微专题2 三角恒等变换与解三角形
近几年高考：1.利用三角恒等式及其变换对三角函数式化简、
求值是高考命题的热点,常以选择题、填空题的形式考查,难度
中档偏下. 2.利用三角恒等变换研究三角函数的性质,是高考常
见题型,多为中档题. 3.应用正弦定理、余弦定理解三角形是高
考的必考内容,主要考查边、角、面积、周长等的计算,既有选
择、填空题,也有解答题,难度为中档或偏下.
一、高考真题
1.(2025·新高考Ⅱ卷)已知0<α<π,cos α
2
=
❑√5
5
,则
sin (α −π
4)=( )
A.
❑√2
10
B.
❑√2
5
C.
3 ❑√2
10
D.7 ❑√2
10
答案 D
解析 由题得cos α=2cos 2α
2
-1=2×1
5
-1=-3
5
,
因为0<α<π,所以sin α=❑√1−co s
2α=4
5
,
所以sin (α −π
4)=
❑√2
2
(sin α-cos α)=
❑√2
2
×7
5
=7 ❑√2
10
.
2.(2024·全国甲卷)已知
cos α
cos α −sin α
=❑√3,则tan
(α + π
4)=( )
A.2❑√3+1
B.2❑√3-1
C.
❑√3
2
D.1-❑√3
答案 B
解析 根据题意有cos α −sin α
cos α
=
❑√3
3
,
即1-tan α=
❑√3
3
,
所以tan α=1-
❑√3
3
,
所以tan (α + π
4)= tan α +1
1−tan α
=
2−
❑√3
3
❑√3
3
=2❑√3-1.
3.(2025·新高考Ⅱ卷)在△ABC 中,BC=2,AC=1+❑√3,AB=❑√6,
则A=( )
A.45° B.60° C.120°
D.135°
答案 A
解析 由题意,得cos A= A C
2+ A B
2−BC
2
2 AC·AB
=
(1+ ❑√3)
2+6−4
2(1+ ❑√3)×❑√6
=
❑√2
2
,
因为0°<A<180°,所以A=45°.
4.(多选)(2025·新高考Ⅰ卷)已知△ABC 的面积为1
4
,若cos
2A+cos 2B+2sin C=2,cos Acos Bsin C=1
4
,则( )
A.sin C=sin 2A+sin 2B
B.AB=❑√2
C.sin A+sin B=
❑√6
2
D.AC2+BC2=3
答案 ABC
解析 由cos 2A+cos 2B+2sin C=1-2sin 2A+1-2sin 2B+2sin C=2,
得sin 2A+sin 2B=sin C,A 正确;
由cos Acos Bsin C=1
4
可知A,B 皆为锐角;
若A+B<π
2
,则sin 2A+sin 2B<sin Acos B+sin Bcos A=sin C,不合
题意,
若A+B>π
2
,则sin 2A+sin 2B>sin Acos B+sin Bcos A=sin C,不合
题意,
所以C=A+B=π
2
,
所以cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B=0,
又cos Acos Bsin C=cos Acos B=1
4
,
所以sin Asin B=1
4
.
因为S△ABC=1
2
AC·BCsin C=1
2
AC·BC=1
4
,所以AC·BC=1
2
,
所以AB2=
AC·BC
sin A sin B
=
1
2
1
4
=2,
故AB=❑√2,B 正确;
(sin A+sin B)2=sin 2A+sin 2B+2sin Asin B=1+2sin Asin B=1+2×1
4
=3
2
,
所以sin A+sin B=
❑√6
2
,C 正确;
AC2+BC2=AB2=2,D 错误.故选ABC.
5.(2024·新高考Ⅱ卷)已知α 为第一象限角,β 为第三象限角,
tan α+tan β=4,tan αtan β=❑√2+1,则sin(α+β)= .
答案 -2❑√2
3
解析 由题知tan (α+β)= tan α + tan β
1−tan α tan β
=
4
1−❑√2−1
=-2❑√2,
即sin(α+β)=-2❑√2cos(α+β),
又sin 2(α+β)+cos 2(α+β)=1,
可得sin(α+β)=±2❑√2
3
.
