文档文本内容
题号猜押09 全国卷高考数学第15 题（解答题）
溯源
年份
卷别
原题号
考点
具体内容
2025
Ⅰ卷
T15
概率统计
独立性检验、概率估计
2025
Ⅱ卷
T15
三角函数
三角恒等变换、周期、值域、单调区间
2024
Ⅰ卷
T15
解三角形
正余弦定理、面积、求边
2024
Ⅱ卷
T15
解三角形
正余弦定理、周长
2023
Ⅰ卷
T17
解三角形
正余弦定理、高
2023
Ⅱ卷
T17
解三角形
中线、面积、余弦定理
2022
Ⅰ卷
T17
数列
递推数列、累乘法、裂项求和
2022
Ⅱ卷
T17
数列
等差数列与等比数列综合、集合元素个数
2021
Ⅰ卷
T17
数列
递推数列、构造等差、分组求和
2021
Ⅱ卷
T17
数列
等差数列基本量、前n 项和不等式
近5 年解答题第一题（等价T15）考点呈现明显的“解三角形与数列轮换”规律。解三角形出现5 次
（2025Ⅱ卷为三角函数，2024Ⅰ、Ⅱ卷，2023Ⅰ、Ⅱ卷），数列出现4 次（2022Ⅰ、Ⅱ卷，2021Ⅰ、Ⅱ卷）。具
体来看：2021-2022 年连续考查数列，2023-2024 年连续考查解三角形，2025 年出现分化（Ⅰ卷概率统计、
Ⅱ卷三角函数）。解三角形考查形式稳定：第（1）问利用正余弦定理边角互化求角或边，第（2）问结合
面积公式、周长公式或最值问题求解。数列考查形式多样：递推数列求通项、裂项相消求和、错位相减、
等差等比综合等。概率统计在2025 年Ⅰ卷首次出现在此位置，属于新变化。
预测
2026 年T15 极大概率在解三角形与数列之间轮换。若延续2023-2024 年规律，2026 年可能回归解三角形；
若参照2025 年分化趋势，则可能在解三角形、数列、概率统计中三选一。解三角形第（1）问通过正弦定
理边角互化求角（常为特殊角30°、45°、60°），第（2）问考查面积计算或周长的取值范围；数列第（1）
问考查等差等比基本量或递推关系求通项，第（2）问考查裂项相消或错位相减求和。概率统计作为备选
方向。
备考核心
主攻解三角形，熟练掌握正弦定理、余弦定理的边角互化，能根据条件选择合适定理；熟记三角形面积公
式及其变式；掌握最值问题的处理方法（余弦定理结合基本不等式、三角函数有界性）。强化数列，熟练
掌握等差等比通项与前n 项和公式，掌握递推数列的构造法求通项，重点突破裂项相消（分母为等差数列
乘积）和错位相减（等差×等比）两种求和方法。关注概率统计，掌握独立性检验的K2公式及临界值比
较，理解古典概型与条件概率的基本计算。规范书写，步骤清晰，先写公式再代入计算，避免跳步。限时
训练，每道题控制在10~12 分钟。
考点1 解三角形
1. （2026·江西南昌·一模）已知
的角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
，
.
(1)求
；
(2)若
的面积为2，求
和
.
【答案】(1)
(2)
，
【分析】（1）根据正弦定理及同角三角函数关系求解即可.
（2）根据同角三角函数关系求出
，
，结合三角形面积公式及余弦定理求解即可.
【详解】（1）由正弦定理可得
，因为
，所以
，
所以
.
（2）因为
，所以
，
又
所以
，
.
所以
，即
，所以
，
所以
，解得
，
所以
.
因此
，
.
2. （2026·陕西咸阳·二模）在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，
．
(1)求角
；
(2)若点
在
上，
，
，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由题意利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得角
的大小；
(2)先在
中求得
，再利用三角恒等变换求得
，最后利用正弦定理求得.
【详解】（1）由正弦定理得
得
，
所以
，所以由余弦定理得
，
因为
，所以
．
（2）在
中，
，所以
，
，
又
，
在
中，由正弦定理得
．
3. （2026·浙江·模拟预测）在
中，角
对应边分别是
.已知
成等差数列，且
.
(1)求
的值；
(2)若
的外接圆半径为
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据等差数列的性质得到
的关系，再根据正弦定理将角化边，最后利用余弦定理求
值；
（2）先根据正弦定理求出
，再结合（1）中的
的关系求出
，最后根据三角形的面积公式求解.
