专题03 三角函数与解三角形
考点
三年考情（2023-2025）
命题趋势
考点1 三角
恒等变换
主要考查两角和差公式、二倍角公式等的
应用，包括三角函数式的化简、求值、给
值求角等
三角函数内部知识整合趋势明
显，如三角恒等变换可能并入
解三角形大题中考查，减少单
独的化简题。同时，三角函数
与解三角形也常与其他知识板
块，如解析几何、导数等结
合，作为工具来解决问题，体
现知识的综合性和交汇性。考
点稳定化：三角函数的图象与
性质方面，依旧重点考查奇偶
性、单调性、周期性、对称
性、最值等，图象题侧重对称
性或单调区间结合周期性求ω
取值范围。解三角形部分，正
余弦定理的应用、三角形面积
公式等核心考点稳定，常考查
利用定理及公式求解三角形的
边、角、面积等基本元素。三
角函数与解三角形在选择题、
填空题、解答题中均有出现。
不过，解三角形有不再单独出
解答题的趋势，可能与解析几
何等融合命题1。2025 年新
高考 Ⅰ 卷中，解三角形出现
在多选题且为压轴题，体现了
题型的创新和变化。
考点2 三角
函数
重点考查三角函数的奇偶性、单调性、周
期性、对称性、最值等。如 2024 年新课
标全国 Ⅱ 卷考查了函数的相关性质，
2024 年天津高考数学真题考查了函数的最
小正周期及在给定区间上的最小值。
考点3 解三
角形
正余弦定理的应用是核心考点，常考查利
用定理及其变形来求解三角形的边、角等
基本元素。如 2024 年新高考 Ⅰ 卷第 15
题，根据已知条件结合正余弦定理求角B
和边c。
三角形面积公式也是重要考点，常与正余
弦定理结合，用于求解三角形的面积或根
据面积条件求解其他元素。如 2025 年新
高考 Ⅰ 卷的多选题，通过三角形面积以
及三角等式来考查相关知识。
解三角形还常与其他知识综合考查，如
2023 年新高考 Ⅰ 卷第 17 题，解三角形
结合三角形的垂线问题；2023 年新高考
Ⅱ 卷第 17 题，解三角形结合三角形的中
线问题
考点01 三角恒等变换
1
一、单选题
1．（2025·全国二卷·高考真题）已知0<α <π，cos α
2 = √5
5 ，则sin(α −π
4)=（ ）
A．√2
10
B．√2
5
C．3√2
10
D．7√2
10
2．（2025·北京·高考真题）设函数f ( x)=sin ωx +cosωx(ω>0)，若f ( x +π)= f ( x)恒成立，且f ( x)在
[0,π
4 ]上存在零点，则ω的最小值为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．3
3．（2024·广东江苏·高考真题）已知cos(α + β)=m,tan α tan β =2，则cos(α −β)=（ ）
A．−3m
B．−m
3
C．m
3
D．3m
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知cosα
cosα −sinα =√3，则tan(α +π
4 )=（ ）
A．2√3+1
B．2√3−1
C．√3
2
D．1−√3
5．（2023·全国乙卷·高考真题）在△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别是a,b,c，若acosB−bcos A =c，
且C = π
5 ，则∠B =（ ）
A．π
10
B．π
5
C．3 π
10
D．2π
5
6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）过点(0,−2)与圆x
2+ y
2−4 x−1=0相切的两条直线的夹角为α，则
sin α =（ ）
A．1
B．√15
4
C．√10
4
D．√6
4
7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知sin (α −β)= 1
3 ,cosα sin β = 1
6，则cos(2α +2 β)=（ ）．
A．7
9
B．1
9
C．−1
9
D．−7
9
8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知α为锐角，cosα = 1+√5
4
，则sin α
2 =（ ）．
A．3−√5
8
B．−1+√5
8
C．3−√5
4
D．−1+√5
4
二、多选题
9．（2025·全国一卷·高考真题）已知△ABC的面积为1
4 ，若
cos2 A +cos2B+2sinC =2,cos A cos BsinC = 1
4 ，则（ ）
2
A．sinC =sin
2 A +sin
2B
B．AB =√2
C．sin A +sin B = √6
2
D．A C
2+ BC
2=3
三、填空题
10．（2024·全国甲卷·高考真题）函数f (x)=sin x−√3cos x在[0,π]上的最大值是 ．
11．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α + tan β = 4，
tan α tan β =√2+1，则sin(α + β)= .
