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专题 03 三角函数与解三角形
4大考点概览
考点01三角函数
考点02三角恒等变换
考点03解三角形小题
考点03解三角形解答题
考点1 三角函数
1．（2026·湖北黄冈·一模）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】利用诱导公式 ，得： ，
故利用二倍角公式，得： .
2．（2026·湖北黄冈·一模）函数 的图象关于点 对称，且直线
与函数 图象的相邻两交点间距离为 ，则正实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由直线 与函数 图象的相邻两交点间距离为 ，求得最小正周期；根据正切函数
的对称性求得 ，从而求得其最小值.
【详解】因为直线 与函数 图象的相邻两交点间距离为 ，
所以函数 的最小正周期为 ，所以 ，所以 .
由函数 的图象关于点 对称，得 ，所以 .
所以正实数 的最小值为 .
3．（2026·湖北襄阳·一模）把函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
再把所得曲线向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数图像平移和伸缩的性质即可求解.
【详解】把函数 图象向右平移 个单位长度，得到
，再将 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，
纵坐标不变，得到 .
4．（2026·湖北孝感·一模）若点 是函数 的图象的一个对称中心，则 的
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正弦函数对称中心性质得 ， ，然后利用诱导公式求值即可.【详解】因为点 是函数 的图象的一个对称中心，
所以 ， ，即 ， ，
所以 ，所以 .
故选：D
5．（2026·湖北荆州·一模）已知 ，设函数 的零点个数为 ，
则 ＝（ ）
A．120 B．210 C．75 D．240
【答案】A
【分析】先利用图象的交点求出当n＝1时 的零点个数，再根据正弦型函数的周期以及
得出数列 为等差数列即可求出.
【详解】 过点 ，
则可作出 的图象.
当n＝1时，作出 的图象，
因为 ，故 的图象与 图象有3个交点；注意到 的周期为4， ，
n每增加1个单位， 也增加 个单位（一个周期），则交点增加2个，
故数列 是首项为3，公差为2的等差数列，
所以 .
6．（2026·湖北荆州·一模）将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数
的图象，则函数 的一个单调增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数图象的平移变换，可求出 的表达式，结合正弦函数性质，求出该函数
的单调递增区间，即可判断A，结合正弦函数的单调性可一一判断BCD，即得答案.
【详解】由题意知将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，
故 ，
令 ，即 ，
即函数 的单调递增区间为 ，
当 时， 的单调递增区间为 ，A正确；
对于B，当 时， ，由于 在 上不单调，故 不是 的单调增区间，B错误；
对于C， 时， ，
由于 在 上不单调，故 不是 的单调增区间，C错误；
对于D， 时， ，
由于 在 上单调递减，故 是 的一个单调减区间，D错误；
故选：A
7．（2026·湖北孝感·一模）已知函数 （ ），且 ．
(1)求 在点 处的切线方程；
(2)将函数 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象，求函数 在 上
的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件先求解出 的值，然后求解出 ，结合 时的导数值和函数值可求
切线方程；
（2）先求得 的解析式，再通过换元法求解出 的值域.
【详解】（1）因为 且 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以切线方程为 ，即为 ；
（2）由条件可知， ，
因为 ，令 ，
因为 在 上单调递增，在 上单调递减，
且 ，所以 ，
所以函数 在 上的值域为 .
考点2 三角恒等变换
1．（2026·湖北黄石·一模）（多选）已知函数 ，则下列命题正确的有（ ）
A．函数 的图象关于点 对称
B．函数 的最大值是2
C．若实数 使得方程 在 上恰好有三个实数解 ，则
D． 是函数 的单调递减区间
【答案】BC
【分析】首先化简函数，分别求函数的单调性，对称性及值域，选项C将函数数形结合，转化为交
点问题.
【详解】若函数图象关于点 对称，则 .但是 ，所以A错误；
因为 的最大值为1，所以 的最大值为 ，所以B正确；
方程 在 上恰好有三个实数解，即 在 有三个解，
此时 ，对应的三个解为： ，则 ，所以C正确；
求 的单调递减区间： ，解得 ，
所以D错误.
2．（2026·湖北·一模）（多选）下列关于函数 的说法正确的有（ ）
A．函数 的最小正周期为
B．要得到函数 的图象，只需将函数 的图象向左平移 个单位长度
C．函数 的图象关于点 中心对称
D．函数 在区间 上单调递减
【答案】AC
【分析】根据三角恒等变换化简 ，利用正弦型三角函数的性质逐项判断即可得答案.
【详解】 ，所以 的最小正周期 ，故A正确；
函数 的图象向左平移 个长度单位得到函数
，故B不正确；
对于函数 ，由于 ，
所以函数 的图象关于点 中心对称，故C正确；
当 时， ，
所以函数 在区间 上单调递增，故D错误.
3．（2026·湖北荆州·一模）已知 ， （i为虚数单位），则函数
的最大值为______.
【答案】 /
【分析】先根据复数的运算法则求出 的值，再将函数 化简，最后根据三角函数的性质求
出最大值即可.
【详解】因为 ，整理得 ，
所以 ，解得： ， ，
所以 ，
利用辅助角公式化简得 ，又因为余弦函数 的值域是 ，
所以当 时， 取得最大值，
即 .
故答案为： .
4．（2026·湖北襄阳·一模）已知 ，若 ，且 ，
则 _______．
【答案】
【分析】利用 ，根据和差化积公式得 ，即
可由万能公式求解.
【详解】．∵
∴
∴ ,
由于 ，故 ，则 ，
∴
∴ .考点3 解三角形小题
1．（2026·湖北十堰·一模）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .若 ， ，
，则 （ ）
A． B．20 C．16 D．
【答案】D
【分析】根据正弦定理、余弦定理求解即可.
