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解答题第17 题 三角函数与解三角形（讲练测）
............................................................1
...........................................................18
...........................................................22
...........................................................29
...........................................................37
..........................................................44
...........................................................52
...........................................................59
【典例】1．（25-26 高三上·北京房山·开学考试）在
中，
．
(1)求
的值；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求
的面积．
条件①：
；
条件②：
．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按照第一个解答计分．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）利用同角公式及正弦定理边化角求解.
（2）选择条件①，利用余弦定理、三角形面积公式求解；选择条件②，利用正弦定理求出
，再利用余弦
定理、三角形面积公式求解.
【详解】（1）在
中，由
，得
，
由
及正弦定理，得
，所以
.
（2）选择条件①：
，由余弦定理
，得
，
而
，解得
，所以
的面积为
.
条件②：
，由正弦定理得
，由（1）得
，
由余弦定理
，得
，
而
，解得
，所以
的面积为
.
【典例】2．（25-26 高三上·北京延庆·月考）如图所示，公园里有一块边长为2 的等边三角形草坪（记
为
），计划沿图中线段
铺设灌溉水管，
在
上，
在
上，设
.
(1)若
，求
的面积；
(2)若图中
把草坪分成面积相等的两部分，求
关于
的函数关系及
的最小值.
【答案】(1)
(2)
，
，
的最小值为
.
【分析】（1）根据余弦定理求
，再根据正弦定理，即可求解；
（2）首先根据三角形面积公式求
，再根据余弦定理表示函数关系，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）由余弦定理可知，
,
条件
，所以
，则
，
因为
，
，则
，
，
所以根据正弦定理，
，则
,
所以
；
（2）
，
所以
，即
，得
，
中，根据余弦定理
,
所以
，
，
所以
，当
时，即
时等号成立，
所以
，
，
的最小值为
.
【典例】3．（25-26 高三上·北京·开学考试）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，面
积为S，且
．
(1)求角B 的大小；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得
唯一确定，求
的周
长，
条件①：
条件②：
条件③：
边上的高是7．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）已知条件利用余弦定理和三角形面积公式化简得
，可求角B 的大小；
（2）根据所选条件，结合正余弦定理解三角形，求周长.
【详解】（1）由余弦定理和三角形面积公式，
，
，
已知
，则
，
所以
，由
，得
.
（2）若选择条件①和条件②：
在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，有
，
，
，
由
，得
，
，
由正弦定理和
，
，
，
，
周长为
.
若选项条件①和条件③：
在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，有
，
，
边上的高是7．
由
，得
，
，
边上的高是7，则有
，即
，
得
，
，
，
周长为
.
若选择条件②和条件③：
在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，有
，
，
边上的高是7．
边上的高是7，则有
，又
，则有
，
由正弦定理有
，则
，不合题意，
此时
不存在.
【典例】4．（2025·北京平谷·一模）在
中，
.
(1)求
的大小；
(2)再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得
存在且唯一，求
的面积.
条件①：
；
条件②：
；
条件③：
边上的高为
.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用正弦定理边角互化，结合正弦的和差角公式即可求解，或者利用余弦定理边角互化求
解，
（2）根据三角形存在可知不能选①，选②，利用余弦定理可求解
，即可利用三角形面积公式
求解，或者利用正弦定理求解
，进而根据和差角公式求解
,由面积公式求解，选③根据高
，即可利用选②的方法求解.
【详解】（1）方法一：由正弦定理
及
，得
.①
因为
，
所以
.②
由①②得
因为
，所以
.
所以
.因为
，所以
.
方法二：在
中，因为
，
由余弦定理
得
，
整理得
所以
，所以
.
（2）若选条件①：
；
，所以
,而
，这与
矛盾，故不能选①.
选条件②：
方法一：由余弦定理
，得
即
，解得
.
所以
方法二：由正弦定理
，所以
，因为
，所以
，
所以
.
选条件③：
边上的高
，所以
，
以下与选择条件②相同.
【典例】5．（25-26 高三上·北京·月考）已知
，
是函数
的两个相邻极值点.从条件①、条件②、条
件③这三个条件中选择两个作为已知，使
的解析式能唯一确定.
(1)求
的解析式；
(2)若
在区间
上有且仅有2 个零点，求
的取值范围.
条件①：
；条件②：
；条件③：
.注：如果选择的条件不符合要求，本
题得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)答案详见解析
(2)
【分析】（1）可选择条件①与条件②，先借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再借助条
件①可得函数最小正周期，即可得
，再借助条件②，由极值点定义计算可得
；或条件①与条件③，先
借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再借助条件①可得函数最小正周期，即可得
，再借
助条件③计算可得
；不能选择条件②与条件③，结合对称轴的定义计算可得
，但使用条件③时会导致
多解；
（2）结合正弦型函数性质计算即可得.
【详解】（1）
；
若：选择条件①：
与条件②：
：
由
，则
的最小正周期
，则
，即
；
由
为对称轴，可得
，
所以
的极值为
或
，
根据条件②
，可得
或
，
解得
（与
矛盾，舍去）或
，
故
，
；
若：选择条件①：
与条件③：
：
由
，则
的最小正周期
，则
，即
；
又
，则
，即
，
故
；
不能选择条件②与条件③，理由如下：
若：选择条件②：
与条件③：
：
由
为对称轴，可得
，
所以
的极值为
或
，
根据条件②
，可得
或
，
解得
（与
矛盾，舍去）或
，
由
，则
，有
，
故
或
，
，
则
或
，
，则
有无数种取值可能，
的解析式不唯一；
（2）当
时，
，
由
在区间
上有且仅有2 个零点，
则
，解得
.
【典例】6．（25-26 高三上·北京·月考）已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
.
(1)求
的值；
(2)给出以下三个条件：
条件①：
；条件②：
；条件③：
.
这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题：
（i）求
的值；
（ii）求
的角平分线
的长.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分.
【答案】(1)
(2)选②③，（i）
；（ii）
【分析】（1）由两角和差的正弦及辅助角公式化简可得
，进而可得
；
（2）利用余弦定理即可推出条件①不正确；根据三角形面积公式和余弦定理求出
，结合正弦定理即可求
出
，再次利用正弦定理可得
，解方程组即可.
【详解】（1）由
可得
，
即
，
，
因为
，所以
，则
，解得
；
（2）若条件①正确，由
，得
，
由余弦定理，得
，即
，
解得
不符合题意，故条件①不正确，则条件②③正确；
（i）由
，
，
得
，解得
，
由余弦定理，得
，
因为
，所以
，由正弦定理，
得
，即
；
由正弦定理，得
，即
，
（ii）因为
平分
，
，所以
，
在
中，由正弦定理，得
，
在
中，由正弦定理，得
，
又
，上述两式相除，得
，
解得
，所以
.
