文档文本内容
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专题03 导数及其应用
题型概览
题型01 导数的几何意义
题型02 利用导数研究函数的单调性
题型03 利用导数研究函数的极值、最值
题型04 利用导数研究函数的零点、方程的根
题型05 利用导数研究不等式证明及恒成立
题型06 三次函数的图象与性质
导数的几何意义
1．（2025·福建莆田·二模）曲线
在点
处切线的斜率为
，则
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】借助导数的几何意义计算即可得.
【详解】
，令
，则
，故
，当
时，
，即
的坐标为
.故选：B.
2．（2025·广东清远·二模）设曲线
在
处的切线与
轴交点的横坐标为
，
则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【分析】求导，由导数的几何意义求出切线方程，故
，结合对数运算法则得到答案.
【详解】由
，可得
，所以曲线
在
处的切
题型01
1
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线方程是
，令
得
，所以
.故选：A．
3．（2025·四川成都·二模）设函数
，若
的图象过点
，且曲线
在
处的切线也过点
，则
.
【答案】
【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求出切线方程，建立方程组求出
.
【详解】函数
，求导得
，则
，而
，因此
曲线
在
处的切线方程为
，依题意，
，所以
.
4．（2025·山东聊城·二模）过函数图像上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在
该点处的“法线”．若一条直线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数
与函数
的“公法线”方程为 ．
【答案】
【分析】根据“法线”的定义，结合导数的几何意义求出法线方程，由“公法线”的定义列出方程
组求解即可．
【详解】由
求得，
，则法线斜率为
，则
在
处的法线方程为
，由
求导得
，
则法线斜率为
，则
在
处的法线方程为
，由
2
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“公法线”得，
，
，解得
，所以“公法线”方程为
，
5．（2025·浙江金华·二模）函数
在点
，
处的切
线分别记为，
，且
，过点
作
轴的平行线与
交于点
，则
.
【答案】
/
【分析】切线平行得到
，再结合切线方程得到
点坐标，进而可求解.
【详解】
，
，因为
，
所以
，又
，所以
，所以切线方程：
，
切线
方程：
，将
，代入
，可得：
，又
，所以
，所以
点坐标为
，所以
，
又
，所以
，故答案为：
6．（2025·山东菏泽·二模）已知函数
在
处的切线与直线
平行．
(1)求
的值：
3
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(2)求
的极值．
【答案】(1)
；(2)极大值为
，无极小值.
【分析】（1） 利用导数的几何意义来求参数；
（2）利用导数来研究函数单调性，从而求解极值.
【详解】（1）由题意得：
，因为
在
处的切线与直线
平行，所以
，故
.
（2）由（1）得：
，定义域为
，
令
，得
，则
，
，
的变化情况如下表：
0
单调递增
单调递减
故
的极大值为
，无极小值.
7．（2025·安徽合肥·二模）已知函数
，曲线
在点
处的切
线方程为
．
(1)求
，
的值；
(2)讨论
的零点个数，并证明所有零点之和为0．
【答案】(1)
；
；(2)证明见解析
【分析】（1）求导得到
表达式，把
代入
，能得到含
的等式，算出
.再代入
到
算出另一个未知量b.
4
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（2）根据第（1）问结果得到
和
. 令
，对
处理，根据结果判断
在
不同范围的增减情况. 依据
正负，判断
在不同范围的增减，得出
最小是
. 算
出
小于
，再找两点使式子值大于
，确定有两个特殊点. 设一个特殊点为
，发现
也是，
所以和为
.
【详解】（1）求导得到
，根据函数在点
处的切线方程为
，得到
.把
代入
得
，因为
，所以
，即
.
，算出
.
（2）由第（1）问知
，
. 令
，求导得
.
当
，
，
在
递减；当
，
，
在
递增.
，
，所以存在唯一
使
，即
. 当
，
，
在
递减；当
，
，
在
递增，所以
.
，又
，
，根据零点存在定理，
在
和
各有一个零点，共两个零点. 设
是零点，
，经计算
，所以
也是零点，零点和为
.
利用导数研究函数的单调性
1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数
在
上单调递增的必要不充分条件为
题型02
5
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（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将函数
在
上单调递增转化为导函数
在
上恒成立，利用二次函数的性质
列不等式求解
的取值范围，再逐项判断即可.
【详解】由题意，函数
的定义域为
.由
在
上单调递增，得
在
上恒成立.则
，解得
.A 是充分不必要条件，B 是充分必要条件，C
是不充分不必要条件，D 是必要不充分条件，故选：D.
2．（2025·山东菏泽·二模）已知函数
在
上单调递增，则
的最
小值为（ ）
A．0
B．1
C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数
在
单调递增，即
在
恒成立，解得
，再构造函数
，通过导数求单调性即可求解.
【详解】由题意，函数
的定义域为
，
导函数为
，因为函数
在
单调递增，
所以
在
恒成立，所以
，即
，故
，
令
，则
，令
，则
，令
，则
，所以
在
单调递减，在
单调递增，所以
，所以
的最小值为.故选：B.
6
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3．（2025·山西晋城·二模）已知
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先根据指数对数的运算性质将
变形为
，再通过放缩得到
不等式
，进而利用同构函数
，将不等式转化为
，再利用
的单调性解不等式即可.
【详解】由
，得
，即
．因为
，
，所
以
，即
，所以
，且
．因为函数
在
上单调递增，又
，所以
，即
，故
，所以
A 正确，B，C，D 错误．故选：A．
4．（2025·河南焦作·二模）已知
且
，若函数
与
在区间
上都单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】D
【分析】利用换底公式得
，然后利用对数函数的性质即
可求解；对
求导，利用导数和指数函数的性质即可判定.
【详解】由题可知
，
因为
在区间
上单调递增，所以
，即
，
当
时，有
，即
，不成立，
当
时，有
，则
成立，所以
；
又
在区间
上都单调递增，所以
在
，
时恒成立，所以
在
时恒成立，因为
，所以
，
所以
或
，又
，所以
，故选：
D.
