．1
5
D．2
5
【题型4 二倍角公式及其应用】
【例4】（2025·甘肃白银·一模）已知cos(α −π
6 )= 1
3，则sin(2α +π
6 )=（ ）
A．2
3
B．−2
3
C．7
9
D．−7
9
【变式4-1】（2025·湖南邵阳·模拟预测）已知sin(x−π
24)=
❑√2
3 ，则cos(2 x + 11π
12 )=（ ）
A．−5
9
B．−7
9
C．5
9
D．7
9
【变式4-2】（2025·山东泰安·模拟预测）若α ∈(
π
2 ,π)，且5(1+cos2α )−10sin 2α =3，则tan 2α =
（ ）
A．−7
B．1
3
C．7
24
D．7
25
【变式4-3】（2025·山西·三模）已知α ∈(−π
2 ,π
2 )，sin2α =cosα，则cos2α =（ ）
A．1
2
B．
❑√3
3
C．❑√3
D．1
【题型5 三角函数式的化简】
【例5】（2025·江西·一模）化简tan35°+ tan100°+ tan35° tan 80° =（ ）
A．tan65°
B．−tan65°
C．1
D．−1
【变式5-1】（2025·河北·模拟预测）化简：cos 40
°
1+sin 40
° =（ ）
A．tan 25
°
B．sin 25
°
C．tan 65
°
D．sin 65
°
【变式5-2】（2025·安徽六安·模拟预测）sin50
∘+sin70
∘
sin80
∘
=（ ）
A．2❑√3
B．❑√3
C．2
D．1
【变式5-3】（2025·河北沧州·二模）化简cos20
∘−sin30
∘cos40
∘
sin 40
∘cos60
∘
=（ ）
A．1
B．❑√3
C．2
D．2❑√3
3
【题型6 给角求值型问题】
【例6】（24-25 高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）求值：1−❑√3 tan10
°
❑√1−cos20
° =（ ）
A．1
B．❑√2
C．❑√3
D．2❑√2
【变式6-1】（2025·广东汕头·二模）若λsin160
∘+ tan 20
∘= ❑√3，则实数λ的值为（ ）
A．4
B．4 ❑√3
C．2❑√3
D．4 ❑√3
3
【变式6-2】（24-25 高一上·广东茂名·期末）sin110
∘cos250
∘
cos
225
∘−sin
2155
∘
的值为（ ）
A．−1
2
B．1
2
C．
❑√3
2
D．−
❑√3
2
【变式6-3】（2025·重庆·模拟预测）式子2sin18
∘(3cos
29
∘−sin
29
∘−1)
cos6
∘+ ❑√3sin6
∘
化简的结果为（ ）
A．1
2
B．1
C．2sin 9
∘
D．2
【题型7 给值求值型问题】
【例7】（2025 高三·全国·专题练习）已知sin(α −π
6 )−cosα =
❑√3
3 ，则cos(2α +π
3 )的值为（ ）
A．−7
9
B．−1
3
C．1
3
D．7
9
【变式7-1】（2025·安徽淮北·模拟预测）已知0< β <π
2 ，且
sinα +cosα = 2❑√10
5
，2sin2α +cos2 β =2，则tanβ=（ ）
A．3
B．2
C．1
3
D．1
2
【变式7-2】（2024·宁夏吴忠·一模）已知cos(α + β)= 1
2 ,cosα cos β = 5
12
，则cos
2α +cos
2 β =（ ）
A．3
2
B．4
3
C．7
6
D．9
8
【变式7-3】（2025·河南·模拟预测）已知sin(α + β)= 1
3 ,cos(α −β)= 2
3
，则
sinα
cos β +cos β
sinα +cosα
sin β +sin β
cosα =（ ）
A．−4
3
B．4
3
C．2
3
D．−2
3
【题型8 给值求角型问题】
【例8】（2025·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知α , β ∈(0,π
4 )，cos
2α −sin
2α = 1
7
，且
3sin β =sin(2α + β)，则α + β的值为（ ）
A．π
12
B．π
6
C．π
