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培优专题 06 三角函数与解三角形
参考答案
题型01 三角函数的值域（最值）问题
1．
【答案】(1)2； .
(2) .
【分析】（1）根据余弦型函数的最小正周期公式求得 的值，得到 的解析式，进而由整体法求得单
调递减区间；
（2）首先化简得到 的解析式，再由 的范围求得 的值域.
【详解】（1）因为函数 的最小正周期为 ，
所以 ，解得 .
所以 .
要求 的单调递减区间，令 ，
解得 ，即 的单调递减区间为 .
（2）因为 ，所以 ，
所以.
由 得 ，
由正弦函数的性质可得 ，所以 ，
所以函数 在区间 上的值域为 ．
2．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数 的解析式，结合正弦型函数的周期公式可求得正数 的值；
（2）当 时，求出函数 在区间 上的最大值，可知，当 时，函数
在 内取得最大值，可得出 ，然后对整数 的取值进行分类讨论，可
得出关于实数 的不等式组，求解后结合 ，即得实数 的取值范围.
【详解】（1）
，
因为 且函数 的最小正周期为 ，故 .
（2）当 时， .
若 时， ，
当 时，函数 取得最大值，即 .
而函数 与 存在相同的最大值，故当 时，函数 在 内取得最大值 ，
因此可得 ，
①当 时，可得 ，则有 ，解得 ；
②当 时，可得 ，则有 ，解得 .
当 时， ，此时， ，
当 时， ，此时， .
综上所述， 的取值范围为 .
3．
【答案】(1) ， ；
(2) ， .
【分析】（1）利用余弦函数的周期公式及单调性列式求解.
（2）利用三角函数恒等变换化简函数，再利用正弦函数的性质求出指定区间上的最大值.
【详解】（1）函数 的最小正周期 ，
由 ，得 ，
所以函数 单调减区间为 .
（2）依题意，
所以 ，由 ，得 ，则当 ，即 时，函数取得最大值2，
所以最大值为2，此时 .
4．
【答案】(1) ；
(2) 时，最大值为 ； 时，最小值为 .
【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简 ，再利用周期公式以及结合正弦函数的单调性求
解；
（2）求出 的范围，结合正弦函数的最值求解.
【详解】（1） ，
则 的最小正周期为 ，
令 ，则 ，
故单调递增区间为 ；
（2）因为 ，则 ，
则当 ，即 时， 的最大值为 ；
当 ，即 时， 的最小值为 .
5．
【答案】(1) ，(2)
【分析】（1）利用正弦函数的周期公式求出 ，再求出方程的解集即得.
（2）利用二倍角公式及辅助角公式求出 ，再利用正弦函数性质求出值域即可.
【详解】（1）依题意， ，则 ，由 ，得 ，所以
或 ，即 或 ，所以 的解集为
（2） 时，
，
.
所以 的值域为
题型02 三角函数的极值（点）问题
1．
【答案】(1)方程的解集为
(2) ，极值点为极大值点.
【分析】（1）利用辅助角公式化简，再利用正弦函数的性质即可求出；
（2）先对 进行求导，令 并求导即可求出 的取值范围.【详解】（1）当 时， ，
令 ，得 ，即 ， ，解得 ,
故方程的解集为 .
（2）由题意得 ，
在区间 上， ， ，
令 ，则 ，
在 上单调递增，且 ，
若函数 在 上有唯一的极值点，则 在该区间有唯一解，
即 有唯一解，故 的取值范围为 ，
设 为该极值点，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
所以极值点为极大值点.
2．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用辅助角公式，结合平移变换和三角函数的对称性即可求解；
（2）利用相位整体思想，分析正弦函数的极值点和零点情况，即可确定动区间的范围，从而可求得参数
范围.【详解】（1）由 ，
当函数 右移 个单位得 ，则 ，
由 关于 对称，可得： ，
整理得： ，又 ，取 得最小正数 ，
即 的最小值为 ；
（2）由（1）可得： ，
当 ，令 ，
再由 的零点满足： 或 ， ，
不妨取 ，可得两个正数零点是 或 ，依次增大的第三个正数零点是 ，
再由 的极值点满足： ， ，
同理可得两个正数极值点是 ，依次增大的第三个正数极值点是 ，
所以函数 在区间 上恰有2个极值点和2个零点，
即满足在 内取到 ， ， ， ，不能取到 和 ，
则 ，
即所求实数m的取值范围 .