5．（2025·贵州毕节·二模）已知函数
是定义域为
的奇函数，
是
的导函数，
，当
时，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
8
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C．
D．
【答案】D
【分析】当
时，
，可得
在
上单调递增，结合函数
是定义域为
的奇函数，
，从而得到不等式，求出答案.
【详解】令
，则
，由题意知当
时，
，故
在
上单调递增，因为函数
是定义域为
的奇函数，所以
，所以
，所以
是定义域为
的偶函数，
所以
在
上单调递减，又因为
，所以
，所以
，
所以当
时，
，则
；当
时，
，则
；当
时，
，则
；当
时，
，
则
.则不等式
的解集为
.故选：D.
6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数
，则不等式
的解
集为 ．
【答案】
【分析】利用导数判断函数的单调性，再判断函数的奇偶性，即可求解不等式．
【详解】
的定义域为
，∵
，∴函数
是
上的增函数，∵
，∴函数
是奇函数，
∴由
得
，∴
9
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，
∴不等式
的解集为
．
7．（2025·山西吕梁·二模）若函数
，
，且
，满足
，则
的最大值为 .
【答案】
【分析】根据给定条件，求出函数的导数，结合题设可得函数
在
上单调递增，再利用
单调性建立恒成立的不等式求解.
【详解】由
，
，则
，由
，且
，满足
，则函数
在
上单调递增，又
，
则
恒成立，令函数
，
，则
，
当
时，
；当
时，
，所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，因此
，则
，解得
，所以
的最大值为
.
8．（2025·山西晋城·二模）已知函数
，
．
(1)若曲线
在点
处的切线与曲线
只有一个交点，求实数
的值；
10
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(2)若
在区间
上单调递增，求实数
的取值范围．
【答案】(1)0；(2)
【分析】（1）先求出曲线
在点
处的切线方程，再把切线与曲线
只有一
个交点，转化成方程
只有一个解，再分
和
两种情况讨论，即可求出
的值；
（2）把
在区间
上单调递增，转化成
在
上恒成立，再通过分离常数
，构造函数
，借助导数，求出
在
上的最大值，即可求出实数
的取值范围.
【详解】（1）由题意得，
，则
，又
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
．
因为曲线
在点
处的切线与曲线
只有一个交点，
所以方程
只有一个解，即
只有一个解，
当
时，方程
只有一个解，符合题意；
当
时，
，即
，
因为方程的
，所以方程
无解，综上所述，实数
的值为0．
（2）由
，可得
．因为
在
上单调递增，
所以
在
上恒成立，即
在
上恒成立．令
，
，则
，当
时，
，
单调递增；当
时，
，
11
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单调递减，所以
，则
，
，故实数
的取值范围为
．
9．（2025·辽宁丹东·二模）已知函数
．
(1)讨论
的单调性：
(2)若
恰有两个零点
，且
（i）求
的取值范围；
（ii）设
在定义域内单调递增，求出
与
的函数关系式，并证明
．
【答案】(1)答案见解析
(2)（i）
（ii）
，证明见解析
【分析】（1）首先求函数的导数
，结合函数的定义域，
讨论
的取值，即可求解函数的单调区间；
（2）（ⅰ）根据（1）的结果可知，函数的极大值
，解得
，再根据
零点存在性定理，即可求解；（ⅱ）根据题意可知，
恒成立，讨论函数的类型，即可求
解
与
的关系式，根据函数的单调性得
，整理后可得
，再根据
（1）的结果，即可证明.
【详解】（1）因为
的定义域为
，所以
，
当
时，
，
在
上单调递增，当
时，
，
在
12
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上单调递增，
，
在
上单调递减，
综上所述，当
时，
在
上单调递增，当
时，
在
上单调递增，
在
上单调减．
（2）（i）由（1）知，需满足
，
在
处取得极大值，且
，令
，显然
在
上单调递减，
所以
又因为
，
所以
在
和
上各有一个零点，且
综上所述，
．
（ii）
所以
恒成立，
当
时，
不能恒成立，所以
，
由均值不等式知：
，且
时等号成立
所以
，（*）
当因为
，则
，所以不等式（*）要成立，则
得
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此时
因为
，所以
整理得
，即
可得
，所以
，由（1）得，
．
利用导数研究函数的极值、最值
1．（多选）（2025·河北邯郸·二模）已知函数
．则下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数
在
上单调递减
C．函数
有极大值
D．函数
在
上的最小值为
【答案】BC
【分析】因
，则通过导数的定义可通过求
来判断A；通过求导，研究
的单调
性可判断BCD.
【详解】由题意可得
，因
，则
，故A 不正确；由
得
或
，由
得
，则
在
和
上单调递增，在
上单调递减，则
在
处取得极大值
，故B 正确，C 正确，
，则函数
在
题型03
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上的最小值为
，故D 不正确．故选：BC.
2．（2025·四川成都·二模）若函数
有极值，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】对函数
求导，设
，
，分
，
结合导数分析求
解即可.
【详解】由
，
，则
，
令
，
，则
，
当
时，
恒成立，则
，即函数
在
上单调递增，此时函数
无极值，不符合题意；
当
时，令
，得
，
当
时，
，则
，得函数
在
上单调递减，又
时，
；
时，
，所以存在
，使得
，则函数
存在极
值；
当
时，
，则
时，
；
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，则
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，
设
，
，则
，
当
时，
；当
时，
，所以函数
在
上单调递增，在
上
单调递减，又
，且
时，
，则
时，
，此时函数
无极值，不符合题意；当
时，
，且
时，
；
时，
，
此时函数
存在极值.综上所述，
的取值范围为
.故选：A.
3．（多选）（2025·广东肇庆·二模）已知函数
有两个极值点
，则
（ ）
A．
或
B．
C．存在实数
，使得
D．
【答案】BD
【分析】A，B 选项，两个极值点问题，转化为导函数两个异号零点问题；通过复合函数换元，将
导函数转化为对勾函数或二次函数，利用对勾函数和二次函数的图象与性质快速的求解；
C 选项，解法1：先利用整体代入法，消
，再利用单调性证明；解法2：利用
为极小值点，通
过
证明；D 选项，利用
消元，转化为
，利用单调性证明；
【详解】易知
，令
，则
.令
，则
.