由2kπ<α<2kπ+π
2
,k∈Z,
2mπ+π<β<2mπ+3 π
2
,m∈Z,
得2(k+m)π+π<α+β<2(k+m)π+2π,k+m∈Z.
又tan (α+β)<0,所以α+β 是第四象限角,
故sin(α+β)=-2❑√2
3
.
6.(2024·新高考Ⅰ卷)记△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为
a,b,c,已知sin C=❑√2cos B,a2+b2-c2=❑√2ab.
(1)求B;
(2)若△ABC 的面积为3+❑√3,求c.
解 (1)由余弦定理得cos C=a
2+b
2−c
2
2ab
=
❑√2
2
,
又0<C<π,∴C=π
4
,
∴❑√2cos B=sin C=
❑√2
2
,∴cos B=1
2
.
又0<B<π,∴B=π
3
.
(2)由(1)得A=π-B-C=5 π
12
,
由正弦定理
a
sin A
=
c
sin C
,
得
a
❑√2+ ❑√6
4
=
c
❑√2
2
,∴a=1+ ❑√3
2
c.
∴△ABC 的面积S=1
2
acsin B=1+ ❑√3
4
c2×
❑√3
2
=3+❑√3,
解得c=2❑√2.
二．典型例题
1 化简、求值
例1 (1)
2cos 65°cos 15°
tan 15°cos 10°+sin 10°
的值为( )
A.2+ ❑√3
2
B.1
2
C.2−❑√3
2
D.3
2
(2)(2025·合肥模拟)已知tan α=2,则1+sin 2α
cos 2α
=( )
A.-1
3
B.-3
C.3
D.±3
答案 (1)A (2)B
解析 (1)
2cos 65°cos 15°
tan 15°cos 10°+sin 10°
=
2cos 65° co s
215°
sin 15° cos 10°+sin 10° cos 15°
=sin 25°(1+cos 30°)
sin 25°
=2+ ❑√3
2
.
(2)因为tan α=2,
所以1+sin 2α
cos 2α
=1+2sin α cos α
1−2sin
2α
=sin
2α +co s
2α +2sin α cos α
sin
2α +co s
2α −2sin
2α
=tan
2α +1+2tan α
tan
2α +1−2tan
2α
= 4+1+ 4
4 +1−8
=-3.
训练1 (1)(2025·广东部分名校模拟)
tan 80°−tan 20°
1+
1
2cos 20°
的值为 .
(2)(2025·兰州诊断)已知α∈(
π
2 ,π),β∈(0, π
2),若
sin(α+β)=1
3
,cos β=
❑√3
3
,则cos α= .
答案 (1)2❑√3 (2)-
❑√6
9
解析 (1)tan 80°-tan 20°
=tan (80°-20°)(1+tan 80°·tan 20°)
=❑√3(1+ sin 80° sin 20°
cos 80° cos 20°)
=❑√3(1+ cos 10° sin 20°
sin 10° cos 20°)
=❑√3(1+ 2co s
210°
cos 20° )
=❑√3(1+ 1+cos 20°
cos 20° )
=❑√3(2+
1
cos 20°),
所以
tan 80°−tan 20°
1+
1
2cos 20°
=2❑√3.
(2)由α∈(
π
2 ,π),β∈(0, π
2),
得α+β∈(
π
2 , 3 π
2 ),
而sin(α+β)=1
3
,故α+β∈(
π
2 ,π),
∴cos(α+β)=-❑√1−sin
2(α + β)=-2❑√2
3
,
由cos β=
❑√3
3
,β∈(0, π
2),
可得sin β=
❑√6
3
,
则cos α=cos [(α+β)-β]
=cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β
=-2❑√2
3
×
❑√3
3
+1
3
×
❑√6
3
=-
❑√6
9
.
