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专题 03 三角函数与解三角形
考点1 三角恒等变换
运算
题号 1 2 3
答案 D C A
考点2 三角函数的图像与性质
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C A D C D ACD ABD
8． 或
9．
10． / .
11．(1) ， ．
(2)
【分析】（1）根据函数图象确定最小正周期，即可得 的值，再代入 求得 的值，从而可得函
数的解析式，根据正弦函数的单调性求得减区间即可；
（2）结合（1）中函数求出 ，进而得到 ，根据二倍角公式和角的范围求解.【详解】（1）由图象可知 ，∴ ，
又∵ ，∴ ，
代入 可知 ，即 ，
又因为 ，所以 ，
可知当 时， 单调递减，
所以 的单调递减区间为 ．
（2） ，又∵ ，
所以由二倍角公式可得： ，解得 ，
又∵ ，∴ ，
所以 ．
考点3 解三角形
题号 1 2 3 4 5
答案 A D C A ACD
6． / .
7．(1)1. (2)【分析】（1）利用正余弦定理化简题设条件，推得 ，求得 ，由勾股定理判断 为直
角三角形，即可求得 的外接圆的半径；
（2）由余弦定理可得 ，结合题设条件推得的结论 ，求得 ，再利用三
角形的面积公式即可求得答案.
【详解】（1）在 中，由 和正弦定理可得： ，
再由余弦定理得： ，整理得 .
因为 ，则 ．因 ，故 为直角三角形，
所以 的外接圆的半径为 .
（2）因为 ，又 ，所以 .
由余弦定理， ，可得 ，
又 ，且 ，代入化简，可得 .解得 ，
则 的面积为 .
8．(1) (2)
【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换可得 ，再根据 求角B即可；
（2）根据两角和差公式求 ，再由正弦定理求出边 ，进而可得面积.
【详解】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
且 ，即 ，
又因为 ，则 ，可得 ，且 ，所以 ；
则 ，可得 ，
又因为 ，所以 .
（2）因为 ， ，
则 ，
又因为 ，则 ，
所以 .
9．(1) (2)
【分析】（1）法一：根据三角形内角和以及三边之间的关系可得 ，再由正切函数单调性可得
，即 .
法二：假设 ，所以 ，根据正切函数单调递增，所以 这与
矛盾，即可得出结论；
（2）由两角和的正切公式计算可得 ，利用等量代换联立解方程组计算可得
， ，也可以根据整数要求讨论得出结论，再求出 ， ，最后利用正
弦定理和余弦定理计算可得 .
【详解】（1）法一：
在 中，因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，且 在 内单调递增，所以 ，
又 为整数，所以 ，即 .
法二：
在 中，因为 ，所以 ，
所以 为锐角， ，
假设 ，所以 ，
又 在 内单调递增，所以 ，
又 ，所以 ，与 矛盾，
所以 ，
又 为整数，所以 ，即 .
（2）因为 ，所以 ，
即 ，
且 ，设 ， ，由 ，可得
由于 ， ， 均为整数且 ， ，解得 ，或 ，
解得 ，即 ， ；
（另解： 可化为 ，
由 ， 为正整数，且 ，
所以 ， ，即 ， ）；
所以 ， .
在 中，由正弦定理得 ，所以 ， .
在 中，由余弦定理得 ；
所以 .
10．(1) (2)
【分析】（1）由 ，可得 ，利用和差角公式展开化简求得 ；
（2）根据（1）的结论及题设条件可得 ，在 和 中分别利用正弦定理
列式求得答案.
【详解】（1） ，又 ，
，
，
，
，
，
，又 为锐角， .
（2） ， ，
在 中， ，①
在 中， ，
，②由①和②，得 ，
，又 ，
，
，
.
11．(1) (2)
【分析】（1）结合分式有意义得到 ，根据二倍角公式、辅助角公式得到 ，进而求出角
及 .
（2）方法一：根据余弦定理列方程组求解即可.方法二：根据向量的运算及余弦定理列方程组求解即可.
【详解】（1）由题意知， ，即 ，即 .
因为 ，所以 ，
即 ，
所以 ，
又 ， ，
所以 或 ，所以 （舍）或 ，
因为 ，所以 ，则 .
（2）方法一：设 ，则 ， ，
在 中，由余弦定理可得 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
由 ，可得 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
即 ，
联立解得 ， ，
所以 的周长为 .
方法二：设 ，则 ， ，即 ，
故 ，故 ，
所以 ，可得 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
即 ，
联立解得 ， ，所以 的周长为 .