设
，由对勾函数的图象可知：当
时，
与
的图象有两个交点，
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因为
，故
不成立，故A 错误；设
，则
①，
设
为①式的两根，则
，即
②，
③.
由③式可知
，所以
，则
，故B 正确；
解法1：由②式可知
，令
，
则
，则
在
上单调递减，所以
，故
，所以不存在实数
使得
，故C
错误；
解法2：
，
，
，可得
为
区间的极小值点，则必有
，故C 错误；由③式可知
，所以
，
要证
，
仅需证明
成立.令
，则
.则
在
上单调递增，所以
，故
，故D 正确.故选：BD.
4．（2025·辽宁鞍山·二模）已知函数
.
(1)当
时，证明：
；
(2)若
存在极大值，且极大值大于0，求
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）求导后分析单调性，得到最大值即可；
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（2）求导后，分
和
讨论单调性和极值，当
时，构造函数
，由导数分析单
调性解抽象函数不等式可得.
【详解】（1）
时，
，
，
时，
；
时，
，所以
在区间
上单调递增，
上单调递
减，所以
.
（2）
，
时，
，
在
上单调递增，无极值；
时，
时，
；
时，
，所以
在区间
上单
调递增，
上单调递减，所以
的极大值为
，令
，则
，所
以
在区间
上单调递增，由已知
，所以
，解得
，综上，
.
5．（2025·河南新乡·二模）已知函数
.
(1)若
在其定义域内单调递增，求
的取值范围；
18
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(2)若
，证明：
，
；
(3)若
在
上有两个极值点，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用函数在定义域内单调递增则函数的导数大于或者等于零恒成立，求解分离参数
求解即可
（2）构造函数
，求两次导，得到这个函数导函数的单调性，从而得到
，则
在
上单调递增，得到
，即当
时，
，所以
，不等式得证.
（3）分情况讨论，当
时，
，则
在
上单调递减，
无极值点.当
时，由（1）知
在
上单调递增，
无极值点.
当
时，令
，求导，对极值点的大小进行分析，再结合零点存在性定理取点
证明有两个极值点即可.
【详解】（1）因为
在
上单调递增，所以
在
上恒成立，即
在
上恒成立.设
，则
，则
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
，则
，即
的取值范围为
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.
（2）证明：若
，则
.设
，则
，
，则
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，则
在
上单调递增，所以
，即当
时，
，所以
，不等式得证.
（3）
.当
时，
，则
在
上单调递减，
无极
值点.当
时，由（1）知
在
上单调递增，
无极值点.当
时，令
，令
，得
，则
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
，由（2）知
，则
，所以
恰有两个零点
，
，
令
，得
，令
，得
或
，所以
在
上单调递
增，在
上单调递减，在
上单调递增，从而
有两个极值点.综上，
的取值范围是
.
6．（2025·河南焦作·二模）已知函数
．
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(1)当
时，证明；
；
(2)当
时，若函数
在区间
内有且仅有一个极值点，求实数
的取值
范围．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）先结合
将
放缩，再构造函数证明函数的最小值大于等于零.
（2）将在区间
内有且仅有一个极值点，转化成导函数在区间
内有且仅有一个变号零
点，再结合不同的
值去看是否满足.
【详解】（1）要证
，即证
．
当
时，
，∴我们可以考虑证明
，令
，则
，易知
在
上单调递增，且
，则当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，∴
是
的极小值点，也是最小值
点，
故当
时，
，即
，因此，当
时，
．
（2）由题可知
，则
．
若
，当
时，
，∴
，则
在区间
上单调递增，没
有极值点，不符合题意，舍去．
若
，设
，则
在区间
上恒成立，∴
在区间
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上单调递增，即
在区间
上单调递增，又
，∴
在
区间
上有唯一的零点
，当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，∴
在区间
内有唯一的极值点，符合题意．综上，实数
的
取值范围是
．
7．（2025·江苏南通·二模）已知函数
的最大值为
，设函数
的图象在点
处的切线为．
(1)求的值；
(2)证明：当
时，切线与函数
的图象有另一交点
，且
.
【答案】(1)0；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用导数求出函数
的最大值，进而求出的值.
（2）由（1）的信息求出切线的方程，再构造函数
，利用导数结合零点存在性定理证得
还有小于
的零点即可.
【详解】（1）函数
的定义域为
，求导得
，当
时，
；
当
时，
，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，而函数
的最大值为
，则
，解得
，所以的值为0.
（2）由（1）知，
，
，则
，
22
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于是切线的方程为
，即
，令
，
，
求导得
，令
，求导得
，
当
时，
，函数
在
上单调递减；
当
时，
，函数
在
上单调递增，
由
，得
，而
，函数
在
上的图象不间断，
则存在
，使得
，且当
或
时，
，当
时，
，
函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减，又
，
当
时，
，于是函数
在
上无零点，
，而
，函数
在
上的图象不间断，
因此存在
，使得
，
所以当
时，切线与函数
的图象有另一交点
，且
.
8．（2025·山西吕梁·二模）已知函数
.
(1)求函数
的图象在
处的切线方程；
(2)（i）函数
是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，请说明理由；
（ii）证明：
（
，且
）.
【答案】(1)
(2)（i）函数
不存在极值，理由见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
23
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（2）（i）先利用导数分析函数的单调性，进而判断是否存在极值；
（ii）利用函数单调性可得
，进而求证即可.
【详解】（1）由
，得
，则
，又
，
所以函数
的图象在
处的切线方程为
，即
.
（2）（i）函数
不存在极值，理由如下：由
，解得
且
，
所以函数
的定义域为
，由
，则
，
令
，
，则
，当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，所以
，
即
，所以
在
和
上单调递减，则函数
不存在极值.
（ii）由（i）知，函数
在
上单调递减，则对任意
，
，即
，所以当
时，
，则
，即
，
24
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所以
，
，
，…，
，
以上式子相加得，
，
即
（
，且
且
时，等号成立），
9．（2025·江西新余·二模）已知函数
.