【典例】7．（2025·北京东城·二模）已知函数
.
(1)若
的最小值为
，求
的值；
(2)若
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数
存在且
唯一，求
在区间
上的取值范围.
条件①：
的图象关于
和
对称；
条件②：
在区间
上单调，且
的图象关于点
对称；
条件③：
的最小正周期
，且
.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角恒等变换将解析式变形为
，根据三角函数的性质可
得最小值，即可求解；
（2）由
，即可求解
，可得
；若选择条件①：由已知可得
，
，
求解函数
的对称轴，将
和
代入可知函数
存在且不唯一；若选择条件②：根据单
调区间可得
，将点
代入
，可得
，根据
的范围即可求解
，根据
的范围结合三角函数的图象与性质即可求解；若选择条件③：由
可知
，再根据
可知
或
，结合
的范围即可求解
，根据
的范围
结合三角函数的图象与性质即可求解.
【详解】（1）
，
因为
的最小值为
，所以
，所以
；
（2）因为
，所以
，解得
，
所以
，
若选择条件①：函数
的图象的对称轴为
，
所以
，所以
，
，
因为
，所以
，
，
所以
，即
，
因为
，故
，且
，对应的
满足题意，
所以函数
存在且不唯一；
若选择条件②：因为
在区间
上单调，所以
，
所以
，又
，所以
，
因为
的图象关于点
对称，所以
，
所以
，所以
，
所以
，解得
，因为
，所以
，即
，
所以
，此时当
时，
，
故
在
上单调减，故
符合题设要求.
因为
，所以
，
所以
，所以
；
若选择条件③：因为
的最小正周期
，所以
，
所以
，又
，所以
，
因为
，所以
，
所以
或
，
所以
或
，
当
时，
，因为
，所以
，此时
，
当
时，
，因为
，所以不存在满足不等式的
，此时
无解，所以
，
所以
，因为
，所以
，
所以
，所以
.
【典例】8．（2025·北京海淀·二模）已知函数
．
(1)若
，求
及
的单调递增区间；
(2)已知
在区间
上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，
使函数
存在且唯一确定，求
的最小正周期．
条件①：
；
条件②：
是
的一个极值点；
条件③：
是
的一个零点．
【答案】(1)
，
(2)答案见解析
【分析】（1）利用二倍角公式及差角公式化简，再代入
的值，即可得到函数解析式，再由正弦函数的
性质计算可得；
（2）依题意可得
，再根据所选条件，得到方程，求出
的取值（集合），即可得到函数解析式，
从而求出函数的最小正周期.
【详解】（1）因为
，
当
时，
，则
，
令
，解得
，
所以
的单调递增区间为
；
（2）因为
，
在区间
上单调递增，且
，
所以
，解得
；
若选①：
，又
在区间
上单调递增，
所以曲线
关于
对称，且点
在曲线的递增部分上，
则
，所以
，解得
，
又
，所以
，
则
，所以
的最小正周期为
；
若选②：
是
的一个极值点，又
在区间
上单调递增，
所以
在
处取得最大值，
则
，所以
，解得
，
又
，所以
，
则
，所以
的最小正周期为
；
若选③：
是
的一个零点，
则
，所以
，解得
，
又
，所以
或
，
当
时，
，所以
的最小正周期为
；
当
时，
，所以
的最小正周期为
；
则函数
唯一，不符合题意.
【典例】9．（25-26 高三上·北京·月考）已知函数
，其中
.再从条件①、
条件②、条件③中选择一个作为已知，使
存在，并完成下列两个问题．
(1)求
的值，并写出函数
的单调递减区间；
(2)当
时，若曲线
与直线
恰有一个公共点，求
的取值范围．
条件①：
；
条件②：
是
的一个零点；
条件③：
．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)答案见解析，
(2)
【分析】（1）根据选择的条件代入计算，结合角的范围即可利用特殊角的三角函数值求解
，再由整
体代入法求单调区间即可；
（2）由和差角公式以及辅助角公式化简
，由整体法即可代入求解.
【详解】（1）选条件①：
无意义，所以选条件①时
不存在，故不能选①，
选条件②．
由题设
，所以
．
因为
， 所以
，所以
．
所以
．
选条件③，由题设
．
整理得
．
因为
， 所以
，所以
．
所以
．
所以
由
，
解得
，
即函数
的单调递减区间为
（2）由（1）
，
因为
， 所以
．
于是，当且仅当
，即
时，
取得最大值；
当且仅当
，即
时，
取得最小值
．
又
，即
时，
．
时，故
，
故
在
上单调递增，同理
在
上单调递减，
所以曲线
与直线
恰有一个公共点时，则
或
的取值范围是
．
【典例】10．（2025·北京顺义·一模）已知函数
.
(1)求
的值；
(2)再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为已知条件，使函数
存在且唯一确定.当
在区间
上仅有一个零点时，求
的取值范围.
条件①：
在
上是单调函数；
条件②：
图象的一个对称中心为
；
条件③：对任意的
，都有
成立.
注：如果选择的条件不符合要求，得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式即可求解；
（2）关于条件①，从函数的周期，以及单调区间两方面限制
求出
的取值范围；关于条件②求出函数
对称中心表达式，将
代入，确定
的取值；关于条件③根据已知条件确定
，从而确定
的取值；再从选条件①②、①③、②③三种情况分别确定
的值，再利用函数的性质即可求解.
【详解】（1）因为
，
所以
，
所以
.
（2）对于条件①：
在
上是单调函数，
因为
在
上是单调函数，所以
，
所以
，又因为
，解得
，
因为
，
解得
，
所以函数
的单调单调递增区间为：
，
若函数在
上单调递增，则
，
整理有
，
当
时，
，解得
，
当
时，
无解，
得其他值时不等式无解；
因为
，
解得
，
所以函数
的单调单调递减区间为：
，
若函数在
上单调递减，则
，
整理有
，
当
时，
，解得
，
当
时，
无解，
得其他值时不等式无解；
对于条件②：
图象的一个对称中心为
，
因为
，解得
，
所以函数
的对称中心为
，
若
是
图象的一个对称中心，
则
，解得
；
对于条件③：对任意的
，都有
成立，
则
时，函数取得最大值，有
，
解得
；
若选条件①②，则有
，方程无解，
或
，
时，
，
所以
，因为
，所以
，
因为
在区间
上仅有一个零点，
所以
，
，解得
；
若选条件①③，则有有
，方程无解，
或
，
时，
，
所以
，因为
，所以
，
因为
在区间
上仅有一个零点，
所以
，
，解得
；
若选条件②③，则有
，
即
，方程解不唯一，
此时
取值不唯一，所以函数
不唯一，不合要求.
