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专题03 导数及应用（选填题）
考点
五年考情（2020-2024）
命题趋势
考点1 利用导
数求函数单调
性，极值最值
2024 全国甲卷 Ⅰ卷
2023 Ⅱ卷 乙 甲
2022 甲卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 乙卷
2021 甲卷 Ⅰ卷
2020 Ⅰ卷 Ⅲ卷
构造函数利用导数求函数单调性
从而进行比较大小，利用导数求
函数的极值点以及最值问题收高
考必考题型
考点2 构造函
数利用导数求
单调性比较大
小
2023 甲卷
2022 甲卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷
2021 乙卷 Ⅱ卷
2020 ⅠⅡⅢ卷
考点3 导数综
合应用
2021 上海卷 Ⅱ卷
2022 天津卷 2023 天津卷
2021 Ⅰ卷 北京卷
零点含参问题的讨论是导数综合
题型的重难点
考点01 利用导数求函数单调性，极值最值
一、单选题
1．（2024·全国·高考甲卷）设函数
，则曲线
在点
处的切线与两坐标轴所围
成的三角形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
1
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【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点
处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其
面积.
【详解】
，
则
，
即该切线方程为
，即
，
令
，则
，令
，则
，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积
.
故选：A.
2．（2023 年全国新高考Ⅱ卷）已知函数
在区间
上单调递增，则a 的最小值为（ ）．
A．
B．e
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
在
上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】依题可知，
在
上恒成立，显然
，所以
，
设
，所以
，所以
在
上单调递增，
，故
，即
，即a 的最小值为
．
故选：C．
3．（2023 年全国高考乙卷数学（文）试题）函数
存在3 个零点，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】写出
，并求出极值点，转化为极大值大于0 且极小值小于0 即可.
【详解】
，则
，
若
要存在3 个零点，则
要存在极大值和极小值，则
，
令
，解得
或
，
2
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且当
时，
，
当
，
，
故
的极大值为
，极小值为
，
若
要存在3 个零点，则
，即
，解得
，故选：B.
4．（2023 年全国高考甲卷数学（文）试题）曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方
程即可求解.
【详解】设曲线
在点
处的切线方程为
，
因为
，所以
，
所以
所以
所以曲线
在点
处的切线方程为
.故选：C
5．（2022 年全国高考甲卷数学（文）试题）当
时，函数
取得最大值
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【分析】根据题意可知
，
即可解得
，再根据
即可解出．
【详解】因为函数
定义域为
，所以依题可知，
，
，而
，所以
，即
，所以
，因此函数
在
上递增，在
上递减，
3
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时取最大值，满足题意，即有
．故选：B.
6．（2021 年全国高考甲卷数学（文）试题）设
，若
为函数
的极大值点，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对
进行分
类讨论，画出
图象，即可得到
所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】若
，则
为单调函数，无极值点，不符合题意，故
.
有
和
两个不同零点，且在
左右附近是不变号，在
左右附近是变号的.依题意，
为函数
的极大值点，
在
左右附近都是小于零的.
当
时，由
，
，画出
的图象如下图所示：
由图可知
，
，故
.
当
时，由
时，
，画出
的图象如下图所示：
由图可知
，
，故
.
综上所述，
成立.故选：D
7．（2021 年全国新高考Ⅰ卷）若过点
可以作曲线
的两条切线，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定
4
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结果；
解法二：画出曲线
的图象，根据直观即可判定点
在曲线下方和
轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】在曲线
上任取一点
，对函数
求导得
，
所以，曲线
在点
处的切线方程为
，即
，
由题意可知，点
在直线
上，可得
，
令
，则
.
当
时，
，此时函数
单调递增，
当
时，
，此时函数
单调递减，
所以，
，
由题意可知，直线
与曲线
的图象有两个交点，则
，
当
时，
，当
时，
，作出函数
的图象如下图所示：
由图可知，当
时，直线
与曲线
的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线
的图象如图所示，根据直观即可判定点
在曲线下方和
轴上方时才可以
作出两条切线.由此可知
.
故选：D.
8．（2020 年全国高考Ⅰ卷）函数
的图像在点
处的切线方程为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求得函数
的导数
，计算出
和
的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简
即可.
【详解】
，
，
，
，
因此，所求切线的方程为
，即
.