2.求角问题
例2 (1)(2025·九江二模)已知α,β ∈(0, π
2),cos(α-β)=5
6
,tan
α·tan β=1
4
,则α+β= .
(2)已知α∈(
π
4 , π
2),且4cos α-tan (
π
2 −α)=❑√3,则α=
.
答案 (1)π
3
(2)5 π
18
解析 (1)因为cos(α-β)=5
6
,
tan α·tan β=1
4
,
所以{
cos α cos β +sin α sin β = 5
6 ,
sin α sin β
cos α cos β = 1
4 ,
解得{
cos α cos β = 2
3 ,
sin α sin β = 1
6 ,
所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=1
2
,
又α,β∈(0, π
2),所以α+β∈(0,π),
所以α+β=π
3
.
(2)4cos α-tan (
π
2 −α)=4cos α-
sin (
π
2 −α)
cos (
π
2 −α)
=4cos α-cos α
sin α
=4 cos α sin α −cos α
sin α
=2sin 2α −cos α
sin α
=❑√3,
所以2sin 2α=❑√3sin α+cos α=2sin (α + π
6).
因为α∈(
π
4 , π
2),
所以2α∈(
π
2 ,π),α+π
6
∈(
5 π
12 , 2π
3 ),
则2α=α+π
6
或2α+α+π
6
=π,
得α=π
6
(舍去)或α=5 π
18
.
训练2 (1)(2025·盐城模拟)已知tan (β-α)=1
2
,tan α=-1
7
,α,β∈(0,π),则2β-α 的值是( )
A.-π
4
B.π
4
C.3 π
4
D.-3 π
4
(2)(2025·长春摸底)若α,β∈(
π
2 ,π),且(1-cos 2α)(1+sin β)=sin
2αcos β,则下列结论正确的是( )
A.2α+β=5 π
2
B.2α-β=3 π
4
C.α+β=7 π
4
D.α-β=π
2
答案 (1)D (2)A
解析 (1)法一 因为tan (β-α)=1
2
,
tan α=-1
7
<0,α,β∈(0,π),
所以α∈(
π
2 ,π),tan β=tan [(β-α)+α]=
1
2 −1
7
1−1
2 ×(−1
7)
=1
3
∈(0,1),
可知β∈(0, π
4),则2β-α∈(-π,0),
又因为tan 2β= 2tan β
1−tan
2 β
=
2× 1
3
1−(
1
3)
2 =3
4
,
所以tan (2β-α)= tan 2 β −tan α
1+ tan 2 β·tan α
=
3
4 −(−1
7)
1+ 3
4 ×(−1
7)
=1,
所以2β-α=-3 π
4
.故选D.
法二 因为tan (β-α)=1
2
,
tan α=-1
7
<0,α,β∈(0,π),
所以α∈(
π
2 ,π),tan β=tan [(β-α)+α]=
1
2 −1
7
1−1
2 ×(−1
7)
=1
3
∈(0,1),
可知β∈(0, π
4),则2β-α∈(-π,0),
所以tan (2β-α)=tan [(β-α)+β]= tan ( β −α )+ tan β
1−tan ( β −α )·tan β
=
1
2 + 1
3
1−1
2 × 1
3
=1,
所以2β-α=-3 π
4
.故选D.
(2)因为α,β∈(
π
2 ,π),所以sin α≠0.
由(1-cos 2α)(1+sin β)=sin 2αcos β,
可得2sin 2α(1+sin β)=2sin αcos αcos β,
即sin α(1+sin β)=cos αcos β.
所以sin α=cos αcos β-sin αsin β=cos(α+β),
所以cos(α+β)=cos (
π
2 −α),
因为α,β∈(
π
2 ,π),所以π<α+β<2π,
且-π
2
<π
2
-α<0,
根据函数y=cos x 的图象易知α+β=π
2
-α+2π,
则2α+β=5 π
2
.