11．（2025·北京昌平·二模）在
中，
为锐角，
．
(1)求
；
(2)若
，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，再通过三角函数的运算求出角；
（2）先根据正弦定理求出的值，再利用余弦定理求出
的值，最后根据三角形面积公式求解.
【详解】（1）由
及正弦定理
，
得
．
因为在
中，
，所以
．
因为
，所以
．
因为
为锐角，所以
．
（2）由
，且
，解得
．
由余弦定理
，得
，解得
或
（舍）．
所以
的面积
．
12．（2025·北京东城·一模）在
中
.
(1)求
的值及
的面积；
(2)求证：
.
【答案】(1)
，
；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由正弦值得
，再应用余弦定理列方程求得
，最后应用三角形面积公式求面积；
（2）由（1）及二倍角余弦公式得
，再应用余弦定理求得
，结合三角形内角的性质即
可证.
【详解】（1）在
中
,所以
是锐角，.
由
，可得
，而
，
所以
，
可得
，则
，
故
；
（2）由（1）易知
，则
，
由（1）及余弦定理有
，
所以
，又
，则
.
13．（2025·北京丰台·二模）在
中，
．
(1)求
；
(2)若
,
，求
边上的高．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，再结合三角函数的性质求解角
；
（2）先根据余弦定理求出边，然后利用三角形面积公式求出
边上的高.
【详解】（1）在
中，因为
，
由正弦定理
及
，得
，
因为
，
所以
，
所以
．
所以
．
（2）因为
，
由余弦定理
，得
，
所以
．设
边上的高为，
又
的面积
，
所以
，
所以AB 边上的高为
．
14．（2025·北京·二模）已知
中，
．
(1)求
的大小；
(2)设
为
的中点，且
，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由同角三角函数的关系及正弦二倍角公式化简，即可求解；
（2）由正弦定理求得
，再结合余弦定理求得
，结合三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）由
，得
．
由
，得
，故
，
所以
．
（2）由正弦定理得，
，即
．
由余弦定理得，
，
即
，解得
或
（舍）．
所以
，
故
．
15．（2025·北京大兴·三模）在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，角
的角平分线
交
于点
，且
．
(1)求
；
(2)若
，且
的面积为
，角
的角平分线为
，求
的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再根据二倍角公式化简可得解；
（2）根据三角形面积可得
，再根据等面积法可得角分线长度.
【详解】（1）由已知
，
又由正弦定理可得
，
又
，所以
，
则
，又
，即
，
又
，
，即
，
则
，所以
，
；
（2）由已知
，所以
，
因为
为角
的角分线，
故
，
所以
，
即
，
解得
.
16．（2025·北京海淀·三模）已知函数
．
(1)若
，求
的值；
(2)若
在一个周期内的部分取值如下表，
：
x
0
m
求
的解析式及单调增区间．
【答案】(1)
；
(2)
，
.
【分析】（1）代入求出
的值.
（2）利用表格中数据求出对称轴及可能对称中心，进而求出
，再利用正弦函数单调性求出增区间.
【详解】（1）由
，得
，而
，
所以
.
（2）函数
，
由表格中数据知，
是函数
图象的对称轴，对称中心可能为
或
，
又所给取值在函数
的一个周期内，则周期
，
，
则
或
，解得
或
，
则
或
，而
，因此
，
，
由
，得
，又
，则
，
所以
的解析式是
；
由
，得
，
所以
的单调递增区间是
.
17．（2025·北京·模拟预测）在
中，
，
(1)求
的值.
(2)从以下三个条件中选一个作为已知，使得满足条件的
存在，求
的面积.
①
边上的高为7；
②
；
③
边上的中线长5.
【答案】(1)
(2)选①无解；选②
或
；选③
【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式可得；
（2）选①，由三角形中边长数据分析可得不合题意；选②，利用正弦定理，余弦定理及三角形面积公式
即得；选③，由
，利用余弦定理可求得
，再由余弦定理可求得
，进而求得
，由三角形面积公式即得.
【详解】（1）在
中，
，
又
，
由正弦定理得，
，
即
，
即
，由正弦定理得，
，
又
，所以
.
（2）选①
边上的高为7，
过
作
于
，如图，
由已知，在
中，
，
，
显然这样的三角形不存在，所以无解.
选②
，即
，
又
，
，则由正弦定理得
，即
，
则
，
由余弦定理
，得
，
即
，解得
或
，
当
时，
的面积
，
当
时，
的面积
.
选③
边上的中线长5，
设
的中点为
，由（1）知
，则
，
又
，
在
中，由余弦定理，
，
在
中，由余弦定理，
，
因为
，所以
，
则
，解得
，
在
中，由余弦定理，
，
则
，
所以
的面积
.
18．（2025·北京丰台·一模）在
中，
．
(1)求
；
(2)若
的面积为
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
存在，求a．
条件①：
；
条件②：
；
条件③：
．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用余弦定理的推论，将等式进行变形即可求出
的值，在由同角三角函数的基
本关系即可求解；
（2）选择条件①时，利用面积公式求出
，再利用正弦定理得
，联立求解即可；选择条件②：
利用面积公式求出
，利用
，且
，所以
．进一步得出
，
再联立求解即可；选择条件③：不符合题意，因为
，不可能
．
【详解】（1）在
中，因为
，
由余弦定理
，得
．
因为
，所以
．
（2）选择条件①：
因为
，所以
，
．
由题意得
，所以
．
因为
，
，
所以
．
由正弦定理
，得
，
又
，解得
，所以
．
选择条件②：
由题意得
，所以
．
因为
，且
，所以
．
又
，所以
，
又
，解得
或
．
选择条件③：不符合题意，因为
中，
，不可能
．
19．（25-26 高三上·北京通州·月考）在
中，
，
.
(1)求
；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使
存在且唯一确定，并解决下
面的问题：求
的面积.
条件①：
；
条件②：
；
条件③：
注：如果选择的条件不符合要求，不给分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)选②或③，
【分析】（1）由正弦定理可得出
的值；
（2）选①，根据三角形三边关系说明三角形不存在；选②，利用余弦定理求出角
的值，进而得出的值，
结合勾股定理可知
为等腰直角三角形；选③，利用正弦定理化简得出
的值，可得出角
的值，
利用余弦定理可求出的值，结合勾股定理可知
为等腰直角三角形.再利用三角形的面积公式可求得
的面积.
【详解】（1）在
中，
，
，
由正弦定理得
.
（2）依题意，
，由正弦定理得
.
选①，
，
则
，三角形不存在，不符合题意.
选②，
，
则
，
，则
为锐角，且
.
由
得
，解得
，
所以
，故
，
此时三角形
是等腰直角三角形，存在且唯一，符合题意.
选③，
，
由正弦定理得
，
由于
，
，所以
，则
，则
为锐角，且
.