故选：B.
【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题
9．（2020 年全国高考Ⅲ卷）若直线l 与曲线y=
和x2+y2=
都相切，则l 的方程为（ ）
A．y=2x+1
B．y=2x+
C．y=
x+1
D．y=
x+
【答案】D
【详解】设直线在曲线
上的切点为
，则
，
函数
的导数为
，则直线的斜率
，
设直线的方程为
，即
，
由于直线与圆
相切，则
，
两边平方并整理得
，解得
，
（舍），
则直线的方程为
，即
.故选：D.
10．（2019 年全国高考Ⅲ卷）已知曲线
在点
处的切线方程为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得
，将点的坐标代入直线方程，求得
．
【详解】详解：
，
将
代入
得
，故选D．
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【点睛】本题关键得到含有a，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．
二 多选题
11 （2024·全国·高考Ⅰ卷）设函数
，则（ ）
A．
是
的极小值点
B．当
时，
C．当
时，
D．当
时，
【答案】ACD
【分析】求出函数
的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数
在
上的值域即可判断C；直接作差可判断D.
【详解】对A，因为函数
的定义域为R，而
，
易知当
时，
，当
或
时，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，故
是函数
的极小
值点，正确；
对B，当
时，
，所以
，
而由上可知，函数
在
上单调递增，所以
，错误；
对C，当
时，
，而由上可知，函数
在
上单调递减，
所以
，即
，正确；
对D，当
时，
，
所以
，正确；
故选：ACD.
三 填空题
12．（2024·全国·高考Ⅰ卷）若曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线，则
.
【答案】
【分析】先求出曲线
在
的切线方程，再设曲线
的切点为
，
求出
，利用公切线斜率相等求出
，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.
【详解】由
得
，
，
故曲线
在
处的切线方程为
；
由
得
，
设切线与曲线
相切的切点为
，
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由两曲线有公切线得
，解得
，则切点为
，
切线方程为
，
根据两切线重合,所以
，解得
.
故答案为：
13．（2023·全国乙卷）设
，若函数
在
上单调递增，则a 的取值范围是
______.
【答案】
【分析】原问题等价于
恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可
得
，由右侧函数的单调性可得实数
的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数
的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得
在区间
上恒成立，
则
，即
在区间
上恒成立，
故
，而
，故
，
故
即
，故
，
结合题意可得实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
14．（2022 全国乙卷）已知
和
分别是函数
（
且
）的极小值点和极大
值点．若
，则a 的取值范围是____________．
【答案】
【分析】法一：依题可知，方程
的两个根为
，即函数
与函数
的图
象有两个不同的交点，构造函数
，利用指数函数的图象和图象变换得到
的图象，利用
导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.
【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
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因为
，所以方程
的两个根为
，
即方程
的两个根为
，
即函数
与函数
的图象有两个不同的交点，
因为
分别是函数
的极小值点和极大值点，
所以函数
在
和
上递减，在
上递增，
所以当时
，
，即
图象在
上方
当
时，
，即
图象在
下方
，图象显然不符合题意，所以
．
令
，则
，
设过原点且与函数
的图象相切的直线的切点为
，
则切线的斜率为
，故切线方程为
，
则有
，解得
，则切线的斜率为
，
因为函数
与函数
的图象有两个不同的交点，
所以
，解得
，又
，所以
，
综上所述，
的取值范围为
．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0 的两个根为
因为
分别是函数
的极小值点和极大值点，
所以函数
在
和
上递减，在
上递增，
设函数
，则
，
若
，则
在
上单调递增，此时若
，则
在
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上单调递减，在
上单调递增，此时若有
和
分别是函数
且
的极小值点和极大值点，则
，不符合题意；
若
，则
在
上单调递减，此时若
，则
在
上单调递增，在
上单
调递减，令
，则
，此时若有
和
分别是函数
且
的极小值点和极大值点，且
，则需满足
，
，即
故
，所以
.
15．（2022 年全国新高考Ⅰ卷）若曲线
有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是
________________．
【答案】
【分析】设出切点横坐标
，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于
的方程，
根据此方程应有两个不同的实数根，求得
的取值范围.