【详解】（1）由
成等差数列知
，又
得
，
于是
，设
，则
，
所以
；
（2）由（1）知
，
由
得
，所以
，
所以
的面积
.
4. （2026·山东济宁·一模）在
中，内角
所对的边分别为
为
的
角平分线，且
.
(1)若
，求
的大小；
(2)当
取得最小值时，求
的面积.
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）由正弦定理得到
，根据
得到方程，求出
，根据余弦定
理得到
，求出
；
（2）由
利用三角形面积公式可得
，根据基本不等式解出
的最小值，应用
取等条件求出三角形面积.
【详解】（1）因为
，由正弦定理得
，
因为
的角平分线交BC 于点D，所以
，
由
，得
，
则
，
即
，所以
，
在
中，由余弦定理得
，
即
；
（2）由
，
得
，
得
，
化简得
，即
，
所以
，
当且仅当
时等号成立，
取得最小值，
此时，
面积为
．
5. （2026·湖北宜昌·二模）在
中，内角
的对边分别是
．
(1)求
的值；
(2)若
，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两角和与差的正切公式，求得
的值，结合三角形内角的取值范围，求得
；
（2）由余弦定理求出
，再根据三角形面积公式求得
的面积．
【详解】（1）因为
，
且
，
所以
，整理得
，
即
.
所以
或
.
因为
，所以
，所以
.
所以
，所以A
2 = π
6 ，
.
（2）因为
，
，
所以由余弦定理
，得
，即
，
，所以
.
所以
.
所以
的面积为
.
6. （2026·山东东营·一模）已知
的角A，B，C 所对的边分别是a，b，c， 向量
(1)若
求A；
(2)若
求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过向量平行转化为边角关系，再用正弦定理和三角恒等变换求解即可.
（2）通过向量垂直得到边的关系，结合余弦定理和面积公式求解即可.
【详解】（1）因为
所以
①.
又由正弦定理
，即
，代入①式，
可得
，整理得
，
又
，所以
，解得
.
（2）因为
，所以
，
即
，又
，所以
.
因为
，由余弦定理可得
，
即
，解得
或
（舍去）.
故
.
考点2 三角函数
1. （2025·全国二卷·高考真题）已知函数
．
(1)求
;
(2)设函数
，求
的值域和单调区间．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）直接由题意得
，结合余弦函数的单调性即可得解；
（2）由三角恒等变换得
，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数
的单
调区间.
【详解】（1）由题意
，所以
；
（2）由（1）可知
，
所以
，
所以函数
的值域为
，
令
，解得
，
令
，解得
，
所以函数
的单调递减区间为
，
函数
的单调递增区间为
.
2. （2026·重庆·模拟预测）已知函数
的最小正周期为
.
(1)求
以及曲线
的对称中心；
(2)讨论函数
在区间
上的单调性.
【答案】(1)
，对称中心为
；
(2)在
上单调递增，在
上单调递减.
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦函数的周期性及对称性求解.
（2）求出函数
及导数，进而求出其单调区间.
【详解】（1）由函数
的最小正周期为
，得
，解得
，则
，
令
，得
，
所以
的对称中心为
.
（2）由（1）得
，求导有
，
由
，得
，由
，得
，
由
，得
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
3. （2026·广东广州·二模）已知函数
的周期为
，且
.
(1)求函数
的解析式；
(2)比较
与
的大小.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先根据周期求
，再根据对称性求
，求函数的解析式；
（2）代入函数解析式，结合诱导公式化简，再根据单调性比较大小.
【详解】（1）由条件可知，
，得
，
可知，函数
关于直线
对称，
所以
，得
,
因为
，所以
时，
，
所以
；
（2）
，
，
在区间
单调递增，所以
，则
，
所以
.
4. （25-26 高三下·安徽·月考）已知函数
的最大值为1.
(1)求的值；
(2)将
的图象上所有点的横坐标缩小为原来的
，得到函数
的图象，求
的单调递减区间以及
在区间
上的值域.
【答案】(1)
(2)
，值域为
【分析】（1）先结合余弦的两角和差公式及辅助角公式对
进行化简，然后结合余弦函数的性质即可
求解；
（2）对
进行伸缩变换，得到
，再结合余弦函数的图像性质即可求解.
【详解】（1）由题意，
，
当
时，
取得最大值，即
，
又函数
的最大值为1，即
，解得
；
（2）由（1）得
，
将
的图象上所有点的横坐标缩小为原来的
，得到
，
令
，解不等式得
，
所以函数
的单调递减区间为
，
当
时，则
，所以
，
所以
，即
在区间
上的值域为
.