由余弦定理得
，即
，
得
，故
，
所以
，故
，
所以三角形
是等腰直角三角形，存在且唯一，符合题意.
所以
.
20．（25-26 高三上·北京朝阳·月考）在
中，
．
(1)求
；
(2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
存在，求
的面积．
条件①：
；
条件②：
；
条件③：
．
【答案】(1)
(2)条件①：
不存在，不存在面积；条件②：
；条件③：
【分析】（1）利用正弦定理以及两角和的正弦公式即可；
（2）若选条件①：利用余弦定理分析即可；若选条件②：利用正弦定理、余弦定理及三角形面积公式求
解即可；选条件③：利用余弦定理及三角形面积公式求解即可.
【详解】（1）由正弦定理
，
得
．
所以
．
所以
．
因为
，所以
．
所以
．
所以
．
（2）选条件①：
，
，
由余弦定理
，
得
，
，
不存在.
选条件②：
，
由
，可得
，
由正弦定理
，
得
，
由余弦定理
得：
，
整理得
，
解得
，或
（舍），
所以
的面积
．
条件③：
，
因为
，且
，所以
，
由余弦定理
，
得
，
解得
，或
（舍），
所以
的面积为：
．
21．（2025·北京海淀·一模）在
中，已知
，
．
(1)求
的值；
(2)若
为锐角，再从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，使
存在且唯一，
求
的面积．
条件①：
；
条件②：
；
条件③：
．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
【答案】(1)
；
(2)答案见解析.
【分析】（1）转化已知条件求得
，解得正弦定理，即可求得
；
（2）对条件①：求得
，由其可为钝角，也可为锐角，从而判定三角形不唯一；对条件②，由
，判定
角唯一，且三角形唯一，再由正弦定理求得
，以及
，即可求得其面积；对条件③，
求得
，由
，判定
为锐角，三角唯一，同理求得
，即可求得三角形面积.
【详解】（1）因为
，则
，
又
，
，故
，也即
；
又
，由正弦定理
可得：
，解得
.
（2）由（1）可知，
，又
为锐角，故
，又
；
若选择条件①：
，由正弦定理
可得
，解得
，
此时，
可以为锐角，也可以时钝角，故此时三角形有两解，不满足题意，条件①不能选择；
若选择条件②：
，则
，由正弦定理
，可得
；
此时，
两角均为锐角，故三角形唯一，
且
，
故三角形
的面积
；
若选择条件③：
，又
，解得
，
因为
，又
为锐角，故
也是锐角，此时
，三角形唯一，
且
，
故三角形
的面积
；
综上所述：条件①不能选；若选择条件②或③，三角形唯一，且其面积为
.
22．（2025·北京海淀·三模）在
中，已知
．
(1)求
；
(2)若
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使
存在且唯一
确定，求
边上中线的长．
条件①：
；条件②：
；条件③：
的面积为
．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
【答案】(1)
；
(2)所选条件见解析，
.
【分析】（1）法一：由正弦定理及已知可得
，再由三角形内角的性质、诱导公式、
和角正弦公式并整理得
，进而求角的大小；法二：由余弦边角关系及已知得
，再由余弦定理求角的大小；
（2）根据所选条件，综合运用正余弦定理、三角形面积公式求
边上中线的长．
【详解】（1）法一：由正弦定理
及
，得
，
因为
，
所以
，整理得
．
因为
，所以
，所以
，又
，所以
．
法二：由余弦定理，
，代入得：
．
整理得：
，所以
，又
，所以
．
（2）选条件①：取
的中点
，连接
，
由正弦定理及
，得
，
因为
，所以
，
，所以
，
在
中，由余弦定理知，
，
所以
，即
边上中线的长为
．
选条件③：取
的中点
，连接
，由正弦定理及
，得
，
因为
的面积为
，所以
，即
，
又
，所以
，
，所以
，
在
中，由余弦定理知，
，
所以
，即
边上中线的长为
．
选条件②：由
，知
，
在
中，由余弦定理知，
，
若
，则
，该等式恒成立，
即
不唯一，不符合题意．
23．（2025·北京·三模）已知函数
.
(1)若
，求
的值；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数
存在，求出
，
的值，并
证明：当
时，
.
条件①：
；
条件②：当
时，
的最小值为
；
条件③：
图象关于直线
对称.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）化简函数为
，进而求得
的值；
（2）先化简得到
，根据题意，分别选择①②，②③和①③，结合三角函数的图象与
性质，列出方程求解，即可得到答案.
【详解】（1）解：若
，可得
，
所以
.
（2）解：由
，
若选择条件①：
由
，可得
，所以
，因为
，可得
不存在；
故只能选择条件②③：
由
，由
且
的最小值为
，
可得
，可得
，可得
，所以
，
此时
，
又由
图象关于直线
对称，可得
，
即
，所以
，可得
，
因为
，可得
；
所以
，当
时，
，
时，
取最大值
，
所以，
.
24．（2025·北京海淀·三模）已知函数
（
，
）．
在区间
上单调递增，且
是图象的对称轴，再从下面给出的条件①、条件②、条件③这三个条
件中选择一个作为已知，使函数
存在，并求解下列问题．
条件①：
；
条件②：当
时，
取到最小值；
条件③：
．
(1)求
、
的值；
(2)若函数
在区间
上单调递减，求实数
的最大值．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）借助二倍角公式化简
，根据
不成立说明不能选择条件①.若选条件②或③，
结合函数的对称性及特殊点的函数值可得结果.
（2）结合正弦函数的单调性列不等式求解即可.
【详解】（1）由题意得，
.
若选条件①：因为
是
图象的对称轴，所以
，不可能满足
，
所以不能选择条件①；
若选条件②：因为
在区间
上单调递增，
是
图象的对称轴，当
时，
取
到最小值，
所以
的最小正周期
，且
，
因为
，所以
，
所以
，故
，
所以
，
，即
，
，
因为
，所以
.
若选条件③：因为
在区间
上单调递增，
是
图象的对称轴，
，
所以
的最小正周期
，且
，
因为
，所以
，
所以
，故
，
所以
，
，即
，
，
因为
，所以
.
（2）由（1）知，
，
因为
，所以
，
因为函数
在区间
上单调递减，
所以
，解得
，
故实数m 的最大值为
25．（25-26 高三上·北京·月考）已知函数
，且
图象的相
邻两条对称轴之间的距离为
，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．
条件①：
的最小值为
；条件②：
图象的一个对称中心为
；条件③：
的图象经过
点
．
(1)确定
的解析式；
(2)将
纵坐标不变横坐标变为原来的2 倍，再将图像向右平移
个单位，然后横坐标不变纵坐标变为
原来的
，就得到了
的图像，令
，求
的最大值及取得最大值时
的值
【答案】(1)
；
(2)当
，或
，
时，
取得最大值
【分析】（1）分别将条件①②③化简，结合三角函数的性质代入计算，即可得到其解析式；
（2）由三角函数的图像变换得到函数
的解析式，再结合换元法，由二次函数的最值即可得到结果.