【详解】∵
，∴
，
设切点为
,则
,切线斜率
,
切线方程为：
,
∵切线过原点，∴
,
整理得：
,
∵切线有两条，∴
,解得
或
,
∴
的取值范围是
,
故答案为：
16．（2021·全国甲卷）曲线
在点
处的切线方程为__________．
【答案】
【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】由题，当
时，
，故点在曲线上．
求导得：
，所以
．
故切线方程为
．
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故答案为：
．
17．（2021 年全国新高考Ⅰ卷）函数
的最小值为______.
【答案】1
【分析】由解析式知
定义域为
，讨论
、
、
，并结合导数研究的单调性，
即可求
最小值.
【详解】由题设知：
定义域为
，
∴当
时，
，此时
单调递减；
当
时，
，有
，此时
单调递减；
当
时，
，有
，此时
单调递增；
又
在各分段的界点处连续，
∴综上有：
时，
单调递减，
时，
单调递增；
∴
故答案为：1.
三、双空题
18．（2022 年全国高考Ⅱ卷）曲线
过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
【答案】
【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求
分
和
两种情况，当
时设切点为
，求出函数
导函数，即可求出切线的斜率，从而
表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出
，即可求出切线方程，当
时同理可得；
解： 因为
，
当
时
，设切点为
，由
，所以
，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以
，解得
，所以切线方程为
，即
；
当
时
，设切点为
，由
，所以
，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以
，解得
，所以切线方程为
，即
；
11
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故答案为：
；
[方法二]：根据函数的对称性，数形结合
当
时
，设切点为
，由
，所以
，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以
，解得
，所以切线方程为
，即
；因为
是偶函数，图象为：
所以当
时的切线，只需找到
关于y 轴的对称直线
即可.
[方法三]：因为
，
当
时
，设切点为
，由
，所以
，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以
，解得
，所以切线方程为
，即
；
当
时
，设切点为
，由
，所以
，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以
，解得
，所以切线方程为
，即
；
故答案为：
；
.
考点02 构造函数利用导数求单调性比较大小
一、单选题
1．（2023 年全国高考甲卷数学（文）试题）已知函数
．记
12
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，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令
，则
开口向下，对称轴为
，
因为
，而
，
所以
，即
由二次函数性质知
，
因为
，而
，
即
，所以
，
综上，
，
又
为增函数，故
，即
.
故选：A.
2．（2022 年全国高考甲卷数学（文）试题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知
，再利用基本不等式，换底公式
可得
，
，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由
可得
，而
，所以
，
即
，所以
.
又
，所以
，即
，
所以
.综上，
.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
13
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由
，可得
．
根据
的形式构造函数
，则
，
令
，解得
，由
知
.
在
上单调递增，所以
，即
，
又因为
，所以
.
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用
的形式构造函数
，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该
题的最优解．
3．（2022 年全国新高考Ⅰ卷数学试题）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】构造函数
， 导数判断其单调性，由此确定
的大小.
【详解】方法一：构造法
设
，因为
，
当
时，
，当
时
，
所以函数
在
单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
，故
，即
，
所以
，所以
，故
，所以
，
故
，
设
，则
,
令
，
，
当
时，
，函数
单调递减，
当
时，
，函数
单调递增，
又
，
所以当
时，
，
所以当
时，
，函数
单调递增，
14
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所以
，即
，所以
故选：C.
方法二：比较法
解：
，
，
，
①
，
令
则
，
故
在
上单调递减，
可得
，即
，所以
；
②
，
令
则
，
令
，所以
，
所以
在
上单调递增，可得
，即
，
所以
在
上单调递增，可得
，即
，所以
故
4．（2021 年全国高考Ⅱ卷数学试题）已知
，
，
，则下列判断正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】对数函数的单调性可比较
、
与的大小关系，由此可得出结论.
【详解】
，即
.
故选：C.
5．（2020 年全国高考Ⅲ卷数学试题）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分别将
,
改写为
，
，再利用单调性比较即可.
【详解】因为
，
，
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所以
.
故选：A.
【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.
6（2022·全国甲卷）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
结合三角函数的性质可得
;构造函数
,利用导数可
得
,即可得解.
【详解】[方法一]：构造函数
因为当
故
，故
，所以
；
设
，
，所以
在
单调递增，
故
，所以
，
所以
，所以
，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当
，
取
得：
，故
，其中
，且
当
时，
，及
此时
，
故
，故
所以
，所以
，故选A
[方法三]：泰勒展开
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设
，则
，
，
，计算得
，故选A.