4
D．π
3
【变式8-1】（2025·江苏无锡·三模）已知tan β =cosα
1−sinα
，tan(α + β)= 1+sinα
cosα
，若β ∈(0,π
2 )，
则β =（ ）
A．π
12
B．π
6
C．π
4
D．π
3
【变式8-2】（24-25 高一下·辽宁辽阳·期中）已知α，β ∈(0,π)，且cosα =
❑√5
5
，sin(α + β)=
❑√2
10
，则
α −β =（ ）
A．−π
4
B．3π
4
C．−π
4
或π
4
D．3π
4
或−3π
4
【变式8-3】（24-25 高三·全国·期末）已知0<α < β < π
2 ,cos2α +cos2 β +1=2cos(α −β)+cos(α + β)，
则（ ）
A．α + β = π
6
B．α + β = π
3
C．β −α = π
6
D．β −α = π
3
【题型9 半角公式、万能公式及应用】
【例9】（2025·甘肃兰州·模拟预测）若 α ∈(−π
2 , π
2)，且 sin α =−2❑√2
3
，则 cos α
2 等于（ ）
A．1
3
B．
❑√3
3
C．2
3
D．
❑√6
3
【变式9-1】（2025·河北·模拟预测）若α ∈(0, π
2), cos2α
1+ tan
2α
= 3
8，则cos(α + π
6)=（ ）
A．
❑√3
2
B．
❑√2
2
C．1
2
D．1
【变式9-2】（2024·辽宁丹东·一模）已知α ∈(0,π
2 )，❑√
(1+sin α )(1+cosα )
(1−sin α )(1−cosα ) = 4 ❑√2+1，则sin2α =
（ ）
A．4 ❑√2+1
8
B．4 ❑√2+1
16
C．4 ❑√2−1
8
D．4 ❑√2−1
16
【变式9-3】（24-25 高二上·湖南长沙·期末）函数f ( x)= ❑√3sin x(1+cos x)的最大值为（ ）
A．3
2
❑√3
B．5
4
❑√3
C．5
8
D．9
4
【题型10 三角恒等变换的综合应用】
【例10】（2025·江苏·一模）已知函数f ( x)= ❑√3cos
2 x −sin 2 x −❑√3sin
2 x.
(1)求函数f ( x)的单调递增区间；
(2)若f ( x0)= 8
5
，x0∈[0,π
2 ]，求cos2 x0的值.
【变式10-1】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数
f (x)=2sin(π−x)cos x−2❑√3cos
2(
3π
2 −x)+ ❑√3．
(1)求f (x)的最小正周期及单调递减区间；
(2)将f (x)图象上所有点的横坐标变为原来的2 倍，再将f (x)的图象向右平移π
12
个单位后，再将纵坐标变为
原来的1
2，最终得到y = g(x)的图象，若∃x∈[−π
2 ,π
2 )，满足不等式❑√2 g(x)−sin2 x ≤2m
2−3m，
求m的取值范围．
【变式10-2】（2025·上海·模拟预测）已知ω>0，f (x)=sin ωx +2❑√3cos
2 ωx
2
.
(1)若函数y = f (x)的最小正周期为π，求ω的值；
(2)当ω=1时，设a∈[0,2π).若函数y = f (x)和y = f (x +a)在[0,π)上有相同的最大值，求a的取值范围.
【变式10-3】（2025·北京东城·二模）已知函数f (x)= 4sin(ωx +π
3 )cosωx +b(ω>0).
(1)若f (x)的最小值为❑√3，求b的值；
(2)若f (0)= ❑√3，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数f (x)存在且唯
一，求f (x)在区间[0,π
2 )上的取值范围.
条件①：f (x)的图象关于x =−5π
12
和x =π
12对称；
条件②：f (x)在区间[
π
12 , 7π
12 )上单调，且f (x)的图象关于点(
π
3 ,0)对称；
条件③：f (x)的最小正周期T ≥π，且f(−π
3 )=−❑√3.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分.