【详解】（1）由
图象的相邻两条对称轴之间的距离为
，
可得
的最小正周期
，
，
此时
，
选条件①②，
因为
，所以
，
因为
图象的一个对称中心为
，所以
，
因为
，所以
，所以
；
选条件①③，
因为
，所以
，
因为
的图象经过点
，则
，
即
，
，
因为
，即
，所以
，
所以
，解得
，
所以
；
选条件②③，
因为
图象的一个对称中心为
，
所以
，所以
，
因为
，所以
，所以
，
因为
的图象经过点
，则
，
即
，
，即
，所以
，
所以
；
（2）将
纵坐标不变横坐标变为原来的2 倍，解析式变为
，
再将图像向右平移
个单位，解析式变为
，
然后横坐标不变纵坐标变为原来的
，可得
，
，
令
，
，
函数可化为
，
对称轴为
，
在
上单调递增，
上单调递减，
且
，所以
，
即
的最大值为
，
此时
，
，
即
或
.
（建议用时：40 分钟）
26．（25-26 高三上·北京·月考）在
中，
.
(1)求
的值；
(2)再从条件 ①、条件 ②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
存在且唯一，求
的面积.
条件①：
；条件②：
；条件③：
.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由
，求得
，再由
，结合正弦定理，即可求解；
（2）选择条件①，由余弦定理求得
，结合三角形的面积公式，即可求解；选择条件②，利用正余弦
定理求得
，结合三角形的面积公式，即可求解；选择条件③，由余弦定理，列出方程，得到
，此时
可以取任意值，不符合题意.
【详解】（1）解：由
，因为
，可得
，
又由
，根据正弦定理，可得
，所以
，
（2）解：选择条件①：
且
，由余弦定理得
，
可得
，解得
，
所以
的面积
；
选择条件②：
，由正弦定理
，可得
，
因为
，可得
，
因为
，由余弦定理得
，
可得
，解得
，
所以
的面积
；
选择条件③：
且
，可得
，
由余弦定理得
，即
，
即
，此时恒成立，
可以取任意值，此时
不确定，（舍去）.
27．（24-25 高三上·北京海淀·月考）在
中，角
的对边分别为
，
．
(1)求角
的大小；
(2)若
，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使
存在且唯一，求
的面积．
条件①：
；
条件②：
边上的中线长为
；
条件③：
．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由正弦定理、三角恒等变换得
即可求解；
（2）选条件①，说明
即可说明①不符合题意；选条件②，由余弦定理依次算得
即
可说明
存在且唯一，结合三角形面积公式计算
的面积即可；选条件③，
，结合
以及余弦定理得
，解得
，故③符合题意.
【详解】（1）因为
，
所以
，
因为
，
所以
，
因为
，所以
；
（2）若选条件①：
，则
，
此时
，但这与三角形内角和矛盾，此时
不存在；
若选条件②：
边上的中线长为
，
设
，由题意
，
，
，
由余弦定理有
，即
，
解得
或
舍去，
由余弦定理得，
，
此时
存在且唯一，且
的面积
；
若选条件③：
，
，
即
，
因为
，所以由余弦定理有
，即
，
即
，
因为
，所以
，
即
，解得
,
则
，此时三角形是唯一存在的，
所以
的面积为
.
28．（25-26 高三上·北京·月考）已知函数
的一部分图像如图所示.
其中
点是图像与
轴的交点，
点横坐标
，且
.
(1)求
的解析式：
(2)将
的图像向左平移
个单位得到
的图像，令函数
，求
的单调递减
区间，和
在
上的值域.
【答案】(1)
(2)
；
【分析】（1）由
，得到
，求得
，再由
，求得
，得到
，即可求得函数
的解析式；
（2）根据三角函数的图象变换，求得
，得到
，结合正弦型函数的图象
与性质，即可求解.
【详解】（1）解：由函数
的一部分图像，
因为
，可得
点的纵坐标为
，即
，
根据正弦函数图象的五点法，可得
，
又因为
，所以
，所以
又由
点横坐标
，可得
，即
，
可得
，解得
，
又因为
，可得
，所以
，
所以函数
（2）解：由（1）知：
，
将
的图像向左平移
个单位得到
，
所以
，
令
，解得
，
所以
的单调递减区间为
；
当
时，可得
，
当
时，即
时，
，所以
；
当
时，即
时，
，所以
，
所以
的最大值为
，最小值为
，所以函数
的值域为
29．（25-26 高三上·北京延庆·月考）已知函数
，从条件①､条件②､条件
③这三个条件中选择一个作为已知，使函数
存在.
(1)求
的值；
(2)求
在区间
上的最大值和最小值.
条件①：
；
条件②：
是奇函数；
条件③：
是
的一个零点.
注：如果选择的条件不符合要求，得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)选择条件①或③，
(2)最大值，最小值
【分析】（1）根据正弦函数图像的性质，利用整体代入法求
；
（2）先用积化和差公式将函数
解析式变形，再考虑
的单调性，从而求出
在区间
上
的最值
【详解】（1）若选择条件①.
.所以
，
.故
.
因为
，所以只有当
时满足条件，故
.
若选择条件②.
定义域为
，因
是奇函数，所以对
，有
.
因此，
，因对
恒成立，故有
.
因而，
应是函数
的一条对称轴，故
，
.
因为
，没有
满足条件，故
不存在.
若选择条件③.
因为
是
的一个零点，所以
，即
.
因此
，即
，
.
因为
，所以只有当
时满足条件，故
.
故选择条件①或③，
.
（2）
，用积化和差公式得，
.
故
.
当
时，即
时，函数
单调递增，即函数
单调递减.
即当
时，
在区间
上单调递减.
又因为
图象的一条对称轴为
，所以
在区间
上单调递增.
故在区间
上，函数
在
上单调递减，
上单调递增.
，
，
.
因此，函数
在区间
上的最大值为，最小值为
.
30．（25-26 高三上·北京海淀·月考）在
中，
（为
的面积）.
(1)求
；
(2)从下面三个条件中选择两个作为已知，使得
存在，求
的周长.
条件①：
；条件②：
；条件③：
边上的中线等于
.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据余弦定理和三角形面积公式即可求得角
的值.
（2）选条件①②：先求出
，然后求出
，然后利用正弦定理求出
，即可求出三角形的周长；选条
件①③：先求出
，然后利用正弦定理和余弦定理求出
，即可求出三角形的周长. 选条件②③：
不存在.
【详解】（1）由余弦定理，
，又
，
所以
，得
（2）选条件①②：
，
，则
.
由正弦定理
，代入解得：
，
所以
的周长为
.