[方法四]：构造函数
因为
，因为当
，所以
,即
，所以
；设
，
，所以
在
单调递增，则
,
所以
，所以
,所以
，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为
，因为当
，所以
,即
，所以
；因为当
，取
得
，故
，所以
．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通
法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式
放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
7．（2021·全国乙卷）设
，
，
．则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b 的大小作出判定，对于a 与c，b 与c 的大小关系，
将0.01 换成x,分别构造函数
,
，利用导数分析其在
0 的右侧包括0.01 的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0 即可得出a 与c，b 与c 的大小关系.
【详解】[方法一]：
，
所以
；
下面比较与
的大小关系.
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记
，则
，
，
由于
所以当0<x<2 时，
，即
，
，
所以
在
上单调递增，
所以
，即
，即
；
令
，则
，
，
由于
，在x>0 时，
，
所以
，即函数
在[0，+∞)上单调递减，所以
，即
，即
b<c；
综上，
，
故选：B.
[方法二]：
令
，即函数
在（1，+∞)上单调递减
令
，即函数
在（1，3)上单调递增
综上，
，
故选：B.
【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，
利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.
8．（2020 年全国新高考Ⅰ卷）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
18
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【分析】设
，利用作差法结合
的单调性即可得到答案.
【详解】设
，则
为增函数，因为
所以
，
所以
，所以
.
，
当
时，
，此时
，有
当
时，
，此时
，有
，所以C、D 错误.
故选：B.
【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中
档题.
9．（2020 年全国高考Ⅱ卷）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将不等式变为
，根据
的单调性知
，以此去判断各个选项中真
数与的大小关系，进而得到结果.
【详解】由
得：
，
令
，
为
上的增函数，
为
上的减函数，
为
上的增函数，
，
，
，
，则A 正确，B 错误；
与的大小不确定，故CD 无法确定.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得
到
的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.
10．（2020 年全国高考Ⅲ卷）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a<b<c
B．b<a<c
C．b<c<a
D．c<a<b
【答案】A
【分析】由题意可得
、
、
，利用作商法以及基本不等式可得出
、
的大小关系，由
，
得
，结合
可得出
，由
，得
，结合
，可得出
，综合可得出
、
、的大小关系.
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【详解】由题意可知
、
、
，
，
；
由
，得
，由
，得
，
，可得
；
由
，得
，由
，得
，
，可得
.
综上所述，
.
故选：A.
【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应
用，考查推理能力，属于中等题.
考点03 导数综合应用
一、单选题
1．（2024·上海·高考真题）已知函数
的定义域为R，定义集合
，在使得
的所有
中，下列成立的是（ ）
A．存在
是偶函数
B．存在
在
处取最大值
C．存在
是严格增函数
D．存在
在
处取到极小值
【答案】B
【分析】对于ACD 利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B，构造函数
即可判断.
【详解】对于A，若存在
是偶函数, 取
,
则对于任意
, 而
, 矛盾, 故 A 错误；
对于B，可构造函数
满足集合
，
当
时，则
，当
时，
，当
时，
，
则该函数
的最大值是
，则B 正确；
对C，假设存在
，使得
严格递增，则
，与已知
矛盾，则C 错误；
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对D，假设存在
，使得
在
处取极小值，则在
的左侧附近存在
，使得
，
这与已知集合
的定义矛盾，故D 错误；
故选：B.
二、多选题
2．（2024·全国·高考Ⅱ卷）设函数
，则（ ）
A．当
时，
有三个零点
B．当
时，
是
的极大值点
C．存在a，b，使得
为曲线
的对称轴
D．存在a，使得点
为曲线
的对称中心
【答案】AD
【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为
，根据零点存在定理和极值的符号判断出
在
上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在
这样的
，使得
为
的对称轴，则
为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这
样的
，使得
为
的对称中心，则
，据此进行计算判断，亦可利用拐点
结论直接求解.