3.利用正、余弦定理求边或角
例3 (1)(2025·广州模拟)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为
a,b,c,已知a=acos B+bcos A=1,
sin C=
❑√2
2
,则( )
A.b=1
B.b=❑√2
C.c=❑√2
D.c=❑√3
(2)(2025·安徽A10 名校联考)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分
别为a,b,c,若a=c,且sin
2B
sin
2 A
=2(1+❑√3sin B),则B=( )
A.π
3
B.2π
3
C.3 π
4
D.5 π
6
答案 (1)B (2)D
解析 (1)法一 因为a=acos B+bcos A,
所以由正弦定理可得
sin A=sin Acos B+sin Bcos A,
即sin A=sin(A+B)=sin C,
又sin C=
❑√2
2
,所以sin A=
❑√2
2
,
因为A,C∈(0,π)且A+C∈(0,π),
所以A=C=π
4
,所以B=π
2
,
又a=1,所以c=1,b=❑√a
2+c
2=❑√2.故选B.
法二 根据三角形中的射影定理c=acos B+bcos A.
因为a=acos B+bcos A=1,所以有a=c=1,
所以△ABC 是等腰三角形,sin C=sin A=
❑√2
2
,
故A=C=π
4
,
则B=π
2
,所以b=❑√2.
(2)由sin
2B
sin
2 A
=2(1+❑√3sin B)及正弦定理得b
2
a
2=2(1+
❑√3sin B),
即b2=2a2(1+❑√3sin B),
由a=c 及余弦定理可得b2=a2+c2-2accos B=2a2(1-cos B),
∴2a2(1+❑√3sin B)=2a2(1-cos B),
∴❑√3sin B=-cos B,∴tan B=-
❑√3
3
.
又0<B<π,∴B=5 π
6
.
训练3 (1)(2025·赣州调研)在△ABC 中,AB=❑√7,AC=2,C=120°,
则sin A=( )
A.
❑√7
14
B.
❑√21
14
C.5 ❑√7
14
D.3 ❑√21
14
(2)(2025·烟台质检)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为
a,b,c.若2bcos C=a(2-c),且B=π
3
,则a=( )
A.1 B.❑√2 C.❑√3
D.2
答案 (1)B (2)A
解析 (1)∵AB=❑√7,AC=2,C=120°,
∴由余弦定理AB2=BC2+AC2-2BC·ACcos C 可得BC2+2BC-3=0,
解得BC=1(负值舍去),
∴由正弦定理可得sin A=BC·sin C
AB
=
❑√21
14
.
(2)因为2bcos C=a(2-c),
所以2abcos C=a2(2-c),
由余弦定理可得a2+b2-c2=2abcos C,
则a2+b2-c2=a2(2-c),
则a2+c2-b2=a2c,
又a2+c2-b2=2accos B,
所以a2c=2accos B,
又B=π
3
,所以a=1.
4.三角形的面积问题
例4 在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,且asin Acos
B+bsin Acos A=❑√3acos C.
(1)求角C 的大小;
(2)若a=3,且⃗AB·⃗AC=1,求△ABC 的面积.
解 (1)法一 因为asin Acos B+bsin Acos A=❑√3acos C,
所以根据正弦定理得
sin Asin Acos B+sin Asin Bcos A=❑√3sin Acos C,
因为sin A≠0,
所以sin Acos B+sin Bcos A=❑√3cos C,
即sin(A+B)=❑√3cos C,即sin C=❑√3cos C.
因为cos C≠0,所以tan C=❑√3.
因为0<C<π,所以C=π
3
.
法二 由三角形内的射影定理知
acos B+bcos A=c,
所以asin Acos B+bsin Acos A=(acos B+bcos A)sin A=csin A=❑√3
acos C,
又由正弦定理得sin Csin A=❑√3sin Acos C,
因为sin A≠0,所以sin C=❑√3cos C,
因为cos C≠0,所以tan C=❑√3,
因为0<C<π,所以C=π
3
.
(2)⃗AB·⃗AC=bccos A=1.
