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专题 03 函数的概念与性质
函数定义域值域、求值
1．（2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模）已知函数 ，若 的
值域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】借助 的值域为 可得 要取遍所有的正数，对 进行分类讨论即可得.
【详解】若函数 的值域为 ，则 要取遍所有的正数．
所以 或 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 .
故选：A．
2．（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）若函数 的定义域为 ，且 ，
，则（ ）
A． B． 为偶函数C． 的图象关于点 对称 D．
【答案】BCD
【分析】对于A，令 ,可得 ；对于B，令 ，可得 ，即可判断；
对于C，令 得 ，再令 即可判断；对于D，根据条件可得
,继而 ，进一步分析可得函数周期为4，分析求值即可.
【详解】对于A，令 ，则 ，
因为 ，所以 ，则 ，
故A错误；
对于B，令 ，则 ，
则 ，故B正确；
对于C，令 得， ，
所以 ，
令 得， ，
则 的图象关于点 对称，故C正确；
对于D，由 得 ，
又 ，所以 ，
则 ， ，
所以 ，则函数 的周期为 ，
又 ， ，则 ，
，
则 ，
所以 ，
故D正确，
故选：BCD.
3．（2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模）已知函数 求使方程
的实数解个数为3时 取值范围 ．
【答案】
【分析】分析给定函数的性质，作出图象，数形结合求出 取值范围.
【详解】当 时，函数 在 是递减，函数值集合为 ，
在 上递增，函数值集合为 ，当 时， 是增函数，函数值集合为R，
方程 的实数解个数，即为函数 与直线 的交点个数，
在同一坐标系内作出直线 与函数 的图象，
观察图象，当 时，直线 与函数 的图象有3个交点，
所以方程 的实数解个数为3时 取值范围是 .
故答案为：4．（2024·福建厦门·统考一模）已知函数 的定义域为 ， ， ，
，若 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】利用赋值法对 进行赋值结合函数的周期可得答案.
【详解】令 ，得 ，即 ，
令 ，得 ，得 ，所以函数 为偶函数，
令 ，得 ，
令 ，得 ，
， 或 ，
若 ，解得 与已知 矛盾，
，即 ，解得 ， ，
令 ，得 ，
， ， ，
，所以函数 的周期为4.
.
故选：A.
函数单调性
5．（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）若函数 单调递增，则实数 的取值范围为
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 恒成立分离常数 ，利用基本不等式求得 的取值范围.
【详解】依题意 ，即 对任意 恒成立，
即 恒成立，因为 （当且仅当 时取“=”），所以 .
故选：D
6．（2024·重庆·统考一模）已知定义在R上的函数 满足： ，且
时， ，则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数单调性和奇偶性则得到不等式，解出即可.
【详解】任取 ，则 ，
而 时， ，则 ，
，
所以 在 上单调递减，
， ，
取 ，则 ，令 ，
得 ，所以 为 上的奇函数，
，即 ，则 ，解得
故选：A.
7．（2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模）设函数 ，
（e为自然对数的底数）
（1）若函数 有两个极值点，求a的取值范围；
（2）设函数 ，其中 为 的导函数，求证： 的极小值不大于1.
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【分析】（1）求得 ，根据 有两个极值点，转化为 与
的图象的交点有两个，利用导数求得函数 的单调性与极值，即可求解.
（2）根据题意得到 ，求得 ，得到
，进而求得 的单调性与极值，再分 和 两种情况，结合函数的单调
性和极值的运算，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数 ，可得 ，
因为 有两个极值点，
即方程 在 有两个不同的解，
即 与 的图象的交点有两个.
由 ，当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减， 有极大值 .又因为 时， ； 时， ，
当 时，即 时有两个解，所以
（2）由函数
可得 ，则 ，所以 在 单调递增，
若 时，
当 时， . 在 上单调递减；
当 时， . 在 上单调递增；
所以 在 处取得极小值
若 ，令 ，则 ；
令 ，则
所以在 ， 有唯一解；
若 ，令 ，则 ，
令 ，则 ，所以在 ， 有唯一解；
所以 在 有唯一解 ，
当 时， ， 在 单调递减；
当 时， ， 在 单调递增；
所以 ，
令 ，则 ，
由 ，可得 ，当 时， ， 在 单调递增；
当 时， ， 在 单调递减，
所以 ，即 的极小值不大于1.