5. （2026·福建莆田·二模）已知函数
（
）的图象过点
.
(1)求
的单调递增区间；
(2)当
，且
时，证明：
.
【答案】(1)
，
(2)证明见解析
【分析】（1）代入点
坐标，结合
的范围，求出
，再由正弦函数的单调性即可求得；
（2）由条件化简得
，再由和差公式求得
，两式相比即可证明.
【详解】（1）将点
代入函数解析式，得
，即
，
则有
，解得
，
，
因为
，令
，则
，所以
，
由
，
，解得
，
，
故
的单调递增区间为
，
.
（2）由（1）知
，
则
，
，
依题意，有
，即
，
因为
，即
，
代入
得
，
所以
，即
，
则有
，得证.
6. （2026·山东青岛·一模）函数
（
，
，
）的部分图像如图所示.
(1)当
时，求
的单调递增区间；
(2)已知
，且
，求
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图象，结合正弦函数的性质，可求函数
的解析式，再求函数的单调区间即可.
（2）根据同角三角函数的基本关系与两角和与差的余弦公式求值即可.
【详解】（1）由图可得
，
，
所以
，且
，
得
，
，
又因为
，所以
，所以
.
又因为
，
，
解得
，
，
所以
在
上的单调递增区间为
.
（2）因为
，所以
.
因为
，所以
，
即
，所以
.
所以
.
考点3 数列
1. （25-26 高三上·黑龙江佳木斯·月考）已知等差数列
的公差
，且
成等比数列．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
求数列
前
项和为
；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列通项公式列方程组，即可求解；
（2）利用裂项相消法，即可求解.
【详解】（1）由条件可知
，且
，
解得
，
所以
；
（2）
，
所以
.
2. （2026·江苏·一模）已知数列
各项均不为零，
，
，
.
(1)当
时，求
的前50 项和；
(2)若
，求正整数的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用赋值法求出数列的周期，根据数列的周期进行求解即可；
（2）利用特殊值法，结合等差数列的性质进行求解即可.
【详解】（1）因为数列
各项均不为零，
，
，
所以当
时，由
，
所以有
，
所以此时该数列的周期为
，因此
，
所以
的前50 项和为
；
（2）由
，
因为
，
，
所以
，
因为
，
所以
，或
，
因为是正整数，所以
，即
当
时，由
，
所以数列
是以
为首项，公差为
的等差数列，
因此
，所以
，
显然
恒成立，所以正整数的最小值为
.
3. （2026·贵州黔东南·模拟预测）已知公差不为0 的等差数列
的前n 项和为
，且
，
，
，
成等比数列.
(1)求
的通项公式；
(2)求使
成立的n 的最小值.
【答案】(1)
；
(2)6.
【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前n 项和公式计算基本量，进而可得；
（2）直接由前n 项和公式和通项公式得不等式，解不等式可得.
【详解】（1）设等差数列的公差为
，首项为
，
由题意可得
，化简得
，
解得
，
，所以
.
（2）由（1）可知
.
由
，得
，即
，
即
，解得
或
.
因为
，所以n 的最小值是6.
即使
成立的n 的最小值为6.
4. （2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知
是公差为
的等差数列，其前
项和为
，且
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)若数列
满足
，其前
项和为
，证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由等差数列的性质列方程求解;
（2）由
,进行裂项相消求和得证.
【详解】（1）由题意得
解得
所以
.
（2）由
，
所以
.
5. （2026·湖南怀化·一模）已知等差数列
的前
项和为
，且
.
(1)求数列
的前
项和
；
(2)记
，数列
的前
项积为
，求
的最小值.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前
项和公式，联立方程组即可求解；
（2）利用等差数列的前
项和公式，再结合复合函数的单调性即可求得最小值.
【详解】（1）设等差数列
的首项为
，公差为
，根据题意列方程：
由
得：
，
由
得：
，
联立解得：
，
，
则由等差数列前
项和公式可得
；
（2）由
，
，可得等差数列
的通项公式为：
，
则
，即数列
的前
项积为：
，
因此：
，
令
，
，
因为函数
是关于的单调递增函数，因此最小时，
取得最小值，
因为的最小值在
时取得，即
，
代入可得：
,
即
的最小值为
.