一、单选题
1．（2025·全国二卷·高考真题）已知0<α <π，cos α
2 =
❑√5
5 ，则sin(α −π
4)=（ ）
A．
❑√2
10
B．
❑√2
5
C．3 ❑√2
10
D．7 ❑√2
10
2．（2025·海南海口·模拟预测）若tanθ =2tan α，sin(θ+α )= 3
4
，则cos(2θ−2α )=（ ）
A．−3
8
B．3
8
C．5
8
D．7
8
3．（2025·湖南永州·模拟预测）❑√3tan10
∘−1
sin10
∘
的值为（ ）
A．2
B．4
C．−2
D．−4
4．（2025·广东惠州·模拟预测）我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成
的一个大正方形（如图）.如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中较小的锐角为θ
，那么tan 2θ =（ ）
A．2
3
B．4
3
C．−12
5
D．12
5
5．（2025·安徽蚌埠·三模）已知cos(θ+π
12)= 4
5 ,θ∈(0,π
2 )，则sin(
25π
6
−θ)=（ ）
A．−7 ❑√2
10
B．7 ❑√2
10
C．−
❑√2
10
D．
❑√2
10
6．（2025·北京海淀·三模）在△ABC中，“cos A cos B<sin A sin B”是“△ABC为锐角三角形”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（2025·北京·三模）已知函数f (x)=sin ωx cosφ+cosωx sin φ，其中φ∈(−π,0).如图A，B 是直线
y = 1
2
与曲线y = f (x)的两个交点，若|AB)=π
6 ，则f (π)的值为（ ）
A．−
❑√3
2
B．
❑√3
2
C．−1
2
D．1
2
8．（2025·山东·模拟预测）已知A ,B ,C为△ABC的内角，若1−cos2 A
sin2 A
= 1−sin B
cosB
，则（ ）
A．sin2 A =cosB
B．sin2B =cos A
C．sin( A + B)=cosB
D．tan A ⋅tan2B =1
二、多选题
9．（2025·山东聊城·三模）已知sin(α −β)=−1
6
，sinα cos β = 1
3
，则（ ）
A．cosα sin β =−1
2
B．sin(α + β)= 5
6
C．3tanα =2tan β
D．sin2α sin2 β = 1
12
10．（2025·全国一卷·高考真题）已知△ABC的面积为1
4
，若
cos2 A +cos2B+2sinC =2,cos A cos BsinC = 1
4
，则（ ）
A．sinC =sin
2 A +sin
2B
B．AB = ❑√2
C．sin A +sin B =
❑√6
2
D．A C
2+ BC
2=3
11．（2025·甘肃白银·二模）已知函数f ( x)=
❑√3
2 cos2 x−1
2 sin 2 x，将函数f ( x)的图象向左平移π
4 个单
位长度后，得到函数g( x)的图象，则（ ）
A．g( x)=sin(2 x−π
3 )
B．g( x)的图象关于直线x =π
6
对称
C．g( x)在区间[
2π
3
,7π
6 )内单调递减D．f ( x)与g( x)的图象关于直线x =π
6
对称
三、填空题
12．（2025·浙江杭州·模拟预测）若sin(α −π
8 )= 1
3，则cos(
π
4 −2α)= .
13．（2025·四川绵阳·模拟预测）若函数f ( x)=12sin( x +θ)+5cos( x +θ)为奇函数，则tanθ =
．
14．（2025·海南·模拟预测）已知α , β满足2sin(α −β)=sin(α +π
3 )，2sin(α + β)=sin(α + 2π
3 )，
则sin2 β =
．
四、解答题
15．（2025·天津河北·模拟预测）已知cosα =−3
5
，α 是第三象限角．
(1)求sin α和tan α的值；
(2)求cos(α −π
3 )的值．
16．（2024·陕西榆林·三模）化简下列各式
(1)sin50°(1+ ❑√3 tan10°)
(2)
1−tan
2(
π
4 −α)
1+ tan
2(
π
4 −α)
;
(3)sin
2(α −π
6 )+sin
2(α +π
6 )−sin
2α；
(4)(1+sin α +cosα )(sin α
2 −cos α
2)
❑√2+2cosα
(π<α <2π).
17．（2025·陕西·二模）已知函数f (x)=2❑√3sin xcos x +2cos
2 x−1.
(1)求f (x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)若f(
α
2)= 2
3，求f (−α )的值.
18．（2025·湖北襄阳·二模）已知函数f (x)=
❑√3
2 sin x
2 + 1
2 cos x
2 + 1
2
.
(1)求f (x)的单调递减区间；
(2)将函数y = f (x)的图象向右平移2π
3 个单位后得到y = g(x)的图象，当函数y = g(x)−k在[0, 7 π
3 )上有一
个零点时，求k 的取值范围.
19．（2025·北京海淀·二模）已知函数f (x)=cos(
π
3 −2ωx)+2sin
2ωx −1(ω>0)．
(1)若ω= 1
2
，求f (0)及f (x)的单调递增区间；
(2)已知f (x)在区间[0,π
3 )上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，
使函数f (x)存在且唯一确定，求f (x)的最小正周期．
条件①：f (0)+ f(
π
6 )=0；
条件②：x =π
3
是f (x)的一个极值点；
条件③：x = 7π
12
是f (x)的一个零点．