3．
【答案】(1) ，对称中心为 ， .(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式可求出 的值，可得出函数 的解析式，利用正弦型函数的
对称性可求得函数 的对称中心坐标；
（2）极值点满足 ，即 ，而 ，根据题意得出
，判断此不等式组无解，即可得出结论.
【详解】（1）函数 的最小正周期为 ，可得 ，此时 .
令 解得 ，
所以 图象的对称中心为 ， .
（2）不存在，理由如下：
极值点满足 ，
即 ，而 .
考虑在 附近的极值点 、 、 ，
需要 ，无解，
故不存在 ，使得函数 在区间 上恰有 个极值点.
4．【答案】(1) ；
(2) ;
(3) .
【分析】（1）利用三角函数的周期性计算参数，结合单调性计算即可；
（2）将问题化为 ，结合三角函数的图象与性质及换元法、分类讨论计算即可；
（3）利用三角函数图象变换先确定 ，求得得出 ，结合正切函数的图象与性质，消
元得出 ，构造函数 研究其对称性得出 ，计算即可得
出参数值.
【详解】（1）由题意 ，所以 ，
令 ，
解得 ，
即 的单调递减区间为 ；
（2）由题意可知 ，
由 ，则 ，所以 ，即 ，
而 ，
令 ，即 ，
由题 ，则 ，若 ，则 ，显然成立；
若 ，则 ，显然成立；
若 ，则 ，所以 ， ；
综上所述要满足题意需 ，即a的取值范围为： .
（3）由题意易知 ，所以 ，
显然 时 ，则令 ，
即 ，不妨令 ，
则 ，即 ，
设 ，最小正周期为 ，
显然 ， ，
所以 为偶函数，且关于 中心对称，
而 ，所以 ，
又 ，所以 ，
即 两式相加有 .题型03 三角函数的零点（解）问题
1．
【答案】(1) ， .
(2)
【分析】（1）由数量积的坐标形式结合三角变换公式可得 ，由整体法可求函数的单
调减区间；
（2）函数在给定区间上的零点问题可转化为 与 的图象在 上有两个不同的交点，
利用正弦函数的性质可求参数的取值范围.
【详解】（1） ，
令 ，则 ，其中 ，
故函数 的单调递减区间为 ， .
（2）由题设有 在 有两个不同的零点，
而 ，故 在 有两个不同的解，
故 与 的图象在 上有两个不同的交点，
而 在 为增函数，在 为减函数，且 ，故 ，
故 .
2．
【答案】(1) ， ，
(2)
【分析】（1）根据正切函数的性质代入公式求解即可；
（2）结合正切函数的性质，可知要使区间 上至少存在2026个解，其区间长度 的最小值为
个周期，再代入运算即可.
【详解】（1）当 时， ，所以最小正周期 .
由 ，得 ，
所以严格增区间为 ， .
（2）因为 ， ， ，
与 相差 个周期， 与 相差 个周期，
所以要使区间 上至少存在2026个解，其区间长度 的最小值为 个周期，且最小值不小于
，
故 ，即 ，所以 ，又 ,
所以 .
3．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角的正余弦公式和辅助角公式可得 ，结合 ，可
求值域；
（2）化简得 ，利用周期求得 ，求得函数的零点为 ，或
，可求实数 的取值范围.
【详解】（1）若 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以函数 的值域 ；
（2） ，
又因为函数 的最小正周期为 ，所以 ，解得 ，
所以 .
令 ，所以 ，
所以 ，或 ，
解得 ，或 ，当 时，有零点 ， ，
当 时，有零点 ， ，
因为函数 在 上恰有2个零点，所以 ，
所以实数 的取值范围为 .
4．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）应用数量积坐标公式计算化简，再应用函数是偶函数得出 即可得出最小
值；
（2）应用平移得出 ，再应用零点得出 ，进而应用个数得出 的最
小值.
【详解】（1）
，
因为 为偶函数，
所以 ， ，
因此当 时， .
（2）把 图象向右平移 个单位长度，
得到函数 ， ，令 ，则 .
所以 ， 或 ， ，
解得 ， 或 ， .