6. （2026·浙江宁波·二模）已知数列
中，
，
．
(1)令
，求证：数列
是等比数列；
(2)求数列
的前
项和
．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）首先求首项
，再根据等比数列的定义证明
为常数；
（2）根据（1）的结果求数列
的通项公式，再根据等差和等比数列的前
项和公式，利用分组转化法
求和.
【详解】（1）因为
，
，所以
，
再由
，
因为
，所以
，代入上式得：
，
所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列；
（2）由（1）可得：
，
则
考点4 概率统计
1. （2026·湖南常德·一模）甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有2 道难度相当的题目，甲答对
每道题目的概率都是
，乙答对每道题目的概率都是
，每位面试者共有两次机会，若答对第一次抽到的
题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2 次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两
人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响，
(1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率；
(2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为
，求
的分布列与期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据相互独立事件概率公式直接计算可得结果；
（2）易知随机变量
的可能取值为2，3，4，分别计算出对应概率可得分布列，计算出期望值.
【详解】（1）设事件
为“甲通过面试”，事件
为“乙通过面试”，
（或
）
（或
）
所以甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率
.
（2）随机变量
的可能取值为2，3，4.
，
，
，
随机变量
的分布列为
2
3
4
所以随机变量
的期望为
.
2. （2026·河北张家口·一模）某校为了解学生喜欢足球是否与性别有关联，随机抽取了男、女同学各100
名进行调查，得到如下列联表：
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
40
女生
30
合计
(1)请将上面的列联表补充完整；
(2)并依据小概率值
的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关联？
参考公式：
，其中
.
参考数据：
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
60
40
100
女生
30
70
100
合计
90
110
200
(2)有关
【详解】（1）
喜欢足球
不喜欢足球
合计
男生
60
40
100
女生
30
70
100
合计
90
110
200
（2）零假设
为：该校学生喜欢足球与性别无关，
而
，
依据小概率值
的独立性检验，推断
不成立，
即认为该校学生喜欢足球与性别有关.
3. （2026·四川泸州·二模）乘着文旅融合的东风、借着线上推广的热潮，某非遗工坊生产的油纸伞销量逐
年增长．该工坊为了科学规划生产，统计了2021-2025 年油纸伞的销量数据如下表：
年份t/年
2021
2022
2023
2024
2025
年份代码
1
2
3
4
5
销量
/万把
7
8
10
11
14
(1)统计表明销量
与年份代码
有较强的线性相关关系，求
关于
的线性回归方程，并预测该工坊油纸
伞的销量最早在哪一年能超过20 万把：
(2)已知该工坊2023 年售出的油纸伞中，有6 万把通过线上售出，用频率估计概率，现从2023 年售出的油
纸伞中随机抽取3 把，求其中线上售出数量
的分布列．
附：
为回归直线方程，
．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题中公式求出
关于
的线性回归方程，再运用代入法进行求解即可；
（2）运用二项分布的定义和性质进行求解即可.
【详解】（1）
，
，
，
，
，
所以
关于
的线性回归方程为
；
当
，
所以预测该工坊油纸伞的销量最早在
年能超过20 万把.
（2）该工坊2023 年售出的油纸伞中，有6 万把通过线上售出，用频率估计概率，
所以2023 年售出的油纸伞中，通过线上售出的概率为
，
由题意可知：
，
所以
，
，
，
，
所以其中线上售出数量
的分布列为：
4. （2026·陕西西安·模拟预测）近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重
大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．某地区近几年新能源汽
车的购买情况如下表所示：
年份
2019
2020
2021
2022
2023
购买量
（万辆）
0.40
0.70
1.10
1.50
1.80
(1)计算
与
的相关系数（保留三位小数）；
(2)求
关于
的线性回归方程，并预测该地区2026 年新能源汽车购买数量．
参考公式：
．
参考数值：
．
【答案】(1)
；
(2)
，2.9 万辆．
【详解】（1）由题意
，
，
则
，
，
则
．
故
与
的相关系数为
．
（2）由（1）
，
则
，
故
关于
的线性回归方程为
，
令
，则
，
故可预测该地区2026 年新能源汽车购买数量为
万辆.