选条件①③：
，
，
由正弦定理可得
，
不妨设
，设
中点为
，
由余弦定理
，
由
得
，解得
，所以
的周长为
.
（注：若选条件②③，此时
边上的高
，
边上的中线
，
由于
，不满足三角形中高不大于对应中线的性质，故该组合不成立.）
（建议用时：50 分钟）
31．（25-26 高三上·北京·开学考试）在
中，
.
(1)求
；
(2)若
，并在条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
存在且唯一确
定，求
的面积.
条件①：
；
条件②：
；
条件③：设CD 为AB 边上的高，
.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分.
【答案】(1)
(2)选择条件，答案见解析.
【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用差角的余弦公式求解.
（2）选择条件①，利用余弦函数单调性，结合已知导出矛盾；选择条件②，利用余弦定理及三角形面积
公式求解；选择条件③，利用直角三角形边角关系求出
，再利用余弦定理及三角形面积公式求解.
【详解】（1）在
中，由
及正弦定理，得
，
而
，则
，解得
，又
，
所以
.
（2）选择条件①：
，而
，余弦函数
在
上单调递减，
则
，
，与
矛盾，因此
不存在.
选择条件②：
，由（1）及余弦定理
，
，
得
，解得
，
，经检验
存在且唯一确定，
所以
的面积
.
选择条件③：CD 为AB 边上的高，且
，则
，
由（1）及余弦定理
，
，
得
，解得
，
，经检验
存在且唯一确定，
所以
的面积
.
32．（25-26 高三上·北京·月考）在
中，
分别为角
的对边，
，且
.
(1)求角
的大小；
(2)再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使
存在且唯一确定，求
的
面积.
条件①：
为锐角；条件②：
；条件③：
.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个
解答计分.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据三角形边与角的关系结合
即可求解；
（2）对给出的三个条件逐一探讨，若选①，由余弦定理解得
或
.分类讨论三角形的形状，再结
合面积公式即可求解；若选择②，先计算
，由正弦定理得,再由余弦定理解得
或
.分类讨
论三角形的形状，再结合面积公式即可求解；若选③，由正弦定理求出
的值，由两角和的正弦公式求出
的值，结合面积公式即可求解.
【详解】（1）在
中，
，所以
，所以
，
所以
，又
，
所以
，所以
；
（2）选择条件①：
为锐角，
由（1）
，
由余弦定理有：
，
所以
，即
，
解得
或，
当
时，
，所以
为钝角，不满足题意，
当
时，
，所以
为锐角，满足题意，
综上，满足条件的
存在且唯一确定，
所以
；
选择条件②：
，
由（1）
，
所以
为钝角，且
唯一，满足题意，
所以
，
由正弦定理得
，
又由余弦定理得
，
所以
，即
，
解得
或
，
当
时，
，所以
为钝角，满足题意，
当
时，
，所以
为锐角，不满足题意，
综上，满足条件的
存在且唯一确定，
所以
；
条件③：
，
由（1）
，
所以
，由正弦定理得
，所以
，
所以
，
由正弦定理
得
，
又
，
所以
.
33．（2025·北京西城·一模）在
中，
．
(1)求
的值；
(2)若
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
存在，求
边上的高．
条件①：
；
条件②：
；
条件③：
．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
【答案】(1)
(2)条件选择见解析，答案见解析
【分析】（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出
的值；
（2）对于条件①，利用余弦函数的单调性求出角
的取值范围，结合三角形的内角和定理推出矛盾，可
值条件①，不符合要求；
选择条件②，求出
的值，利用余弦定理可求出的值，然后利用三角形的面积公式结合等面积法可求
出边
上的高；
选择条件③；求出
、
的值，利用两角和的正弦公式可求出
的值，利用正弦定理求出
的值，
进而可得出边
上的高为
，求解即可；
【详解】（1）由正弦定理
，且
，
得
，即
．
由
，得
．所以
．
由
，得
，所以
．
（2）选择条件①：因为
，且余弦函数
在
上单调递减，
故
，又因为
，从而可得
，与三角形的内角和定理矛盾，故①不成立.
选择条件②：由
，且
，得
．
由余弦定理
，得
，
解得
或
（舍）．
设边
上的高为，则三角形面积
，
所以
．
选择条件③：由
，且
，得
．
由
，且
，得
．
所以
．
由正弦定理，得
，所以边
上的高
．
34．（2025·北京通州·一模）设函数
(1)若
，求
的值.
(2)已知
在区间
上单调递增，
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择
一个作为已知，使函数
存在，求
，
的值.
条件①：
在区间
上单调递减；
条件②：
；
条件③：
为函数
图象的一条对称轴.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分，
【答案】(1)
(2)选择条件①或③，
.
【分析】（1）利用
得
，再结合
的范围即可；
（2）选择条件①或③，则可利用最小值和最大值求出半周期，即可求
，再根据最值即可求解
；若选
择②，因
不在值域范围内，故不存在解析式.
【详解】（1）由题意可知
，即
，
因
，则
.
（2）条件①：
在
上单调递减，在
上单调递增，且
，
则
在
处取最小值，在
处取最大值，
则
，
，
则
，
，
因
，则
，
则
；
条件②：因
，则
不可能成立，故无解析式；
条件③：因
，则
在
处取最大值，
又
为函数
图象的一条对称轴，且在
上单调递增，
则
在
处取最小值，
则
，
，
则
，
，
因
，则
，
则
.
综上可知，若选择条件①或③，则
；
若选择条件②，则不存在解析式.
35．（2025·北京朝阳·二模）已知函数
．
(1)求
的最小正周期和单调递增区间；
(2)设函数
，再从条件①、条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使
函数
存在且唯一，求
在区间
上的最大值和最小值．
条件①：
在区间
上单调递增；
条件②：
的最大值为
；
条件③：
为偶函数．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
【答案】(1)最小正周期
，单调递增区间为
(2)答案见解析
【分析】（1）由两角和的正弦公式化简，再由正弦型函数的周期性、单调性求解；
（2）分别选择条件后根据条件分析
的取值是否唯一，若唯一，再由正弦型函数的性质求最值即可，若
不唯一，则放弃该条件的选择.
【详解】（1）由题意得
，
所以
的最小正周期
，
由
，
得
．
所以
的单调递增区间为
．
（2）选择条件①：
由题意得
．
由（1）可知
的单调递增区间为
．
由
在区间
上单调递增，得
解得
．
又因为
，所以
．
从而
存在且唯一，
当
时，
，
所以当
，即
时，
取得最大值
；
当
，即
时，
取得最小值
．
选择条件②：
由题意得
，
函数最大值为
，则只需
，
由于
，故
的取值不唯一，故不符合题意，即不能选择条件②；
选择条件③：
由题意得
．
由
为偶函数可知
，
解得
．
又因为
，所以
．
从而
存在且唯一．
当
时，
，
所以当
，即
时，
取得最小值
；
当
，即
时，
取得最大值
．
（建议用时：50 分钟）
36．（2025·北京延庆·一模）在
中，
，
.