函数 的每个周期内有2个零点，
函数在一个周期内有两个零点，20个零点即10对，
为使区间长度 最小，该区间应从第1个零点延续到第20个零点，
所以 的最小值为 .
5．
【答案】(1)最小正周期为 ，值域为
(2)
【分析】（1）根据三角恒等变换，再根据正弦函数的性质求最小正周期与值域即可；
（2）根据正弦函数的零点与对称轴求解 的值，从而可得 的最大值.
【详解】（1） ，
则函数 的最小正周期为 ，值域为 ；
（2）由题可得 ,
所以 ，则 ，
由于 ，所以 或 ；
又直线 是曲线 的一条对称轴，
所以 ，则 ，由于 ，所以 或 ；
故 的最大值为 .
题型04 三角函数与数列
1．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 时函数 取得最大值4，可知 值及关于 的方程，由其范围可求得
值，得解；
（2）由（1）求得 ，进而求得 ，得 ，由等比数列前 项和公式求解.
【详解】（1）已知当 时函数 取得最大值4，
因为 ，所以 .此时 ，
又 ，解得 ，
所以函数 的表达式为 .
（2）由（1）知 ，则 ， .
因为 是等差数列，设公差为 ，则 ，解得 ， ，
所以 .
又 ，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，可得 .
2．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由 ， ，得 ，
则 .
（2）由 ， ， ，
因 成等比数列，故 ，
即 ，得 ；
若 ， ， 依次成等比数列，则 ；
所以 ， ，又 ，故 ，此时 ， ， 依次
为 ，符合题意；
综上， .
3．
【答案】(1) ， ；
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用已知递推式，运用赋值法结合三角函数性质计算求解；
（2）利用已知递推式及（1）结论，运用函数奇偶性及周期性定义证明函数奇偶性及周期性；
（3）利用已知递推式，运用赋值法结合零点存在定理及函数奇偶性求出函数在一个周期内的零点个数及位置，再利用函数周期性及等差数列的定义及性质证明结论．
【详解】（1） ，
令 ， ，可得 ，
， ，
，
，解得 ．
由 得 ，即 ，解得 ，
， ， ．
（2）由（1）得， ，
，令 ，可得 ，即 ，
已知函数 的定义域为 ，
函数 为偶函数；
令 ， ，
①，
把 替换为 得， ②，
式①加②得 ，
把 替换为 得 ，
，即 ．
函数 是一个周期为 的周期函数．（3）由(1)得 ， ，
在 中，
令 ，可得 ，解得 ，
在 上是减函数，
， ，故 ，
在 上有且仅有一个零点．
在 中，
令 ，则 ，解得 ．
在区间 上有且仅有一个零点 ，
又 是偶函数，
在 上有且仅有一个零点 ，
在一个周期内有且仅有2个零点．
，
在 内的零点为 和 ，
， ， ，
对任意 ， 在 上有且仅有两个零点：
， ．
在 上有 个零点：， ， ， ，…， ， ，
其中 ，
是等差数列．
4．
【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）根据正弦函数的性质，结合已知条件求出 、 、 的值，进而得到函数 的表达式；
（2）先根据函数表达式求出 和 的值，再利用等差数列的通项公式求出 ，进而得到 ，最后根据等
比数列的前 项和公式求出 .
【详解】（1）由题意，函数 （ 、 ， ）的周期为 ，
所以 ，即 ，解得 ，
又函数 在 时取到最大值 ，所以 ，
解得 ， ，
又 ，所以当 时， ，
所以函数 的表达式为 ；
（2）由（1）知，函数 的表达式为 ，所以 ， ，
又数列 为等差数列，则 ，解得 ， ，
所以 ，
又 ，所以 ，即数列 为首项是 ，公比为 的等比数列，
所以数列 的前 项和 .
题型05 解三角形中的求周长或边长
1．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用三角恒等变换化简 ，进而利用正弦函数的单调性求解；
（2）由 可求角 ，进而由 可求 的值，从而利用余弦定理求出 的值.
【详解】（1）由题意， ，
∴
.
由 ，可得 ，
所以 的单调递增区间为 .（2）由 ，得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，即 .
因为 ，所以 ，得 .