【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数
后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分
类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
函数奇偶性
8．（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）已知 为奇函数，则 （ ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性求函数 在区间 上的解析式，对比系数求得 .
【详解】当 时， ，所以 ，
通过对比系数得 .
故选：A
9．（2024·福建厦门·统考一模）已知 为定义在 上的奇函数，当 时， ，
则 （ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】根据奇函数的定义求解即可.【详解】当 时， ，所以 ，
因为 为定义在 上的奇函数，所以 ，且 ，
所以
故选：D
10．（2024·浙江·校联考一模）若函数 是 上的偶函数，则
．
【答案】1
【分析】根据函数 是 上的偶函数，利用特殊值可得答案.
【详解】若函数 是 上的偶函数，
则有 ，即 ，解得 ，
当 时，此时 ， ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，
所以函数 是 上的偶函数，符合题意，
则 .
故答案为：1.
11．（2024·广东深圳·校考一模）已知函数 的定义域为 ， 是偶函数，
是奇函数，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】利用函数奇偶性的定义可求得函数 的解析式，再利用基本不等式可求得 的最小
值.
【详解】因为函数 为偶函数，则 ，即 ，
①
又因为函数 为奇函数，则 ，即 ，
②
联立①②可得 ，
由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故函数 的最小值为 .
故选：B.
12．（2024·吉林白山·统考一模）已知函数 的定义域为 ，且 ，
，请写出满足条件的一个 （答案不唯一）， ．
【答案】 （答案不唯一）；
【分析】应用赋值法可得 为偶函数及 以6为周期，进而可求.
【详解】令 ，则 ，解得 或 ，
若 ，令 ， ，则 ，即 与已知矛盾,
∴ ，令 ，则 ，
则 ，∴ 为偶函数；
令 ，则 ，则 ，
则 ，
所以 以6为周期，
结合以上特征，找到满足条件的一个函数为 ，
结合 以6为周期，则 ．
故答案为：（答案不唯一） ；
函数与导数
13．（2024·广东深圳·校考一模）已知函数 ，a， ．若 在 处与
直线 相切．
(1)求a，b的值；
(2)求 在 （其中 为自然对数的底数）上的最大值和最小值．
【答案】(1) ，
(2) ，
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得 ，即可求出 、 的值；
（2）由（1）可得 的解析式，求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间与极小值，再求
出区间端点的函数值，即可得解；
【详解】（1）解： 函数 ， ，
函数 在 处与直线 相切，，解得 ；
（2）解：由（1）可得 ，
所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，在 处取得极大值即最大值，
所以 ，又 ，
所以
14．（2024·湖南邵阳·统考一模）已知函数 与其导函数 的定义域均为 ，且 与
均为偶函数，则下列说法一定正确的有（ ）
A． 关于 对称 B． 关于点 对称
C． D．
【答案】BC
【分析】根据已知得出 关于 对称.假设 关于 对称，求导即可得出矛盾；根据偶
函数的性质，得出 ，两边同时除以 ，即可判断B；根据已知，结合导函数得出
关于 对称， 也关于 对称，即可得出 ，
，进而推得 ，即可得出C项；根据已知，无法确定.
【详解】对于A项，因为 为偶函数，
所以 关于 对称.
若 关于 对称，则导函数 关于点 对称，
这与 关于 对称矛盾，所以A错误；
对于B项，因为 为偶函数，
所以 ，即 ，
所以 ，所以B正确；
对于C项，因为 为偶函数，
所以 为奇函数，
所以 关于 对称， 关于 对称，所以 .
又 关于 对称，所以 .
所以， ，
所以 ，故C正确；
对于D项，由A知， 关于点 对称， .
但 无法确定.故D错误.
故选：BC.
15．（2024·重庆·统考一模）已知函数 ，则 在 有两个不同零点
的充分不必要条件可以是（ ）A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】将问题转化为 ，令 ，利用导数讨论 的单调性，
求出 ，由 在 有2个不同零点的充要条件为 ，从而作出判断.
【详解】因为 ，
令 ，则 ，
令 ，
则 ，
注意到 ，令 ，解得 ，
所以当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
则 ，且当 趋近于 或 时， 都趋近于 ，
若 在 有2个不同零点的充要条件为函数 与 图象在第一象限有2个交点，
所以 ，即 有2个零点的充要条件为 ，
若符合题意，则对应的取值范围为 的真子集，
结合选项可知：A错误，BCD正确；
故选：BCD.