(1)若
，求
在
处的切线方程；
(2)设函数
，讨论
在区间
上的单调性；
(3)若
存在两个极值点
，
，且
，证明：
.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求解；
（2）求导，分
，
两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间；
（3）由（2）结合零点存在性定理可得
在
和
上各有一个零点
，
，且
，
是
的两个极值点，再将极值点代入导函数中化简结合已知可得
，
，通过构造函数
，证明
，即得
，得证.
【详解】（1）当
时，
，则
，所以
，
，
25
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所以切线方程为；
，即
.
（2）由
，
，
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，令
.
当
时，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减.
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，
在
上单调递减.
（3）由（2）知若
存在两个极值点，则
，且
，
由
过原点的切线方程为
，则
，则
，即
，
所以
，
，∴
在
和
上各有一
个零点
，
，且
时，
，
单调递减；当
时，
，
单
调递增；当
时，
单调递减.∴
，
是
的两个极值点.
，
26
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且
，
∴
，而
，∴
，
令
，则
，
所以
在
上单调递增，故
，所以
，令
，
可得
，即
，即
，
，
.
10．（2025·重庆·二模）已知函数
.
(1)设过点
且与曲线
过此点的切线垂直的直线叫做曲线
在点
处
的法线. 若曲线
在点
处的法线与直线
平行，求实数
的值;
(2)当
时，若对任意
，不等式
恒成立， 求
的最小值;
(3)若
存在两个不同的极值点
且
，求实数
取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用导数求切线斜率即可得到等式求值；
（2）利用同构函数思想，结合函数的单调性，再用分离参变量求解即可；
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（3）先分离参变量，再利用韦达定理消元，最后化成单变量函数进行最值分析即可求解.
【详解】（1）由
得：
，则
，又由直线
的斜率为
，根据题意可知：
；
（2）当
时，不等式可化为
，
变形为
同构函数
，求导得
，所以
在
上是增函数，而原不等
式可化为
，根据单调性可得：
，
再构造
，则
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
当
时，
，则
在
上单调递减，
所以
，即满足不等式成立的
,所以
的最小值为
；
（3）因为
存在两个不同的极值点
所以由
可得：
，
，因为
，而
的对称轴是
，
所以可得
，根据对称性可得另一个零点
，此时有
，
故
，又由
可得
，
28
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而
令
，
则
，
，即
，
，则
，
即
在区间
上单调递减，
所以有
，即
，所以实数
取值范围
.
导数研究函数的零点、方程的根
1．（2025·云南曲靖·二模）已知函数
，若该函数有且只有一个零
点，则
的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意可说明0 为
的唯一零点,然后求函数的导数，并令导数等于0，求得
，根据导数的正负判断函数的单调性，说明
，进而说明
的最
小值为
，从而可得
，结合对数的运算，求得答案．
【详解】由题意知函数
有且只有1 个零点，而
，故0 即为
的唯一零
题型04
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点，因为
，且
，故
，所以
有唯一解
，令
，则
，
对于任意
，都有
，故
在R 上单调递增，
则
时，
，
时，
，
故函数
在
时单调递减，在
时单调递增，故
；
若
，当
时，
，
，
则
，因此当
且
时，
，
此时
在
内有零点，则
至少有两个零点，与题意不符；
故
，则
的最小值为
，因为由题意知0 为
的唯一零点，故
，
即
，则
，即
值为1.故选：A
2．（2025·广东广州·二模）已知函数
若函数
恰有2 个零点，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】当
时，对函数
求导，对参数
的取值进行分类讨论，大致画出分段函数的
图象，再由数形结合即可得出实数
的取值范围.
【详解】易知当
时，函数
单调递增，且
;当
时，函数
，易知
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,显然当
时，
恒成立，即
在
上单调递增；
当
时，
；当
时，
，此时函数
的图象大致如下图所示：
若函数
恰有2 个零点，即函数
的图象与
有两个交点，由上图可知
；
当
时，根据对勾函数性质可知
，当且仅当
时，等号成立；
此时其图象大致如下图：
显然函数
的图象与
没有交点，不合题意；综上可知，实数
的取值范围是
.故选：B
3．（2025·江西鹰潭·二模）已知函数
，若方程
有三个不同根，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】探讨给定函数的对称性及单调性，脱去法则“f”，构造函数，利用导数探讨函数的性质并
作出图象，数形结合求得答案.
【详解】函数
的定义域为R，且在R 上单调递增，
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，即
，
方程
，即
，于是
，即
，
令
，依题意，直线
与函数
的图象有三个不同的交点，
求导得
，当
时，
，
当
时，
，函数
在
上递减，在
上递增，
当
时，
取极小值
；当
时，
取极大值为
，
而当
或
时，恒有
，在同一坐标系内作出直线
与函数
的图象，
观察图象得
，原方程有三个不同实根，所以实数
的取值范围为
，故选：A
4．（2025·辽宁·二模）设函数
与函数
，当
，
曲线
与
交于一点
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【分析】由题意得
，即
，构造函数
，则
，求出
单调区间和最值，再利用其单调性可求得结果.
【详解】由题意得
，即
，所以
32
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，所以
，
令
，则
，
，
由
，得
，由
，得
，所以
在
上递减，在
上递增，
所以
，所以当
时，
，当
时，
，
当
时，
，所以
，所以
，所以
，因为
在
上递增，所以
，所以
.故选：D
5．（2025·山东·二模）若函数
与
的图象在第一象限内有公共点，则实数
的取
值范围为 .
【答案】
或
【分析】将题设条件转化为函数
与函数
的函数图象有交点，再
利用导数工具研究函数
的图象性质即可得解.
【详解】若函数
与
的图象在第一象限内有公共点，则方程
在
上有解，即方程
在
上有解，显然
不是方程的解，所以方程
在
上有解，则函数
与函数
的函数图象有交点，又
，所以
时，
，
时，
，所以函数
在
和
上单调递减，在
上单调递增，又
时
，
时
；
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时
，
；
时
；所以
或
.
