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第04 讲 解三角形
目录
01 常考题型过关练
题型01 正弦定理解三角形
题型02 余弦定理解三角形
题型03 多边形解三角形（含一个确定三角形）
题型04 多边形解三角形（不含一个确定三角形）
题型05 解三角形的实际应用
题型06 边角互化
题型07 三角函数与解三角形的综合应用
题型08 最值问题（基本不等式法）
题型09 最值问题（三角函数法）
题型10 切弦互化求最值问题
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 正弦定理解三角形
1．在△
中，已知
，
，当
有两解时，
的取值范围为 ．
2．在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若
，
，且
，则
.
3．在
中，内角A，B，C 的对边分别为
，
，则
.
4．在
中，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
02 余弦定理解三角形
5．在
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知锐角三角形边长分别为2，3，x，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．不确定
7．设
的内角
的对边分别为
．
，
，则
的最大值为（ ）．
A．1
B．
C．2
D．
8．在
中，角A、B、C 的对边分别为a、b、c，已知
，
，
的角平分线交边
于点
D，且
，则
.
9．某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为
，
，
，则此人（ ）
A．不能作出这样的三角形
B．能作出一个锐角三角形
C．能作出一个直角三角形
D．能作出一个钝角三角形
03 多边形解三角形（含一个确定三角形)
10．如图，在四边形中
，
．
，
， 则
．
11．已知如图，在平面四边形ABCD 中，
，
，
，则平面四边形ABCD
的面积为 ．
12．如图，在平面四边形ABCD 中，
,
,
,
.
(1)求
；
(2)若
，求BC.
13．（ 2025·河北·一模）如图，在平面四边形
中，
为线段
的中点，
.
(1)若
，求
的面积；
(2)若
，求
.
14．如图，在平面四边形
中，
.
(1)求
；
(2)若
的面积为
，求
.
04 多边形解三角形（不含一个确定三角形)
15．如图，在圆的内接四边形
中，
，
的面积为
，
的面积为
，
则四边形
的周长为 ．
16．在平面四边形
中，
，
.
(1)求
长度；
(2)求
.
17．如图，四边形
中，
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
18．已知四边形
中，
，则四边形
的面积
为 .
19．如图，已知在平面四边形
中，
．
(1)设
，若
，求
；
(2)若
平分
，求
的长．
05 解三角形的实际应用
20．解放阁是山东省的“国防教育基地”．如图，为测量解放阁的高度
，某人取了一条水平基线
，
使
在同一条直线上．在
两点用测角仪器测得
的仰角分别是
，并测得
米，则
约为（ ）（参考数据：
）
A．30 米
B．35 米
C．45 米
D．70 米
21．三角高程测量法是一种常用的测量方法.如图，
，
，
三点在水平地面上的投影
，
，
满足
，
.
到地面的距离为
，
到地面的距离为
，在
测得
的仰角为
，在
测得
的仰角为
，则
到地面的距离约为（ ）（参考数据：
）
A．
B．
C．
D．
22．某海域的东西方向上分别有
两个观测点（如图），它们相距
海里.现有一艘轮船在
点
发出求救信号，经探测得知
点位于
点北偏东
，
点北偏西
，这时，位于
点南偏西
且与
点相距
海里的
点有一救援船，其航行速速为
海里/小时.
(1)求
点到
点的距离
；
(2)若命令
处的救援船立即前往
点营救，求该救援船到达
点需要的时间.
23．为丰富学生课余活动，体育组陈老师和学生们一起做游戏：陈老师站在
处，让甲同学站在
处北偏
东
方向，距离
处
km 的
处，并让站在
处北偏西75°的方向，距离
处 2 km 的
处的乙同
学以
km/h 的速度去追甲同学．此时，甲同学正以10 km/h 的速度从
处向北偏东30°方向奔跑，问乙
同学沿什么方向能最快追上甲同学？
24．某公园拟建造一个四边形的露营基地，如图
所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形
区域中，将三角形
区域设立成花卉观赏区，三角形
区域设立成烧烤区，边
修建观赏步道，边
修建隔离防护栏，其中
米，
米，
．
(1)若
米，求角
的余弦值；
(2)如果烧烤区是一个占地面积为9600 平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1
米）？
(3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形
区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉
观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？
06 边角互化
25．在
中，内角
的对边分别为
，已知
，且
，若
，
则
的面积为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
26．已知
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
27．（ 2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知
的内角
，
，
的对边分别为
，
，，
，
，则
.
28．
的内角
，
，
所对的边分别是
，
，，已知
，则
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
29．在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，已知
.
(1)求
；
(2)若
，且
，求
.
07 三角函数与解三角形的综合应用
30．已知函数
，
.
(1)求函数
的最小正周期与单调增区间；
(2)设
中，角
，
，
的对边长分别为
，
，，若
，
，
的面积为
，
求
的值.