【详解】A 选项，
，由于
，
故
时
，故
在
上单调递增，
时，
，
单调递减，
则
在
处取到极大值，在
处取到极小值，
由
，
，则
，
根据零点存在定理
在
上有一个零点，
又
，
，则
，
则
在
上各有一个零点，于是
时，
有三个零点，A 选项正确；
B 选项，
，
时，
，
单调递减，
时
，
单调递增，
此时
在
处取到极小值，B 选项错误；
C 选项，假设存在这样的
，使得
为
的对称轴，
即存在这样的
使得
，
即
，
根据二项式定理，等式右边
展开式含有
的项为
，
于是等式左右两边
的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
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于是不存在这样的
，使得
为
的对称轴，C 选项错误；
D 选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的
，使得
为
的对称中心，
则
，事实上，
，
于是
即
，解得
，即存在
使得
是
的对称中心，D 选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，
，
，
由
，于是该三次函数的对称中心为
，
由题意
也是对称中心，故
，
即存在
使得
是
的对称中心，D 选项正确.
故选：AD
三 填空题
3．（2022·天津·统考高考真题）设
，对任意实数x，记
．若
至
少有3 个零点，则实数
的取值范围为______.
【答案】
【分析】设
，
，分析可知函数
至少有一个零点，可得出
，求出
的取值范围，然后对实数
的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数
的不等式，综合可求
得实数
的取值范围.
【详解】设
，
，由
可得
.
要使得函数
至少有个零点，则函数
至少有一个零点，则
，
解得
或
.
①当
时，
，作出函数
、
的图象如下图所示：
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此时函数
只有两个零点，不合乎题意；
②当
时，设函数
的两个零点分别为
、
，
要使得函数
至少有个零点，则
，
所以，
，解得
；
③当
时，
，作出函数
、
的图象如下图所示：
由图可知，函数
的零点个数为，合乎题意；
④当
时，设函数
的两个零点分别为
、
，
要使得函数
至少有个零点，则
，
可得
，解得
，此时
.
综上所述，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
4．（2021 年全国新高考Ⅰ卷数学试题）函数
的最小值为______.
【答案】1
【分析】由解析式知
定义域为
，讨论
、
、
，并结合导数研究的单调性，
即可求
最小值.
【详解】由题设知：
定义域为
，
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∴当
时，
，此时
单调递减；
当
时，
，有
，此时
单调递减；
当
时，
，有
，此时
单调递增；
又
在各分段的界点处连续，
∴综上有：
时，
单调递减，
时，
单调递增；
∴
故答案为：1.
5．（2023·天津·统考高考真题）若函数
有且仅有两个零点，则
的取值范围为
_________．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断
的取值范围．
【详解】（1）当
时，
，
即
，
若
时，
，此时
成立；
若
时，
或
，
若方程有一根为
，则
，即
且
；
若方程有一根为
，则
，解得：
且
；
若
时，
，此时
成立．
（2）当
时，
，
即
，
若
时，
，显然
不成立；
若
时，
或
，
若方程有一根为
，则
，即
；
若方程有一根为
，则
，解得：
；
若
时，
，显然
不成立；
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综上，
当
时，零点为
，
；
当
时，零点为
，
；
当
时，只有一个零点
；
当
时，零点为
，
；
当
时，只有一个零点
；
当
时，零点为
，
；
当
时，零点为
．
所以，当函数有两个零点时，
且
．
故答案为：
．
【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，
然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．
6．（2021·北京·统考高考真题）已知函数
，给出下列四个结论：
①若
，
恰 有2 个零点；
②存在负数
，使得
恰有1 个零点；
③存在负数
，使得
恰有3 个零点；
④存在正数
，使得
恰有3 个零点．
其中所有正确结论的序号是_______．
【答案】①②④
【分析】由
可得出
，考查直线
与曲线
的左、右支分别相切的情
形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.
【详解】对于①，当
时，由
，可得
或
，①正确；
对于②，考查直线
与曲线
相切于点
，
对函数
求导得
，由题意可得
，解得
，
所以，存在
，使得
只有一个零点，②正确；
对于③，当直线
过点
时，
，解得
，
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所以，当
时，直线
与曲线
有两个交点，
若函数
有三个零点，则直线
与曲线
有两个交点，
直线
与曲线
有一个交点，所以，
，此不等式无解，
因此，不存在
，使得函数
有三个零点，③错误；
对于④，考查直线
与曲线
相切于点
，
对函数
求导得
，由题意可得
，解得
，
所以，当
时，函数
有三个零点，④正确.
故答案为：①②④.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的
零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
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