考点02 三角函数
一、单选题
1．（2024·广东江苏·高考真题）已知cos(α + β)=m,tan α tan β =2，则cos(α −β)=（ ）
A．−3m
B．−m
3
C．m
3
D．3m
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知cosα
cosα −sinα =√3，则tan(α +π
4 )=（ ）
A．2√3+1
B．2√3−1
C．√3
2
D．1−√3
3．（2024·北京·高考真题）设函数f (x)=sin ωx (ω>0).已知f (x1)=−1，f (x2)=1，且|x1−x2|的最小值为
π
2 ，则ω=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（2023·全国乙卷·高考真题）在△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别是a,b,c，若acosB−bcos A =c，
且C = π
5 ，则∠B =（ ）
A．π
10
B．π
5
C．3 π
10
D．2π
5
5．（2025·天津·高考真题）f ( x)=sin(ωx +φ)(ω>0,−π<φ<π)，在[−5π
12 ,π
12]上单调递增，且
x =π
12 为它的一条对称轴，(
π
3
,0)是它的一个对称中心，当x∈[0,π
2 ]时，f ( x)的最小值为（ ）
A．−√3
2
B．−1
2
C．1
D．0
二、多选题
6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数f ( x)=sin 2 x和g( x)=sin(2 x−π
4 )，下列说法中正确的有
（ ）
A．f ( x)与g( x)有相同的零点
B．f ( x)与g( x)有相同的最大值
3
C．f ( x)与g( x)有相同的最小正周期
D．f ( x)与g( x)的图象有相同的对称轴
三、填空题
7．（2023·全国乙卷·高考真题）若θ∈(0,π
2 ),tanθ = 1
2，则sinθ−cosθ = ．
8．（2023·北京·高考真题）已知命题p:若α , β为第一象限角，且α > β，则tan α >tan β．能说明p 为假命
题的一组α , β的值为α = ，β = ．
9．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对
称.若α ∈[
π
6 ,π
3 ]，则cos β的最大值为 ．
10．（2025·上海·高考真题）小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上
有两根长为1 米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影
子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4 米；另一根杆子的影子完全在斜面
上，长度为0.45 米．则斜面的底角θ = ．（结果用角度制表示，精确到0．01°）
11．（2025·北京·高考真题）关于定义域为R的函数f ( x)，给出下列四个结论：
①存在在R上单调递增的函数f ( x)使得f ( x)+ f (2 x)=−x恒成立；
②存在在R上单调递减的函数f ( x)使得f ( x)−f (2 x)= x恒成立；
③使得f ( x)+ f (−x)=cos x恒成立的函数f ( x)存在且有无穷多个；
④使得f ( x)−f (−x)=cos x恒成立的函数f ( x)存在且有无穷多个．
其中正确结论的序号是 ．
四、解答题
12．（2023·北京·高考真题）设函数f ( x)=sin ωx cosφ+cosωx sin φ(ω>0,|φ|<π
2 )．
(1)若f (0)=−√3
2 ，求φ的值．
(2)已知f ( x)在区间[−π
3 , 2π
3 ]上单调递增，f(
2π
3 )=1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中
选择一个作为已知，使函数f ( x)存在，求ω,φ的值．
条件①：f(
π
3 )=√2；
条件②：f(−π
3 )=−1；
4
条件③：f ( x)在区间[−π
2 ,−π
3 ]上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
13．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数f ( x)=cos(2 x +φ)(0≤φ<π),f (0)= 1
2．
(1)求φ;
(2)设函数g( x)= f ( x)+ f(x−π
6 )，求g( x)的值域和单调区间．
14．（2025·全国一卷·高考真题）（1）设函数f ( x)=5cos x−cos5 x,求f ( x)在[0,π
4 ]的最大值；
（2）给定θ∈(0,π)，设a 为实数，证明：存在y ∈[a−θ ,a+θ ]，使得cos y ≤cosθ；
（3）若存在φ使得对任意x，都有5cos x−cos(5 x +φ)≤b，求b 的最小值．
考点03 解三角形
一、单选题
1．（2025·全国二卷·高考真题）在△ABC中，BC =2，AC =1+√3，AB =√6，则A =（ ）
A．45°
B．60°
C．120°
D．135°