16．（2024·云南昆明·统考一模）若将函数 的图象平移后能与函数 的图象重合，
则称函数 和 互为“平行函数”.已知 ， 互为“平行函数”，则
（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】根据“平行函数”的定义，结合函数图象的变换关系求解即可.
【详解】因为 ，
，
而将函数 的图象平移后能与函数 的图象重合，
所以 ，经检验符合题意，
故选：B.
17．（2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模）已知函数 ，
其图象在点 处的切线方程为 ．
(1)求 的值；
(2)求函数 的单调区间和极值；
【答案】(1) ；
(2) 的增区间是 和 ，减区间是 ，极大值是 ，极小值是 ；
【分析】（1）由出导函数 ，计算 和 ，由切线方程列方程组解得 ；
（2）由 得增区间，由 得减区间，从而可得极值；
【详解】（1） ，
，
又图象在点 处的切线方程为 ，所以 ，解得 ；
（2）由（1）得 ，
或 时， ， 时， ，
所以 的增区间是 和 ，减区间是 ，
极大值是 ，极小值是 ；
18．（2024·吉林白山·统考一模）已知函数 （ 为常数），函数
．
(1)若函数 有两个零点，求实数 的取值的范围；
(2)当 ，设函数 ，若 在 上有零点，求 的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数确定函数的单调性，再根据函数有2个零点建立不等式求解即可.
（2）由 在 上有零点可得方程，据此可看作 在直线上， 可转化为点到原点
距离的平方的最小值，利用导数求最小值即可.
【详解】（1） ， ，
① 时， ，则 在 上单调递增， 至多有一个零点．
② 时，令 得 ，则 在 上单调递增；令 得 ，则 在 上单调递减；
若 有2个零点，则需满足 ，则 ，
又 ，且 ，
令 ，则 ，
令 ，得 ，故 在 上单调递增；
令 ，得 ，故 在 上单调递减；
∴ ，则 ，即 ，
则 ．
故 在 上有唯一零点，在 上有唯一零点，符合题意，
所以 为所求．
（2）设函数 在 上的零点为 ，则 ，
所以 在直线 上，
设 为坐标原点，则 ，其最小值就是 到直线 的距离的平方，
所以 ，
又 ，∴ ，令 ，则 ，
，∴ 在 上单调递减，
，即 ，所以 的最小值为 .
【点睛】关键点点睛：第（2）问中关键在于利用函数 在 上的零点为 ，得到方程
后转化为点 在直线 上，再利用 的几
何意义求解.
19．（2024·江西赣州·南康中学校联考一模）已知函数 ， ， ，则
（ ）
A．当 时，函数 有两个零点
B．存在某个 ，使得函数 与 零点个数不相同
C．存在 ，使得 与 有相同的零点
D．若函数 有两个零点 ， 有两个零点 ， ，一定有
【答案】ACD
【分析】利用导数研究函数的单调性与最值，结合零点存在性定理及同构式一一判定选项即可.
【详解】由 ，
令 ，令 ，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
即 ，
对于A项，当 时，则 ，
又易知 ，且 时， ，
根据零点存在性定理可知函数 在 和 内各有一个零点，故A正确；对于B项，当 时，此时 ，则 有一个零点，
当 时， ，则此时 无零点，
又易得 ，
则 ，函数 的零点个数与 的零点个数相同，故B错误；
对于C项，由A、B项结论可知：当 时， 有两个零点 ， ，
同时 有两个零点 ， ，
则根据 单调递增可知，存在唯一的 满足 成立，
有 ，
若C正确，因为 ，则只能有 ，即 ，
由题意易知： ，
令 ，则 时， ，
时， ，故 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 时， ， 时， ，
设 ， ，
因为 ， 时， ， ，
所以存在 ，使得 ，即 ，所以， ，
即存在 ，使得 与 有相同的零点 ，故C正确；
对于D项，由C项结论可知，此时 ，则由 ，故D正确.
综上：ACD正确.