因为a2=b2+c2-2bccos A,
所以b2+c2=9+2bccos A=11.①
因为c2=a2+b2-2abcos C,
所以b2-c2=2abcos C-a2
=2×3×b×cos π
3
-32=3b-9.②
联立①②可得2b2-3b-2=0,
解得b=2(负根舍去),
故△ABC 的面积为
1
2
absin C=1
2
×3×2×
❑√3
2
=3 ❑√3
2
.
训练4 如图,在△ABC 中,点D 在边AC 上,且AB⊥BD.已知cos
A=2sin A
2 sin ∠ABC +C
2
,AB=❑√2.
(1)求角A 的大小;
(2)若△BCD 的面积为1
2
,求BC.
解 (1)因为cos A=2sin A
2 sin ∠ABC +C
2
=2sin A
2 sin π −A
2
=2sin A
2 cos A
2
=sin A,
可得tan A= sin A
cos A
=1,
因为A∈(0,π),所以A=π
4
.
(2)作BE⊥AC,垂足为E,
在△ABD 中,由A=π
4
,
AB⊥BD,知△ABD 为等腰直角三角形,
因为AB=❑√2,所以BD=❑√2,AD=2,BE=1,
由△BCD 的面积为1
2
BE·CD=1
2
,
解得CD=1,
可得AC=AD+CD=3,
所以BC=❑√A B
2+ A C
2−2 AB·AC·cos A=❑√5.
【精准强化练习2】
一、单选题
1.(2025·山东名校联考)已知sin (
π
6 +α)=
❑√2
3
,则
cos (2α + 4 π
3 )的值为( )
A.5
9
B.-5
9
C.1
3
D.-1
3
答案 B
解析 cos (2α + 4 π
3 )=cos (2α + π
3 + π)
=-cos (2α + π
3)=2sin 2(α + π
6)-1=-5
9
.
2.(2025·新乡模拟)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为
a,b,c 且a=7,b=3,c=5,则( )
A.△ABC 为锐角三角形
B.△ABC 为直角三角形
C.△ABC 为钝角三角形
D.△ABC 的形状无法确定
答案 C
解析 由于cos A=b
2+c
2−a
2
2bc
=3
2+5
2−7
2
30
=9+25−49
30
<0,
故A 为钝角,进而△ABC 为钝角三角形.
3.(2025·河南名校联考)已知α∈(0, π
4),cos (2α + 3 π
2 )=
8
17
,则tan α=( )
A.1
4
B.1
2
C.2
D.4
答案 A
解析 由cos (2α + 3 π
2 )= 8
17
得sin 2α= 8
17
,
所以2sin αcos α= 8
17
,
则2sin α cos α
sin
2α +co s
2α
= 8
17
,即2tan α
1+tan
2α
= 8
17
,
解得tan α=4 或tan α=1
4
.
又α∈(0, π
4),所以0<tan α<1,所以tan α=1
4
.
4.(2025·北京门头沟区模拟)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分
别为a,b,c,A=120°,a=❑√19,b-c=1,则△ABC 的面积为( )
A.3 ❑√3
2
B.3
2
C.3 ❑√3
4
D.3
4
答案 A
解析 cos A=b
2+c
2−a
2
2bc
=(c +1)
2+c
2−19
2(c +1)c
=-1
2
,
解得c=2(负值舍去),则b=3,
所以S△ABC=1
2
bcsin A=1
2
×2×3×
❑√3
2
=3 ❑√3
2
.
5(2025·宁波调研)已知sin (
2π
7 +α)=1
5
,那么tan
(
3 π
14 −α)=( )
A.-1
5
B.±2❑√6 C.2❑√6
5
D.2❑√6
答案 B
解析 因为sin (
2π
7 +α)=1
5
,
所以cos (
3 π
14 −α)=cos [
π
2 −(
2
7 π +α)]=
sin (
2
7 π +α)=1
5
,
则sin (
3 π
14 −α)=±❑√
1−co s
2(
3 π
14 −α)=±2❑√6
5
,
所以tan (
3 π
14 −α)=
sin (
3 π
14 −α)
cos (
3 π
14 −α)
=±2❑√6.