6．（2025·内蒙古包头·模拟预测）已知函数
，若函数
所有零点的
乘积为1，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据函数
的零点可得
，再结合指、对数性质分析可知方程
有根，
方程
无根，结合图象即可得结果.
【详解】当
时，可得
；当
时，可得
，当且仅当
时，等号成立，即函数
有且仅有1 个零点1，若函数
有零点，则
，
显然
，可得
，假设方程
有根，可知方程
有两个不相等
根，设为
，且
，则
，可得
，即
，假设方
程
有根，可知方程
有且仅有1 个根，设为
，结合题意可知：方
程
有根，方程
无根，即
与
无交点，与
有2 个交点，
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结合图象可知：
或
，解得
或
，所以实数
的取值范围是
.
7．（2025·江西九江·二模）已知函数
恰好有3 个零点，则实数
的取值范
围是 .
【答案】
【分析】解法一：先通过等价变形将函数
的三个零点转化为函数
有三个零点；
再根据奇函数的定义得出函数是
上的奇函数，进一步将条件转化为
在
上有一个零点；
最后求出
，分类讨论，利用导函数和零点存在性定理判断出函数的单调性即
可求解.
解法二：先根据
，
为
上偶函数，将题目条件转化为直线
与函数
的图象在
上有一个交点；再利用导数判断出函数
在
上单调性，求出函数
值域，即可求解.
解法三：先根据题意构造函数
，
，
与
都是
上的奇函数，将题
目条件问题转化为函数
与
在
上恰有一个交点；再根据函数
在
上单调
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递增及导数的几何意义，数形结合即可解答.
【详解】解法一：
.
，
的零点等价于函数
的零点.
又
函数
定义域为
，且
是
上的奇函数，
只需要考虑
在
上有一个零点即可.
又
函数
在
上单调递增，函数
在
上单调递增，
当
时，
，
函数
在
上单调递增，
在
上单调递减，
的值域是
.当
时，
，此时
在
上单调递增，
，
无零点，不符合题意；当
时，
，此时
在
上单调递减，
，
无零点，不符合题意；当
时，由零点存在性定理知，必存在唯一的正数
，使
.
当
时，
，此时
在
上单调递增，
，
；
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当
时，
，此时
在
上单调递减；又
，
，
，
，
在
上存在唯一零点，符合题意.
综上所述，实数
的取值范围是
.
8．（2025·浙江金华·二模）已知函数
.
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)若方程
有且只有一个实数根，求实数
的取值范围.
【答案】(1)极小值为，无极大值.
(2)
或
.
【分析】（1）把
代入，利用导数求出函数的极值.
（2）求出函数
，利用导数探讨其单调性及极值，再按
分类处理函数的零点为1 个
的条件求解.
【详解】（1）当
时，函数
的定义域为
，
求导得
，当
时，
，当
时，
，
所以当
时，函数
取得极小值
，无极大值.
（2）函数
的定义域为
，求导得
，
令
，则
，
当
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
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当
时，函数
取得极小值
，
①若
，当
时，
，函数
在
有唯一零点
；
当
时，
，函数
在
无零点，
因此当
时，
有唯一零点；
②若
，当
从大于0 的方向趋近于0 时，函数
的值趋近于负数
，
即当
时，
，函数
在
上无零点；
当
从大于
的方向趋近于
时，函数
的值趋近于正无穷大，
当
趋近于正无穷大时，函数
的值趋近于正无穷大，
则当且仅当
，
有唯一零点，由
，得
，即
，
令
，求导得
，当
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，因此
，
则方程
有唯一解
，于是
时，
有唯一零点，
所以实数
的取值范围为
或
.
9．（2025·陕西渭南·二模）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线与坐标轴围成的三角形的面积.
(2)若函数
有两个零点，求实数
的取值范围.
(3)若不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
；
(2)
；
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(3)
.
【分析】（1）利用导函数求出切线斜率，结合切点坐标得到直线的点斜式方程，再计算与坐标轴
围成三角形的面积；
（2）利用分离参数法，将零点个数转化成直线与函数图象交点个数，利用导函数分析函数单调性，
得出函数的大致图象，数形结合即可得出结论；
（3）根据（2）小问中的结论，分类讨论得到实数
的取值范围，最后取交集即可.
【详解】（1）当
时，
，所以
.
又
，所以
，则切线方程为
.
令
得
，令
得
，
所以切线与坐标轴围成三角形的面积为
.
（2）由
得
，显然
不是方程的解，所以
.
设函数
，则
，
令
得
或
；令
得
或
.
所以
在
上单调递增，在
和
单调递减，在
上单调递增.
又当
时，
，当
时，
，
当
时，
，当
时，
.
所以
的大致图象如图：
39
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若函数
有两个零点，则直线
与函数
的图象有两个交点，
由图象可知，
或
，即
的取值范围为
.
（3）由
得
，显然当
时，
不等式恒成立.
当
时，有
恒成立，由（2）可得
；
当
时，有
恒成立，由（2）可得
.
综上，
，即
的取值范围为
.
10．（2025·江西南昌·二模）已知
.
(1)当
时，求函数
的单调区间：
(2)当
时，求证：
；
(3)当
，试讨论函数
的零点个数.
【答案】(1)减区间为
，增区间内为
(2)证明见解析
(3)答案见解析
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【分析】（1）当
时，利用函数的单调性与导数的关系可求出函数
的增区间和减区间；
（2）当
时，分析得出
，令
，可得
，结合（1）中的结
论可证得
；
（3）解法一：对实数
的取值进行分类讨论，利用导数分析函数
的单调性，结合零点存在定
理可得出函数
在不同情况下的零点个数；
解法二：求得
，令
，令
，对实数
的取值进行分类讨论，利用导数分析函数
的单调性，结合零点存在定理可
得出函数
在不同情况下的零点个数；
解法三：将函数解析式变形为
，设
，则
，则有
，设
，则
，对实数
的取值进行
分类讨论，分析
的符号变化，可得出
的单调性，再结合零点存在定理可得出函数
的零点个数.