故选：ACD
【点睛】难点点睛：可以先利用导数含参讨论函数的单调性与最值，结合零点存在性定理判定零点
个数，对于第二项，注意观察两个函数的解析式，利用同构式判定可零点之间的联系；第三项，构
造函数利用其单调性可判定同构式是否有解.
20．（2024·云南昆明·统考一模）已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，若 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导后对 分类讨论即可得；
（2）由函性质可得 时， ，则 ，再结合函数单调性进行分类讨论计算
即可得.
【详解】（1）函数 的定义域为 ，
，
①当 时，令 ，得 ，则当 时， ，
当 时， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
②当 时，令 ，得 或 ，
ⅰ）当 时，则当 或 时， ，
当 时， ，所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
ⅱ）当 时，当 时， ，所以 在 上单调递增，ⅲ）当 时，则当 或 时， ，当 时， ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
（2）当 时，令 ，则 ，
时， ，则 ，
故 ，则 ，
故当 时， ，
所以当 时， ，解得 ，
由（1）可知，当 时， 在 上的极小值为 ，
由题，则有 ，解得 ，
当 ，解得 ，
①当 时， ， ，符合题意，
②当 时， ， ，符合题意.
综上，当 时， 恒成立.
【点睛】恒成立问题解题思路：
（1）参变量分离：
（2）构造函数：
①构造函数，研究函数的单调性，求出函数的最值，解不等式即可；
②构造函数后，研究函数单调性，利用单调性解不等式，转化之后参变分离即可解决问题.
21．（2024·云南昆明·统考一模）已知函数 ， ，则
（ ）
A．当 时， 有2个零点B．当 时， 有2个零点
C．存在 ，使得 有3个零点
D．存在 ，使得 有5个零点
【答案】BCD
【分析】令 ，可得 ，结合图象分析方程 的根的分布，再结合图象分
析 的交点个数，即可得解.
【详解】由 的图象可知， 的值域为 ，
对于选项AC：令 ，
则 在 上恒成立，
可知 在 上单调递增，则 ，
即 当且仅当 等号成立，
令 ，若 ，可得 ，
令 ，
当 ，则 ，可知 ；
当 ，结合图象可知当且仅当 ，方程 有根，解得 ；
即 或 ，结合图象可知：
有1个根； 有2个根；
综上所述：当 时， 有3个零点，故A错误，C正确；对于选项B：令 ，若 ，可得 ，
令 ，即 ，
注意到 ，
由图象可知方程 有两个根为一根为 ，另一根不妨设为 ，
即 或 ，结合图象可知：
有1个根； 有1个根；
综上所述：当 时， 有2个零点，故B正确；
对于选项D：令 ，若 ，可得 ，
令 ，即 ，
令 ，解得 ，
由图象可设方程 有三个根为 ，且 ，
即 或 或 ，结合图象可知：或 有1个根； 有3个根；
综上所述：当 时， 有5个零点，故D正确；
故选：BCD.
【点睛】易错点睛：利用数形结合求方程解应注意两点
1.讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法
讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解．
2.正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意
去数形结合．
22．（2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模）已知函数 ．若
为偶函数， ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数对称轴可得 ，进而可知 在 上为增函数，令 ，利
用导数可得 ，以及 ，进而分析得解.
【详解】因为 为偶函数，则 ，
可知 的对称轴为 ，
又因为 均只有一条对称轴 ，可知 只有一条对称轴 ，则 ，可得 ，
所以 ，
当 时， ，
因为 在 上为增函数，则 在 上为增函数，
令 ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，
可得 ，即 ，则 ；
由 ，可得 ，则 ；
即 ，可得 ，所以 ．
故选：A．
【点睛】关键点睛：构造恰当的函数，过程中用到了函数 ，对应的不等式为
，以及变形的 ．此类不等式常用的有 ， ，
， ，加强记忆，方便碰到此类问题后直接使用．
23．（2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）已知函数 .
(1)设函数 ，讨论 的单调性；
(2)设 分别为 的极大值点和极小值点，证明： .
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求得 ，然后对 进行分类讨论来求得 的单调区间.（2）由极值点的知识求得 的关系式，由此将要证明的不等式转化为证明 ，
利用构造函数法，结合导数来证得不等式成立.