又 ，所以 ，
即 ，
所以
即 ．
2．
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）利用辅助角公式将函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数的性质计算即得；
（2）由 计算出 ，利用两角和的正弦公式求得 ，再借助于正弦定理计算即得.
【详解】（1） ，
当 时， ，
则 ，即 的值域为 ；
（2） ，则 ，即 ，
又 ，故 或 ；
若 ，由 ，则，
由正弦定理 ，可得 ；
若 ，由 ，则
，
由正弦定理 ，可得 .
综上， 或 .
3．
【答案】(1)2；
(2)
【分析】（1）根据题设有 ，即可得解析式，再由正弦函数的性质求解方程即可；
（2）根据已知可得 ，应用余弦定理、三角形面积公式得 、 ，进
而可得 ，即可得周长.
【详解】（1）由题设 ，则 ，
令 或 ， ，
所以 或 ， ，故 解集为 ．（2）由题设 ，即 ， ，
所以 ， ，又 是三角形内角，故 ，
由 ，即 ，
由 ，则 ，所以 ，
易得 ，所以 周长为 ．
4．
【答案】(1)极大值点集合 ；严格增区间为 和
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数，再结合正弦函数的性质求出极大值点的集合与
内所有的严格增区间；
（2）根据题目条件利用余弦定理求出 后即可得到 的周长.
【详解】（1）已知函数 ，
由 ， 可得：
由辅助角公式可得： ，
极大值点满足 ，解得 ，
故极大值点构成的集合为 ，
严格增区间由 得 ，在 内，
取 得 ，取 得 ，故严格增区间为 和 ，（2）由 得 ，结合 解得 ，
由 得 ，即 ，所以 ，又 ，
即 或 ，
由余弦定理 ，得 ，
故三角形周长为 .
5．
【答案】(1) ， ，
(2)
【分析】（1）利用二倍角的正弦公式与辅助角公式可得 ，结合周期公可求得 ，进
而利用整体法可求得对称轴方程；
（2）由 ，求得 ，利用正弦定理可得 ，进而利用余弦定理可求得 ，可求周长.
【详解】（1） ，
因为 ，所以 ，故 ，
令 ， 得对称轴方程为： ， ．
（2）由 ，得 ，因为 ，所以 ，
所以 ，可得 ，
又 ，由正弦定理得 ，①
由余弦定理，得 ，可得： ，②由①②： ，解得 ， ，
所以周长 ．
题型06 解三角形中的求面积问题
1．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用诱导公式得 ，再根据偶函数的定义证明即可；
（2）利用辅助角公式整理 ，根据已知求出 ，利用余弦定理结合已知可得 的值，最后由
三角形面积公式求解.
【详解】（1）根据题意，
，
则 ，
所以函数 为偶函数；
（2）由辅助角公式得 ，
则 ，
所以 ，可得 ，
由余弦定理可得 ，由于 ， ，
则 ，解得 （舍去负根），
由已知得 ，则 ，所以 .
2．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角结合两角差的正弦公式化简，可求出 ，即可求出 ，利用正弦
定理即可求得答案；
（2）利用正弦定理边化角化简可求出 ，结合两角和的正弦公式即可求出 ，继而求出c，利用三角
形面积公式即可求得答案.
【详解】（1）由 ，可得 ，结合 ，
得 ，即 ，
则 ，可得 ，
由于 ，故 ，则 ,
故 ，得 ；
（2）由题意知 ，故 ，
由于 ，故 ，
结合 ，可知C为锐角，则 ，
故 ， ，故 ，得 ；
所以 .
3．
【答案】(1)
(2)函数在 单调递减，在 单调递增
【分析】（1）由已知可得 ，由此解得 的值，通过验证可得 ，然后根
据余弦定理和面积公式即可求解；
（2）由已知可得 ，又函数在 无最小值，可得 ，再根据三角函数的性质求解即可.
【详解】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，解得 或 ，
所以 或 ，
若 ，则 ，不符；所以 ，
所以 ，所以 ，
由 ，
得 ，所以 ，
；
（2）由 ，得 ，所以 ， ，令 ，因为 ，所以 ，
又函数在 无最小值，所以函数的最小正周期 ,所以 ，
所以 ，则 ，此时 ，符合题意，
所以 ，
令 ，所以 ，
当 时， ，
因为 ， 所以 在 单调递减，在 单调递增.