【详解】（1）当
时，
，
，
当
时，
，则
在
为增函数；
当
时，
，则
在
为减函数；
故当
时，函数
的减区间为
，增区间内为
.
（2）因为
，当
时，
，所以
，
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当
时，
，所以
，所以
，
设
，由（1）可知
，所以不等式
成立.
（3）解法一：
，
设
，此时
，
则
，
因为
，所以
，
则
在
为减函数，
，
①当
时，
，结合
在
为减函数，
当
时，
在
为增函数；
当
时，
在
为减函数；
所以
，所以
，即
在
上为减函数，
又因为
，所以
只有一个零点；
②当
时，
，
所以存在
，使得
，
当
时，
，所以
在
上增函数；
当
时，
，所以
在
上减函数.
因为
，则
，当
，
使得
，
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所以
时，
，即
，即
在
为减函数；
当
时，
，即
，即
在
为增函数；
当
时，
，即
，即
在
为减函数；
当
，又因为
，所以
.
所以
使得
，
在
为减函数，所以
，所以
存在两个零点.
综上所述：当
时，函数
有1 个零点；当
函数
有2 个零点.
解法二：
，
设
，此时
，
则
，
设
，所以
，
①当
时，此时
，则
，此时
，
当
时，
在
为增函数；
当
时，
在
为减函数；
所以
，所以
，即
在
上为减函数.
又因为
，所以
只有一个零点；
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②当
，所以
，设
.因为
，
因为
时，所以存在
，使得
当
时，
，即
，所以
在
上增函数；
当
时，
，即
，所以
在
上减函数.
因为
，则
，当
，
使得
，
所以
时，
，即
，即
在
为减函数；
当
时，
，即
，即
在
为增函数；
当
时，
，即
，即
在
为减函数；
当
，又因为
，所以
.所以
使得
，
在
为减函数，所以
，所以
存在两个零点.
综上所述：当
时，函数
有1 个零点；当
函数
有2 个零点.
解法三：
，设
，则
，
则有
，
，设
.
因为
，所以
，则
在
为减函数，
，
①当
，即
，结合
在
为减函数
当
时，
在
为增函数；当
时，
在
为
减函数；所以
，所以
，即
在
上为减函数.又因为
，所以
只有一个零点；
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②当
时，
，所以存在
，使得
，
当
时，
，所以
在
上增函数；当
时，
，所以
在
上减函数.因为
，则
，当
，
使得
，所以
时，
，即
，即
在
为减
函数；当
时，
，即
，即
在
为增函数；
当
时，
，即
，即
在
为减函数；
当
，又因为
，所以
.所以
使得
，
在
为减函数，所以
，所以
存在两个零点.
综上所述：当
时，函数
有1 个零点；当
函数
有2 个零点.
导数研究不等式证明及恒成立
1．（2025·江苏南通·二模）已知函数
是定义在
上的偶函数，
是
的导函数，
，若
在
上恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先对
求导，得出
，再利用奇偶性构造关于
和
的
方程组，进而求出
的解析式，化简题中式子并参变分离得出
，再构造函数
，
通过求导求其最小值即可.
题型05
45
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【详解】因
为偶函数，则
①，对两边求导得，
②，
在
③中，用
代替
得
④，由①②④可得，
⑤，联立③⑤得，
，则
化简为，
，令
，则
，则
得
；
得
，则
在
上
单调递减，在
上单调递增，则
的最小值为
，故
，则实数
的取值范
围是
.故选：A
2．（2025·重庆·二模）已知函数
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分
、
和
三种情况讨论，当
时，利用导数法求得
，
从而将题意转化为
恒成立的问题，构造函数，利用导数法研究单调性，即可求解
的
取值范围.
【详解】当
时，
，符合题意；当
时，存在
，使得
，即
，显然不满足题意；当
时，由
得
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
所以
，由
得
，
设
，则
，所以
在
上单调递减，又
46
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，所以
，综上，
，即
的取值范围是
.故选：B
3．（2025·陕西渭南·二模）若关于
的不等式
有且只有一个整数解，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】当
时，解得：
，不满足条件；故
，关于
的不等式
可得
，所以
，即
，方程
的
两根为
，当
时，不等式可化为
，
，
解集为：
，不满足条件；当
时，不等式可化为
，当
时，则
，即
，不等式的解集为：
，要使不等式有且只有一个整数解，则
，又因为
，不满足条件；当
时，则
，即
，不等式的解集为空集，
当
时，则
，即
，不等式的解集为
，要使不等式有且只有一个整数解，
则
，解得：
，故实数
的取值范围是：
.故选：B.
4．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数
在
上单调，且
47
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在
上恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题可得函数
在
上单调递减，由
在
恒成
立可得
恒成立，据此可得答案.
【详解】因函数
在
上单调，又
在
上单调递减，
则函数
在
上单调递减，则
.则
时，
，又
，则
恒成立，
则
.故选：B
5．（2025·江西萍乡·二模）已知定义在
上的函数
满足：
，且
，都有
恒成立，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】令
，得到
，通过换元
，
，求
的最大值即可.
48
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【详解】令
，原不等式可化为：
，代入
，化简可得：
，令
，得到
，
再令
，可得：
，由对勾函数的单调性，可知
在
上单调递减，所以当
时，
取得最小值
，所以
的最大值为
，也即
的最大值为
，所以
的最大值为
，故选：A
6．（多选）（2025·安徽滁州·二模）已知函数
，
，
，则（ ）
A．
和
的图象有且只有一条公切线
B．若
恒成立，则整数
的最大值为
C．若、均大于，则
D．关于
的方程
在区间
内有解
【答案】BC
【分析】设直线
为函数
和
的图象的公切线，设直线
切函数
于点
，切函数
于点
，利用导数的几何意义可得出关于
、
的方程，
解方程组可判断A 选项；利用导数求出函数
最小值的取值范围，可判断B 选项；利用作差法
49
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可判断C 选项；利用导数分析函数
、
在
上的函数值符号，可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，设直线
为函数
和
的图象的公切线，设直线
切函
数
于点
，切函数
于点
，因为
，则
，所以，
，切线方程为
，即
，因为
，则
，所以，
，
切线方程为
，即
，所以，
，
消去
可得
，解得
或
，所以，
和
的图象有且只有两条
公切线，A 错；对于B 选项，若
，则
，因为函数
，其中
，则
，因为函数
、
在
上均为增函数，则函数
在
上为增函数，因为
，
，
所以，存在
，使得
，即
，可得
，且当
时，
，当
时，
，
所以，函数
的减区间为
，增区间为
，所以，
50
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，
由对勾函数的单调性可知，函数
在
上单调递减，
所以，
，由题意可得
，故整数
的最大值为
，B 对；
对于C 选项，
，
因为、
，则
，
，所以，
，
所以，
，
所以，
，C 对；对于D 选项，当
时，
，则
，
所以，函数
在
上单调递增，则
，
，则
对任意的
恒成立，所以，
在
单调递减，则
，
当
时，对任意的
，
，所以，关于
的方程
在
区间
内无解，D 错.故选：BC.