5. （2026·安徽合肥·模拟预测）某学校为了研究学生的写作水平与每周课外阅读时长的关系，在该校随机
抽取了200 名学生，统计他们每周的课外阅读时长（单位：时），得到如下的频率分布表：
每周课外阅读时
长
频率
0.1
0.2
0.3
0.25
0.15
同时，对这200 名学生进行写作水平测试，根据测试成绩将学生分为“写作水平良好”和“写作水平一
般”两类，得到如下的
列联表：
写作水平良好
写作水平一般
合计
每周课外阅读时长不低于6 小时
50
每周课外阅读时长低于6 小时
80
合计
200
(1)根据已知条件补全
列联表，并依据小概率值
的独立性检验，判断学生的写作水平与每周课
外阅读时长是否有关；
(2)从每周课外阅读时长在
和
的学生中按比例用分层随机抽样的方法抽取5 人，再从这5 人中随
机抽取2 人参加座谈，设
表示抽取的2 人中每周课外阅读时长在
的人数，求
的分布列和数学期
望．
附：
．
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
【答案】(1)
写作水平良好
写作水平一般
合计
每周课外阅读时长不低于6 小时
50
30
80
每周课外阅读时长低于6 小时
40
80
120
合计
90
110
200
学生的写作水平与每周课外阅读时长有关
(2)
X
0
1
2
P
【详解】（1）每周课外阅读时长不低于6 小时的学生人数为
（人），
每周课外阅读时长低于6 小时的学生人数为
（人），所以
列联表
为：
写作水平良好
写作水平一般
合计
每周课外阅读时长
不低于6 小时
50
30
80
每周课外阅读时长
低于6 小时
40
80
120
合计
90
110
200
所以
，
依据小概率值
的独立性检验，我们推断学生的写作水平与每周课外阅读时长有关．
（2）根据分层抽样原理，
组抽取人数为
（人），
组人数为
（人），则X 的取值可能为
，
所以
，
则分布列如下所示：
X
0
1
2
P
所以
．
6. （25-26 高三下·陕西渭南·开学考试）人工智能技术（简称
技术）已成为引领世界新一轮科技革命和
产业改革的战略性技术，并迅速在各行各业中得到应用和推广，教育行业也不例外．某市教体局为调查本
市中学教师使用
技术辅助教学的情况，随机抽取了该市120 名中学教师，统计了他们一周内使用
技术
帮助制作课件的情况，并将一周内使用
技术帮助制作课件的节次不少于4 次的认定为喜欢使用
技术，
否则认定为不喜欢使用
技术，经统计得到如下列联表．
年龄
是否喜欢使用
技术
合计
是
否
不超过45 岁
46
14
60
超过45 岁
32
28
60
合计
78
42
120
(1)依据小概率值
的独立性检验，能否认为该市中学教师是否喜欢使用
技术与年龄有关；
(2)将频率视为概率，现从所抽取的120 名中学教师中随机抽取一人，在抽中喜欢使用
技术的教师的条件
下，求此人年龄超过45 岁的概率．
附：
，其中
．
0.1
0.01
0.001
2.706
6.635
10.828
【答案】(1)有关
(2)
【详解】（1）零假设
该市中学教师是否喜欢使用
技术与年龄无关，
而
，
依据小概率值
的独立性检验，推断不成立，
即认为该市中学教师是否喜欢使用
技术与年龄有关.
（2）设事件
为从所抽取的120 名中学教师中随机抽取一人，抽中喜欢使用
技术的教师，
事件
为从所抽取的120 名中学教师中随机抽取一人，此人年龄超过45 岁，
由题意，
，
则
.
1．（2026·安徽芜湖·一模）已知
的内角
的对边分别为
，满足
.
(1)求
；
(2)若
，求
的周长.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）由正弦边角关系及三角形内角的性质化简条件得
，即可求；
（2）由余弦定理及已知得
，进而即得.
【详解】（1）由
及正弦边角关系得
，
而
，整理得
，
因为
，所以
；
（2）由余弦定理
，得
，
进而得
，得
，
所以
的周长为
.
2．（2026·湖南邵阳·一模）在
中，内角
的对边分别为
．已知
．
(1)若
，
，求
的外接圆的半径；
(2)若
，求
的面积．
【答案】(1)1.
(2)
【分析】（1）利用正余弦定理化简题设条件，推得
，求得
，由勾股定理判断
为直
角三角形，即可求得
的外接圆的半径；
（2）由余弦定理可得
，结合题设条件推得的结论
，求得
，再利用三角
形的面积公式即可求得答案.
【详解】（1）在
中，由
和正弦定理可得：
，
再由余弦定理得：
，整理得
.
因为
，则
．因
，故
为直角三角形，
所以
的外接圆的半径为
.
（2）因为
，又
，所以
.
由余弦定理，
，可得
，
又
，且
，代入化简，可得
.解得
，
则
的面积为
.