6.(2025·池州模拟)已知角α,β∈(0,π),tan (α+β)=1
2
,cos β=
7 ❑√2
10
,则角2α+β=( )
A.9 π
4
B.3 π
4
C.5 π
4
D.π
4
答案 D
解析 ∵β∈(0,π),cos β=7 ❑√2
10
,
∴β∈(0, π
2),sin β=
❑√2
10
,tan β=1
7
,
由tan (α+β)= tan α + tan β
1−tan α tan β
=
tan α + 1
7
1−1
7 tan α
=1
2
,
解得tan α=1
3
,∴α∈(0, π
4),且0<α+β<π
4
,
∴tan (2α+β)=tan [(α+β)+α]= tan (α + β)+ tan α
1−tan (α + β)·tan α
=
1
2 + 1
3
1−1
2 × 1
3
=1,
∵2α+β∈(0, π
2),∴2α+β=π
4
.
7.(2025·重庆段测)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为
a,b,c,且b2+c2+bc=a2.若b=❑√6,a=3❑√2sin B,则C=( )
A.π
4
B.π
6
C.π
8
D. π
12
答案 D
解析 在△ABC 中,由b2+c2+bc=a2及余弦定理得cos A=
b
2+c
2−a
2
2bc
=-1
2
,
又0<A<π,所以A=2π
3
,
又b=❑√6,a=3❑√2sin B,
所以由正弦定理得sin B=bsin A
a
=
❑√6sin 2π
3
3 ❑√2sin B
=
❑√6×
❑√3
2
3 ❑√2sin B
=
1
2sin B
,
而sin B>0,解得sin B=
❑√2
2
,
又0<B<π
3
,所以B=π
4
,
所以C=π-A-B= π
12
.
8.(2025·西安模拟)在同一平面上有相距14 千米的A,B 两座炮
台,A 在B 的正东方向.某次演习时,A 向西偏北θ 方向发射炮弹,
B 则向东偏北θ 方向发射炮弹,其中θ 为锐角,观测回报两炮弹
皆命中18 千米外的同一目标,接着A 改向向西偏北θ
2
方向发射
炮弹,弹着点为18 千米外的点M,则B 炮台与弹着点M 的距离
为( )
A.7 千米 B.8 千米
C.9 千米 D.10 千米
答案 D
解析 结合题意作出图形,
AC=BC=18,AB=14,∠CBA=∠CAB=θ,∠MAB=θ
2
,
在△ABC 中,由余弦定理得cos θ=18
2+14
2−18
2
2×18×14
= 7
18
,
因为cos 2θ
2
=1+cos θ
2
=25
36
,且cos θ
2
>0,
所以cos θ
2
=5
6
,
在△ABM 中,由余弦定理得cos θ
2
=5
6
=14
2+18
2−M B
2
2×14×18
,
解得MB=10.
二、多选题
9.(2025·昆明诊断)△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为
a,b,c,满足下列条件的三角形有两个解的是( )
A.c=54,b=39,C=120°
B.b=11,a=20,B=30°
C.a=2,b=6,A=30°
D.b=26,c=15,C=30°
答案 BD
解析 对于A,sin B=bsin C
c
=39×
❑√3
2
54
<1,
又b<c,只有一解,不合题意;
对于B,sin A=asin B
b
=20× 1
2
11
<1,
又asin B<b<a,则有两解,符合题意;
对于C,sin B=bsin A
a
=6× 1
2
2
>1,
则B 不存在,无解,不合题意;
对于D,sin B=bsin C
c
=26× 1
2
15
<1,
又bsin C<c<b,则有两解,符合题意.