(1)求b；
(2)再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使
为锐角三角形，并求
的面积.
条件①：
；条件②：AB 边上中线的长为
；条件③：
.
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换，即可求解；
（2）若选择①②，应用余弦定理结合锐角三角形，即可判断；若选择③应用余弦定理及同角三角函数关
系，以及三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）在
中，因为
，
再由
可得
.
所以
，即
，
所以
.
因为
，所以
.
（2）选择条件①：
，
，
，
由余弦定理得
，
，
因为
为锐角三角形，所以不符合题意，不存在三角形；
选择条件②： 在
中，设点
为
的中点，则
，
，
中，根据余弦定理
解得
，所以
，所以
，
因为
，所以
为锐角三角形，
所以
，
在
中，
.
选择条件③：在
中，
为锐角三角形，
因为
，所以
，
所以
，
，
，所以
，
所以
，所以
，解得
或
舍.
所以
，所以
为锐角三角形，
所以
，
在
中，
.
37．（25-26 高三上·北京丰台·开学考试）在
中，
，
.
(1)求
；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
存在，求
的面积.
条件①：
；
条件②：
；
条件③：
.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分.
【答案】(1)
(2)选择见解析，
【分析】（1）利用正弦定理即可求解；
（2）若选择条件①，解法1：利用正弦定理求
即可判断，解法2：利用余弦定理得
，利用
判别式即可判断；
若选择条件②，利用同角三角函数平方关系先求
，利用两角和的正弦公式得
，再利用正弦定理
求
，最后由三角形的面积公式即可求解；
若选择条件③，利用余弦定理即可求，进而得
，再由三角形的面积公式即可求解.
【详解】（1）因为在
中，
，
由正弦定理
，
，
因为
，所以
；
（2）若选择条件①：
，
解法1：由正弦定理
得
，
此时
，
不存在，不符合要求，
解法2：将
,
，
，
由余弦定理
得：
，
，
所以方程无实数解，
不存在，不符合要求，
若选择条件②：
，
因为在
中，
，
所以由正弦定理得
，
所以
，
，
又由正弦定理得
，
所以三角形
的面积为：
；
若选择条件③：
，
将
,
代入余弦定理
，
，
解得：
，
进而得
，
所以三角形
的面积为：
.
38．（25-26 高三上·北京东城·月考）设
的内角
的对边分别为
，且
．
(1)求角
大小；
(2)再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求
的面积．
条件①：
，
；
条件②：
，
；
条件③：
边上的高
，
．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用正弦定理可得
，即
，再结合
为三角形内角可求角
.
（2）选①：由余弦定理可得满足条件的三角形不唯一，故选①不合题意.
选②：根据正弦定理可求边
，再利用
求
，再利用三角形的面积公式求三角形面积.
选③：先由
求得
，再由余弦定理求边，最后利用三角形的面积公式求三角形面积.
【详解】（1）因为
，由正弦定理可得
，
又因为
，所以
，则
，即
，所以
.
（2）选①：由余弦定理可得
，即
，解得
或3，不符合题意；
选②：因为
，
，所以
，
由正弦定理
可得
，
此时三角形两角一边确定，故三角形唯一确定，符合题意，
又
，
此时
的面积
；
选③：因为
边上的高
，所以
，则
，
由余弦定理
，即
，解得
，
（舍去），
故
唯一，符合题意，
此时
的面积
．
39．（25-26 高三上·北京·月考）函数
.
(1)若
，求
及
的单调递增区间；
(2)
在
上单调递增，且存在
，使
在
至少有3 个零点，再从条件①、条件②、
条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数
存在唯一确定，求
的最小正周期.
条件①:
；
条件②:
；
条件③:
.
注:如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，第一个解答
计分.
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）利用三角函数恒等式化简函数解析式，根据整体思想，结合正弦函数单调性以及复合函数
单调性，可得答案；
（2）根据正弦型函数的单调性以及周期内的零点，可得参数的范围，再根据所给条件，结合三角函数的
周期性与对称性，可得答案.
【详解】（1）
，
由
，则
，可得
，
令
，解得
，
所以函数
的单调递增区间为
.
（2）由
，则当
时，即
，
由函数
在
上单调递增，则
，解得
.
由函数
在
上至少存在个零点，则
，解得
.
选择条件①：
由
，解得
，即
，
令
，化简可得
，即
或
，不符合题意.
选择条件②：
由
，且
，则直线
为函数
图像上的一条对称轴，
令
，化简可得
，则
，化简可得
，
令
，解得
，即
，符合题意，
可得
，则
，此时最小正周期
.
选择条件③：
，
由
，
结合三角函数的诱导公式，可得
，
，
或
，
，解得
或
，可知存在
或
符合条件，
不唯一.
综上所述，选择条件②，此时
，
存在且唯一，最小正周期
.
40．（2025·北京·三模）在△ABC 中,
(1)求∠B；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC 存在且唯一，求△ABC 的周
长.
条件①:
；
条件②：△ABC 的面积为
；
条件③：AC 边上的高等于
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由余弦定理可求出
，再由
可求出
；
（2）若选择①：不知道三条边的边长，所以△ABC 的周长不唯一；若选择②：由面积公式可求得
，再
代入
可得，即可求出△ABC 的周长；若选择③：由等面积法可求出
，再代入
可得，即可求出△ABC 的周长.
【详解】（1）由
可得
，
由余弦定理可得：
，
因为
，所以
，
又因为
，所以
，
所以
，因为
，所以
.
（2）若选择①：因为
，
，所以
，所以
，
则
，不知道三条边的边长，所以△ABC 的周长不唯一，故不能选择①.
若选择②：由（1）可得
，即
，
则
，解得
，
再代入
可得：
，
所以△ABC 的周长为：
.
若选择③：由（1）可得
，即
，
由
可得：
，
所以
，
又因为AC 边上的高等于
，
，
所以
，解得：
，所以
，
，
所以△ABC 的周长为：
.
（建议用时：60 分钟）
41．（25-26 高三上·北京东城·月考）在
中，
.
(1)求角
的大小；
(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使
存在且唯一确定，并求出
边上的中线的长度．
条件①．
的周长为
；条件②．
；条件③．
边上的高线长为1．注：如果选择的条
件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)①
②不符合题意③
【分析】（1）由正弦定理可解得；（2）选条件①由余弦定理可得；选条件②，验证不符合题意；选条件
③由三角形的面积公式和余弦定理可得.