3．（2026·辽宁辽阳·一模）已知
的内角
，
，
的对边分别是
，
，，
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，
，求
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）边角互换化简可得
，则得到角
大小.
（2）直接代入余弦定理计算可得答案.
【详解】（1）已知
边角互换得
，
因为
，
则
，即
.
又因为
是
的内角，所以
可得
.
（2）余弦定理：
，将
，
，
代入得
(
整理得
解得
。
4．（2026·四川绵阳·二模）在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，，已知
.
(1)求角
；
(2)若
，
的面积为1，求边
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
结合两角和差正弦公式化简即可求解；
（2）由三角形面积公式可得
，由余弦定理化简即可求解.
【详解】（1）
中，
，所以
所以
又
，所以
，
又因为
，所以
.
（2）因为
，
由余弦定理
，
将
，
代入解得
，
所以
.
5．（25-26 高三上·安徽·期末）在
中，内角
所对的边长分别是
，且
．
(1)求角
；
(2)若
，求
的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用正弦两角和公式化简，即可求出角
；
（2）利用余弦定理，结合基本不等式求最大值，即可求解.
【详解】（1）由
，
由于
，所以
，
又因为
，所以
，即
，
因为
，所以
，即
,
故
；
（2）因为
，
，所以由余弦定理可得：
，
由基本不等式可得：
，所以
，
当且仅当
取等号，
则
的面积
，
故
的面积的最大值为
.
6．（25-26 高三上·黑龙江·月考）记
的内角
、
、
的对边分别是
，
，，已知
，
为锐角.
(1)求角
的大小；
(2)若
，
的面积为
，求
的周长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将
利用两角和差的正余弦公式，经过整理得到
，由
得到
，从而得到
，由
的范围得到
的大
小.
（2）由
的面积利用三角形面积公式得到
，计算解得
，由余弦定理
，得
，计算得到
，由
代入数值计算
出
的值，从而得到
的周长.
【详解】（1）因为
，
所以
，
即
.
因为
，所以
，
，又已知
，所以
.
（2）因为
的面积为
，所以
，解得
，
由余弦定理
，得
，所以
，
所以
，
所以
的周长为
.
7．（25-26 高三上·湖南·月考）已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
的面积为S，
.
(1)证明：
；
(2)若
，求内角A 的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意结合面积公式可得
，运算求解即可；
（2）根据题意结合余弦定理可得
，即可得角A 的大小.
【详解】（1）在
中，
，
因为
，即
，
且
，则
，
则
，即
，
又因为
，则
，即
.
（2）若
，则
，且
，
由余弦定理可得
，
且
，所以
.
8．（25-26 高三上·广西南宁·月考）在
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
．
(1)求角A 的大小；
(2)若
的面积为
，求
的值；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理边角互化即可求解，
（2）根据面积公式，结合题中条件即可求解.
【详解】（1）由
可得
，
故
，
由于
,故
，
（2）由
，故
，
又
得
，故
，
故
，
9．（2026·湖南·模拟预测）已知函数
的部分图象如图所示．
(1)求
的解析式，并写出
的单调递减区间；
(2)若
，且
，求
的值．
【答案】(1)
，
．
(2)
【分析】（1）根据函数图象确定最小正周期，即可得
的值，再代入
求得
的值，从而可得函
数的解析式，根据正弦函数的单调性求得减区间即可；
（2）结合（1）中函数求出
，进而得到
，根据二倍角公式和角的范围求解.
【详解】（1）由图象可知
，∴
，
又∵
，∴
，
代入
可知
，即
，
又因为
，所以
，
可知当
时，
单调递减，
所以
的单调递减区间为
．
（2）
，又∵
，
所以由二倍角公式可得：
，解得
，
又∵
，∴
，
所以
．
10．（2026·江西萍乡·一模）已知函数
（
，
，
）的部分图象如图
所示．
(1)求
的解析式；
(2)
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，，若
，
，
，求
的周长．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）由图象可得
，求出
，求出周期进而求出
，由
，求出
，得解；
（2）由
求出
，由
求得
，再根据由正弦定理求出
，得解.
【详解】（1）由图知：
，解得：
，
；
又
，即
，则
，
；
由
，得
，又
，则
；
故
的解析式为：
.
（2）因为
，即
，又
，解得
；
所以
，则
或
（舍去）；
在
中，由正弦定理知：
，故
；
；
则
，
故
的周长为
.
11．（2026·湖北武汉·模拟预测）在数列
中，
，
，
，且
是等差数列.