10.(2025·清远质检)已知tan α-tan β=tan (α-β),其中α≠k π
2
(k∈Z)且β≠m π
2
(m∈Z),则下列结论一定正确的是( )
A.sin αsin β=0 B.sin(α-β)=0
C.cos(α-β)=0 D.sin 2α+cos 2β=1
答案 BD
解析 因为tan α-tan β=tan (α-β),
其中α≠k π
2
(k∈Z)且β≠m π
2
(m∈Z),
所以tan α-tan β= sin α
cos α
- sin β
cos β
=sin α cos β −sin β cos α
cos α cos β
= sin(α −β)
cos α cos β
= sin(α −β)
cos(α −β)
,
所以sin(α-β)=0 或cos(α-β)=cos αcos β,
即sin(α-β)=0 或sin αsin β=0.
因为α≠k π
2
(k∈Z)且β≠m π
2
(m∈Z),
所以sin αsin β≠0,所以sin(α-β)=0,B 正确,A 错误;
因为sin(α-β)=0,所以α-β=nπ,n∈Z,
所以cos(α-β)=±1,C 错误;
因为α-β=nπ,n∈Z,
所以sin 2α+cos 2β=sin 2(nπ+β)+cos 2β=sin 2β+cos 2β=1,D 正确.
11.(2025·湖南教研联盟联考)记△ABC 的内角A,B,C 的对边分
别为a,b,c,若c2=b(a+b),则( )
A.c<b B.C=2B
C.B∈(0, π
3) D.a
b
∈(0,3)
答案 BCD
解析 对于A,因为c2=b(a+b),a+b>c>0,
所以c2>bc,所以c>b,所以A 错误;
对于B,因为c2=b(a+b),
所以由余弦定理得cos B=a
2+c
2−b
2
2ac
=a
2+ab
2ac
=a+b
2c
=
c
2
b
2c
=
c
2b
,
所以由正弦定理得cos B= sin C
2sin B
,
所以sin C=2sin Bcos B=sin 2B,
因为C∈(0,π),2B∈(0,2π),
所以C=2B 或C+2B=π,
若C+2B=π,则A=B,
所以a=b,此时c2=b(a+b)=a2+b2,
所以C=π
2
,则A=B=π
4
,
此时C=2B,所以B 正确;
对于C,由选项B 可知C=2B,
所以B+C=3B∈(0,π),
所以B∈(0, π
3),所以C 正确;
对于D,由正弦定理得
a
b
=sin A
sin B
=sin(π −B−C )
sin B
=sin(B+C )
sin B
=
sin Bcos C +cos Bsin C
sin B
=sin Bcos 2B+cos Bsin 2B
sin B
=cos 2B+
2sin B co s
2B
sin B
=2cos 2B-1+2cos 2B=4cos 2B-1,
因为B∈(0, π
3),
所以cos B∈(
1
2 ,1),
所以cos 2B∈(
1
4 ,1),
所以4cos 2B∈(1,4),
所以4cos 2B-1∈(0,3),
所以a
b
∈(0,3),所以D 正确.
三、填空题
12.cos 70°−cos 20°
cos 65°
= .
答案 -❑√2
解析 法一 cos 70°−cos 20°
cos 65°
=cos(90°−20°)−cos 20°
cos 65°
=sin 20°−cos 20°
cos(45°+20°)
=
sin 20°−cos 20°
cos 45°cos 20°−sin 45°sin 20°
=-❑√2.
法二 cos 70°−cos 20°
cos 65°
=sin 20°−cos 20°
cos 65°
=−❑√2cos(45°+20°)
cos 65°
=-❑√2.
法三 cos 70°−cos 20°
cos 65°
=−2sin 70°+20°
2
sin 70°−20°
2
cos 65°
=−❑√2sin 25°
cos 65°
=-❑√2.
13.已知cos (α + π
12)+cos (α + 7 π
12)=1
5
,则
cos (2α + 2π
3 )= .
答案 -24
25
解析 法一 因为cos (α + π
12)+cos (α + 7 π
12)=1
5
,
所以cos (α + π
12)-sin (α + π
12)=1
5
.
两边平方得1-sin (2α + π
6)= 1
25
,
则sin (2α + π
6)=24
25
,
故cos (2α + 2π
3 )=cos(2α + π
6 + π
2)=-sin(2α + π
6)
=-24
25
.