【详解】（1） ，
，
当 时， 在 上恒成立，则 在 上单调递增，
当 时， 单调递减，
单调递增，
综上，当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
（2） 分别是 的极大值点和极小值点，
，且对于 有 ，
且对称轴 ，所以 ，
，
所以 ，
综上，要证 ，
只需证 ，因为 ，
即证： ，
设 .
所以 ，
所以 在 上单调递增，所以 .
所以 成立.
【点睛】求解函数单调区间的步骤：（1）确定 的定义域；（2）计算导数 ；（3）求出
的根；（4）用 的根将 的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内
的符号，进而确定 的单调区间.如果导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分
类讨论要做到不重不漏.利用导数证明不等式，首先考虑将要证明的不等式进行转化，转化为可构
造函数并能利用导数进行证明的结构，从而来对问题进行求解.
24．（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知函数 ．
(1)证明曲线 在 处的切线过原点；
(2)讨论 的单调性；
(3)若 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析(3)
【分析】（1）利用导函数的几何意义求解即可；
（2）首先求函数的导数，根据判别式，讨论a的取值，求函数的单调区间;
（3）把问题转化为 ，利用一次函数单调性得 ，只需证
，利用导数研究单调性即可.
【详解】（1）由题设得 ，所以 ，
又因为 ，所以切点为 ，斜率 ，
所以切线方程为 ，即 恒过原点．
（2）由（1）得 ，
① 时， ，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减；
令 ，则
② 且 时，即 时， ， 在 上单调递增，
时， ，
，则 ，或 ，得
所以 在 上单调递增，在 上单调递增；，则 ，则 ，
所以 在 上单调递减，
③ 时， ，
则 ，则 ，所以 在 上单调递减；
，则 ，所以 在 上单调递增，
综上： 时， 在 上单调递增； 在 上单调递减；
时， 在 上单调递增；
时， 在 上单调递增，在 上单调递增； 在
上单调递减，
时， 在 上单调递减； 在 上单调递增，
（3）当 时， ，即 ，
下面证明当 时， ， ，即证 ，
令 ，因为 ，所以 ，只需证 ，
即证 ，令 ， ， ，
令 ， ，令 ， ， 与 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减， ， ，
所以存在 ，使得 ，即 ，
所以 ， ， ， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ， ， ，
令 ， 时 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 ， ，所以 在 上单调递减，
， ， ， ， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，综上所述 ．
【点睛】关键点点睛
第三问的关键是构造函数并连续求导判断单调性，把构造的函数与当 时的函数值比较，从而
得到结论.
25．（2024·河北衡水·河北冀州中学校考一模）已知函数 ，若
恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】 ，则 ， ，即，等价于 ，等价于 ，
构造函数 ，再根据函数 的单调性进而可得出答案.
【详解】
，
则 ，即 ，
即 ，即 ，
则 ，
等价于 ，
令 ，
因为 都是增函数，
所以函数 是增函数，
则 ，即为 ，
所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以 的取值范围是 .
故选：A.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参
数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用
分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
26．（2024·浙江·校联考一模）已知函数 有两个不同的零点 ．
(1)求实数 的取值范围；
(2)证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先求出导函数，当 时，不满足题意；当 时，求出函数的单调性，再求出
极大值 ，即可得解；
（2）要证 ，即证 ，构建函数
，即可得证，再证 ，即证 ，只需证 ，即
，构建函数 ，即可得证.
【详解】（1）由题意， ，
当 时， ，函数 单调递增，不满足要求；当 时，令 ，得 ，
+ 0
递增 极大值 递减
令 ，得 ．
设 ，于是 ，
所以 在 上单调递增，故 ，
故 ，
所以由零点存在定理可知，存在 ，使得 ；
存在 ，使得 .
故当 时，函数 有两个不同的零点 ．
（2）由题意，令 ，且不妨令 ，则有 （*）
两式相减可得， ，
要证 ．即证 ．
（**）
令 ，则（**）即为 ．设 ，则 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，即有
（*）两式子相加得， ，
则要证 即证 ，由上式只需证 ，
即证 （***）
令 （***） ．
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，即有 ．
故 .
【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的一般题设形式：
1.若函数 存在两个零点 且 ，求证： （ 为函数 的极值点）；
2.若函数 中存在 且 满足 ，求证： （ 为函数 的极值
点）；
3.若函数 存在两个零点 且 ，令 ，求证： ；
4.若函数 中存在 且 满足 ，令 ，求证： .