7．（2025·广东深圳·二模）已知函数
，函数
图象上的一点
，
按照如下的方式构造切线
：在点
处作
的切线
，记切线
与x 轴交点
的横坐标为
．
51
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(1)写出
与
的递推关系式；
(2)记
的零点为r，且
．
（i）证明：当
时，
；
（ii）证明：对于任意的
，都有
．
【答案】(1)
；(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义求出
在点
处的切线方程，令
即可求解；
（2）（i）易知当
时
，当
时，利用导数和零点的存在性定理证明
在
上单调递增，进而
，即可证明；（ii）由（i）知当
时
，
令
，只需证
.令
（
），利用3 阶导数研究
的单调性可得
，结合累乘法计算即可证明.
【详解】（1）
，
，则函数
在点
处的切线方程为
，令
，得
．
（2）（i）当
时，
，当
时，
，
单调递
增，
52
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又因为
，所以
有唯一的零点
，其中
．
令
，则
，当
时，
，
故
在
上单调递增．因为
，所以
．
因为
在
上单调递增，所以当
时，
，又因为
，
所以
，即证得：当
时，
．
（ii）由（i）知：因为
，从而
，进而
，
由此递推可知：当
时，
，令
，
下面证明：对于任意的
，都有
成立，
即
．
因为
，所以只需证明
，
即
，令
，其
中
，则
，因为
，
所以
，故
，从而
在
上单调
递增，可知
，故
在
上单调递增，因此
，因为
，故
，即对于任意的
，都有
53
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成立，由此可得：
，所以对于任意的
，都有
．
8．（2025·山东滨州·二模）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
时，
恒成立，求实数
的值．
【答案】(1)答案见解析
(2)1
【分析】（1）求出导数，分类讨论，利用导数判断单调性；
（2）根据
的单调性求得
的最小值，则将恒成立问题转化为
，构造函数
，利用导数研究其值域得
，进而得
，即可得解.
【详解】（1）由题意
的定义域为
，
，
当
时，
恒成立，
在
上单调递减，
当
时，由
解得
，由
解得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
综上所述，当
时，
在
上单调递减，
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
（2）由（1）知当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
54
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所以函数
的最小值为
，所以
恒成立，
整理得
，令
，则
，
由
解得
，由
解得
，所以
在
上单调递增，在
上单调
递减，所以
，又
，所以
，所以
.
9．（2025·天津南开·二模）已知函数
.
(1)求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)解关于
的不等式
（其中
为
的导数）.
【答案】(1)
(2)
或
.
(3)
【分析】（1）由导数的几何意义求出切点处的导数，再由点斜式方程写出切线方程即可；
（2）利用导数研究
的单调性，求出
，转化为解不等式
即可；
（3）转化为
，通过分类讨论构造函数，研究函数的性质解不等式.
【详解】（1）
，可得
，又
，所以曲线
在点
处
的切线方程为
.
（2）当
时，
，
，所以
，
在
上单调递减，
55
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当
时，令
，因为
，所以
在
上单调递增，
所以
，即
，所以
在
上单调递增，所以
，
若
恒成立，则
，整理得
，解得
或
.
（3）由
得
，即
，
当
时，
，不等式
成立；
当
时，
，不等式
化为
，
当
时，不等式的左边
右边，所以
，
①当
时，令
，所以函数
在
上单调递减，
所以
，即
，令
，则
单调递减；
单调递增，所以
，所以
，故
，
②当
时，不等式
化为
，令
，
，函数
在
上单调递增，所以
，由
，得
，所以不等式
成立，综上，不等式
的解集为
.
三次函数的图象及性质
题型06
56
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1．（2025·安徽淮北·二模）函数
的图像如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定的函数图象，确定零点及极值点情况，再结合函数式、导函数式分析判断作答.
【详解】观察图象知，
，函数
有3 个零点，设3 个零点为
，
于是
，当
时，
，而此时
，因此
，又
，函数
有两个极值点
，且
，即
有两个
不等实根，
，因此
，所以
.故选：B.
2．（2025·河南·二模）若函数
在区间
内仅有一个零点，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】法1：确定函数单调性，进而可求解，法2：分参，得到
，确定
的单调性，进而可求解.
【详解】法1：因为
，令
，解得
或
；令
，解得
，所以
在
上单调递增，要满足函数
在区间
内仅有一个
零点，则
，
，解得
.故选：C.
57
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法2：由题意，关于
的方程
在
内仅有一个解，而
，
，
令
，解得
或
；即
在
上单调递增，原问题等价于
.故选：C
3．（多选）（2025·辽宁·二模）已知函数
，则（ ）
A．
有三个零点
B．
，使得点
为曲线
的对称中心
C．
既有极大值又有极小值
D．
，
，
【答案】BCD
【分析】结合零点的定义分析可得当
时，函数
只有2 个零点，即可判断A；利用
检验判断B；求导，分析函数
的单调性即可判断C；举特例判断D.
