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三角函数的计算
考点1
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专题04 三角函数与解三角形
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
D
D
A
B
C
D
D
A
C
B
A
12．4
13．
14．
/
15．
16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别求出
的值，进而得到
的值，再利用勾股定理即可求出
；
（2）设
，
，
，
，利用
的周长为2 求出
的值，
再结合
的范围求出
的值，即可得解.
【详解】（1）由题意知
，则
，
所以
；
（2）
1
三角函数的图象和性质
考点2
解三角形
考点3
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设
，
，
，
，则
，
．
由
的周长为2 可得
，即
，
两边同时平方可得
，化简得
．
所以
．
又因为
，所以
．
所以
．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
D
B
B
A
D
A
B
D
AC
CD
AC
BC
AB
14．
15．
（答案不唯一）
1
2
3
4
5
C
D
A
ABD
ACD
6．
2
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7．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据诱导公式及二倍角正弦公式可得；
（2）根据中线向量关系及基本不等式，再结合三角形面积公式可得.
【详解】（1）因为
，且
，
所以
，即
，
因为
，所以
，且
，所以
.
（2）因为
边上的中线为
，所以
，
，又
，且
，
所以
，即
，当且仅当
时等号成立.
所以
面积
，当且仅当
时等号成
立.
故
面积的最大值为
.
8．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换可得
，即可得结果；
（2）根据三角形面积公式可得
，结合余弦定理可得
，即可得结果.
【详解】（1）因为
，
由正弦定理可得
，
则
，
3
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又因为
，则
，可得
，
即
，所以
.
（2）因为
的面积为
，可得
，
由余弦定理可得
，
即
，可得
，
所以
的周长为
.
9．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由诱导公式，两角和与差的正弦公式即可求解；
（2）由余弦定理求得
，再根据三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）因为
，
所以
，
整理得，
，
又
，所以
，
所以
，解得
，
又
，所以
．
（2）因为
，且
的周长为
，所以
，
由余弦定理得，
，
4
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整理得，
，
由
得，
，解得
，
所以
．
10．【答案】(1)
(2)
．
【分析】(1)利用三角恒等变换化简求解即可；
(2)利用余弦定理及中线的向量表示化简，利用面积公式
求解.
【详解】（1）因为
，
所以
，故
．
又
，故
，所以
，所以
．
（2）由余弦定理
，得
①
因为
是
的中点，所以
，
故
，
即
，
即
②
②－①得
，
．
11．【答案】(1)
(2)
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【分析】（1）由条件得到
之间的关系，并将其代入余弦定理
的表达式中，即可得解；
（2）利用正弦定理求出
，进而求出
，即可根据三角形的面积公式求出
的面积.
【详解】（1）因为
成等差数列，所以
.
因为
，由正弦定理可得
，将其代入
，可得
.
由余弦定理可得
；
（2）因为
，且
，所以
.
设
的外接圆半径为
，则
.
由正弦定理
可得
，
则
.
所以
的面积
.
12．【答案】(1)证明见解析
(2)①
；②证明见解析
【分析】（1）利用正弦定理将边化为角后，利用两角差的正弦公式计算即可得；
（2）①借助同角三角函数基本关系与二倍角公式计算可得
、
、
，再利用三角形内
角和与两角和的正弦公式计算即可得；②令
，利用三角恒等变换公式可得
，构造函数
，利用导数研究其单调性，最后由零点的存在性定理计
算即可得.
【详解】（1）由正弦定理可得
，
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即有
，
则
或
，
若
，则
；
若
，则
，舍去；
故
；
（2）①由
，则
，
由
，则
，
由
，则
，解得
，
，
故
；
②令
，由
，则
，
，
则
，
令
，则
，令
，
则
，故
在
上单调递减，
又
，
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，
由零点存在性定理可得
，即
.
13．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形面积公式、余弦定理求解即得.
（2）由（1）中信息，结合基本不等式求出
的最大值即可得解.
【详解】（1）在
中，
，而
，即
，
，由余弦定理得
，
所以
.
（2）由（1）知，
，
，而
，于是
，
即
，当且仅当
时取等号，
因此
的面积
，
所以当
时，
面积取得最大值
.
14．【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）利用正余弦定理，把混合等式转化为可化简的统一形式，利用锐角三角形的范围约
束，结合余弦函数在
上单调递减的性质，证明
；
（2）利用正弦定理将
转化为角的正弦比值，再结合（1）中
的结论，将表达式统一用角
表示，根据锐角三角形的三个内角都为锐角的条件，列出关于角
的不等式组，确定角
的取值
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范围，进而求出
的取值范围.
【详解】（1）对已知等式
，
由正弦定理角化边得：
，
整理得：
，
再由余弦定理：
，
对比得
，
因为
是锐角三角形，
，则
，
因为余弦函数在
单调递减，所以
，得证；
（2）由
，内角和
得
，
因为
是锐角三角形，
所以：
，
由正弦定理：
，
令
，则
，
因为函数
在
时单调递增，
而
，
，所以
，
故
的取值范围为
.
15．【答案】(1)
；
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(2)
或
.
【分析】（1）根据正弦定理及同角三角函数基本关系可得；
（2）直接由余弦定理解三角形可得.
【详解】（1）因为
，由正弦定理得
，即
，
再由
及基本关系式得
，得
或
，
因为
，所以
（舍去），即
.
故
.
（2）由（1）知
，所以
，
再由余弦定理
，且
，
，
得
，
，解得
或
.
当
时，
，此时
，
为直角三角形，符合题意；
当
时，
，此时
，
为钝角三角形，符合题意；
故
或
.
16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
结合两角和差正弦公式化简即可求解；
（2）由三角形面积公式可得
，由余弦定理化简即可求解.
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【详解】（1）
中，
，所以
所以
又
，所以
，
又因为
，所以
.
（2）因为
，
由余弦定理
，
将
，
代入解得
，
所以
.
11