法二 由cos(α + π
12)+cos(α + 7 π
12)
=2cos
2α + 8 π
12
2
cos
π
12 −7 π
12
2
=❑√2cos (α + π
3)=
1
5
,
得cos (α + π
3)=
❑√2
10
,
∴cos (2α + 2π
3 )=2cos 2(α + π
3)-1=2×(
❑√2
10)
2
-1=-
24
25
.
14.(2025·武汉质检)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为
a,b,c,已知cos 2C-cos 2B+sin 2A=sin Asin B=1
2
,且△ABC 的面
积为❑√3,则边c 的值为 .
答案 ❑√6
解析 因为cos 2C-cos 2B+sin 2A=sin A·sin B,
所以1-sin 2C-(1-sin 2B)+sin 2A=sin Asin B,
即sin 2B+sin 2A-sin 2C=sin Asin B,
由正弦定理角化边得b2+a2-c2=ab,
所以cos C=a
2+b
2−c
2
2ab
= ab
2ab
=1
2
,
又C∈(0,π),所以C=π
3
,
由正弦定理
a
sin A
=
b
sin B
=
c
sin C 得
ab
sin A sin B
=
c
2
sin
2C
,即
ab
1
2
=
c
2
sin
2 π
3
,
即c2=3
2
ab.
又△ABC 的面积S△ABC=1
2
absin C=❑√3,
所以ab=4,则c2=6,解得c=❑√6.
四、解答题
15.(2025·温州模拟)记△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为
a,b,c,已知2csin B=❑√2b.
(1)求角C 的大小;
(2)若tan A=tan B+tan C,a=2,求△ABC 的面积.
解 (1)由2csin B=❑√2b 得2sin C·sin B=❑√2sin B,
又B 为三角形内角,所以sin B>0,得sin C=
❑√2
2
,
又C 为三角形内角,所以C=π
4 或3 π
4
.
(2)由tan A=-tan (B+C)=tan B+tan C
得- tan B+ tan C
1−tan B tan C
=tan B+tan C,
又tan B+tan C≠0,
所以tan Btan C=2,故B,C∈(0, π
2),
由(1)得C=π
4
,tan C=1,所以tan B=2,
所以tan A=tan B+tan C=3,
又A 为三角形内角,所以sin A=3 ❑√10
10
.
由正弦定理
a
sin A
=
c
sin C 得
2
3 ❑√10
10
=
c
❑√2
2
解得c=2❑√5
3
,
又tan B=2,且B 为三角形内角,
故sin B=2❑√5
5
,
所以S△ABC=1
2
acsin B=1
2
×2×2❑√5
3
×2❑√5
5
=4
3
.
16.(2025·成都段考)已知a,b,c 分别为△ABC 三个内角A,B,C
的对边,acos C+❑√3asin C-b-c=0.
(1)求角A 的大小;
(2)若a=2,△ABC 的面积为❑√3,判断△ABC 的形状.
解 (1)由正弦定理知sin Acos C+❑√3sin Asin C-sin B-sin
C=0,
而sin B=sin(π-A-C)=sin(A+C),
∴sin Acos C+❑√3sin Asin C-sin(A+C)-sin C=0,
即❑√3sin Asin C-cos Asin C-sin C=0,
又C∈(0,π),∴sin C≠0,
∴❑√3sin A-cos A=2sin (A −π
6)=1,
即sin (A −π
6)=1
2
,
又0<A<π,
∴A-π
6
∈(−π
6 , 5 π
6 ).
∴A-π
6
=π
6
,则A=π
3
.
(2)由题意得{
S△ABC = 1
2 bc sin A =
❑√3
4 bc = ❑√3,
cos A = b
2+c
2−4
2bc
= 1
2 ,
∴{
bc = 4 ,
b
2+c
2=8,
将b=4
c
代入b2+c2=8,
整理得c4-8c2+16=0,
则c2=4,
即c=2(c=-2 舍去),则b=2,
∴a=b=c=2,
∴△ABC 为等边三角形.