【详解】对于B，对于A，令
，解得
或
，当
时，函数
只有2 个零点，故A 错误；对于B，
，
则
，
又
，要使点
为曲线
的对称中心，
则对
，
，此时
，所以当
时，点
为曲线
的对称中心，故B 正确；对于C，由
，则
58
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，由于
，则方程
有两个不相等的实数根
，设
，则
或
时，
；
时，
，
则函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减，则函数
在
取得极
大值，在
取得极小值，故C 正确；对于D，当
时，
，
此时
，
，故D 正确.故选：BCD.
4．（多选）（2025·辽宁丹东·二模）已知函数
在
处有极值，则（ ）
A．
在
上单调递增
B．
的极大值为
C．直线
是曲线
的切线
D．
【答案】ACD
【分析】利用极值点可求得
，由此可求导得到
单调性和极大值，知AB 正误；利用导数
几何意义可确定C 正确；根据解析式可求得D 正确.
【详解】
，
在
处有极值，
，解得：
；
当
时，
，
，
当
时，
；当
时，
；
在
，
上单调递减，在
上单调递增；对于A，当
时，
，则
在
上单调递增，A 正确；
59
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对于B，
的极大值为
，B 错误；对于C，令
，解得：
或
，又
，
在
处的切线为
，C 正确；
对于D，
，D 正确.故选：ACD.
5．（多选）（2025·山东临沂·二模）设函数
，则（ ）
A．
有3 个零点
B．过原点作曲线
的切线，有且仅有一条
C．
与
交点的横坐标之和为0
D．
在区间
上的取值范围是
【答案】BC
【分析】利用导数研究函数的性质，如切线，单调性，从而确定零点和值域，通过直接解方程求根
判断图象交点横坐标之和即可.
【详解】
，
0
0
单调增
单调减
单调增
，所以
有2 个零点，A 不正确；
对于选项B：设切点为
，则切线方程为
，
代入原点，得
，
故切线有且仅有一条，正确；对于选项C：
或
，
若
，根据对称性知，根之和为0，若
，方程只有一个根为0，故正确；
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对于选项D：
，又
，故
在区间
上的取值范围是
，错误.故选：BC.
6．（多选）（2025·辽宁鞍山·二模）已知函数
满足
，
，则
（ ）
A．
B．对于任意
，
有三个零点
C．对于任意
，
有两个极值点
D．存在
，使得点
为曲线
对称中心
【答案】AB
【分析】根据
，
即可判断A；由A 选项知，
，利用导数求出函
数的单调区间，再根据零点的存在性定理即可判断B；举出反例，结合极值点的定义即可判断C；
要使点
为曲线
对称中心，则
为定值，由此即可判断D.
【详解】对于A，由
，
，可得
，即
，
故A 正确；对于B，由A 选项可得
，则
，则
，
当
时，令
，则
，令
，则
或
，
令
，则
，所以函数
在
61
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上单调递增，在
上单调递减，由
，可得
，而
，所以
，又当
时，
，当
时，
，
所以函数在
和
都存在一个零点，所以对于任意
，
有三个零点，故B 正确；对于C，当
时，
，则
，
由
，得
恒成立，所以函数
在
上单调递增，所以函数
无极值点，故C 错误；对于D，要使点
为曲线
对称中心，则
为定值，而
，
因为
为定值，所以
，解得
，所以不存在
，使得点
为曲线
对称中心，故D 错误.
7．（多选 ）（2025·山西吕梁·二模）已知函数
，则下列说法正确的是
（ ）
A．若函数
有两个极值点
、
，则
B．函数
至少有一个极值，且极小值为
62
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C．
使得方程
有三个不相等的实数根
D．若函数
的极大值点为
，且
，则
【答案】ABD
【分析】对实数
的取值进行分类讨论，利用导数分析函数
的单调性与极值，逐项判断即可.
【详解】因为
，则该函数的定义域为
，且
，
对于A 选项，若函数函数
有两个极值点
、
，则方程
有两个不等的实根
、
，
所以，
，由韦达定理可得
，A 对；对于B 选项，当
时，
，则
，
由
可得
，由
可得
，此时，函数
的减区间为
，增区间为
，此时，函数
的极小值为
；当
时，由
可得
或
，由
可得
，此时，函数
的增区间为
、
，减区间为
，
此时，函数
的极小值为
；当
时，由
可得
，由
可得
或
，此时，函数
的减区间为
、
，增区间为
，此时，函
数
的极小值为
.综上所述，函数
至少有一个极值，且极小值为，B 对；
对于C 选项，由B 选项可知，当
时，
，此时函数
没有零点；当
时，
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因为函数
的增区间为
、
，减区间为
，则当
时，
，此时，函数
在
无零点，故函数
至多一个零点；当
时，
函数
的减区间为
、
，增区间为
，则当
时，
，
此时，函数
在
上无零点，故函数
至多一个零点.综上所述，不存在实数
，使
得函数
有三个零点，C 错；对于D 选项，由B 选项可知，若函数
的极大值点为
，则
，且
，因为
，即
，整理可得
，
所以，
，整理可得
，即
，所以，
，即
，D 对.故选：ABD.
8．（2025·江西南昌·二模）已知
.不等式
的解集为
且
，
则下列说法中正确的是（ ）
A．函数
的极大值点为1
B．函数
的对称中心为
C．过点
可作一条直线与曲线
相切
D．当
时，
【答案】BCD
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【分析】根据不等式的解集与方程的解之间的联系求得
，结合导数和极值点的概念即可判断
A；根据函数的对称性验证
即可判断B；根据导数的几何意义即可判断C；利
用作差法计算即可判断D.
【详解】A：因为不等式
的解集为
且
，即不等式
的解集为
且
，所以方程
的根为
和
（二重根），得
，
即
，所以
，则
，得
，令
，
或
，所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
是
的极大值点，故A 错误；
B：由选项A 知
，则
，所以
，即
的一个对称中心为
，故B 正确；
C：由选项A 知
，设过点
的切线方程为
，设切点为
，
则
，
，得
，整理得
，即
，解
得
，此时切点为
，不符题意，所以过点
只能作一条直线与曲线
相切，
故C 正确；
D：令
，当
时，则
，只需
.而
，由
，得
，即
，所以
，故D 正确.故
选：BCD
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