【详解】因为 ， ，所以 .
由正弦定理可知， ，所以 ， ，
又 ，所以 ，所以 .
由余弦定理知， ，所以 ，即 .
又 ，
所以 ，所以 .
故选：D.
2．（2026·湖北孝感·一模）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，
，则边 上的中线长为（ ）
A． B． C．6 D．10
【答案】B
【分析】根据余弦定理和数量积的定义得 ，然后利用中线向量表示及模的运算求解中
线长即可.【详解】 中，由余弦定理得 ，
又 ，所以 ，所以 ，记边 上的中点为M，
因为 ，所以 ，所以 .
故选：B
3．（2026·湖北·一模）某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全
完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底 同一
水平面内共线的三个点 ， ， ，且在点 ， ， 处测得塔顶端 的仰角分别为 ， ，
，同时测得 ， （如下图），则塔的高度为________ .
【答案】60
【分析】设 ，则可由余弦定理构建关于 的方程，求出其解即可.
【详解】由题设 ，
设 ，则 ，
在 中，由余弦定理有 ，
故 ，同理 ，
而 ，故 ，
所以 ，故 ，故 .
考点4 解三角形解答题
1．（2026·湖北荆州·一模）如图，在 中， ， ，D，E分别是边 ， 的中
点，且 .
(1)求 的面积；
(2)求 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立平面直角坐标系，设 ，由题意列方程可求出 的值，根据三角形面积
公式，即可求得答案；
（2）求出 ，根据三角形面积求解，即可得答案.
【详解】（1）以点A为坐标原点， 为x轴，过点A作垂线为y轴，建立平面直角坐标系，
则 ，设 ，由于 ，则 ，则 ，故 ，
而 ，故 ，
即 ，即 ，
结合 ，得 ，即得 ，则 ，
故 的面积为 ；
（2）结合（1）的分析可知 ，
的面积为 ,则 ，即 ,
故 .
2．（2026·湖北·一模）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 的面积为
， 是线段 上一点，且 .
(1)求角 ；
(2)若 ， 平分 ，求 .
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）根据正弦定理结合三角变换公式可得 ，故可求 ；
（2）由三角形面积公式结合余弦定理可得关于 的方程，求出其解后结合角平分线的性质可求
.
【详解】（1）由条件 ，利用正弦定理可得 ，
因为 ，所以 ，代入上式： ，
整理得： ，又 ，
故 即 ，又 ，所以 .
（2）由三角形面积公式知 ，可得 ，
又 ，由余弦定理 ，得 ，
于是可得 或 .
因为 平分 ，由角平分线性质， ，
且 ，所以
故 的长度为 或 .
3．（2026·湖北黄冈·一模）在 中内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且
．
(1)求 ；
(2)若 ， ，求 的面积 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可求得 的值，可求 ；
（2）法一：利用两角和的余弦公式，结合已知可求得 ，进而利用正弦定理可求得 ，
进而可求 的面积 ．
法二：利用两角和的余弦公式，结合已知可求得 ，利用正弦定理可求得 ，进而利用可求解.
【详解】（1）由正弦定理知 ．
∴ ，∵ ，∴ ，
∴ ， ，∴ ．
（2）法一：由（1）知 ， ，∴ ．
∴ ，∴ ，∴ ．
法二：由（1）知 ， ，∴ ．
由正弦定理可得 ．
∴ ．
4．（2026·湖北荆州·一模）如图，在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ，
.
(1)求b.
(2)若D点满足 ， ，求a.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化简可得 ，由 得，结合正弦定理即可求解 ；
（2）设 ，则 ，设 ，则 ，由正弦定理化简可得 ，
结合二倍角公式解得 ，求出 ，利用余弦定理求解即可.
【详解】（1）由 及正弦定理得 ，
即 ，即 ，
由 得， ，
即 ，进而由正弦定理得 ；
（2）因为 ，所以 ，
设 ，则由题意 ，设 ，则 ，
则由正弦定理得 ，消去x得 ，
所以 ，又 ，所以 ，所以 ，所以 ，
由余弦定理得 ，所以 .
5．（2026·湖北黄石·一模）在 中，角 的对边分别 ，已知
.
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的面积.
【答案】(1)
(2)【分析】（1）利用倍角公式进行化简，结合 的范围，得出 ，即得角 ；
（2）通过 进行变量代换，借助余弦定理得出 的值，再利用面积公式即得面积.
【详解】（1）由 ，
得 ，
即 ，因为 ，
所以 ，
即 ，
故 （舍）或 ，
由于 ，所以 .
（2） ，由 ，
得 ，又 ，
所以 ，
解得 或 （负值舍），故 ，
又由（1）知 ，
故 的面积为 .
6．（2026·湖北襄阳·一模）在 中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，M为边BC所
在直线上一点．
(1)若 ，AM平分∠BAC， ， ，求 的周长；
(2)若 ，且 ，求 的最大值和最小值．【答案】(1)
(2)最大值 ；最小值4
【分析】（1）根据三角形面积公式及余弦定理化简计算求解；
（2）根据三角形面积公式可得 ，根据余弦定理化简可得
，再利用三角恒等变换结合正弦型函数性质可得最大
值，利用基本不等式可得最小值.
【详解】（1）由题意得
所以 ①
又 ②
由①②解得 ，所以 的周长为 ；
（2）∵ ，
又 ，∴
∴
当且仅当 ，即 时取“ ”，
又 ，当且仅当 时取“ ”，
所以 的最大值 ，最小值4．