4．
【答案】(1) ； 的对称轴为 ；函数 的单调递减区间为
，其中
(2) 面积为
【分析】（1）求得点 的坐标为 ，进而可求得周期，求得 ，进而利用对称性可求得函数
的单调递减区间；
（2）利用 ，求得 ，利用 ，求得 ，进而可求 的面积．
【详解】（1）依题意， 为 的中点，因此点 的坐标为 ，
所以 ，即 ，从而 ；
且 的中点 的横坐标为 ，故曲线 的对称轴方程为 ；
又 （此为点 关于 对称的点的横坐标），
所以函数 的单调递减区间为 ，其中 .
（2）由题意， ，故 ，
因为 ，解得 ，所以 .
又 ，所以 ，解得 ，
显然， 的面积 .
题型07 解三角形中的求最值或范围
1．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由点确定周期，可得 ，再由 即可求解 的值，从而得函数解析式；
（2）由 确定 ，得到 ，再结合正弦定理、三角恒等变换、正弦型函数的性质
即可得 的取值范围，由三角形面积公式得面积的取值范围．
【详解】（1）因为 图像经过 ， ，
所以 得周期 ，由 得， .
又 得 ， ，又因为 ，
所以 ，所以 ．
（2）因为 ，又 ，
结合图像对称性可知： ，则 ，
又 ，由正弦定理得： ，
则 ，
所以
，
由 ， ，可得 ，
所以 ，则 ，
故 ，
于是可得 的面积为 ，
故 面积的取值范围为 .
2．
【答案】(1)单调递增区间是 ，单调递减区间为 ；
(2)9
【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简 的解析式，再由函数的单调性求出 的取值范围，即可确定 的值，最后由正弦函数的性质计算可得；
（2）先根据 求出 ，再利用余弦定理结合基本不等式求得 的最大值，即可得解.
【详解】（1）因为
，
因为 在 上单调，且 ，即 ，
所以 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，所以 ；
令 ，解得 ；
令 ，解得 ；
所以 的单调递增区间是 ，单调递减区间为 ；
（2）因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，
由余弦定理可得 ，
即 ，即 ，
因为 ，当且仅当 时，等号成立，所以 且 ，解得 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，即 周长的最大值为9．
3．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据三角函数的周期公式求出 的值，再根据正弦函数的单调递增区间求出 的单调
递增区间；
（2）先根据 求出角 ，再利用余弦定理和基本不等式求出 的最大值，最后根据三角形面积公
式求出 面积的最大值．
【详解】（1）函数 （ ）的最小正周期为 ，
则 ，解得 ，所以 ．
由 ，解得 ，
所以 的单调递增区间为 ．
（2）因为 ，且 ，所以 ．
因为 ，则 ，所以 ，解得 ．
已知 ，根据余弦定理 ，
可得 ，即 ．
由 ，得 ，当且仅当 时取等号．
则 ，当且仅当 时取等号．
所以 面积的最大值为 ．4．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理证出 ，结合题目信息可得 ，求出 ，进
而可得角 大小；
（2）根据正弦定理求出 ，结合余弦定理推导出 ，然后根据基本不等式算出 ，
再利用三角形的面积公式求出 面积的最大值，可得答案．
【详解】（1）根据余弦定理得 ，
由 ，可得 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，解得 ，
所以角 的值为 .
（2）若 外接圆的直径 ，
根据正弦定理得 ，
由余弦定理得 ，
即 ，可得 ，
根据基本不等式，可得 ，所以 ，
解得 ，当且仅当 时，等号成立，
可得 的面积 ，
所以当 时， 的面积取得最大值 ，
所以 面积的最大值为 ．
5．【答案】(1) ， 的零点为
(2)
【分析】（1）利用降幂公式及辅助角公式将 化简，再根据三角函数的变换规则求出 的解析式，
从而求出其零点；
（2）首先求出角 ，再由余弦定理及基本不等式求出 的最大值，最后由面积公式计算可得.
【详解】（1）因为
，
将函数 图象向左平移 得到 ，
令 ，解得 ，
所以函数 的零点为 .
（2）因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，所以 ，
又 ，由余弦定理 ，
即 ，所以 ，当且仅当 时取等号，即 ，
所以 ，
即当且仅当 时， 的面积取得最大值为 .