【详解】（1）在
中，因为
，又
，所以
．
因为
，所以
．因为
，所以
．
（2）选条件①：因为
中，
，
，
，
所以
，即
为等腰三角形，其中
．因为
，
所以
．所以
．
设点
为线段
的中点，在
中，由余弦定理得
，
所以
，即
边上的中线的长
.
选择条件②：由（1）知
，所以
，可知
，
不唯一，故②不符合题意，不可选择条件②.
选择条件③：因为
中，
，
，
，
所以
，即
为等腰三角形，其中
．设
边上的高线长为
，
则
面积
，即
，解得
，因此
，
设点
为线段
的中点，则
，在
中，由余弦定理得
，
所以
，即
边上的中线的长
.
42．（2025·北京朝阳·一模）在
中，
(1)求c 的值；
(2)已知
，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
存在且唯一，
求
的周长．
条件①：
；
条件②：AB 边上的高为
；
条件③：
．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，再结合两角和的正弦公式化简求解的值；
（2）根据所选条件，结合正弦定理、三角形面积公式等求出三角形的其他边，进而求得周长.
【详解】（1）由正弦定理
及
得
．
所以
．
所以
．
又因为
，所以
．
所以
．
（2）选条件①：因为
，且
，
所以
．
因为
，所以
．所以
．
又因为
，所以
．
所以
．
又
，所以
．
所以
的周长为
．
选条件②：因为
边上的高为
，所以
．
又因为
，所以
．
所以
．
因为
，所以
．
（1）当
时，由
，得
．
又
，所以
．
所以
．
所以
的周长为
．
（2）当
时，由
，得
．
又
，所以
，不符合题意．
综上，
的周长为
．
选条件③：
由余弦定理
，可得
，即
。
解得
或
，此时
不唯一，不符合要求.
43．（25-26 高三上·北京·月考）在
中，
，
．
(1)求A；
(2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使得
存在且唯一，求BC 边上的高h．
条件①：
；条件②：
；条件③：
．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由正弦定理和三角形的内角和定理，求得
，进而求得
的大小；
又因为
，所以
，可得
.
（2）分别选择条件①②③，结合题意，利用正弦定理、余弦定理和面积公式，即可求解.
【详解】（1）解：因为
，由正弦定理得
，
因为
，且
，
所以
，得
，
因为
，即
，
则
，又因为
，可得
，
所以
，可得
，可得
.
（2）解：选择条件①：
，因为
且
，
由余弦定理得
，
即
，解得
，
所以
为方程
的根，解得
或
，
即
或
，所以三角形的元素不唯一，不符合题意.
选择条件②：
，因为
，可得
,
由正弦定理
，可得
，
因为
且
，所以
为锐角且唯一，所以
存在且唯一，
又由
，
由正弦定理可得
，所以
，
可得
，即
，解得
，即
边上的高为
.
条件③：
，由正弦定理
，可得
，
因为
，所以
，
又因为
，所以
为锐角，且唯一确定，所以
存在且唯一，
又由
，
因为
，
所以
，
又由正弦定理得
，所以
，
可得
，即
，解得
，即
边上的高为
.
44．（25-26 高三上·北京·月考）已知函数
.从条件①条件②
､
､
条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数
存在且唯一确定.
(1)求
的值；
(2)若不等式
在区间
内有解，求
的取值范围.
条件①：
；
条件②：
图象关于
对称，且在区间
有且只有一个最大值和一个最小值；
条件③：
在区间
内无极值点，且
恒成立.
注：如果选择的条件不符合要求，得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简函数
然后根据①、②、③的条件分别利用正弦（型）函数的
性质逐个分析得出
的值；
（2）先化简不等式得出
，然后解出不等式的解集，最后根据题意要求得出
的取值范围.
【详解】（1）由函数
，
若选择①：则
，
即
，
所以
，
解得：
不唯一，
所以函数
不唯一确定；
若选择②：若
图象关于
对称，
则
，
即
，
由
，所以
所以若函数
在区间
有且只有一个最大值和一个最小值，
则
，即
，
即
，则有
，
又
，所以
，
所以
，所以函数
存在且唯一确定；
若选择③：
设函数
的最小正周期为
，
因为
在区间
内无极值点，且
，
故
，
，
由此得出
唯一，所以函数
唯一确定；
综上所述函数
要唯一确定，则
.
（2）由（1）得：
，
所以不等式
所以
，
即
，
因为
，我们需要找到满足：
且
的情况，
则当
时有：
，
所以要使得不等式
在区间
内有解，则
，
所以
的取值范围为：
.
45．（24-25 高三下·北京·月考）已知函数
（
，
）的最小正周期为T.从
下列四个条件中选择两个作为已知，使函数
存在且唯一确定，并回答下面两个问题.
(1)直接写出
和
的值，并求
的对称轴.
(2)当
时，若曲线
与直线
恰有一个公共点，求m 的取值范围.
条件①：
的图象可由
的图象平移得到；
条件②：
在区间
上单调递增；
条件③：
；
条件④：
.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）通过分析①③，①④，①②，②③，②④，③④六种条件组合，选择①③，①④时可推出
唯一确定的
，
，使得函数
存在且唯一确定，从而推出
，根据函数性
质求出对称轴.
（2）根据（1）结论，令
，由
，利用正弦函数的性质推出
的单
调性和值域，根据
单调性和值域讨论与
的交点情况，得出
的取值范围.
【详解】（1）若选择①②，
由①可得
，故最小正周期
，故
，
取
，则当
时，
，
在
递增；
且
可由
向右平移
个单位得到；
取
，则当
时，
，故
在
递增；
且
可由
向右平移
个单位得到，
故此时
不唯一，舍；
若选择①③，由①可得
，故最小正周期
，代入
：
，结合
，得
.
所以
，
，故
.
对称轴：令
，解得
.
若选择①④，同理可得
且最小正周期为
，
而由④可得
，
结合
可得
为函数图像的对称轴，
故
，而
，故
即
.
对称轴：令
，解得对称轴方程为：
.
若选择条件②③， 由③可得最小正周期
，代入
：
，
由
，得唯一解为
即函数
，
当
时，
，
因为
在区间
上单调递增；故
，
故
，此时
不唯一，舍；
若选择条件②④，
取
则当
时，
，故
在
递增；
而
，
取
，由前述分析可得
满足②④，
故此时
不唯一，舍；
若选择条件③④，由③可得最小正周期
，代入
：
，
由
，得唯一解为
即函数
，
取
，则由前述分析得
满足③④，
取
，则
，
此时
，
满足
，
故此时
不唯一，舍；
综上，选择①③或①④，此时
，此时对称轴方程为：
.
（2）令
，则
.
而当
时，
单调递增，值域为
；
当
时，
单调递减，值域为
.
因为曲线
与直线
在
恰有一个公共点，
故曲线
与直线
在
恰有一个公共点
故
.