31．已知函数
．
(1)求函数
的最小正周期和单调递增区间；
(2)在
中，内角
所对的边分别为
，且
，求
外接圆的面积．
32．已知函数
.
(1)若
，求函数在区间
上的最大值和最小值；
(2)若
，且在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，
，
，
，求
的面积.
33．已知函数
.
(1)求函数
的最小正周期和单调递减区间；
(2)在
中，角
的对边分别为
，若
.
①求
的值；
②求
.
34．已知向量
，
，函数
．
(1)求函数
在
上的最值，并求此时
的值；
(2)将函数
图象上所有点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），再将所得图象向左平移
个单位
长度并向下平移
个单位长度，得到函数
的图象．若在
中，角
，
，
的对边分别为
，
，
，
，
，
，求
的面积．
08 最值问题（基本不等式法）
35．在
中，内角
，
，
所对应的边分别为
，
，．若
且
，则
的面
积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
36．
中，点
在边BC 上，
，
，
，则
面积的最小值是
.
37．在
中，
，再从下面两个条件中，选出一个作为已知条件，解答下面的问题．条件①：
；条件②：
．
(1)若
，求
的面积；
(2)求
的取值范围．
38．在
中，内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，
，
．
(1)求角A 和边a；
(2)若点
是边
上的中点，求
的最大值．
39．记
的内角
所对的边分别为
，若
，且
.
(1)求角
的大小；
(2)若
，求
的周长；
(3)求
边上的中线
长度的最小值.
09 最值问题（三角函数法）
40．在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且满足
，
的平分线交
边于D，
，则
的最小值为（ ）．
A．
B．3
C．
D．
41．在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，且
，
，则
的取
值范围为 ．
42．已知
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求B 的大小；
(2)若点M 在线段
上，
，
，求
的最小值．
43．在
中，内角
的对边分别为
，已知
．
(1)证明：
．
(2)若
，求
的值．
(3)求
的最小值．
44．在锐角
中，角A，B，C 所对应的边分别为a，b，c，已知
.
(1)求B 的值；
(2)若b=2，求
面积的取值范围.
45．在△
中，内角
的对边分别
为，已知
．
(1)求
；
(2)若△
为锐角三角形，记其面积为，求
的取值范围．
10 切弦互化求最值问题
46．在
中，内角
、
、
所对的边分别为
、
、，若
，则
的最大值为
.
47．记锐角
内角
，
，
的对边分别为
，
，，且
.
(1)证明：
；
(2)求
的最大值.
48．已知
分别为
的内角
的对边，且
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求
的最小值．
1．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．类比
“赵爽弦图”，用3 个全等的小三角形拼成了如图所示的等边
，若
，
．则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（ 2025·浙江绍兴·二模）
在等腰直角三角形ABC 中，
．P 为其内部一点，满足
，
，则
的正切值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．
（多选）定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”.在
中，
，BC 边上的高等于
，以
的各边为直径向
外分别作三个半圆，记三个半
圆围成的平面区域为W，其“直径”为d，则（ ）
A．
B．
面积的最大值为
C．当
时，
D．d 的取值范围是
4．已知锐角
的内角
的对边分别为
，若
，则
的取值范围为 .
5．如图，已知某三角形场地
是直角三角形，且
，
，
，现要在此场
地中修建一正三角形形状（如图
）的人工湖，该正三角形的顶点位于场地的边界线上，则
的面积最小值为
.
6．已知
为等腰三角形，点D 为腰AC 上靠近顶点A 的三等分点，BD 长为2，则该三角形面积的最
大值为 ．
7．（ 2025·广东惠州·模拟预测）
在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
恰好满足下面四个条件中的三个：①
，②
，③
，④
(1)问
满足的是哪三个条件?请列举出来，并说明理由；
(2)求.
8．记
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
.
(1)求
；
(2)若
的面积为
为BC 上一点，AD 为
的平分线，求AD.
1．（2023·北京·高考真题）在
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·全国甲卷·高考真题）在
中，
，
的角平分线交BC 于
D，则
．
3．（2024·天津·高考真题）在
中，角
所对的边分别为
，已知
．
(1)求
的值；
(2)求
的值；
(3)求
的值．
4．（2025·北京·高考真题）在
中，
．
(1)求c 的值；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
存在，求BC 边上的高．
条件①：
；条件②：
；条件③：
的面积为
．
5．（2024·北京·高考真题）在
中，内角
的对边分别为
，
为钝角，
，
．
(1)求
；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得
存在，求
的面积．
条件①：
；条件②：
；条件③：
．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
6．（2023·天津·高考真题）在
中，角
所对的边分别是
．已知
．
(1)求
的值；
(2)求的值；
(3)求
的值．
7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在
中，
．
(1)求
；
(2)设
，求
边上的高．
8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记
的内角
的对边分别为
，已知
的面积为
，
为
中点，且
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求
．