(1)求
；
(2)证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）使用等差中项性质即可求解；
（2）使用累加法求得
的通项公式，再使用裂项相消即可得证.
【详解】（1）设
，则
，
因为
是等差数列，即
是等差数列，
则有
，即
，解得
.
（2）由（1）知，
，则
的公差为2，首项为6，
则
，即
，
当
时，
将各式相加，得
，
即
，即
，而
满足上式，
因此
，
，
则
，
因为
，则
，则
，得证.
12．（2026·河南·模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，且
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)数列
满足
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差中项的性质，可证
为等差数列，根据等差数列的求和公式，可得首项
和公差
d 的值，代入公式，即可得答案.
（2）由错位相减法求和即可.
【详解】（1）因为
，所以数列
为等差数列，
设数列
的公差为d，且
，则
，解得
，
又
，所以
，即
，
则
，解得
，
所以
；
（2）由（1）可知
，
，
所以
，
则
，
两式相减可得：
，
即
，
化简可得：
.
13．（2026·辽宁抚顺·一模）已知数列
前
项的积为
.
(1)判断
是否成等差数列，并给出证明；
(2)令
，求数列
的前
项和
，
【答案】(1)是，证明见解析
(2)
【分析】（1）求出数列的通项公式，结合等差中项法判断等差数列证明即可.
（2）结合裂项相消法求和即可.
【详解】（1）
成等差数列.
证明：因为数列
前
项的积
，所以当
时，
，
当
时，
，符合上式，
所以
，
所以
因此
成等差数列.
（2）由（1）可得
，
所以
，
所以
所以数列
的前
项和
.
14．（2026·贵州毕节·二模）设数列
满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据递推公式进行整理得到数列通项公式即可.
（2）通过对所需要的数列的通项公式进行裂项，运用裂项相消的方法求和即可.
【详解】（1）当
时，
，得
．
当
时，
，
，
两式相减得
，则
．
当
时，
符合上式，
所以
．
（2）由（1）得
，
所以
，
故
．
15．（2026·四川成都·二模）已知正项数列
的前n 项和为
，且
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）可用
与
的关系消去
，求出数列
的通项公式；
（2）是比较常见的等差数列与等比数列乘积的形式，用错位相减法求解即可.
【详解】（1）由
，当
时，
，
则
，即
，
所以
，即
，
由数列
为正项数列，所以
，从而有
，
，
所以数列
是以
为首项，为公差的等差数列，
所以
，
．
（2）由（1）知
，所以
，
，则
，
从而
，
即
，
所以
.
16．（2026·辽宁抚顺·一模）将3 个标号不同的红球和2 个标号不同的白球排成一排.
(1)求2 个白球均不排在两端的所有排法种数；
(2)记
为2 个白球之间红球的个数，求
的分布列.
【答案】(1)36
(2)
0
1
2
3
P
【分析】（1）根据分步乘法计数原理，先选好白球位置，剩下的给红球；（2）先确定
所有可能取值，
再计算相应的概率.
【详解】（1）先从中间的3 个空位中选出2 个空位排2 个白球，再把3 个红球全排放入剩下的3 个空位，
共
（种），
所以2 个白球均不排在两端的所有排法种数为36.
（2）由题意知
的所有可能取值为0，1，2，3，
则
所以
的分布列为
0
1
2
3
P
17．（2026·河北邯郸·一模）某科研项目的立项评审，先由两位初审专家评审．若能通过两位初审专家的
评审，则予以立项；若两位初审专家都未予通过，则不予立项；若恰能通过一位初审专家的初审，则再由
第三位专家进行复审，若能通过，则予以立项，否则不予立项．设该项目能通过每位初审专家评审的概率
均为
，能通过复审专家评审的概率为
，各专家评审能否通过相互独立．
(1)求该项目予以立项的概率；
(2)记评审通过该项目的专家人数为
，求
的分布列与期望．
【答案】(1)
(2)
0
1
2
【分析】（1）利用互斥事件及相互独立事件的概率公式求解.
（2）求出
的所有可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望.
【详解】（1）该项目予以立项的事件是两位初审专家都评审通过该项目的事件与
两位初审专家恰有一位评审通过该项目且复审专家评审通过该项目的事件和，
两位初审专家都评审通过该项目的概率
，
两位初审专家恰有一位评审通过该项目且复审专家评审通过该项目的概率
，
所以该项目予以立项的概率
．
（2）依题意，
的取值可能为
，
且
，
，由（1）知
，
所以
的分布列为
0
1
2
数学期望
.