2．（2024·全国甲卷·高考真题）在△ABC中,内角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，若B =π
3 ，b
2= 9
4 ac，
则sin A +sinC =（ ）
A．2√39
13
B．√39
13
C．√7
2
D．3√13
13
3．（2023·北京·高考真题）在△ABC中，(a+c)(sin A −sinC )=b(sin A −sin B)，则∠C =（ ）
A．π
6
B．π
3
C．2π
3
D．5π
6
4．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则⃗EC ⋅⃗ED =（ ）
A．√5
B．3
C．2√5
D．5
5．（2023·全国甲卷·高考真题）已知四棱锥P−ABCD的底面是边长为4 的正方形，
PC = PD =3,∠PCA = 45°，则△PBC的面积为（ ）
A．2√2
B．3√2
C．4√2
D．6√2
6．（2023·全国乙卷·高考真题）已知△ABC为等腰直角三角形，AB 为斜边，△ABD为等边三角形，若二
面角C −AB−D为150°，则直线CD 与平面ABC 所成角的正切值为（ ）
A．1
5
B．√2
5
C．√3
5
D．2
5
5
二、填空题
7．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点S , A ,B ,C均在半径为2 的球面上，△ABC是边长为3 的等边三角
形，SA ⊥平面ABC，则SA = ．
8．（2023·全国甲卷·高考真题）在△ABC中，∠BAC =60° , AB =2,BC =√6，∠BAC的角平分线交BC
于D，则AD = ．
三、解答题
9．（2025·北京·高考真题）在△ABC中，cos A =−1
3 ,asinC = 4√2．
(1)求c 的值；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求BC 边上的高．
条件①：a=6；条件②：asin B = 10√2
3
；条件③：△ABC的面积为10√2．
10．（2025·天津·高考真题）在△ABC中，角A ,B ,C的对边分别为a,b,c．已知asin B =√3bcos A，
c−2b=1，a=√7．
(1)求A 的值；
(2)求c 的值；
(3)求sin( A +2B)的值．
11．（2024·广东江苏·高考真题）记△ABC的内角A、B、C 的对边分别为a，b，c，已知sinC =√2cos B，
a
2+b
2−c
2=√2ab
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3+√3，求c．
12．（2024·北京·高考真题）在△ABC中，内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，∠A为钝角，a=7，
sin 2B = √3
7 bcos B．
(1)求∠A；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积．
条件①：b=7；条件②：cos B = 13
14 ；条件③：c sin A = 5
2 √3．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个
解答计分．
13．（2024·天津·高考真题）在△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别为a,b,c，已知
cosB = 9
16 ，b=5，a
c = 2
3．
(1)求a的值；
(2)求sin A的值；
(3)求cos(B−2 A)的值．
6
14．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
sin A +√3cos A =2．
(1)求A．
(2)若a=2，√2bsinC =c sin 2B，求△ABC的周长．
15．（2023·全国甲卷·高考真题）记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，已知b
2+c
2−a
2
cos A
=2．
(1)求bc；
(2)若acosB−bcos A
acosB+bcos A −b
c =1，求△ABC面积．
16．（2023·全国乙卷·高考真题）在△ABC中，已知∠BAC =120°，AB =2，AC =1.
(1)求sin ∠ABC；
(2)若D 为BC 上一点，且∠BAD =90°，求△ADC的面积.
17．（2023·天津·高考真题）在△ABC中，角A ,B ,C所对的边分别是a,b,c．已知
a=√39,b=2,∠A =120
∘．
(1)求sin B的值；
(2)求c的值；
(3)求sin (B−C)的值．
18．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在△ABC中，A + B =3C ,2sin ( A −C)=sin B．
(1)求sin A；
(2)设AB =5，求AB边上的高．
19．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记△ABC的内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c，已知△ABC的面积为
√3，D为BC中点，且AD =1．
(1)若∠ADC =π
3 ，求tan B；
(2)若b
2+c
2=8，求b,c．
7
8