18．（25-26 高三上·浙江·月考）某学校开展了数学竞赛考试，从所有答卷中随机抽取100 份作为样本，将
样本的成绩（满分100 分，成绩均为不低于40 分的整数）分成六组：
，
，…，
，
得到如图所示的频率分布直方图，
(1)求图中
的值和样本成绩的中位数；
(2)已知学校用分层抽样的方法，从
，
两组内抽取了7 份试卷作为优秀试卷，并从对应的学
生中随机选取3 人进行采访，设接受采访的学生中成绩在
内的有
人，求
的分布列和数学期望．
【答案】(1)
，中位数为75
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有矩形面积为1 即可求得a，再由频率分布直方图求中位数；
（2）根据分层抽样得出每组的人数，再根据超几何分布的概率公式求出相应的概率即可得分布列以及数
学期望.
【详解】（1）∵每组小矩形的面积之和为1，
∴
，
∴
成绩落在
内的频率为
，
成绩落在
内的频率为
，
∴中位数落在
内，
设中位数为
，则
，解得
，即中位数为75．
（2）由分层抽样可知，成绩在
的人数为
人，成绩在
的人数为2 人，
故
的可能取值为0，1，2，
且
0
1
2
故
．
19．（2026·河南·模拟预测）BMI 指数是体重指数，当18.5≤BMI≤23.9 时，体重正常，某健美机构随机抽
取顾客的BMI 数据进行统计，得到如下2×2 列联表：
BMI 数据
合计
正常范围
不正常范围
男顾客
75
15
90
女顾客
30
20
50
合计
105
35
140
(1)依据小概率值（
＝0.005 的独立性检验，能否推断出男、女顾客的BMI 是否存在差异？
(2)该机构统计出上述男顾客平均体重为70kg，女顾客的平均体重为56kg，试估计该机构全体顾客的平均
体重．
公式：
，其中n＝a＋b＋c＋d．
0.1
0.05
0.01
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
【答案】(1)能推断出男、女顾客的BMI 存在差异
(2)65kg
【分析】（1）根据列联表数据，利用公式
计算
的值，再与临界值
比较，即可得出结论.
（2）利用样本中男女顾客的比例作为全体顾客中男女比例的估计值，通过加权平均计算全体顾客的平均
体重.
【详解】（1）零假设
为：男、女顾客的BMI 不存在差异，
.
因为
，所以依据小概率值
的独立性检验，
能够推断出男、女顾客的BMI 存在差异.
（2）由题意，样本中男顾客占
，女顾客占
.
估计该机构全体顾客的平均体重为
kg.
20．（2026·贵州毕节·二模）某电商公司为研究直播带货中平台流量推广投入x（单位：万元）与销售额y
（单位：万元）的关系，统计了最近10 场直播带货中平台流量推广投入和销售额数据，计算得：
，
.
(1)求销售额y 关于直播带货中平台流量推广投入x 的线性回归方程；
(2)该公司计划下一场直播投入总额10 万元，现有两种方案：方案一：全部用于平台流量推广；方案二：
部分用于平台流量推广，部分用于主播佣金激励.其中平台流量推广投入x 万元（
），主播佣金激
励投入（
）万元.根据以往经验，主播佣金激励投入t 万元的销售额为（
）万元；平台流量推
广的效果仍符合（1）中的回归方程.比较两种方案，如何分配投入才能使销售额最大？并求出最大销售额.
参考公式：线性回归方程
中，
，
.
【答案】(1)
(2)分配6 万元投入平台流量推广、4 万元投入主播佣金，最大销售额为
万元.
【分析】(1)利用公式求解回归系数，即可得回归方程；
(2)利用题意比较销售额最大值，可得到最优方案.
【详解】（1）由题意知，样本量
，
，
,
根据公式变形得回归系数：
,
则
，
因此，销售额y 关于直播带货中平台流量推广投入x 的线性回归方程为：
；
（2）方案一：全部投入平台流量推广，即
代入回归方程得销售额：
万元；
方案二：投入
万元到流量推广，
万元到主播佣金，且
，
总销售额为流量销售额加佣金销售额：
，
对称轴为
，在定义域
内，最大值为
万元，
因为
，所以投入6 万元到平台流量推广，4 万元到主播佣金时销售额最大，最大销售额为76 万元。
综上可得：分配6 万元投入平台流量推广、4 万元投入主播佣金时销售额最大，最大销售额为
万元.
